Fisica I - Appunti

Appunti di Fisica Sperimentale I

Gianluca Filesi

Laurea in Ingegneria Matematica

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione

Politecnico di Milano

Docente: prof.ssa Daniela Comelli

A.A. 2020/21

Indice

I Meccanica 1

1 Introduzione 2

2 Cinematica del punto materiale 3

3 Dinamica del punto materiale 13

4 Meccanica relativa 18

5 Lavoro ed Energia 22

6 Gravitazione 26

7 Dinamica dei sistemi di punti materiali 31

8 Dinamica del corpo rigido 36

II Termodinamica 44

9 Introduzione 45

10 Primo principio della termodinamica 47

11 Secondo principio della termodinamica 57

12 Teoria cinetica dei gas 63

III Appendice 66

A Vettori 67

B Sistemi di riferimento 72

C Gradiente 76

D Momento 78

E Momento d’inerzia in varie distribuzioni di massa 80

Parte I

Meccanica

1

Capitolo 1

Introduzione

studio del moto di un corpo.

Meccanica: corpo di dimensioni trascurabili rispetto al moto o ai corpi con i quali intera-

Punto materiale:

gisce. Semplifica la trattazione dei fenomeni fisici: non si considerano e

moti rotatori moti

ma solo i

vibrazionali, moti traslatori.

descrizione del moto di un corpo, indipendentemente dalle cause che lo determinano.

Cinematica:

descrizione delle cause del moto di un corpo.

Dinamica: Permette di determinare la posizione di un corpo in funzione del tempo.

Sistema di riferimento:

(Es. sistema di riferimento cartesiano dove le coordinate sono assunte continue

x(t), y(t), z(t),

e derivabili). 2

Capitolo 2

Cinematica del punto materiale

luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento. La traiettoria

Traiettoria:

varia se varia il sistema di riferimento.

descrive l’evolvere nel tempo di x(t), y(t), z(t).

Legge oraria: descrive meglio il moto se già si conosce la traiettoria

Descrizione (o cinematica) scalare:

(detta anche intrinseca, poiché la descrizione è intrinseca nella traiettoria).

(

f (x, y, z) = 0 (2.1)

Γ: g(x, y, z) = 0

vettore posizione r(t).

Descrizione (o cinematica) vettoriale: 

x(t)



 (2.2)

r = r (t) = y(t)



z(t)



2.1 Cinematica scalare

distanza tra la posizione del corpo nel momento e la posizione del corpo

t

Ascissa curvilinea (s): 0

nell’istante t. grafico cartesiano in cui sull’asse delle ascisse è riportato il tempo e sull’asse

Diagramma orario:

delle ordinate sono riportati i valori di s(t).

Velocità scalare media: −

s(t ) s(t ) ∆s

2 1 (2.3)

v (t , t ) = =

m 1 2 −

t t ∆t

2 1

Se la velocità è positiva il corpo avanza (la coordinata cresce), altrimenti il corpo torna

s

indietro.

In un diagramma orario la velocità media è la pendenza della retta secante il grafico nei due

punti e (quindi

t t v = tan α).

0

Velocità scalare istantanea: ∆s ds (2.4)

v = lim =

ist ∆t dt

∆t→0

La funzione è quindi la funzione derivata prima della legge oraria.

v(t)

Accelerazione scalare media: −

v(t ) v(t ) ∆v

2 1 −2 (2.5)

a (t , t ) = = [a ] = [L][T ]

m 1 2 m

−

t t ∆t

2 1 3 4

CAPITOLO 2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Accelerazione scalare istantanea: ∆v dv (2.6)

a = lim =

ist ∆t dt

∆t→0

La funzione è quindi la funzione derivata prima della funzione e di conseguenza la

a(t) v(t)

derivata seconda della legge oraria. 2

ds dv d s

→ →

s(t) v(t) = a(t) = = 2

dt dt dt

2.2 Problema inverso in cinematica scalare

Nota per ricavare è necessario utilizzare un integrale doppio, conoscendo la velocità e

a(t), s(t)

la posizione nell’istante .

t

0 v(t) t

Z Z

dv da cui

=⇒ dv = a(t)dt dv = a(t)dt

a(t) = dt v(t ) t

0 0

t

Calcolando entrambi gli integrali si ha che R

v(t) = v(t ) + a(t)dt.

