Appunti di Fisica Tecnica (Convezione)

POLITECNICO DI MILANO

Facoltà di Ingegneria Aerospaziale

Appunti del corso di:

Fisica Tecnica

(Convezione del Calore)

prof. A. Salerno

a cura di

Giorgio Montorfano

e

Riccardo Rota

A.A. 2013/2014

Disclaimer

(Note dagli autori)

Questa dispensa è una raccolta di appunti presi durante le lezioni del corso di Fisica Tecnica

(relativamente alla sola parte di convezione del calore), tenute dal professor Antonio Salerno

presso il Politecnico di Milano, nell'Anno Accademico 2013/2014. Essa è strutturata come una

serie di risposte ad un elenco di domande che coprono l'intero programma del corso. Tale

elenco è fornito dal professore stesso, che lo utilizza durante il colloquio orale per torchiare lo

studente valutare la preparazione dello studente.

Per questo motivo essa è da intendersi come uno strumento per seguire con più facilità le

lezioni e le esercitazioni, per ripassare velocemente prima dell'esame e per chiarire eventuali

dubbi sorti durante le spiegazioni (quelli per cui non si alza la mano per chiedere al docente,

insomma...): non è dunque assolutamente concepita come un sostituto dei libri di testo o

(soprattutto) della frequenza alle lezioni (fondamentali per comprendere e interiorizzare i

concetti).

La dispensa è frutto di un profondo impegno (spesso e volentieri quotidiano) volto ad ottenere

un risultato quanto più possibile sintetico, preciso e completo. Sfortunatamente - nonostante

la grande dedizione posta dagli autori nella stesura di questi appunti - in questo mondo non

esiste nulla di perfetto e, pertanto, anche questa dispensa sarà ben lungi dall'essere corretta e

comprensibile in ogni sua parte. Per questo motivo gli autori saranno più che felici (e

orgogliosi) di ricevere qualsiasi tipo di suggerimento e correzioni per sopperire alle carenze di

quest'opera.

Buono studio! Gli autori,

Giorgio Montorfano

Riccardo Rota

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Contatti (per info e suggerimenti):

39gmont93@gmail.com

riccardoxrota@gmail.com

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Sommario

Descrizione degli argomenti trattati ........................................................................................................ II

Convezione ............................................................................................................................................ 1

1. Definizione di viscosità dinamica e cinematica. ........................................................................................ 1

2. Convezione forzata: numeri di Nusselt, Reynolds, Prandtl. ...................................................................... 1

3.a. Convezione forzata su lastra piana: definizione di strato limite. ........................................................... 2

3.b. Convezione forzata su lastra piana: relazioni semi-empiriche per lo scambio termico. ........................ 3

4. Convezione dentro i tubi. .......................................................................................................................... 3

5.a. Convezione dentro i tubi: calcolo di T a costante. ............................................................................ 4

5.b. Convezione dentro ai tubi: calcolo di T a Ts costante. ........................................................................... 4

6. Convezione naturale: fenomenologia, condizioni necessarie, numero di Rayleigh, esempi. ................... 4

7. Tipologia e problemi degli scambiatori di calore. ..................................................................................... 5

8. Relazioni di scambio termico per scambiatori di calore in equicorrente e in controcorrente. ................ 6

9.a. Efflussi da serbatoi e equazione di Hugoniot. ........................................................................................ 7

9.b. Determinazione delle condizioni di blocco sonico. ................................................................................ 8

prof. A. Salerno I A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Descrizione degli argomenti trattati

1. Convezione.

Caratteristiche. Convezione forzata all’esterno di superfici e all’interno di condotti: fe-

nomenologia, numeri adimensionali di Reynolds, Nusselt, Prandtl, e uso di correlazioni

adimensionali. Temperatura di miscelamento adiabatico e suo andamento lungo un condotto;

differenza media logaritmica di temperatura. Introduzione alla convezione naturale, numeri

adimensionali di Grashof e Rayleigh. Scambiatori di calore: classificazione, andamento delle

temperature negli scambiatori equicorrente e controcorrente; potenza massima ed efficienza.

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Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Convezione

La convezione è caratterizzata da un trasposto di energia simultaneo a un trasporto di materia, dovuti al

rimescolamento di parti più fredde con parti più calde. La convezione può essere naturale (flusso d’aria in

corrispondenza di una parete calda) o forzata (ventola che raffredda componenti interni di un computer),

quando viene imposta la velocità del flusso.

