Appunti Fisica tecnica

F UR R :R S :S :

5 $ ! # $

| resistenza termica

=> = D = −4 = 4 H =

flusso specifico => , con

! %

Hã U! A TU

&'

S :S :

# $

totale resistenza termica specifica

H′ =

offerta dalla parete, e con .

% T

&

Trasmissione di calore attraverso una lastra piana multistrato

A regime stazionario, alla giunzione non può accumularsi calore => calore

6 = 0, $ = $ ; 6 = A, $ =

entrante = calore uscente => condizione del IV tipo: '

5 T 5 :

$ , 6 = J, D J = D J = D′ (avrà lo stesso valore sia dal punto di vista del

(

materiale 1 che del materiale 2, da destra e da sinistra). Per porzioni

omogenee, ciascun strato del profilo è lineare: '

R :R

• $

$(6) = 6 + $ 0 ≤ 6 ≤ J;

Equazione di Fourier del 1° strato: '

A T '

R :R

• !

= 6 + $′ J ≤ 6 ≤ A.

Equazione di Fourier del 2° strato: T(6) A U

' '

úR ù úR ù

:R :R A A A

5 : 5 T 5

$ ! T U T

$′ D J = ; D J = → $ − $ = D Ü + á, +

L’incognita è con

' (

VT VU s s s

T U T

WT WU

A S :S

5

U # $

→ H =

resistenza globale (come se fossero delle resistenze in

% %

s ' -

Z T [

U &' &-

serie). \S

+N = −OPQ P0 →

Conducibilità termica interna: influenza la conducibilità del

\<

∆$ 4

materiale (salto più grande => più bassa):

™

:(

• )

Aeriformi 4 = R(10

: ;

q°Å

™

:'

• )

Liquidi ! = #(10

: ;

q°Å ™

(

• )

Solidi metallici ! = #(10

: ;

q°Å ™

;

• Solidi non metallici cristallini ! = #(10 ÷ 10)

: ;

q°Å

™

:' ;

• .

)

Solidi non metallici amorfi ! = #(10 ÷ 10

: q°Å

Trasmissione del calore attraverso una parete cilindrica

! ! !

U R ' U R U R ' UR {t UR

| | | |

+ + + − =0

# 9 m m

! ! ! !

U# m U9 Um m Um s Uã . =, 0 = 0 ; . = . , 0 = 0

Ho condizioni al contorno del tipo I: . Le facce

' ( (

sono isoterme => ho propagazione lungo il raggio (lascio solo la

!

U R ' UR {t UR

.) → + − = 0.

derivata rispetto a !

Um m Um s Uã

! !

U R ' UR Q R ' QR

+ = 0 → + = 0.

Nel regime stazionario: Faccio un cambio di variabile:

! !

Um m Um Qm m Qm

QR Q< <

3= → + = 0 → . 43 + 3 4. = 0

Qm Qm m QR t

$

4(3.) = 0 → 3. = 5 → = → 0 = 5 ln . + 5

' ' (

Qm m

. = 0 → ∞

Se (cilincro pieno), in ho un punto singolare, quindi non esiste soluzione.

In questo caso la soluzione dell’equazione esiste o per regime non stazionario o con

un termine sorgente. R :R m

! $

0 = 0 + ln 5 5

, ha trovato e

0 = 5 ln . + 5 ' ' (

@!

' ' ' ( m

78 '

@$

0 = 5 ln . + 5

( ' ( ( @

78ª º

R :R R :R ! @$

! $ ! $

0(9) = 9+0−1= 9 + 0 → =>

Analogia formale con la lastra piana: .

' @ !

A ! :! A 78ª º

! $ @$

; UR R :R m ' = :=

! $ $ $ %

|

Flusso termico = ; = −!< = −!2>.? = −@ABC

: (non dipendende da

m @ &

!

< Um m m $

78ª º >?@ A

$

@$ &%

.); ; UR = := C

$ %

|

Flusso termico specifico = ; = −! = −@ .).

: (diminuisce all’aumentare di

m &

B< Um D

$

>?@ A

&%

Nel caso coesistano più “cause” che concorrono a un effetto, si può considerare

separatamente l’effetto di ciascuna causa e ottenere l’effetto cumulativo come

somma dei singoli effetti, a patto che ciascuna cause non sia modificata dagli effetti

indipendentemente di

delle altre, cioè se ciascuna causa agisca (principio

equazione differenziale lineare

sovrapposizione degli effetti). Ho quindi un’ (i

9,

coefficienti sono costanti). I coefficienti dipendono dalla variabile indipendente ma

D

non dalla funzione e dalle sue derivate.

Trasmissione del calore attraverso una lastra piana con sorgente interna

Riprendo le stesse ipotesi

! ! !

U R ' U R U R ' UR {t UR

| | | |

! â + + + ä + ;(9, D, G, H) = , per simmetria e

# " m m

! ! ! !

U# m Ua Um m Um s Uã !

U R |

! +

sorgente uniforme, scelgo l’equazione di Fourier monodimensionale: !

!

U!

! !

Q R ó ó !

E E

; = 0 => + = 0 → 0(9) = − + 5 9 + 5

(in regime stazionario) , con

+ ' (

!

Q! s s (

ó R:(:R ó R :R ó

E $ E ! $ E

5 = 0 5 = I + 0(9) = 9(I − 9) + 9 + 0 9(I − 9)

e => , in cui è

( ' ' '

(s A (s A (s

9

un termine parabolico, che dà flusso termico variabile con minimo in

UR ó UR

5

5 E

| (I |

J = −! = −! − 29); ; = −! =

mezzeria, massimo sulle facce: ! ;

!l;

U! (s U!