0 t

0

Allo stesso modo si trova che: t

Z

s(t) = s(t ) + v(t)dt

0 t

0

2.2.1 Moto uniforme

In un moto uniforme la velocità scalare è costante nel tempo. Nota la posizione nell’istante

iniziale e il valore della velocità si ha la legge oraria caratteristica del moto uniforme:

t

Z con cost. (2.7)

−

s(t) = s(t ) + v dt = s(t ) + vt vt v =

0 0 0

t

0

2.2.2 Moto uniformemente accelerato

In un moto uniformemente accelerato l’accelerazione scalare è costante nel tempo. Nota la

posizione e la velocità nell’istante iniziale e il valore dell’accelerazione si ha la relazione tra velocità

e accelerazione: t

Z (2.8)

−

v(t) = v(t ) + a dt = v(t ) + at at

0 0 0

t

0

Da qui, sostituendo nella legge (2.7) con la relazione (2.8) si ha la legge oraria caratteristica

v(t)

del moto uniformemente accelerato:

t

Z

s(t) = s(t ) + v dt =

0 t

0 t t

Z Z −

s(t) = s(t ) + v dt + a(t t ) dt =

0 0 0

t t

0 0 2

−

(t t )

0 (2.9)

−

s(t ) + v (t t ) + a

0 0 0 2 5

CAPITOLO 2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

2.2.3 Moto circolare

La traiettoria è una circonferenza. Per quanto sarebbe possibile descrivere il moto considerando

l’ascissa curvilinea, è più comodo descriverlo utilizzando l’angolo tra l’asse positivo delle ascisse e il

raggio congiungente l’origine degli assi e il punto considerato, utilizzando misure angolari, come in

figura 2.1. Figura 2.1: Moto circolare.

Anziché considerare si considera dove La legge oraria è quindi in funzione

∆s, ∆ϑ, s(t) = ϑ(t)R.

dell’angolo al centro Da qui si ottengono due vettori, perpendicolari al piano del vettore posizione:

ϑ.

• Velocità angolare: , misurata in

dϑ

ω = u rad/s

z

dt 2

• Accelerazione angolare , misurata in

d ϑ 2

α = u rad/s

z

2

dt

I vettori velocità e accelerazione sono prodotti vettoriali di quest’ultimi:

• ×

v = ω r = ωr u T

• ×

a = α r = αr u

T T

• 2

× × ×

a = ω (ω r) = ω v = ω r u

N N

2.3 Cinematica vettoriale

Quando la traiettoria non è definita a priori, è preferibile descrivere un moto tramite cinematica

vettoriale.

Qualsiasi punto nello spazio può essere rappresentato tramite un vettore con coda nell’origine

oppure attraverso le coordinate spaziali. In figura 2.2 le due rappresentazioni a confronto.

Vettore posizione: (2.10)

r (t) = x(t)u + y(t)u + z(t)u

x y z

Coordinate cartesiane: 

x(t)



 (2.11)

r (t) = y(t)



z(t)



−

r (t ) r (t ) = ∆r

Vettore spostamento: 2 1  −

∆x(t) = x(t ) x(t )

2 1



 (2.12)

−

∆r (t) = ∆y(t) = y(t ) x(t )

2 1

 −

∆z(t) = z(t ) z(t )

 2 1

Il vettore è la legge oraria in cinematica vettoriale.

r (t) = ∆r + r (t )

0 6

CAPITOLO 2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Figura 2.2: Rappresentazione di un punto nello spazio attraverso il vettore posizione e attraverso

le coordinate cartesiane.

Velocità media:  ∆x

∆v =

m,x ∆t



∆r  (2.13)

∆y

=

v = ∆v =

media m,y ∆t

∆t  ∆z

∆v =

 m,z ∆t

Vettore parallelo ed equiverso allo spostamento.

Velocità istantanea:  dx

v =

i,x dt



∆r dr dx(t) dy(t) dz(t)  (2.14)

dy

v = lim = = u + u + u = v =

ist x y z i,y dt

∆t dt dt dt dt

∆t→0  dz

v =

 i,z dt

Accelerazione media:  ∆v

∆a = x

m,x ∆t



∆v  ∆v (2.15)

y

a = = ∆a =

media m,y ∆t

∆t  ∆v

∆a = z

 m,z ∆t

Vettore parallelo ed equiverso alla velocità e allo spostamento.

