Appunti di fisica: principi di meccanica

Le Unità di Misura

Le unità di misura indicano la natura di un oggetto e descrive le sue dimensioni. È possibile determinare la misura di un oggetto attraverso due metodi.

• Metodo del confronto: otteniamo e disponiamo due grandezze, le quali vengono messe a confronto;
• Metodo di trasduzione: si effettua la misurazione di un oggetto e, tramite un mezzo (per esempio una equazione), si ricava l’altra.

Per l'utilizzo di questi metodi e meccanismi determiniamo le grandezze fondamentali riferite ad un preciso oggetto. Tali grandezze formano meccanismi per ricavare tutte le altre grandezze fisiche.

Vi sono alcuni enti che si occupano di determinare e rendere omogenee le grandezze fisiche fondamentali come, per esempio, il Sistema Internazionale.

Multipli e Sottomultipli

Le grandezze fisiche sono costituite da multipli e sottomultipli:

• 10²⁴ = yotta = Y
• 10²¹ = zetta = Z
• 10¹⁸ = exa = E
• 10¹⁵ = peta = P
• 10¹² = tera = T
• 10⁹ = giga = G
• 10⁶ = mega = M
• 10³ = chilo = k
• 10² = etto = h
• 10¹ = deca = da
• 10^-1 = deci = d
• 10^-2 = centi = c
• 10^-3 = milli = m
• 10^-6 = micro = µ
• 10^-9 = nano = n
• 10^-12 = pico = p
• 10^-15 = femto = f
• 10^-18 = atto = a
• 10^-21 = zepto = z
• 10^-24 = yocto = y

Come si usano

Il meccanico definisce quali operazioni sono possibili con le grandezze fisiche:

• Somma/Sottrazione: le grandezze devono essere della stesse natura:

m(u) ± m(u) = m ± m (u)

esempio: 4 cm ± 2 cm = 16 cm

(NB 3±5 mm NO)

• Moltiplicazione/Divisione: il risultato è un'unica derivata dalle grandezze fondamentali:

m(u)∙m(ℓ) = m∙m (u∙ℓ)

esempio: 5 N ∙ 2 m = 5 N m (5 J = N∙m)

m(u)/m(ℓ) = _m/^m (_m/^m)

esempio: 8 m / 2 s = 4 m/s

• Elevazione a potenza/radici: m(u)∙m(ℓ) = m^a∙m (u²)

NB: u ≠ u²

√u² = u

• Funzioni: in questo caso l'argomento della funzione deve essere un numero e non una unità di misura.

Come si scrivono

In base alla scrittura si possono esporre diverse caratteristiche, per esempio la precisione:

3 m ≠ 3,00 m ≠ 3,0000 m

3±1 m ≠ 3±0,1 m ≠ 3±0,0001 m

Lezione 2 - 21/09/06 - ore 9:45 a 11:00

Radianti

I radianti sono l'unità di misura degli angoli:

Φ = _ℓ/^r (cm/cm) ⇒ adimensionale

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

Dove:

• ^u_x = versore x
• ^u_y = versore y
• ^u_z = versore z

^r = (P, O)

^r = r_x^u_x + r_y^u_y + r_z^u_z

Componenti Cartesiane di ^r

r_x,y,z = grandezze scalari

Se ovemmo:

• ^a = (a_x, a_y, a_z)
• ^b = (b_x, b_y, b_z)
• ^a + ^b = (^a + ^b) = ^c

Prodotto con grandezze scalari e vettoriali con componenti cartesiane

• ^a = (a_x, a_y, a_z)
• F^c = (F_ox, F_oy, F_oz)
• Se ^a/b allora esiste un valore c tale che
• ^a/b
• Quindi:
• b = 1/c
• ⇒ ^a/b ⇔ c . ^a = cb

Prodotti tra vettori

Si possono avere prodotti vettoriali e scalari, nei primi il risultato è un vettore, nel secondo è uno scalare.

