Appunti di Fisica I moto in una dimensione

VELOCITÀ ISTANTANEA

La velocità di una particella ad un qualsiasi istante di tempo è detta velocità istantanea. Il grafico a fianco è una rappresentazione grafica, con due linee blu che rappresentano le velocità medie su intervalli di tempo molto diversi. Una linea blu rappresenta la velocità media calcolata da A a B. La seconda linea blu rappresenta la velocità media calcolata sull'intervallo molto più lungo da A a F. La velocità media da A a F è negativa, poiché la pendenza della retta da A a F è negativa, cosicché non è un'accurata rappresentazione della velocità istantanea in A. La velocità media nell'intervallo da A a B è positiva, per cui questa velocità ha almeno il segno giusto.

VELOCITÀ ISTANTANEA

La velocità di una particella ad un qualsiasi istante di tempo è detta velocità istantanea. Nel grafico a fianco, si

mostra il risultato ottenuto tracciando le linee rette che rappresentano la velocità media della macchina quando il punto B si avvicina sempre di più al punto A. Quando ciò avviene, la pendenza della retta blu si avvicina a quella della retta verde, che è la retta tangente alla curva nel punto A. Quando B si avvicina ad A, l'intervallo di tempo che include il punto A diventa infinitamente piccolo. VELOCITÀ ISTANTANEA • Quindi, la velocità media in questo intervallo quando l'intervallo si riduce fino a zero può essere interpretato come la velocità istantanea nel punto A. Inoltre, la pendenza della retta tangente alla curva in A è la velocità istantanea al tempo t. In altre parole, la velocità istantanea v è uguale al valore limite del rapporto Δx/Δt quando Δt tende a 0: Questo limite è chiamato derivata di x rispetto a t, e scritto dx/dt: La velocità istantanea

può essere positiva, negativa o nulla. Quando la pendenza del grafico posizione-tempo è positiva, come nel punto A, v è positiva. Nel punto C, v è negativa giacché la pendenza è x velocità scalare istantanea negativa. Infine, la velocità è nulla nel picco B, dove la pendenza è nulla. La velocità di una particella è definita come il modulo del vettore velocità istantanea; quindi, per definizione, la velocità scalare non può essere mai negativa. N.B: Si adopera il termine velocità per indicare la velocità istantanea.

Si suppone che x sia proporzionale a una certa potenza di t, come: velocità = A * t^n dove A e n sono delle costanti. La derivata di x rispetto a t è:

GRAFICO

PARTICELLA CON VELOCITÀ COSTANTE

• Se la velocità di una particella è costante, la sua velocità istantanea in ogni istante durante qualunque intervallo di tempo è la stessa della velocità.

media sull'intervallo, v = v . Pertanto si ha:

x x,m

Si ricorda che: Δx = x - x si vede che v = (x - x )/Δt,

f i x f i

Ovvero: x = x + v Δt,

f i x

Questa equazione ci dice che la posizione della particella è data dalla somma della sua posizione iniziale x più lo spostamento v Δt che avviene durante l'intervallo di tempo Δt. Nella pratica dii x sceglie il tempo all'inizio dell'intervallo t = 0 e il tempo alla fine dell'intervallo t = t, per cui si ha:

i fx = x + v t,

f i x

(per v costante)

PARTICELLA CON VELOCITÀ COSTANTE

• Una particella con velocità costante si muove con la velocità scalare costante lungo una linea retta. Si considera ora una particella che si muove con velocità scalare costante lungo un percorso curvilineo. Essa può essere rappresentata con mediante il modello di una particella che si muove con velocità scalare costante:

Grafico spazio-tempo per una particella in moto

con velocità costante. Il valore della velocità è la pendenza della retta. ACCELERAZIONE MEDIA Quando la velocità di una particella varia nel tempo, si dice che la particella è accelerata. Si suppone che una particella in moto lungo l'asse x abbia velocità v_x all'istante t_i e velocità v_xf all'istante t_f. L'accelerazione media a di una particella nell'intervallo di tempo Δt = t_f - t_i è definita come il rapporto Δv/Δt, in cui Δv = v_xf - v_x è la variazione di velocità nell'intervallo di tempo. Quindi, l'accelerazione è una misura della rapidità di variazione della velocità. L'accelerazione è una grandezza vettoriale avente le dimensioni di una lunghezza divisa per un tempo al quadrato, ovvero L/T^2 e la sua unità di misura è metri al secondo per secondo (m/s^2). ACCELERAZIONE ISTANTANEA In alcune situazioni,al tempo, che per definizione è la pendenza del grafico velocità-tempo. Si noti che se l'accelerazione è positiva, l'accelerazione è diretta secondo le x positive, mentre un'accelerazione negativa implica un'accelerazione nella direzione delle x negative. Un'accelerazione negativa non significa necessariamente che la particella si stia muovendo nel verso negativo delle x. Poiché v = dx/dt, l'accelerazione può anche essere scritta come dv/dt, per indicare l'accelerazione istantanea.