Accelerazione istantanea: 2

 dv d x

a = =

x

i,x 2

dt dt



dv (t)

∆v dv dv (t) dv (t) 

y

x z 2

dv (2.16)

d y

y

a = lim = = u + u + u = a = =

ist x y z i,y 2

dt dt

∆t dt dt dt dt

∆t→0 2

 d d z

a = =

z

 i,z 2

dt dt

2.4 Problema inverso in cinematica vettoriale

Il ragionamento è il medesimo fatto per la cinematica scalare (sezione 2.2). Il vettore accelera-

zione è integrato al fine di ottenere il vettore velocità, che a sua volta è integrato per ottenere la

legge oraria.

2.5 Sistema di riferimento intrinseco alla traiettoria

Quando la traiettoria non è nota, il modo migliore per rappresentare un moto è attraverso un

sistema di riferimento intrinseco alla traiettoria stessa a partire dalle equazioni parametriche. Il

primo asse è tangente alla traiettoria in ogni suo punto, mentre il secondo è ortogonale all’altro ed

7

CAPITOLO 2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

è chiamato Tale asse è diretto sempre verso la concavità della curva. A partire da tale

normale.

sistema si definiscono due versori, il versore tangente e il versore normale che giacciono sugli

u u

T N

assi. Esempio in figura 2.3.

Figura 2.3: Sistema di riferimento intrinseco alla traiettoria Γ.

Attraverso questa trattazione si osserva che l’ascissa curvilinea e il vettore (rappresentato

∆s ∆r

dalla corda che congiunge i due punti della traiettoria) non coincidono, a meno di ridurre l’intervallo

di tempo considerato. In questo modo diventa tangente alla traiettoria e si trova sulla stessa

∆r

retta del versore tangente .

u T → |dr|

lim ∆r = dr = ds

∆t→0

Perciò se allora . Da ciò si ricavano la velocità e l’accelerazione nel sistema di

→ ·

∆t 0, dr = ds u

T

riferimento intrinseco.

2.5.1 Velocità in componenti intrinseche

Ricordando la definizione di velocità vettoriale istantanea data nelle sezione 2.14, si ha quindi:

dr dsu

T (2.17)

v (t) = = = v(t)u T

dt dt

La velocità vettoriale è un vettore diretto come la tangente alla traiettoria con modulo pari alla

velocità scalare.

2.5.2 Accelerazione in componenti intrinseche

Ricordando la definizione di accelerazione vettoriale istantanea data nelle sezione 2.16, si ha

quindi: d(v(t)u ) dv(t) du

dv T T (2.18)

a (t) = = = u + v(t)

T

dt dt dt dt

L’accelerazione si compone quindi di due addendi:

dv(t)

• L’accelerazione tangenziale (a ) che è un vettore tangente alla traiettoria: esiste

= u

T T

dt

se varia nel tempo la velocità scalare;

• L’accelerazione normale (a ) che è un vettore ortogonale alla traiettoria: esiste se

du

= v(t) T

N dt

varia nel tempo la direzione di (cioè se la traiettoria è curvilinea).

u T

Accelerazione normale

La direzione dell’accelerazione normale è la stessa del vettore normale, ottenuta derivando il

). Per determinare il modulo invece è necessario

vettore (quindi du du u

= v(t) v(t)

u a = v(t) T N

T

T N dt dt

fare uno studio geometrico. 8

CAPITOLO 2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Si consideri la figura 2.4. I versori tangenti alla traiettoria e considerati

u (t + dt) u (t),

T T

in istanti di tempo differenti, se uniti nelle code, formano tra loro un angolo Tracciando la

dϑ.

circonferenza con centro nelle code dei versori e con raggio pari al loro modulo, si ha che ·

dx = r dϑ,

dove è la lunghezza dell’arco di circonferenza tra i versori. Considerando che i versori hanno

dx

modulo unitario e avendo come la lunghezza della traiettoria tra i due istanti di tempo

dx Γ

considerati (quindi si ha che Allo stesso momento è l’angolo al centro della

dx = ds) ds = dϑ. dϑ

circonferenza di raggio sottesa al tratto della traiettoria perciò Poiché l’intervallo

ρ ds, dϑ = ds/ρ.

di tempo considerato è molto piccolo, si può approssimare |du | = dϑ = ds/ρ

T

Figura 2.4: Sistema di riferimento intrinseco alla traiettoria Γ.

