Appunti di Fisica Tecnica (Conduzione)

Istituendo ancora un parallelo con l’elettrotecnica, si ha che:

che è l’espressione delle resistenza termica nel caso di un cilindro cavo.

4. Ricavare espressione di T per cilindro pieno con generazione di potenza. (Simmetria

cilindrica)

Per cilindro pieno con generazione di potenza si può considerare il caso di un filo elettrico percorso da

corrente I . In tal caso:

0

Partendo dall’equazione di Fourier:

Considerando una situazione stazionaria, il termine a sinistra è nullo, mentre

L’equazione di Fourier diventa quindi:

Le condizioni al contorno sono invece:

1. La prima condizione pone una limitazione sullo scambio termico sulla superficie del cilindro, cioè

quando : in corrispondenza di essa, lo scambio per conduzione (all’interno del cilindro) devo

essere uguale a quello per convezione (all’esterno del cilindro).

prof. A. Salerno - 5 - A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

2. La seconda condizione pone una limitazione al centro del cilindro. Per simmetria deve essere che:

Inoltre viene escluso dal ragionamento perché per tale condizione non esistono soluzioni

fisiche.

Integrando l’equazione di Fourier una volta e divido il risultato per il raggio (supposto diverso da zero):

Integrando una seconda volta si ottiene:

Consideriamo le condizioni al contorno:

a) se , allora , a seconda del valore che assume la costante A.

Ovviamente nella realtà questo non può avvenire: di conseguenza è lecito porre .

Per ottenere lo stesso risultato basta imporre la condizione .

②

b) B, invece dipende dalle condizioni al contorno. Applicando quindi la condizione :

①

Ponendo e valutando in :

Si ricava B:

Raccogliendo tutti i risultati ottenuti, si ottiene l’andamento della temperatura in funzione del raggio:

5. Problema del raggio critico.

Considerando un cilindro ricoperto di uno strato di isolante, può essere interessante trovare a quale

distanza dal centro si ha il massimo della dissipazione termica. Tale problema prende il nome di raggio

critico.

Si consideri il raggio del cilindro e il raggio del rivestimento di isolante; è la temperatura al centro

del cilindro e è la temperatura all’esterno del rivestimento.

Istituendo ancora un parallelo con l’elettrotecnica, sia ha che:

prof. A. Salerno - 6 - A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Il primo termine fra parentesi al denominatore corrisponde alla resistenza cilindrica; il secondo termine alla

resistenza convettiva (esternamente all’isolante).

Si noti che all’aumentare di (cioè all’aumentare dello spessore dell’isolante), la resistenza cilindrica

aumenta: questo fa sì che anche lo scambio convettivo aumenti, a causa di una maggiore superficie di

scambio; diversamente, la resistenza convettiva diminuisce.

Per trovare i punti di massimo e minimo di basta studiare il denominatore. Derivandolo rispetto a :

Il massimo della dissipazione termica si ha quando corrisponde al raggio critico e cioè quando:

Inserendo alcuni valori tipici di h e k, però, si nota che il raggio critico risulta pari a qualche millimetro. Per

questo motivo il problema del raggio critico si riscontra maggiormente in campo elettrico: la guaina plastica

intorno al cavo aiuta a disperdere meglio il calore prodotto dall’effetto Joule, favorendo così a mantenere

la temperatura bassa.

6. Problema del corpo con Bi<<1 immerso in un fluido a temperatura costante.

Il numero di Biot (Bi) rientra tra i gruppi adimensionali usati in fluidodinamica e rappresenta il rapporto

tra lo scambio termico con l'esterno e la conduzione termica interna.

Molti problemi termocinetici possono essere risolti semplicemente se si ipotizza che la resistenza interna di

un corpo sia piccola rispetto a quella verso l'esterno. Questa ipotesi, che si traduce dal punto di vista

numerico in un , permette di approssimare la distribuzione di temperatura sulla superficie come

uniforme: tutto il calore che arriva sul corpo è distribuito velocemente in tutto il corpo, con la conseguenza

che la differenza di temperatura tra superficie e centro tende a zero. Diversamente, se il numero di Biot è

grande, il calore si propaga con difficoltà nel corpo, determinando una differenza di temperatura non

trascurabile. Perché sia abbia , è necessario che k sia grande, mentre h ed L siano piccoli: ciò

significa che le scambio termico conduttivo deve essere molto maggiore dello scambio termico convettivo.

Nel caso di una sfera, L corrisponde al diametro, mentre in un corpo qualsiasi al diametro equivalente di

valore .

Si consideri il caso di un corpo con investito da un fluido. Allora l’equazione di Fourier per questo

caso è:

Le equazioni al contorno sono invece:

In particolare, la prima condizione al contorno dice che tutto il calore ottenuto tramite convezione se ne va

in conduzione attraverso il corpo; la seconda è la condizione iniziale.

prof. A. Salerno - 7 - A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Integrando sul volume l’equazione di Fourier, si ottiene:

Applicando il teorema della divergenza, si ha che:

Applicando ora la formula del gradiente, si ottiene:

Inoltre, poiché il volume non cambia nel tempo:

dove è detta temperatura media di volume ed è espressa come:

Successivamente a questi passaggi, si può scrivere che:

Considerando però la prima condizione al contorno, l’equazione diventa:

Definendo la temperatura media di superficie come

e tenendo conto che , si ottiene:

Applicando la condizione che , allora .

