Appunti di fisica sperimentale, prof. Samuele Straulino

I simboli di ordinamento

140 < 142> 21 1>10 1024 > 83<210,3 < 34 < 1,53 2 2>3 3200 < 201000 < 100

Le unità di misura

1k m = 10h m = 100d a m = 1000m1m m = 0,1cm = 0,01d m = 0,001m3

• 311m = 110d m FALSO
• 36cm = 0,06d m VERO
• 7,5cm = 0,075m VERO
• 4,2k m = 4200m VERO
• 380d m = 80L VERO
• 47m m = 0,74m FALSO

Aree e volumi

280x100cmArea di un tavolo = 2

28x10m = 80mArea di un appartamento = 2

20x 20cm = 400cm = 4d m = 0,04mArea di una mattonella = 280m

Se in un appartamento di ci sono 80 mattonelle: 280m 80 100m = = = 80 × = 20000,04m

Calcolo della distanza

1 : 5.500.000Una carta geometrica ha una scala di . Se calcolo una distanza da Roma a Firenze4cm k mdi , quanta è la distanza in ?d = 4cm × 5.500.000 = 22.000.000cm = 220.000m = 220k m

Espressioni numeriche

3 1 5 1+ = = 1 + = 1,254 2 4 45 1 5 − 2 3 1− = = =6 3 6 6

23 2 1 1 1× + = + =14 3 2 2 2

( ) ( )1 6 − 1 53 − × 2= × 2= × 2=52 2 2

Spessore dei fogli

n 50m m s nLo spessore di 50 fogli ( ) A4 è di ( ). Qual è lo spessore del singolo foglio ( )?1 1 2s = 50m m1n = 501 5m ms = = 0,1m m2 50

5cm sQuanti fogli ci sono in una risma di spessore ( )?3s = 5cm3 5cm 50m mn = = = 5003 0,1m m 0,1m m

Calcolo del numero di chiodi

100g 0,5g 100gCi sono di chiodi e un chiodo pesa . Quanti chiodi ci sono in ?M = 100gm = 0,5g100gn = = 2000,5g

Percentuali

2% di 50€ = 1€10% di 70€ = 7€

60kg 12kg20% di =Un oggetto costava 64€. Se il costo è aumentato del 20%, qual è il prezzo attuale?64€ × 1,20 = 76,80€

90kgUna persona pesava . Essendo dimagrita del 10%, quanto pesava prima?1010% = = 0,1100m = 90kg × 0,9 = 81kg

270gIn una torta per 6 persone servono di farina. Quanta farina serve per 8 persone?270g : 6 = x : 8x × 6 = 270g × 8x = 270g × 6x = 360g

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Due grandezze A e B sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante.Due grandezze A e B sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante.a = kba × b = k

Esercizio

Per costruire un muro, 5 operai impiegano 12 ore di lavoro. Quanto tempo sarebbe necessario per lo stesso lavoro degli operai fossero 3?n = 5 t = 12h1 1n = 3 t = ?2 25 × 12h = 3 × x5 × 12hx = = 20h3

Le potenze

3² =2 × 2 × 2² = 2 × 25

(3+2)² = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 = 25

30² = 1 310 10 × 10 × 10

1−2¹⁰ = = = 0,0110 10 × 10 × 10 × 10 × 10 105

235370 = 5,37 × 10−20,021 = 2,1 × 10

Somma di potenze con esponente diverso

2,21 × 10³ + 1,2 × 10³ = 2,21 × 10³ + 0,12 × 10³ = 2,33 × 10³

Prefissi e unità di misura

• G giga
• M mega
• K kilo
• m milli
• μ micro
• n nano

Calcolo della capacità di una chiavetta USB

2,5MB yteUna macchina fotografica digitale genera foto di ciascuna. Quante ne entrano in una16GB ytechiavetta USB di ?916 × 10 B yte 3n = = 6,4 × 10 = 64002,5 × 10 B yte6

Le equazioni di primo grado

2x − 1 = 02x − 1 + 1 = 0 + 12x = 12x 1=2 2 31x = 25 − 2x = x + 25 − 2x + 2x = x + 2x + 25 = 3x + 25 − 2 = 3x + 2 − 23 = 3x3 3x=3 31= xx =1

Il piano cartesiano

y = m x + qL’equazione di una retta sul piano cartesiano è . y = 2x − 3Un esempio di retta su un piano è .

Per cercare la retta sul piano, si costruisce una tavella e si assegnano dei valori a x e y.

