Appunti di Fisica tecnica dalla termodinamica ai corpi neri

Fisica tecnica

Introduzione

Il file contiene appunti di Fisica Tecnica, suddivisi in 11 capitoli. A fine PDF sono reperibili anche due formulari, relativi alle formule principali trattate nei capitoli seguenti e agli esercizi sulla campana dei vapori e liquidi saturi (cap. 5). Gli appunti sono totalmente scritti da me, grafici compresi. Come riferimento, le dispense e le lezioni del prof. Piccolo Antonio (UniMe), informazioni dal web e conoscenze personali relative ad altri studi e ad altri libri di testo.

Concetti e definizioni di base

• 1° Principio Termodinamica: L'energia dell'universo è costante
• 2° Principio Termodinamica: L'entropia dell'universo tende ad un massimo

Il primo principio è un principio di conservazione dell'energia. L'energia, infatti, può assumere un numero di forme differenti (energia termica, meccanica, chimica ecc..) e può trasformarsi da una forma all'altra. L'energia è definita come la capacità di un corpo di compiere lavoro, il prezzo da pagare per apportare modificazioni ad un sistema.

(Come viene definito un Sistema) Il secondo principio, invece, afferma che tutti i processi naturali sono irreversibili (avvengono spontaneamente solo in un verso e mai nell'opposto) e comportano la produzione di una grandezza fisica detta: entropia. Esiste quindi una direzione privilegiata del tempo, esso scorre nel verso in cui l'entropia dell'universo aumenta.

La classificazione dei sistemi è relativa agli scambi di materia e/o energia che possono effettuare:

• Sistemi isolati: non scambiano né materia né energia con l'ambiente esterno
• Sistemi chiusi: scambiano energia ma non materia con l'ambiente esterno
• Sistemi aperti: permettono scambi di materia ed energia con l'ambiente esterno

Gli stati dei sistemi termodinamici vengono descritti tramite delle grandezze fisiche che rappresentano proprietà macroscopiche della materia. Esse sono dette variabili osservabili o parametri microscopici... volume V, pressione P, temperatura T. Un sistema si evolve da uno stato di equilibrio ad un altro, ovvero da uno stato dove le proprietà macroscopiche sono costanti in tutti punti del sistema e non variano nel tempo.

• Equilibrio meccanico: dP/dt=0, | La pressione è uniforme in tutto il sistema
• Equilibrio termico: dT/dt=0, | La temperatura è uniforme in tutto il sistema

Le variabili intensive Yi sono usate per esprimere qualità del sistema che non dipendono dalla sua estensione (massa). Al contrario, le variabili estensive Xi, sono proporzionali all'estensione del corpo. Le variabili estensive possono essere normalizzate rispetto la massa del sistema ottenendo le grandezze specifiche. Una variabile estensiva specifica indica l'ammontare di quella variabile associato all'unità di massa del sistema.

• Volume specifico, v=V/m | Densità, p=1/v

Un sistema si dice in equilibrio termodinamico se tutte le sue variabili intensive non dipendono dal tempo ed assumono valore costante ed uniforme in tutto il sistema. DYi/dt=0;

L'evoluzione di un sistema verso lo stato di equilibrio è dovuta a processi irreversibili. Si dice trasformazione il processo di non equilibrio con il quale un sistema termodinamico passa da uno stato di equilibrio ad un altro. Lo studio di una trasformazione può essere effettuato solo se essa viene considerata come la successione di infiniti stati d'equilibrio: come una trasformazione quasi-statica. Si parla di una trasformazione ideale che richiede un tempo infinito. È possibile tracciare il percorso seguito dal sistema nel passare dallo stato iniziale a quello finale di equilibrio. (tramite una linea continua che congiunge il punto 1 al punto 2 nel diagramma P,V, detto di Clapeyron).

Le trasformazioni vengono realizzate operando in maniera opportuna sulle pareti del sistema. Una parete non ha il solo scopo di delimitare il sistema dall'ambiente, bensì rappresenta anche dei vincoli che limitano il sistema negli scambi di energia che esso può realizzare. Ad esempio l'uso di pareti rigide vincola il volume del sistema a rimanere costante. La trasformazione corrispondente viene definita isocora o isometrica (a Volume costante). Questo vincolo preclude scambi di energia meccanica con l'ambiente esterno. L'uso di pareti adiabatiche impedisce scambi di calore con l'ambiente. La trasformazione corrispondente è detta adiabatica. Un sistema rinchiuso in pareti adiabatiche si dice termicamente isolato. Una trasformazione che avviene senza variazioni di temperatura è isoterma, una che avviene senza variazioni di pressione, isobara. [P=cost, T=cost]

Le variabili di stato

La descrizione degli stati di equilibrio di un sistema viene effettuata specificando un insieme di parametri macroscopici detti variabili di stato. Fissare il valore di ciascuna variabile di stato corrisponde a definire la situazione fisica (stato) in cui si trova il sistema.