Di conseguenza, l’equazione diventa:

Integrando a sinistra per dT e a destra per dt, si ha:

Introducendo la costante di tempo definita come:

prof. A. Salerno - 8 - A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

la soluzione dell’equazione differenziale diventa:

Applicando la condizione iniziale se , si ottiene il valore della costante c:

L’espressione della temperatura del corpo considerato in funzione del tempo, risulta quindi essere:

e cioè:

Considerazione

Dire fin da subito che implicherebbe un laplaciano della temperatura nullo con la

conseguenza che il primo termine dell’equazione di Fourier si annullerebbe. Questo renderebbe necessario

considerare la temperatura costante nel tempo ma ciò è ovviamente falso. L’errore nasce nell’applicare

all’equazione differenziale, che è un’espressione puntuale, un’approssimazione che vale sul volume e solo

macroscopicamente.

7. Problema del corpo con Bi<<1 immerso in un fluido a temperatura variabile

sinusoidalmente nel tempo.

Si consideri il caso precedente, ma con la differenza che la temperatura vari sinusoidalmente nel tempo.

Allora, si ha che:

Sostituendo le ultime due equazioni nella prima, si ottiene:

Semplificando:

dove la costante di tempo è definita come:

Infine si può ricavare il valore di :

Sostituendo il risulta nell'espressione della temperatura, si ottiene:

prof. A. Salerno - 9 - A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

La seconda scrittura risulta più chiara, poiché rende esplicita la presenza di uno sfasamento. Infatti se

il suo valore è trascurabile; se invece non è trascurabile, la temperatura risulta sfasata.

8. Soluzione del problema dell’aletta sottile.

Da un punto di vista convettivo il flusso è definito come:

Per aumentare la quantità di calore scambiato si può agire sia su h che su S. In particolare si può agire sulla

superficie S creando delle superficie estese, come le alette o le piolature.

Le alette sottili generalmente sono caratterizzate da lunghezze molto maggiori delle dimensioni trasversali

e da numeri di Biot Bi piccoli se riferiti alle dimensioni trasversali. In tal modo il calcolo della potenza

termica scambiata si riduce ad un problema di conduzione monodimensionale.

La varie condizioni sono:

La prima condizione deriva dall'equazione di Fourier in cui la derivata della temperatura rispetto al tempo è

nulla poiché si tratta di un caso in regime stazionario e la potenza generata all'interno dell'aletta è

anch'essa nulla. La quarta condizione sottolinea la simmetria rispetto all'asse x. Inoltre è il semispessore

dell'aletta.

Integrando la prima equazione sul semispessore:

Il secondo termine è stato ricavato applicando la quinta condizione, mentre il terzo è nullo, a causa della

quarta condizione.

Definendo la temperatura media di spessore lungo y:

Sostituendo la temperatura media di spessore e la quinta condizione, si ottiene:

prof. A. Salerno - 10 - A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Ma poiché si considera il caso in cui , allora e quindi il problema diventa:

Si attua ora una adimensionalizzazione. Si pone:

Di conseguenza, sostituendo, il problema diventa:

dove è il numero di Biot longitudinale.

Ponendo inoltre:

l'integrale generale dell'equazione differenziale diventa:

Imponendo le condizioni iniziali:

La soluzione sarà pertanto:

Osservando l'andamento di in funzione della lunghezza dell'aletta stessa, risulta poco utile costruire

alette con materiali che conducono poco. Inoltre se è troppo elevato, c'è un lungo tratto di aletta che

scambia poco, a causa di una differenza di temperatura con l'esterno troppo bassa: le alette vanno quindi

dimensionate in modo adatto.

Il flusso termico non passa per l'asse di simmetria. Inoltre, per calcolarlo, il modo più semplice è quello di

calcolare il flusso attraverso la dell'aletta: il flusso che entra attraverso la sezione di base, deve poi uscire

attraverso tutta la superficie dell'aletta.

Tuttavia, poiché , si può scrivere che:

prof. A. Salerno - 11 - A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Sostituendo, risulta che:

Si definisce efficienza dell'aletta il rapporto tra il flusso per unità di profondità e il flusso in un caso ideale,

cioè quando tutta l'aletta si trova alla temperatura alla base, cioè quando .

Poiché:

si trova un'espressione alternativa dell'efficienza:

L'efficienza non è un parametro di merito: se è elevato non significa necessariamente avere una buona

aletta. Infatti, se vuol dire che l'aletta è troppo corta.

L'efficacia è definita come il rapporto tra la potenza scambiata per unità di profondità e la potenza che si

scambia senza l'utilizzo dell'aletta.

In altra parole, l'efficacia indica quanto