Appunti di fisica sperimentale, prof. Samuele Straulino

T T T

2 3

T = k a

tutti i pianeti, si può scrivere la terza legge di Keplero anche per Venere: . Adesso

V V

2 3

T d

V V

=

scriviamo il rapporto tra le due espressioni: . Per ricavare la durata dell’anno di Venere,

T d 3

2

T T

2

T

vogliamo ricavare e quindi:

V

3 3 24

d (1,08) × 10

V

2 2 2 4 2

T = × T = × 365 = 4,9 × 10 (gior ni )

V T

d (1,59) × 10

3 3 24

T 4 2

T = 4,9 × 10 gior ni ≃ 2,2 × 10 gior ni ≃ 220gior ni

V La legge della gravitazione universale di Newton m

La legge della gravitazione universale di Newton afferma che fra due corpi puntiformi di massa 1

m r

e posti a distanza si esercita una forza attrattiva pari all'espressione descritta dalla formula

2 m × m

1 2

F = G × G

, dove è una costante, anche detta costante di gravitazione universale.

r 2 G

Questa formula è innovativa perché è estremamente generale. Il valore di è molto piccolo e la

forza attrattiva è poco intensa sulla Terra. Se consideriamo questa legge applicata ai corpi celesti,

G

le masse sono di una grandezza tale che fa sì che questa forza sia percepibile. è una costante

2

Nm

−11

6,67 × 10

che nel SI vale .

kg 2 m = 1kg m = 1kg r = 1m

Immaginiamo due corpi che abbiano , e , allora

1 2

1 × 1

−11 −11

F = 6,67 × 10 = 6,67 × 10 N = 0,0000000000667N

. Tale forza è molto piccola e

1

2

assolutamente impercettibile che ci consente di capire che nella nostra vita quotidiana noi non

abbiamo esperienza di questa forza nelle interazioni tra due corpi, ma ne abbiamo esperienza

nelle interazioni tra un corpo (come può essere una bottiglietta d’acqua) e la Terra.

⃗ ⃗

m m m m m m

I due corpi e interagiscono tra loro e l'azione è reciproca: attrae e attrae . Le

1 2 1 2 2 1

F F

due forze possiamo chiamarle e .

1,2 2,1

Disegniamo la forza che il corpo 1 applica sul corpo 2 e la forza che il corpo 2 applica sul

corpo 1: ⃗ ⃗

F = − F

Le forze hanno la stessa direzione e verso opposto e quindi .

2,1 1,2 ⃗

m × m ⃗

1 2

F = G × F = m a

Le formule viste fino ad adesso che contengono la massa sono e .

r 2

⃗ ⃗

F = m a F m

Nella formula , si applica una forza ad un corpo di massa . La forza è costante e si

ottiene come risultato un’accelerazione costante. L’accelerazione è direttamente proporzionale

alla forza e inversamente proporzionale alla massa. Questo vuol dire che la massa ci dice quanto

è difficile accelerare un corpo. 52

m × m

1 2

F = G ×

Nella formula , invece, il significato della massa è diverso perché, in questa

r 2

seconda formula, più grande è la massa e maggiore è la forza con cui due corpi si attraggono.

Sono due formule esattamente una l’opposto dell’altra.

La massa che compare nel secondo principio della dinamica è chiamata massa inerziale, mentre

la massa che compare nella gravitazione è chiamata massa gravitazionale.

Anche essendo due quantità in linea di principio diverse, tutti gli esperimenti dicono che la massa

m = m

gravitazionale è uguale alla massa inerziale e quindi .

g i

Disegniamo la terra con degli oggetti che hanno una massa e disegniamo anche le forze peso di

queste masse:

La forza peso sarà diretta sempre verso il centro della Terra.

m × m

1 2 m M

F = G ×

Riprendendo la formula , scriviamo al posto di la massa della terra ( ), al

1 T

r 2

m m

posto di la massa di un oggetto ( ) e come distanza quella tra l’oggetto e il centro della Terra

2

(secondo il Teorema di Gauss, infatti, tutta la massa è concentrata al centro della Terra), cioè il

M × m

T

R F = G ×

raggio della Terra ( ). Quindi: . Nella formula, ci sono molte costanti e per

T R 2

T ( )

G × M G × M

T T

F = m

questo cerchiamo di isolare le costanti dentro una parentesi: . è

R R

2 2

T T

2

Nm kg N

× =

g F = m a

uguale a e si misura come . Se pensiamo alla formula , dove

kg m kg

2 2

F N g

a = a =

, e quindi è effettivamente un’accelerazione.

m kg G × M

T

g = M

In altre parole, . Da qui possiamo determinare la massa della Terra , poiché

T

R 2

T

conosciamo già le altre costanti.

2

gR = GM

T

T 2

gR

T

M =

T G 3 6

R = 6371k m ≃ 6,4 × 10 k m = 6,4 × 10 m

Sapendo che :

T

2 12

gR 10 × 40 × 10

T 24

M = ≃ ≃ 6 × 10 kg = 6000000000000000000000000kg

T G 7 × 10 −11

Esercizio. Due buste di plastica di massa trascurabile contengono ciascuna 15 mele e sono

poste su un tavolo a una certa distanza. Se 10 mele vengono trasferite da una busta all’altra,

come cambia la forza di attrazione gravitazionale? 53

La forza di attrazione gravitazionale è chiaramente una forza piccolissima e non misurabile con

m × m

1 2

F = G ×

metodi semplici. La formula ci dice che ciò che conta non è la somma delle

r 2

masse, ma il prodotto delle masse e se le masse sono distribuite diversamente, la situazione

cambia. 15m × 15m

F = G ×

Nel primo caso, la forza si scrive .