Ad un trasferimento di energia associato ad una variabile macroscopica si da il nome di lavoro. Per calcolare l'espressione del lavoro di espansione o compressione di un fluido è sufficiente considerare un cilindro chiuso da un pistone mobile senza attrito al cui interno è contenuto un gas a pressione P. In condizioni di equilibrio, il pistone è fermo e la pressione P deve bilanciare la forza esterna -F_ext che l'ambiente esterno esercita sulla superficie A del pistone. Se il gas viene fatto espandere e il pistone si può spostare di una quantità infinitesima dx: dL =-F_ext dx

Se l'espansione viene compiuta con estrema lentezza (in tempo infinito), la forza originata dalla pressione del gas bilancerà in ogni istante di tempo la forza esterna. F_ext=PA; dL_ext=-PAdx=-PdV

Quindi nel caso di trasformazione quasi statica, il lavoro esterno può essere messo in relazione con i parametri interni che caratterizzano il fluido. Il segno negativo è dato dal fatto che l'energia viene trasferita verso l'esterno quando il gas si espande. Per la convenzione egoistica del segno, i segni vanno invertiti. (dL=PdV). Per una trasformazione finita in cui il volume varia da V₁ a V₂ l'espressione del lavoro prende la forma di:

L'area sottesa dalla curva della trasformazione nel piano di Clapeyron corrisponde al lavoro L. Affinché vi sia scambio di lavoro meccanico tra un sistema e l'ambiente occorre che:

• Esista una forza esterna agente sul contorno (1)
• Il contorno sia mobile (2)

Entrambe le condizioni devono essere rispettate contemporaneamente.

Associations of variables:

• Ad una rotazione dθ di un corpo rigido prodotta da una coppia di forze di momento τ è associato il lavoro: dL = τdθ ecc.

Ad un trasferimento di energia dovuto esclusivamente ad una differenza di temperatura si dà il nome di calore. Il secondo principio della termodinamica consente di esprimere la quantità infinitesima di calore dQ scambiato dal sistema con l'ambiente nella forma: dQ=TdS

Quindi le quantità di calore assorbite dal sistema comportano un aumento dell'entropia dS o il contrario.

Quindi, il calore scambiato è rappresentato dall'area sottesa dalla curva di trasformazione nel piano di Gibbs (T,S).

Ad ogni forma di scambio energetico quindi, corrispondono due grandezze fisiche: una estensiva (X) e una intensiva (Y), tali che la variazione infinitesima di energia del sistema connessa con tale scambio sia data dal prodotto YdX. Se n sono le diverse forme di scambio energetico che il sistema è in grado di realizzare, si definiscono variabili di stato n variabili, indifferentemente intensive o estensive, una per ciascun tipo di scambio. A ciascuna coppia di variabili associata ad uno scambio energetico è collegata una relazione che prende il nome di equazione di stato.

Va sottolineato come calore e lavoro rappresentino energie in transito o di scambio, ma non una proprietà di sistema. Essi non possono essere posseduti da un sistema, ma sono degli enti con cui l'energia può attraversare il contorno di un sistema chiuso. Essi non sono funzioni di stato, infatti vengono preceduti dal simbolo δ, adottato poiché lavoro e calore non sono differenziali esatti.

Si definisce funzione di stato una grandezza F, funzione delle variabili di stato, le cui variazioni ΔF, relative ad una trasformazione finita, dipendono solo dagli stati iniziali e finali della trasformazione ma non del percorso che li unisce. In tal caso, δF=dF.