Prodotto scalare:

2 . b = |2||b| cos θ

Il prodotto scalare fra due vettori segue la proprietà commutativa:

2 . b = b . 2

M_o = momento totale in O = ∑_i=1 (P_i - O)^→ x π_i^→

M_o' = momento totale in O' = ∑_i=1 (P_i - O')^→ x π_i^→

Che differenza c'è tra M_o e M_o'?

M_o - M_o' = ∑_i=1 (P_i - O)^→ x π_i^→ - ∑_i=1 (P_i - O')^→ x π_i^→ =

= ∑_i=1 { [(P_i - O)^→ x π_i^→] - [(P_i - O')^→ x π_i^→] } =

= ∑_i=1 { [(P_i - O) - (P_i - O')] x π_i^→ } =

= ∑_i=1 { (O' - O)^→ x π_i^→ } =

= (O' - O)^→ x ∑_i=1 π_i^→ =

= (O' - O)^→ x V_e^→ =

= M_o - M_o'tot =

Quindi V_t è indipendente dal centro di riduzione

Coppia di vettori

• Stessa direzione
• Stesso modulo
• Verso opposto
• Punto di applicazione diversi
• Retta di applicazione diverse

I vettori in rosso sono lungo la loro retta di applicazione e le rette non coincidono.

Parametrizzazione vettori

π_i^→(t) => il vettore π^→ è in funzione di un parametro t scalare

Dimostrazione per ottenere

1. ...
2. ...

3) Assume che il tratto di traiettoria tra P(t) e P(t+Δt) sia esprimibile come una circonferenza

4) Note che ⇒ |_r(t)| = |_r(t+Δt)|

5) Note che ⇒ _t(t) = _t(t+Δt)

6) Note che l'angolo tra i due _t è uguale a ϴ

7) Note ⇒ _Δt / |_r| = |_Δr| / |_r| ≥ 1

L ⇒ R

^lim_{Δt→0 Δt} / Δt = ¹_R ^lim_Δt→0 |_Δr| / Δt

^{δt / _R = _sn nuovo asse velocità = S}

8) si introduce _m, ovvero la direzione lungo il raggio della traiettoria con il verso diretto al centro e verso per due direzioni e versi

9) quindi l'accelerazione in forma intrinseca:

δ2 = Sδ + snRm

¹_R = raggio della circonferenza indifferenziale, ricorda di aver assunto che le curve sino una circonferenza

Questa formula indica un vettore con due componenti:

• Sδ = componente lungo la tangente della traiettoria ed indica la variazione che ha la velocità
• snR = componenti ortogonale ed indica che la velocità può cambiare direzione e verso

GRAFICAMENTE

MOTO SMORZATO (1 dimensione)

\(\vec{F} = j \times \hat{u}_x \cdot \vec{r}(t=0) = \hat{x}_0 \cdot \hat{u}_x \Rightarrow \vec{r} = \hat{x}_0 \hat{u}_x\)

\(\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2} + \frac{k}{m} \dot{x} = \frac{j}{m} \hat{x} \Rightarrow\) moto smorzato (o viscoso)

LEZIONE 6 - 22/10/18 - 08:00 a 10:00

Riprendiamo il moto smorzato

\(\vec{F} = - m \ddot{x} \hat{u}_x \Rightarrow - \dot{x} \hat{u}_x = m \cdot \ddot{x} \hat{u}_x\)

\(\cdot \frac{k}{m} \cdot x = - \dot{x} \hat{u}_x \Rightarrow m \cdot \ddot{x}\)

\(x = -\frac{k}{m} \dot{x} \rightarrow (moto smorzato)\) (equazione differenziale)

RISOLUZIONE EQUAZIONE MOTO SMORZATO

Se \(\dot{x}\) è 0 l'accelerazione è 0 finché qualcuno non

compie la forza

Se \(\dot{x} \neq 0\) cioè cambia si noto il

moto armonico quindi il modulo diminuisce

finché non \(\rightarrow 0\)

LEGGE ORARIA DELLA VELOCITÀ