Appunti di Fisica - modulo B

MOTO DI CARICHE ELETTRICHE IN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME

=

MOTO CON 2 Supponiamo che il campo magnetico sia uniforme in una certa regione e che la

velocità iniziale sia ortogonale a B: la forza, anch’essa ortogonale a B, produce

una variazione della direzione della velocità ancora ortogonale a B e quindi sta

nel piano ortogonale a B.

Essendo il raggio costante, la traiettoria è un arco di circonferenza di raggio R.

2

⁄

||

⊥ = = ,

F v forza centripeta, quindi |v|= costante. abbiamo un

moto circolare uniforme.

2 2

= = → = →=

ω velocità angolare e T periodo sono indipendenti dalla velocità v e dal raggio R della traiettoria

2 2

= = = =

ω

Se la carica q è negativa, ω ha lo stesso verso di B e il moto appare antiorario; se è positiva, ω è opposta al

verso di B e il moto appare orario.

MOTO ELICOIDALE IN UN CAMPO B

Se l’angolo θ che la velocità forma con il campo magnetico varia, dobbiamo scomporre la velocità nelle sue

= =

componenti: (parallela a B) e (ortogonale a B). La traiettoria è un’elica.

Verifichiamo che, se il campo magnetico è uniforme, la traiettoria è un’elica cilindrica di raggio e passo

)

= + → = ∧ = ( + ∧ = ∧ . ∧ = 0

costanti: Osserviamo che in quanto

⊥

paralleli. La forza di Lorentz dà luogo ad un moto circolare uniforme in un piano a B con velocità

= =

Essendo nulla la componente di F nella direzione di B, in tale direzione il moto è rettilineo uniforme con

velocità . La composizione dei due moti è un moto elicoidale su un cilindro coassiale con B.

Nel tempo pari al periodo del moto circolare uniforme la carica percorre un tratto d, passo dell’elica, nella

direzione di B. 2 2 2

= →= = → = =

ω

LA VELOCITÀ ANGOLARE COME VETTORE

La velocità angolare si può rappresentare come un vettore

• Di modulo pari al valore assoluto di w

• Direzione quella dell’asse di rotazione

• Verso determinato sulla base della regola della mano destra

= ∧ .

In tal caso l’accelerazione centripeta si può scrivere come Per cui:

= → ∧ = ∧ = − ∧

⁄

= −( ).

Ovvero:

FASCE DI VAN ALLEN

Quando il moto delle particelle avviene in un campo magnetico non uniforme si presenta

una situazione un po’ più complicata. L’asse z è l’asse di simmetria e il campo magnetico

ha la componente longitudinale sempre dello stesso segno e la componente radiale

che cambia segno passando da sinistra verso destra. Questa configurazione è nota come

bottiglia magnetica.

SPETTROGRAFO DI MASSA

Lo spettrografo di massa è uno strumento che separa ioni aventi la stessa carica, ma massa diversa. Un

esempio tipico è quello degli isotopi.

SCOPERTA DELL’ELETTRONE

IL CICLOTRONE

FORZA MAGNETICA SU UN CONDUTTORE PERCORSO DA CORRENTE

La corrente elettrica in un conduttore è dovuta al moto degli elettroni sotto l’azione del campo elettrico

applicato tramite un generatore; se n è il numero di elettroni liberi, ciascuno con carica e, e la loro

= −

velocità di deriva, la densità di corrente si scrive: ed è parallela al campo elettrico applicato.

Se il conduttore è in presenza di un campo magnetico, a ciascun elettrone è applicata la forza di Lorentz:

= − ∧ . Suddividiamo un filo conduttore in tratti di lunghezza ds e sezione S,

= = − ∧ = ∧ . = ,

la forza risultante sarà: Poiché

= ∧ .

abbiamo: Questa relazione è conosciuta come seconda legge di

Laplace. Per un filo di lunghezza finita di estremi A e B

= ∧ = ∧ .

Per un conduttore rettilineo di lunghezza in un campo B uniforme, avremo: Il

∫

= . = ∧ = ∧ .

cui modulo è: Se il conduttore è curvilineo e sta in un piano: ∫

= 0.