Successivamente si rappresentano sul piano cartesiano. q è il termine noto che ci dice in quale punto dell’asse delle ordinate (y) la retta passa. m è il coefficiente angolare che ci dice quanto è inclinata la retta rispetto all’asse delle ascisse (x).

Il Sistema Internazionale

La fisica si occupa di descrivere gli aspetti misurabili della realtà. La fisica si basa sull’osservazione e sulla misura. Fino al Seicento, la fisica era semplicemente un capitolo della filosofia e mancava la descrizione matematica. Da Galileo in poi e la rivoluzione scientifica, la matematica ha fatto la sua comparsa nella fisica.

Le grandezze fisiche sono misurabili. Misurare significa fare un confronto. Nel mondo ci sono tantissime grandezze che non sono fisiche, come la bellezza. Una grandezza fisica è una grandezza misurabile. Tutte le grandezze fisiche hanno bisogno di una definizione operativa, cioè quando le misuro devo definire uno strumento di misura e una procedura.

Grandezze fondamentali

• L: la lunghezza (m)
• M: la massa (kg)
• T: il tempo (s)

Il Sistema Internazionale (SI) ha scelto le grandezze fondamentali:

• per la lunghezza è il metro (m);
• per la massa è il chilogrammo (kg);
• per il tempo è il secondo (s).

Il concetto di massa è spesso confuso con il concetto di peso. Innanzitutto, si sceglie la massa e non il peso perché la massa è un’unità fondamentale ed è stabile. Il peso è la proprietà che ci dice quanto l’oggetto è attratto dalla terra. Il peso cambia da luogo a luogo ed è un’unicità dell’ambiente terrestre.

Oltre alle grandezze fondamentali, esistono le grandezze derivate, che sono una combinazione delle grandezze fondamentali. Un esempio di grandezza derivata è la densità. La densità del corpo è il rapporto tra massa e volume. Se il corpo è abbastanza grande, sarebbe bene dire “densità media” perché può non essere costante in tutto il corpo. La densità è direttamente proporzionale alla massa e inversamente proporzionale al volume. Essa si misura in kg/m³.

Densità dell'acqua

L’acqua è più densa dell’olio. L’olio è meno denso dell’acqua perché l’olio galleggia. La densità dell’acqua dipende dalla temperatura. Se si considera a 20 gradi, che è la temperatura ambiente, allora d(H₂O) = 0,998 g/cm³ ed è quindi molto vicino a 1 g/cm³.

Nel sistema internazionale, la densità dell’acqua è espressa come 10^-3 kg/m³ = 1000 kg/m³.

La densità dell’acqua si può anche esprimere: d(H₂O) = 1 g/cm³.

La densità dell’acqua si può quindi esprimere in tre modi: 1 g/cm³, 1000 kg/m³, 1 kg/dm³.

Esercizio

Supponiamo di avere un cubetto di alluminio di lato 2 cm. La massa è 22 g. Qual è la densità dell’alluminio?

V = l³ = 2 cm × 2 cm × 2 cm = 8 cm³

d = M / V = 22 g / 8 cm³ = 2,75 g/cm³

Strumenti di misura e incertezze di misura

Le caratteristiche di uno strumento di misura sono la portata e la sensibilità. La portata è il valore massimo che lo strumento può misurare. La sensibilità è il minimo valore che uno strumento può apprezzare (ad esempio, in una bilancia molto precisa la sua sensibilità può essere 0,01 g, per un righello può essere 1 mm o ancora per un cronometro digitale può essere 1 centesimo di secondo).

In fisica non esistono misure esatte e quindi possono esserci delle incertezze di misura. Tutte le misure sono sempre soggette ad errore. Gli errori possono essere di due tipi:

• Accidentali (o casuali), che si verifica quando si misura, ad esempio, quanto un oggetto impiega a cadere un oggetto di 3 metri. Se si misura tante volte, non avremo sempre la stessa misura. Ciò dipende alla prontezza dei nostri riflessi. Gli errori accidentali non vanno sempre nella stessa direzione poiché in alcuni casi tendono ad aumentare la misura, mentre in altre a diminuirla. Con la media aritmetica si può cercare di risolvere questo errore;
• Sistematici, che derivano da una cattiva calibrazione dello strumento. Un cronometro che va un po’ troppo veloce misura dei tempi non esatti e quindi è necessario un altro cronometro per confrontare le misure ottenute. Gli errori sistematici vanno sempre in un senso: se una bilancia segna meno di quanto dovrebbe, segnerà meno anche per tutti gli altri oggetti che ci si metterà sopra.