ó K R :R

E ( ! $

sviluppato in metà spessore

−! I = − K 0); 9 + 0

(calore esce in e con '

(s L A

termine lineare uguale al precedente, che dà il flusso termico costante dovuto

alle condizioni al contorno. Possiamo quindi risolvere due campi termici, uno effetto

lineare parabolico

delle condizioni a contorno (b) e uno effetto della

generazione interna (a).

!

Q R ó

5 E

+ = 0. Le condizioni al contorno si vedono dal grafico (ma non sono

!

Q! s !

ó !

E

(&)

$ = − + ) & + )

ricavate da quello, è il grafico che deriva da loro). ,

C ' (

s (

%

ó * , *

E $ $

(-)

) = 0 ) = * => , = − + . -.

con e

( ' )

(s + - -+

Regime variabile, non stazionario muro di

Prendo un sistema esemplificativo per cominciare a capire il fenomeno ->

parete piana indefinita di spessore infinito

Fourier ( ).

$ & = 0

I esempio: tutto il corpo di trova a temperatura a un dato istante la faccia in è

i

$ sollecitazione a gradino sulla faccia

portata e mantenuta a temperatura => (si

;

inizia a riscaldare dalla faccia e poi tutti gli strati sotto si scaldano, dopo che la faccia

ha ricevuto la giusta quantità di calore per scaldarsi, e così via). Da un dato istante il

campo è quindi reso disuniforme, così come la trasmissione del calore. Quindi in tutti

i punti del corpo la temperatura cambierà. Per simmetria posso utilizzare l’equazione

di Fourier monodimensionale

!

U R UR

|

0 = 2)

!

!

U! Uã

Condizioni al contorno e iniziale:

• & = 0, $ = $ ; & > 0, $ = $ 5 = 0

al tempo ;

i i :

UR

• & = 0, $ = $ ; & → ∞, → 0 5 ≥ 0 & → ∞

al tempo . Infatti, a si impone un flusso

; T

U! resistenza infinita.

nullo, perché lo spessore è infinto, e quindi c’è

La soluzione dell’equazione è veramente complicata, quindi si

cerca soluzioni per tentativi. Gauss è riuscito a trovare la

funzione errore 9(:) =

funzione di Gauss

soluzione con la ( o ):

6

- %

:6

< =: 1).

(ha asintoto orizzontale in Faccio un

∫

7

√5 !

! R:R

( L

5, &, $ → ?5, @ = ,

cambio di variabile: e butto dentro Fourier

Ö9ã R :R

: /

::: ) = A − B(C) −

ottengo: (1 la funzione errore).

: ::

* ) $ ?5. ?

A parità di profondità all’interno della parete dipende da Se è

& $ ?

grande il materiale in raggiungerà in tempi brevi. Se è grande in

5

un dato tempo la perturbazione termica raggiungerà profondità

maggiori. Ho quindi dei profili di temperatura variabili nel tempo. La

perturbazione giunge più velocemente e più in profondità se la

diffusività termica (?) è maggiore (alta conducibilità termica, bassa

densità e/o basso calore specifico). Infatti, se il materiale è

conduttore, la perturbazione viaggia perché il calore passa

velocemente da uno strato all’altro. Inoltre, se ha bassa capacità

termica, uno strato ha bisogno di poco calore per scaldarsi. $

II esempio: tutto il corpo (sempre il muro di Fourier) si trova a temperatura . A un

i

& = 0 $

certo istante la faccia è portata e mantenuta a temperatura sinusoidale

ritardo

sinusoidale della faccia).

(sollecitazione Ci sarà quindi un nell’andamento.

!

U R UR :

.

|

0 = 2) = 0, $ = $ ; & > 0, $ = $ 5 = 0 & =

Condizioni al contorno:& quando ;

! i i

!

U! Uã (ï UR T

0, $(0, 5) = $ + E sin 5 ; & → ∞, → 0 5 ≥ 0

per .

;q ; ã U!

: & = 0.

Andamento nel tempo della temperatura sulla faccia

Dopo un periodo di regime transitorio vero e proprio (circa dieci

periodi) si raggiunge un regime periodico stabilizzato. Non c’è

nessuna memoria della distribuzione iniziale della temperatura.

!

La temperatura a ogni ascissa oscilla con la stessa pulsazione

"($, &) = " +

della forzante. Il campo termico è: !"

:$% :á! l’ampiezza

* + ,-.(/ & − 1$), 2 3

dove è (o

! ! ;

smorzamento ritardo di fase

−4!

), e . Sono entrambi maggiori a

maggiore profondità. La perturbazione giunge dunque

4

all’interno attenuata e in ritardo. Entrambi dipendono da

attore di smorzamento e ritardi di fase alti 1 =

(f ), definito come

) , !

= 4 6

fl . è elevato quando è basso (scarsa attitudine a

fl

*+ -*

! 7

trasferire la perturbazione) e quando è basso (frequenza di

;

perturbazione elevata o inerzia termica elevata, avendo quindi bisogno di tanto

tempo di ritardo

8).

calore per cambiare Calcolo il , ovvero il tempo nel quale il

$% % + !

!: & = = fl

massimo della perturbazione giunge alla profondità . La velocità

. , - )/

!

! ! 2 3)/

:

9 = = ; = =fl

della perturbazione è . A parità di materiale, lo

D

ã á! á +