Scale termometriche e temperature

L'equilibrio termico tra due corpi si raggiunge quando, i due corpi, a temperature differenti, vengono messi a contatto. I loro stati termodinamici iniziano a mutare, fino a quando essi non si stabilizzano. Il concetto di temperatura viene precisato in base al principio zero della termodinamica: se due sistemi sono in equilibrio termico con un terzo, lo saranno anche tra loro. Questo terzo sistema prende il nome di Termometro. Per costruire un termometro e definire una scala di temperature si può considerare un ben preciso corpo o sostanza termometrica (barra di platino) ed una sua ben precisa proprietà fisica (lunghezza es.). Tale lunghezza misurerà lo stato termico di qualsiasi altro corpo con cui la sbarretta sia stata posta in contatto per tempo sufficiente. L=f(T) | L=L₀(1+βT), dove l è la lunghezza corrispondente ad uno stato termico cui si vuole fare corrispondere il valore numerico T=0 e β è una costante arbitraria la cui scelta dipenderà esclusivamente dalla ampiezza delle unità di misura che si vuole adottare per la misura di T (grado). Ad esempio si potrà usare lo stato termico corrispondente al ghiaccio fondente e fargli corrispondere il suo valore T=0 e lo stato termico corrispondente all'acqua in ebollizione e fargli corrispondere il valore T=100 cosicché: β= (L₁₀₀-L₀)/100L₀

• Scala Celsius, Punto fisso 1: T=0°C, Punto fisso 2: T=100°C
• Scala Fahrenheit, Punto fisso 1: T=32°F, Punto fisso 2: T=212°F | Conversione: 9/5T(°C)+32
• Scala Kelvin, Punto fisso (punto triplo dell'acqua): T=273,16 K | Conversione: T(°C)=T(K)-273.15
• Scala Rankine, Punto fisso (punto triplo dell'acqua): T=491,668R | Conversione: T(°R)=9/5T(K)

Punto triplo (acqua): temperatura alla quale l'acqua si trova in tutti e tre gli stati, 273,16 K.

I principio termodinamica, gas perfetti, entalpia

Conservazione dell'energia (Leibniz): Si riferisce alla somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un punto materiale di massa m che si muove nel campo gravitazionale terrestre con velocità v. Aggiungendo una rotazione al corpo, otteniamo:

• ½ mv² + mgz + ½ Iω

Stabiliamo quindi una nuova forma di energia, U: l'energia interna. Essa è intesa come energia di un sistema associata ai gradi di libertà interni; e una nuova forma di energia in transito, il calore Q, inteso come trasferimento di energia attraverso i gradi di libertà interni del sistema.

Joule prese in considerazione un dispositivo consistente in un recipiente a pareti rigide ed adiabatiche, contenente un fluido. La quantità di energia meccanica entrante nel sistema è direttamente misurata dal lavoro eseguito dalla forza di gravità nell'abbassare una massa m di un tratto Δz: L=mgΔz | Tale lavoro viene dissipato tutto in energia interna tramite l'agitatore a palette. La trasformazione è rilevabile tramite un innalzamento della temperatura del fluido. Rimuovendo l'isolamento termico e inserendo il contenitore in un serbatoio (calorimetro) pieno d'acqua è possibile calcolare la quantità di calore Q trasmessa al calorimetro affinché il fluido torni alla sua temperatura iniziale. Ripetendo l'esperienza con diversi valori del lavoro L si trova che ogni volta il rapporto fra il lavoro meccanico ed il calore scambiato è una costante: Q/L=4,186. Viene dunque dimostrato che nei processi di conversione e trasferimento di energia il calore è del tutto equivalente al lavoro meccanico. Esso è effettivamente una forma di energia. Q/L=1: il lavoro somministrato dall'esterno è del tutto equivalente al calore ceduto all'acqua. L'integrale circuitale di δQ è uguale a quello di δL, che costituisce l'espressione del primo principio della termodinamica per un sistema che compie una trasformazione ciclica.

I principio Joule dimostrò che nel caso di trasformazioni adiabatiche, il lavoro si comporta come una funzione di stato. Se il sistema evolve da uno stato iniziale 1 ad uno finale 2, il lavoro adiabatico L sarà sempre lo stesso indipendentemente dalla trasformazione.

Allora, l'ammontare del lavoro scambiato adiabaticamente coincide con la variazione di energia interna: 12 ad U₂ - U₁ = -L₁₂ ad

Se si rimuove l'adiabaticità, il lavoro non si comporta più come una funzione di stato; non solo esso risulterà diverso dal corrispondente lavoro adiabatico ma dipenderà dal particolare tipo di trasformazione eseguita dal sistema oltre che dagli stati iniziale e finale. Si può allora definire Q₁₂ = L₁₂ - L₁₂ ad

Riferendosi all'equazione definita in primis: U₂ - U₁ = Q₁₂ - L₁₂ o dU= δQ-δL

Dove la seconda relazione vale per trasformazioni infinitesime. Le ultime due espressioni sono formulazioni equivalenti del I principio della T.D. e hanno il seguente significato: l'ammontare di calore e lavoro associati possono essere diversi. La loro somma, tuttavia, corrisponde alla variazione di energia interna ed è la stessa per ciascuno dei processi, dal momento che l'energia non può essere né creata né distrutta.