Errore assoluto e relativo

Ogni grandezza è soggetta ad errore e ciò lo possiamo scrivere come ±x = x ± Δx.

Δx è la differenza tra il valore massimo e il valore minimo diviso per 2: Δx = (x_MAX − x_MIN) / 2.

Esempio

Una lunghezza potrebbe essere: ±l = (27,1 ± 0,1) cm. Il risultato della lunghezza può essere qualsiasi valore compreso tra 27 e 27,2.

In alcuni casi si introduce l’incertezza relativa che è Δx / x. Questa non ha nessuna unità di misura perché è un rapporto. È quindi un numero puro che deve essere minore di 1 perché se fosse maggiore di 1 vorrebbe dire che è più grande l’incertezza della misura stessa e quindi è una misura che non avrebbe significato. Quindi Δx / x < 1.

Esempio

Se misuro una lunghezza ±l = (100 ± 1) m, l’errore assoluto o incertezza assoluta è Δl = 1 m. L’incertezza relativa deve essere invece minore di 1 e in questo caso si avrà: Δl / l = 1/100 = 0,01. Questo può essere scritto anche come 1% e quindi l’incertezza relativa è dell’1%.

Esperimento

1 dm³ = 1 l ha validità generale. m(1 l) = 1 kg non ha validità generale ma dipende dalla sostanza che si sta utilizzando e quindi m(1 l) = 1 kg è valido solo per l’acqua.

Propagazione delle incertezze

Se si fanno delle operazioni matematiche su delle grandezze fisiche che hanno un’incertezza, come si propaga sul risultato finale?

Esercizio

Un quadrato ha un lato di ±(100 ± 1) m.

p = 4l = l + l + l + l = 100 + 100 + 100 + 100 = 400 m

p_MAX = 101 + 101 + 101 + 101 = 404 m

p_MIN = 99 + 99 + 99 + 99 = 396 m

Δp = (p_MAX − p_MIN) / 2 = (404 − 396) / 2 = 4 m

±p = (400 ± 4) m

A = l × l = l² = 100 × 100 = 10,000 m²

ΔA_MAX = 101 × 101 = 10,201 m²

ΔA_MIN = 99 × 99 = 9,801 m²

ΔA = (A_MAX − A_MIN) / 2 = (10,201 − 9,801) / 2 = 200 m²

±A = (10,000 ± 200) m²

Regola delle cifre significative

Le incertezze si scrivono sempre con una cifra significativa. Ad esempio, non ha molto senso scrivere ±x = 275.16 ± 2.37. Ha più senso scrivere ±x = 275 ± 2. In questo caso, l’incertezza è sulle unità e quindi decimi e centesimi si possono eliminare. Si avrà dunque ±x = 275 ± 2.

Inoltre, non è molto elegante scrivere ±A = (10,000 ± 200) m², ma è più opportuno scrivere ±A = (10,000 ± 2 × 10²) m².

In un numero ci sono cifre certe e cifre incerte. Prendendo ±p = (400 ± 4) m, nel numero 400, il 4 è certo e lo 0 è certo, mentre lo 0 finale è soggetto all’incertezza.

Il numero delle cifre significative è il numero delle cifre certe più la prima incerta.

Esercizio

Nel caso della sottrazione, supponiamo di avere delle pesate con una bilancia.

La massa è ±m₁ = (120 ± 1) g

La tara è ±m₂ = (80 ± 1) g

Quanto è il netto? M = m₁ − m₂ = 40 g

La massa massima è M_MAX = M_1MAX − M_2MIN = 121 − 79 = 42 g.

La massa minima è M_MIN = M_1MIN − M_2MAX = 119 − 81 = 38 g.