Se il filo piano è un circuito chiuso

FORZA TRA CORRENTI SU CONDUTTORI PARALLELI

campo generato dalla corrente

1 1

versore della direzione di

2 2

forza esercitata da su un tratto di filo percorso da

12 1 2 2

= ∧ = ∧

12 2 2 1 2 2 2 1

12

= = − ∧

12 2 2 1

2 ⊥

forza per unità di lunghezza al filo ed a 1

= ∧

Analogamente si ottiene: . Dove è il versore della direzione di

12 1 1 2 1 1

Per la legge di Biot e Savart:

0 1 0 2

= =

1 2

2 2

0 1 2

= =

12 21 2

Correnti che scorrono nello stesso verso si attraggono in verso opposto si

respingono. L’elevata precisione raggiunta nel misurare le forze magnetiche tra correnti mediante una

bilancia ha determinato la scelta dell'intensità di corrente come grandezza fondamentale nel S. I.

= 1

Intensità di 1 Ampere = intensità di una corrente che circolando a metro da una corrente uguale

−7

2 ⋅ 10

parallela e concorde, la attrae con una forza di per ogni metro di lunghezza di conduttore.

AZIONE DI UN CAMPO B SU UNA SPIRA ELEMENTARE

Consideriamo una spira rettangolare di lati a e b, percorsa da una corrente in senso

antiorario. Indichiamo con il versore della normale positiva al piano della spira

orientata nello stesso verso di circolazione della corrente (regola della mano destra).

La spira è immersa in un campo B uniforme, che forma un angolo con n. Per prima

cosa osserviamo che le forze sui lati opposti sono uguali ed opposte. B, inoltre, è

(, ), = + . = .

contenuto nel piano quindi: Infine abbiamo che:

Valutiamo le forze sui quattro lati della spira.

Iniziamo dal lato PQ, otterremo una forza diretta nel lato opposto dell’asse x:

4 (−)

= ∧ → = [| |(−) ∧ ( + )] → = | |

( ) ( ) | | ( )

∫ ∫ | |

= = − = − = cos −

4

Analogamente facciamo per il lato opposto RS, ottenendo la forza , che è diretta come x:

3

| () ()

= | → = || cos → + = 0

3 3 4

Passiamo agli ultimi due lati (QR e SP):

= ∧ = [| |() ∧ ( + )] → | | + | |

2 2

2 2 √ √

2

2 2 2 2

→ | | = + = | | ( + ) = | | = | |||

√

, ,

| |

∫ ( ) ∫ | | ( )

= = + = + → | = |

2 2

∫

= = −

1 2

Osserviamo che le due coppie sono uguali ed opposte, ma formano una coppia

. = =

di braccio Il momento meccanico della coppia è:

= . Esso è parallelo al piano della spira. Definiamo

= , .

momento magnetico della spira, il vettore parallelo e concorde ad

= ∧ = ∧ .

Il momento meccanico, quindi diventa: Tale momento

= 0

risulta nullo se m è parallelo a B: la posizione con è di equilibrio stabile.

, ,

Per qualunque altro valore di il momento tende a far ruotare la spira in

,

modo che il momento magnetico diventi parallelo e concorde a B. L’energia potenziale legata alla

= − ∙ = − = −. = 0

rotazione è Essa è minima quando e massima quando

= .

CAMPO MAGNETICO PRODOTTO DA UNA CORRENTE

Un conduttore percorso da corrente è soggetto ad una forza quando si trova in un campo magnetico. Per il

principio di azione e reazione la corrente esercita sul magnete una forza opposta.

La deviazione di un ago magnetico avvicinato ad una corrente indica che una corrente elettrica è sorgente

di un campo magnetico. Per correnti su conduttori filiformi, Laplace determinò la relazione tra la corrente

che genera un campo magnetico e il campo. Tale relazione è nota come prima legge di Laplace. Sia

campo generato da un tratto di filo infinitesimo in un punto P a distanza r. Da questo vale:

∧

() = 2

Dove è il versore della direzione orientata da ds a P; mentre k è una costante che dipende dal sistema di

−7

= 10 = =

unità di misura e dal mezzo materiale in cui si sperimenta. Nel vuoto . Essa può

−7

0

⁄

= = 4 = 410<