1. Definizione di viscosità dinamica e cinematica.

La viscosità dinamica è una grandezza fisica che quantifica la resistenza dei fluidi allo scorrimento. A

causa della viscosità, un corpo in moto immerso in un fluido tende ad essere rallentato fino a fermarsi. Per

far sì che questo corpo si muova con velocità costante, è necessario applicare una forza che direttamente

proporzionale alla superficie A del corpo a contatto con il fluido e alla sua velocità w e inversamente

proporzionale alla distanza d tra il corpo e un piano fisso, in corrispondenza del quale il flusso ha velocità

nulla. Tale forza risulta quindi pari a:

è detto coefficiente di viscosità e determina una distribuzione di velocità abbastanza lineare, che

cresce all’aumentare della distanza, da zero in corrispondenza del piano fisso fino alla velocità asintotica o

indisturbata , lontano dal corpo.

Considerando un tratto infinitesimale di distanza :

dove il segno meno è dovuto al fatto che la forza deve essere applicata a quella frenante della viscosità e

quindi agisce in verso opposto alla velocità.

Dividendo per l’area di ottiene la tensione tangenziale:

La viscosità cinematica è definita come il rapporto tra la viscosità dinamica e la densità del fluido ed è

una misura della resistenza a scorrere di una corrente fluida sotto l'influenza della gravità.

2. Convezione forzata: numeri di Nusselt, Reynolds, Prandtl.

I numeri di Nusselt, Reynolds e Prandtl sono ricavati tramite relazioni semi-empiriche, sono cioè leggi

empiriche che trovano in parte un riscontro teorico.

Il numero di Reynolds esprime il rapporto tra l’energia delle forze di massa (cioè l’energia cinetica) e

l’energia delle forze viscose agenti su di un fluido.

In realtà il coefficiente ½ è insignificante poiché il numero di Reynolds indica semplicemente un ordine di

grandezza.

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Quindi:

Il numero di Prandtl esprime invece il rapporto tra la diffusione della quantità di moto e la diffusione di

calore in un fluido.

dove è la diffusività termica e la viscosità cinematica.

Il numero di Prandtl è molto piccolo per i metalli liquidi, molto alto per gli oli.

Il numero di Nusselt esprime il rapporto tra la potenza termica convettiva e quella conduttiva.

essendo:

Il numero di Nusselt è l’equivalente del numero di Biot per i fluidi. Inoltre esso risulta, empiricamente,

dipendere direttamente dai numeri di Reynolds e di Prandtl.

3.a. Convezione forzata su lastra piana: definizione di strato limite.

Lo strato limite termico è definito come la zona entro la quale si esaurisce il 99% delle variazioni di

temperatura. Lo strato termico fluidodinamico è definito come la zona entro la quale si esaurisce il 99%

delle variazioni di velocità: al di fuori di questa zona il flusso è indisturbato e ha velocità asintotica.

Lo strato limite è causato dalla viscosità del fluido. Per il principio di aderenza, la velocità di un fluido è nulla

in prossimità della lastra e aumenta con la distanza. Se tale aumento è all’incirca lineare e la velocità è

sempre parallela a quella asintotica, lo strato limite è definito laminare; se invece la velocità può avere

tutte le direzioni possibili (anche indietro) allora lo strato limite è detto turbolento. Tuttavia, in prossimità

della lastra, il moto è sostanzialmente laminare anche nella zona di strato limite turbolento: si ha perciò un

sottostratolaminare.

Per una lastra piana, la transizione da strato limite laminare a turbolento si ha sempre al medesimo numero

di Reynolds, detto numero di Reynolds critico.

Sempre nel caso di una lastra, il numero di Reynolds è espresso nella seguente forma:

Inserendo il valore critico, è possibile ricavare il punto, dall’estremo della lastra, in cui avviene la transizione

da moto laminare a turbolento.

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3.b. Convezione forzata su lastra piana: relazioni semi-empiriche per lo scambio termico.

Le relazioni semi-empiriche permettono di trovare per il caso di una lastra piana il numero di nusselt in

funzione dei numeri di Reynolds e Prandtl per mezzo di una legge della quale è necessario trovare

sperimentalmente i valori ma che è sempre la stessa, caso per caso.

Nel caso di lastra piana con temperatura imposta e regime laminare, si ha che:

Calcolando un coefficiente di convettività termica medio per mezzo di un integrale sulla lunghezza della

lastra, si ottiene un numero di Nusselts medio , poiché esso dipende direttamente dal coefficiente di

convettività termica.

Una volta determinato è possibile ricavare anche lo scambio termico tra il fluido e il corpo immerso in

esso:

Nel caso di lastra piana con temperatura imposta e moto turbolento:

Nel caso di lastra piana con flusso imposto:

Nel caso di flusso combinato bisogna innanzitutto considerare il numero di Reynols: se è minore del valore

critico si considera il flusso in regime laminare; se invece risulta maggiore del valore critico è necessario

studiare separatamente i due casi di regime laminare e turbolento e sommare i risultati ottenuti.

In particolare:

4. Convezione dentro i tubi.

Nel caso di flusso dentro ad un tubo, se la velocità w è molto piccola, il moto delle particelle è laminare,

se invece la velocità w è elev