Appunti di Fisica I moto in una dimensione

Moto in unadimensione

Per iniziare lo studio della dinamica, è importante essere in grado di descrivere il moto usando i concetti di spazio e tempo, indipendentemente dalle cause del moto. Questa sezione della meccanica è nota sotto il nome di cinematica. Si considera il moto lungo una linea retta, cioè il moto unidimensionale.

Introduzione

Il moto rappresenta il cambiamento continuo della posizione di un oggetto. Il moto di un oggetto attraverso lo spazio (traslazione) può essere accompagnato dalla rotazione e dalla vibrazione dell’oggetto. Moti di questo genere possono essere alquanto complessi. In molti casi, un oggetto può essere trattato come una particella se l’unico moto preso in considerazione è una traslazione nello spazio.

Velocità media

• Per una particella che si muove di un tratto d in un intervallo di tempo ∆t, la velocità scalare media v è matematicamente definita. La velocità scalare non è un vettore, cosicché non c’è alcuna direzione associata con la velocità scalare media.

Si immagina il moto di una particella che può rappresentare il moto di molti tipi di oggetti. Il moto di una particella è determinato in maniera completa se la posizione della particella nello spazio è conosciuta in ogni istante.

Esempi

Si considera una macchina che si muove avanti e indietro lungo l’asse x, e si registrano i dati della sua posizione ogni 10 secondi.

• Rappresentazione grafica del moto: grafico velocità-tempo. Il grafico spazio-tempo dell’auto è spesso chiamato grafico posizione-tempo.

Velocità media

• Se la particella si muove nell’intervallo di tempo Δt = t_f – t_i, lo spostamento della particella è descritto come Δx = x_f - x_i.

La velocità media v della particella è definita come il prodotto fra il suo spostamento Δx e l’intervallo di tempo Δt durante il quale avviene lo spostamento: dove il pedice x indica il moto lungo l’asse x. Da questa definizione si nota che la velocità media ha le dimensioni di una lunghezza diversa per un tempo, ovvero metri al secondo nelle unità SI. La velocità media è indipendente dal percorso seguito fra i punti iniziale e finale. Questa indipendenza è la maggiore differenza con la velocità scalare media. La velocità è indipendente dal cammino poiché è proporzionale allo spostamento Δx, che dipende solo dalle coordinate iniziali e finali della particella. La velocità scalare media si trova dividendo la distanza percorsa per l’intervallo di tempo, mentre la velocità media è lo spostamento diviso per l’intervallo di tempo.

Velocità media

Infine, si nota che la velocità media in una dimensione può essere positiva o negativa, a seconda del segno dello spostamento (l’intervallo di tempo Δt è sempre positivo). Se la coordinata x della particella cresce durante l’intervallo di tempo (cioè x₁ > x₂), allora Δx è positivo e v è positiva, che corrisponde a una velocità media nel verso positivo della x. Se la coordinata decresce nel tempo (cioè x₁ < x₂), Δx è negativo; quindi v è negativa, che corrisponde a una velocità media nel verso negativo delle x. Pertanto la velocità media non fornisce alcun dettaglio del moto, piuttosto fornisce soltanto il risultato del moto.

Velocità media

La velocità media può essere anche interpretata geometricamente come nel grafico a fianco. Si può tracciare una linea retta fra una qualunque coppia di punti sulla curva. Questa linea forma l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di altezza Δx e base Δt. La pendenza dell’ipotenusa è il rapporto Δx/Δt. Si nota che la velocità media di una particella durante l’intervallo di tempo da t_i a t_f è uguale alla pendenza del tratto di retta che congiunge i punti iniziale e finale del grafico posizione-tempo.

Velocità media

• L’intervallo di tempo totale del moto è stato diviso in piccoli incrementi di durata Δt_n. Durante ciascuno di questi piccoli incrementi, se assumiamo costante la velocità durante il breve incremento, lo spostamento della particella è dato da Δx_n = v_nΔt_n, dove l’altezza del rettangolo è v_n e la larghezza è Δt_n. Lo spostamento totale della particella sarà la somma degli spostamenti durante ciascun incremento.

Il termine sulla destra rappresenta l’area totale di tutti i sottili rettangoli. Si considera ora il limite di questa espressione quando gli incrementi di tempo tendono a zero: in questo limite, la somma delle aree di tutti i sottili rettangoli diventa uguale all’area sotto alla curva. Quindi, lo spostamento della particella durante l’intervallo di tempo t_i e t_f è uguale all’area sotto la curva fra i punti iniziale e finale nel grafico velocità-tempo.

Velocità istantanea

La velocità di una particella ad un qualsiasi istante è...