1 r 2

5m × 25m

F = G ×

Nel secondo caso, la forza si scrive .

2 r 2

F

Dunque, i due valori di non sono uguali. Se abbiamo quindi la stessa massa totale ma

F F

distribuita in maniera diversa, la forza cambia. In questo caso sarà maggiore di . Facciamo il

1 2

rapporto: 2 2

F 15 × 15 3 × 5 9

1 = = =

F 5 × 25 5 × 5 5

2

2 I satelliti artificiali

Rappresentiamo la Terra, dove c’è una montagna molto alta. Su questa montagna c'è un cannone

che spara una palla in direzione orizzontale. La sua traiettoria è parabolica e cadrà alla base della

montagna. Se si aumenta la qualità di povere da sparo in modo da dare più potenza al cannone,

la palla andrà a cadere un po’ più lontano. Newton affermò che, se aumentiamo ancora la potenza

del cannone, la palla tenderebbe a toccare sempre la Terra ma, siccome la terra è tonda, con una

potenza molto alta, la palla potrebbe entrare in orbita e cominciare a girare intorno alla Terra. Un

satellite è simile ad un proiettile sparato a velocità sufficientemente alta da non ricadere più sulla

superficie della Terra.

Calcoliamo la velocità di un satellite in orbita intorno alla Terra. Immaginiamo che l’orbita sia

F = m a F

circolare. Le leggi importanti sono dove è il moto di un satellite intorno alla Terra e

M × m

T 2

F R

G ×

quindi sostituiamo con la legge della gravitazione universale, cioè . non è più il

R 2

m

raggio della Terra, ma la distanza tra il centro della Terra e il satellite, è la massa del satellite e

M a

è la massa della Terra. Siccome questo è un moto circolare, sostituiamo con la legge del

T 2

v

moto circolare uniforme, detta accelerazione centripeta, la cui formula è . Quindi:

R

2

M × m v

T

G × = m ×

R R

2

v

Isoliamo perché vogliamo trovare la velocità del un satellite:

GM

T

2

v = R

GM

T

v = R R

Calcoliamo . L’ISS è una stazione spaziale che vola in cielo ad un’altezza dal suolo di

h = 400k m per trovare

ISS 3 6

R = R + h = 6400 + 400 = 6800k m = 6,8 × 10 k m = 6,8 × 10 m .

T 54

−11 24

6,7 × 10 × 6,0 × 10 m km

6 6 3

v = ≃ 6,0 × 10 × 10 = 60 × 10 ≃ 8 × 10 ≃ 8

6,8 × 10 s s

6 8k m

Quindi il satellite percorre, ogni secondo che passa, .

GM

T

v = equivale a scrivere la velocità nel moto circolare uniforme che precedentemente

R 2π r

v =

avevamo scritto come una circonferenza percorsa in un certo tempo, cioè . Eguagliamo

T

2 2

v = v

queste due formule ponendo attenzione alla radice quadrata e otteniamo: e

2

GM 4π R

T R

= . Prendiamo la seconda formula e moltiplichiamo per da entrambe le parti:

R T 2 2

GM 4π R

T

R = R

R T 2

3

4π R

GM =

T T 2 3 2

R T

Quest’ultima formula è la terza legge di Keplero perché abbiamo e e tutti gli altri elementi

3 6M

R T

= = k

sono costanti. Quindi possiamo scrivere quest'ultima formula come . È quindi un

T 4π

2 2

altro modo di scrivere la legge di Keplero. h = 400k m

Abbiamo detto che la distanza dall’ISS al suolo della terra è e che il raggio della

ISS

R = 6400k m

terra è . Ciò vuol dire che il raggio della Terra è 16 volte più grade dell’altezza

T

dell’ISS dalla Terra. Se si rappresentasse in scala il raggio della Terra e l’altezza a cui è posto

l’ISS, noteremmo che non c'è una grande distanza. Per questo non è corretto dire che gli

astronauti dentro l’ISS sono in assenza di gravità. La gravità è definita dalla legge di gravitazione

M × m

T R

F = G ×

universale . Se un oggetto è sulla superficie della Terra, è il raggio della

R 2 R R + h

Terra, mente se un oggetto è in orbita, sarà . Questo ci serve a capire che l’ISS

T

dovrebbe essere molto più lontano dalla Terra se volessimo fare in modo che dentro l'ISS non ci

sia la gravità. C’è della gravità all'interno dell’ISS, ma non c’è la percezione della gravità all'interno

dell’ISS. Ciò perché l’ISS non segue una traiettoria rettilinea ma segue un’orbita e quindi è come

se l’ISS (e tutte le persone e gli oggetti che ci sono dentro) fosse continuamente in caduta, ma

non va a sbattere contro la Terra perché la terra è sferica.

La pressione

La pressione è una grandezza fisica scalare che si serve anche di altre due grandezze fisiche, cioè

F

la forza e la superficie. La pressione è definita come il rapporto tra l’intensità della forza , che

S

preme perpendicolarmente alla superficie , e l’area di questa superficie.