al tempo.ACCELERAZIONE

I grafici mostrano come la curva accelerazione-tempo

Grafico velocità- (b) possa essere dedotta dalla curva velocità-tempo

tempo di una (a) in una rappresentazione grafica. In questi

particella lungo diagrammi, l'accelerazione della particella in un

asse x. generico istante è semplicemente la pendenza del

grafico velocità-tempo a quell'istante. Valori positivi

dell'accelerazione corrispondono a quei punti (fra 0 et ) in cui la velocità cresce in modulo nella direzione

delle x positive (la particella aumenta la sua velocità).

L'accelerazione raggiunge un massimo all'istante t ,A

quando la pendenza del grafico velocità-tempo è

massima. L'accelerazione si riduce a zero all'istante t ,

L'accelerazione Bquando la velocità è massima (cioè quando la velocità

istantanea può è momentaneamente costante e la pendenza della

ottenuta curva v in funzione di t è nulla). Infine, l'accelerazione dal grafico è negativa quando la velocità nella direzione delle x velocità-tempo. positive decresce in modulo (fra t e t ).

B CACCELERAZIONE

Nel caso di moto rettilineo, la direzione della velocità di un oggetto e la direzione della sua accelerazione sono correlate come segue. Quando la velocità e l'accelerazione dell'oggetto sono nello stesso verso, l'oggetto aumenta il modulo della velocità in quel verso. D'altro canto, quando la velocità e l'accelerazione dell'oggetto sono in versi opposti, la velocità scalare dell'oggetto diminuisce nel tempo. Si prende in considerazione la nozione che la forza è proporzionale all'accelerazione:

Questa proporzionalità indica che l'accelerazione è causata dalla forza. Per di più forza e accelerazione sono nella stessa direzione e verso. Quindi,

si può ragionare intorno ai segni della velocità e dell'accelerazione formando una rappresentazione mentale in cui una forza è applicata al corpo per causare l'accelerazione. Si considera ancora il caso in cui la velocità e l'accelerazione siano nello stesso verso. Ciò è equivalente a un oggetto che si muove in una data direzione orientata, e subisce una forza che lo spinge nella stessa direzione. In questo caso il corpo accelera. Se la velocità e l'accelerazione sono in versi opposti, il corpo si muove in un verso e la forza spinge nel verso opposto. In questo caso, il corpo rallenta. DIAGRAMMA DEL MOTO È istruttivo utilizzare quella rappresentazione pittorica che si chiama diagramma del moto specializzata per descrivere i vettori velocità e accelerazione mentre un oggetto è in movimento. Nella figura a, le immagini della macchina sono ugualmente spaziate e la macchina subisce lo stesso.

spostamento in ciascun intervallo ditempo. Quindi, la macchina si muove con una velocità positiva costante e ha accelerazione zero.

Nella figura b, le immagini della macchina si distanziano progressivamente al passare del tempo. In questo caso, il vettore velocità cresce nel tempo poiché lo spostamento della macchina fra posizioni adiacenti aumenta col passare del tempo. Quindi, la macchina si muove con una velocità positiva e un'accelerazione positiva. La velocità e l'accelerazione sono nello stesso verso.

Nella figura c, la macchina rallenta muovendosi verso destra poiché il suo spostamento fra posizioni adiacenti diminuisce al passare del tempo. In questo caso, la macchina si muove inizialmente verso destra con una velocità positiva e un'accelerazione negativa. Il vettore velocità diminuisce nel tempo ed alla fine raggiunge lo zero.

MODELLO DI ANALISI:

• Se l'accelerazione di una particella varia nel tempo, il

Il moto può essere complicato e difficile da analizzare. Un tipo molto comune e semplice di moto unidimensionale si ha quando l'accelerazione è costante. In questo caso, l'accelerazione media relativa a qualunque intervallo di tempo è uguale all'accelerazione istantanea in ogni istante di tempo entro l'intervallo. Conseguentemente, la velocità cresce o decresce con la stessa rapidità durante il moto. La particella sottoposta ad accelerazione costante forma la base di un comune modello di analisi che si può applicare ad appropriati problemi. Esso è spesso usato come modello in situazioni come un oggetto che cade e una macchina che frena. Se si sostituisce a con la costante a nell'equazione: