Appunti di Fisica I sulle applicazioni delle leggi di Newton

APPLICAZIONI DELLE

LEGGI DI NEWTON

Si estende l’indagine ai sistemi che si muovono in

presenza di forze di attrito, che consentono di creare

modelli più realistici. Questi sistemi comprendono oggetti

che si muovono su superfici scabre e oggetti che si

INTRODUZIONE muovono in mezzi viscosi, come i liquidi e l’aria. Si

applicheranno anche le leggi di Newton alla dinamica del

moto circolare in modo da comprendere meglio il moto di

oggetti che si muovono lungo traiettorie circolari sotto

l’azione di vari tipi di forze.

FORZE DI ATTRITO

Quando un corpo è in movimento su una superficie scabra, o attraverso un mezzo

viscoso quale l’aria o l’acqua, c’è una resistenza al moto dovuta all’interazione del

corpo con ciò che lo circonda. Una tale resistenza viene chiamata forza di attrito.

Esse ci permettono di camminare e di correre e sono necessarie per il moto dei veicoli

a ruote.

ESEMPI:

Si immagina di lavorare nel giardino e di avere riempito il

bidone della spazzatura con i residui del taglio dell’erba. Si

trascina il bidone sulla superficie del vialetto in cemento,

come in figura a. Questa è una superficie reale, non una

superficie idealizzata priva d’attrito, come nel modello

semplificato. Se, per trascinare il bidone, si applica una forza

esterna orizzontale F-> verso destra, il bidone può rimanere

fermo se la forza è piccola.

FORZA DI ATTRITO ED ESEMPIO

La forza che contrasta F e impedisce al bidone di muoversi agendo verso sinistra si chiama forza di attrito statico f . Fino

-> s->

a quando il bidone non si muove, esso è descrivibile come particella in equilibrio e f = F ; quindi, se F-> aumenta, anche fs->

s

aumenta. Allo stesso modo, se F diminuisce anche f diminuisce. Se aumentiamo il modulo di F , come in figura b, il bidone

-> s-> ->

alla fine comincerà a muoversi. Quando il bidone è sul punto di muoversi, f è massima, com’è mostrato in figura c. Se F supera

s

f , , il bidone si muove e accelera verso destra. Quando il bidone è in moto, la forza di attrito diventa minore di f . Si chiama

s max s,max

la forza d’attrito per un oggetto in moto forza di attrito dinamico f . La forza netta F - f nella direzione x produce

d-> d

un’accelerazione verso destra, in accordo con la seconda legge di Newton. Se riduciamo l’intensità della forza fino a rendere F =

f , l’accelerazione diviene nulla e il bidone si muove verso destra con velocità costante. Se la forza applicata viene rimossa, allora

d

la forza di attrito agente verso sinistra fornisce un’accelerazione nella direzione -x e alla fine riporta il bidone in quiete.

FORZA DI ATTRITO

Sperim enta lm ente si trova, con b uona

approssimazione, che tanto f quanto f per un

s,max d

oggetto su una superficie sono proporzionali alla

forza normale esercitata dalla superficie

sull’oggetto; adottiamo, perciò, un modello

semplificato nel quale questa approssimazione sia

considerata esatta. FORZA DI ATTRITO

Le assunzioni in questo modello semplificato possono essere riassunte come segue:

1. Il modulo della forza di attrito statico fra due qualsiasi superfici a contatto può assumere valori dati da:

≤

dove la costante adimensionale µ è detta coefficiente di attrito statico e n è il modulo della forza normale. L’eguaglianza

s

nell’equazione sopra sussiste quando il blocco è sul punto di iniziare a scivolare, cioè quando f = f µ n. Questa situazione si chiama

≡

s s,max s

moto imminente. La diseguaglianza vale quando la componente della forza applicata parallela alla superficie è minore di questo valore.

2. Il modulo della forza di attrito dinamico agente fra due superfici è: =

dove µ è il coefficiente di attrito dinamico. Nel modello semplificato, questo coefficiente è indipendente dalla velocità relativa delle

d

superfici.

FORZA DI ATTRITO

3. I valori di µ e µ dipendono dalla natura delle superfici,

d s

ma µ è in generale minore di µ . La tabella elenca alcuni

d s

valori:

4. Il verso della forza d’attrito agente su un oggetto è

opposto a quello del moto (attrito cinetico) o a quello

del moto imminente (attrito statico) dell’oggetto

relativamente alla superficie con la quale è a contatto.

ESTENSIONE DEL MODELLO PER UNA

PARTICELLA IN MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Si considera un’altra situazione comune, ovvero una particella che si muove di moto circolare uniforme. Si è visto come una particella

che si muove su di una traiettoria circolare di raggio r con velocità scalare uniforme v sia sottoposta ad un’accelerazione centripeta di

modulo: 2

=

Il vettore accelerazione è diretto verso il centro della circonferenza ed è sempre perpendicolare a v . Se si osserva un’accelerazione

->

essa è necessariamente prodotta da una forza non nulla. Poiché l’accelerazione è diretta verso il centro della circonferenza, la forza

deve agire verso l’interno sulla particella che compie il moto circolare. Si considera un disco di massa m, legato ad una corda di

lunghezza r e in moto a velocità scalare costante lungo una traiettoria circolare orizzontale, come in figura. Il peso viene bilanciato da

un piano privo di attrito e la corda è ancorata ad un giunto posto al centro del percorso circolare del disco. La tendenza naturale del

disco è di muoversi lungo una traiettoria rettilinea, come previsto dalla prima legge di Newton.