Il significato del I principio diviene ancora più chiaro se in dU=δQ-δL vengono esplicitate le espressioni quantitative degli scambi energetici collegati al lavoro:

• dU= δQ-PdV- πdθ +…

Il I principio della termodinamica costituisce dunque la più generale espressione del principio di conservazione dell'energia.

Relazioni di Eulero e di Gibbs-Duhem

L'energia interna, in quanto funzione di stato, deve dipendere dalle variabili di stato del sistema. dU=TdS-PdV+μdN

• Esprimere l'energia interna in funzione di variabili di stato estensive: U=U(S,V,N)
• T=T(S,V,N); P=P(S,V,N); μ=μ(S,V,N) | Tali equazioni prendono il nome di equazioni di stato del sistema.

Poiché l'energia interna è una grandezza estensiva, facendo variare l'estensione del sistema di un fattore λ, anche U deve risultare moltiplicata per λ: U(λS,λV,λN)=λU(S,V,N) | se λ=1/m

U=TS-PV+μN | Relazione di Eulero

dU=(TdS-PdV+μdN)+(SdT-VdP+Ndμ) | sottraendo membro a membro questa relazione con (TdS-PdV+μdN) si ottiene la relazione di Gibbs-Duhem:

• SdT-VdP+ Ndμ=0

Le variabili intensive di un sistema semplice (omogeneo) non sono tutte indipendenti. Il numero di parametri intensivi indipendenti di un sistema prende il nome di numero di gradi di libertà.

Equazione di stato dei gas perfetti

f(P,V,T)=0 Il prototipo di sistema semplice è il gas perfetto che può essere pensato costituito da particelle che sono:

• Prive di dimensioni | Puntiformi
• Non interagenti | Assenza di forze attrattive
• Collidenti tra esse e con le pareti del recipiente in urti perfettamente elastici

Tali condizioni implicano che per qualsiasi valore della temperatura, il volume debba ridursi a zero per P tendente a infinito.

Legge di Boyle-Mariotte

• PV=cost

Legge di Charles

La legge di Charles afferma che, a P cost, il volume di un gas perfetto varia proporzionalmente alla temperatura.

• V=V₀(1+βT) | P=cost

Legge di Gay-Lussac

La legge di Gay-Lussac afferma che, a V cost, la pressione di un gas perfetto è una funzione lineare della temperatura.

• P=P₀(1+γT) | V=cost

Nelle precedenti equazioni, P₀=1 atm e T₀=0°C sono dette condizioni normali. Le costanti β e γ sono indipendenti dal gas considerato e coincidono numericamente.

• β = γ = 1/273.15 °C^-1 = 0,00366 °C^-1

Per la legge di Avogadro, in tali condizioni normali, il volume di 1 kmol di qualsiasi gas è lo stesso:

• v₀=22,414 m³/kmol

Il valore delle costanti implica che la famiglia di rette tende a riunirsi in un solo punto, T=-273,15.

Scala assoluta del gas perfetto

• Sostanza termometrica: Gas Perfetto
• Grandezza termometrica: Volume o Pressione
• Funzione termometrica: Boyle o Gay-Lussac
• Zero della scala: -273,15°C

Partendo dalla legge di Boyle e Charles risulta che:

• (dV/dT) = V/T e (dV/dP) = -V/P | Per cui: dV=V/T dT-V/P dP; separando le variabili ed integrando:

PV/T=C | C è una costante. C=P₀V₀/T₀ = N₀P₀v₀/T₀ | Per la legge di Avogadro, R= P₀v₀/T₀

R è una quantità costante, indipendente dalla natura chimica del gas considerato. R, costante universale dei gas.

• PV=NRT

Questa formula rappresenta l'equazione di stato dei gas perfetti riferita a N kmol di gas. Si può anche esprimere l'equazione riferita alla massa m del gas, dove N= m/Mol

• PV=mR'T | R'= R/Mol. Dividendo entrambi i membri per m:

• Pv=R'T | Z=Pv/R'T; dove Z è detto fattore di compressibilità, che è 1 per i gas perfetti.

• Pv=ZR'T

Coefficenti elastici e calorimetrici di una sostanza

Si tratta di grandezze che descrivono proprietà materiali di un sistema e ne caratterizzano il comportamento in risposta ad una sollecitazione meccanica o termica. Coefficiente di dilatazione isobaro β