ΔM = (M_MAX − M_MIN) / 2 = (42 − 38) / 2 = 2 g

Esercizio del cubetto

Nel caso del rapporto, supponiamo di avere un cubetto di alluminio di:

±l = (5,0 ± 0,1) cm

±m = (340 ± 1) g

V = l³ = 125 cm³

V_MAX = (l_MAX)³ = 5,1³ = 132,7 cm³

V_MIN = (l_MIN)³ = 4,9³ = 117,6 cm³

ΔV = (V_MAX − V_MIN) / 2 = (132,7 − 117,6) / 2 = 7,55 cm³ ≈ 8 cm³

±V = (125 ± 8) cm³

d = m / V = 340 g / 125 cm³ = 2,72 g/cm³

d_MAX = 341 g / 117 cm³ = 2,91 g/cm³

d_MIN = 339 g / 133 cm³ = 2,55 g/cm³

Δd = (d_MAX − d_MIN) / 2 = 0,18 ≈ 0,22 g/cm³

±d = 2,7 ± 0,2 g/cm³

Determinazione delle incertezze

Le incertezze si determinano in due modi:

• A priori, cioè prima di fare una misura e quindi si valuta sulla base dello strumento utilizzato per le misure o sulla capacità dello sperimentatore di apprezzare una piccola variazione della quantità da misurare;
• A posteriori, cioè dopo aver fatto la misura.

Esempio

5 bambini misurano l’altezza di un tavolo. I valori sono:

• 78,1
• 78,0
• 77,8
• 78,0
• 77,7

h_m = (78,1 + 78,0 + 77,8 + 78,0 + 77,7) / 5 = 77,92 cm

Δh = (h_MAX − h_MIN) / 2 = (78,1 − 77,7) / 2 = 0,2 cm

±h = (77,9 ± 0,2) cm

Esercizio

Un sasso viene immerso in un recipiente d’acqua. Se prima di immergere il sasso il recipiente con l’acqua misurava 150 ml e dopo misura 160 ml, quanto è il volume del sasso in cm³?

1 l = 1 dm³, 1 ml = 1 cm³, quindi V_SASSO = 10 cm³.

Il moto

Il moto è relativo, nel senso che per descrivere un movimento occorre un sistema di riferimento, nel nostro caso è quello cartesiano. Un altro concetto che si usa nella descrizione di un moto è la traiettoria. La traiettoria è l’insieme delle posizioni occupate da un oggetto in moto in successivi stadi di tempo rispetto al sistema di riferimento scelto. Nello studio del moto ci mettiamo in due condizioni semplificative:

• Noi studiamo il moto di oggetti molto piccoli chiamati punti materiali. Ad esempio, se studiamo il moto dell’automobile, studiamo l’automobile come un punto che si muove sulla strada. Ciò si fa perché se si studiasse il moto interno agli oggetti la questione sarebbe più complicata;
• Noi studiamo il moto rettilineo, cioè che avviene lungo una linea retta.

s t sono le posizioni, mentre t sono i tempi. Se si stabilisce una relazione tra s e t, allora sarà possibile capire come si muove l’oggetto, cioè come avviene il moto.

Velocità media

Quando si parla di moto, dobbiamo definire il concetto di velocità. La velocità media si definisce come: v_m = Δs / Δt.

Δs = s₂ − s₁

Δt = t₂ − t₁

Δ mantiene il significato di variazione o di differenza di valori.

v_m = (s₂ − s₁) / (t₂ − t₁)

s è la posizione, mentre Δs è la differenza tra due posizioni e la definiamo quindi come uno spostamento o lo spazio percorso da un oggetto. Le unità di misura della velocità sono m/s nel sistema internazionale, ma in molti casi km/h.

Esercizio

Un bambino va a scuola a piedi in 12 minuti. La scuola è distante 1 km da casa sua. Qual è la velocità media del bambino?

Δt = 12 min

Δs = 1 km = 1000 m

v_m ≈ 1,3 m/s

Se voglio calcolare in m/s, allora v_m = 1000 m / (12 × 60 s) = 1,3 m/s.

Se voglio calcolare in km/h, allora v_m = 1 km / 12 min × 60 min/h = 5 km/h.

Conversioni di velocità

Come si passa da m/s a km/h? Calcoliamo ad esempio a quanti km/h equivalgono 72 m/s. v = 72 m/s = 72 × (1000 m/1 km) / (1 s/3600 s/h) = 259,2 km/h.

Come si passa da km/h a m/s? Calcoliamo ad esempio a quanti m/s equivalgono 15 km/h. v = 15 km/h = 15 × (1000 m/1 km) / (3600 s/1 h) = 4,17 m/s.

Esercizio

Il bambino dell’esercizio precedente viene accompagnato a scuola dalla mamma con l’automobile. Quanto tempo impiega se la velocità media è di 30 km/h?

v = 30 km/h

Δt = ?

Come faccio a calcolare il tempo impiegato? Lo ricavo dalla formula della velocità: v = Δs / Δt.

Δt = Δs / v

Δt = 1 km / 30 km/h = 0,0333 h = 2 min