ESTENSIONE DEL MODELLO PER UNA

PARTICELLA IN MOTO CIRCOLARE UNIFORME

La corda, però, impedisce il moto rettilineo imponendo una forza radiale F , sul disco, che compie così una traiettoria circolare. Questa

r->

forza, il cui modulo è pari alla tensione della corda, è diretta secondo la direzione della corda e verso il centro della circonferenza.

Secondo questa analisi, la tensione della corda è la causa del moto circolare del disco. A prescindere dalla natura della forza che agisce

sulla particella in moto circolare si può applicare la seconda legge di Newton lungo la direzione radiale:

2

∑ = =

Un corpo può muoversi lungo una traiettoria circolare sotto l’influenza di diversi tipi di forze, ovvero combinazioni di forze. Se la forza

che agisce sul corpo si annulla, il corpo non proseguirà più nel suo moto circolare ma si muoverà lungo la linea retta tangente alla

circonferenza nel punto in cui la forza è venuta meno. Se ad un certo istante la corda si rompe, il disco si muoverà lungo la linea retta,

tangente alla circonferenza nel punto in cui si trovava il disco in quel dato istante.

ESTENSIONE DEL MODELLO PER UNA

PARTICELLA IN MOTO CIRCOLARE UNIFORME

MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME

Se una particella si muove con velocità variabile in modulo lungo una traiettoria

circolare, ciò implica oltre ad una componente radiale dell’accelerazione, una

componente tangenziale di modulo dv/dt. Quindi, la forza risultante che agisce

sulla particella deve anche avere una componente tangenziale oltre che radiale,

come in figura. Poiché l’accelerazione totale è a = a + a , la forza totale

-> r-> t->

esercitata sulla particella è data da: ΣF = ΣF + ΣF . Il vettore componente,

-> r-> t->

ΣF , è diretto verso il centro della circonferenza ed è responsabile

r->

dell’accelerazione centripeta. Il vettore componente, ΣF , tangente alla

t->

circonferenza, è responsabile dell’accelerazione tangenziale che causa la

variazione del modulo della velocità della particella rispetto al tempo.

Si considera l’effetto di un mezzo, come un liquido o un gas. Il mezzo

esercita una forza d’attrito R sul corpo che si muove attraverso di

->

esso. Si può avvertire questa forza se si viaggia in macchina ad alta

velocità con la mano fuori dal finestrino; la forza che spinge indietro la

MOTO IN PRESENZA mano è la forza dovuta all’aria che fluisce al di là della macchina. Il

modulo di questa forza dipende dalla velocità relativa fra l’oggetto e il

mezzo, e il verso di sull’oggetto è sempre opposto a quello del moto

DI FORZE DI ATTRITO dell’oggetto relativo al mezzo. il modulo di una tale forza d’attrito

aumenta con l’aumentare della velocità. La forza d’attrito può avere una

DIPENDENTI DALLA dipendenza complessa dalla velocità. Si considera due modelli

semplificati che permettono di analizzare queste situazioni. Nel primo

VELOCITÀ modello, si assume che la forza d’attrito sia proporzionale al modulo

della velocità; questo è il caso di oggetti che cadono in un liquido a

bassa velocità e per oggetti piccolissimi, come le particelle di polvere,

che si muovono in aria. Nel secondo modello, si trattano situazioni in cui

il modulo della forza d’attrito sia proporzionale al quadrato della velocità

del corpo.

MODELLO 1: FORZA DI ATTRITO PROPORZIONALE

ALLA VELOCITÀ DELL’OGGETTO

Per basse velocità, la forza d’attrito agente su un corpo che si muove in un

mezzo viscoso è effettivamente proporzionale alla velocità del corpo. La

rappresentazione matematica di questa forza di trascinamento viscoso si può

esprimere come:

→ →

= −

dove v è la velocità dell’oggetto e b è una costante che dipende dalle proprietà

->

del mezzo, dalla forma e dalle dimensioni dell’oggetto. Il segno negativo

rappresenta il fatto che la forza di trascinamento viscoso è opposta alla velocità

dell’oggetto. Si consideri una sfera di massa m lasciata cadere da fermo in un

liquido, come in figura a. Assumendo che le uniche forze che agiscono sulla sfera

siano la forza di trascinamento viscoso R e la forza peso mg , si può

-> ->

descrivere il suo moto applicando la seconda legge di Newton.

MODELLO 1: FORZA DI ATTRITO PROPORZIONALE

ALLA VELOCITÀ DELL’OGGETTO

Considerando il moto verticale e scegliendo come positiva la direzione rivolta verso il basso si ha:

∑ = → − =

Dividendo questa equazione per m si ottiene:

= −

Questa equazione viene detta equazione differenziale; essa include sia la velocità v che la derivata della velocità. Si osserva che

inizialmente, se si definisce t = 0 quando v = 0, la forza di trascinamento viscoso &egr