Sostituendo l’ultima relazione nell’equazione dell’accelerazione normale si ha che:

2

du u v(t) ds v

T N (2.19)

a = v(t) = u = u

N N N

dt dt ρ ρ

L’accelerazione in componenti intrinseche è quindi: 2

dv v (2.20)

a (t) = a + a = u + u

T N T N

dt ρ

Se la velocità non cambia in modulo, Se la traiettoria è rettilinea (quindi la velocità non

dv/dt = 0.

cambia in direzione) si ha che e quindi l’accelerazione normale è nulla.

ρ = +∞

è il raggio del cerchio osculatore. È proporzionale alla curvatura.

ρ

2.6 Moti notevoli

I seguenti moti sono esempi notevoli del moto uniforme e uniformemente accelerato.

2.6.1 Moto rettilineo uniforme

La traiettoria è rettilinea e di solito Poiché il moto avviene in una sola direzione, lo

t = 0.

0

spazio è indicato con Per comodità è indicato come . La legge oraria vale quindi:

x. x(t ) x

0 0 (2.21)

x(t) = x + vt

0

In questo moto la legge oraria è una funzione lineare del tempo. La velocità media e la velocità

istantanea coincidono in ogni momento.

Poiché la velocità è costante, l’accelerazione ha valore nullo.

2.6.2 Moto rettilineo uniformemente accelerato

Valgono le considerazioni fatte per il moto rettilineo uniforme. La legge oraria ha espressione:

1 (2.22)

2

x(t) = x + v t + at

0 0 2 9

CAPITOLO 2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Importante è la relazione tra velocità e accelerazione in funzione del tempo: (2.23)

v(t) = v + at

0

In questo moto la legge oraria è una funzione quadratica del tempo, mentre la velocità è una funzione

lineare. L’accelerazione media e l’accelerazione istantanea coincidono in ogni momento.

2.6.3 Moto circolare uniforme

La traiettoria è circolare e la velocità scalare è costante e l’accelerazione tangente è quindi nulla,

2

per cui .

v

2

a = a = ω R =

N R

È un moto periodico, esprimibile come somma di due moti armonici di uguale ampiezza e fase

iniziale, sfalsati di (vedi sezione 2.6.4) lungo i due assi cartesiani e con periodo coincidente con

π/2

quello del moto circolare.

2.6.4 Moto armonico semplice

Moto che avviene su qualsiasi traiettoria. È un moto periodico (x(t) con

∀t

= x(t + T ) T

periodo del moto). È generato da una forza elastica oppure descrive il moto di un pendolo.

Legge oraria: (2.24)

x(t) = A cos (ω t + ϕ)

0

• fase iniziale;

ϕ:

• : pulsazione;

ω ω = 2π/T rad/s

0 0

• fase del moto;

ω t + ϕ:

0

• ampiezza del moto;

A:

Velocità scalare: dx (2.25)

−Aω

v (t) = = sin (ω t + ϕ)

s 0 0

dt

Accelerazione scalare: 2

d x

dv (2.26)

2 2

−Aω −ω ·

= = cos (ω t + ϕ) = x(t)

a (t) = 0

s 0 0

2

dt dt

Ogni volta in cui l’accelerazione è proporzionale all’opposto della legge oraria (a(t) ∝ −x(t))

2

allora si è in presenza di un moto armonico semplice. è l’equazione

d x

2

−ω ·

a (t) = x(t) =

s 0 2

dt

differenziale caratteristica del moto armonico semplice.

Moto di una molla

Il moto di una molla che oscilla è un moto armonico. Studiandolo infatti si otterrà l’equazione

differenziale caratteristica del moto armonico.

r r

k m

T = 2π

ω =

0 m k

Se si considera l’energia cinetica (capitolo 5) si ha:

1 1 1 (2.27)

2 2 2 2 2 2

·

k(t) = sin (ω t) =

mv(t) = m A ω A k sin (ω t)

0 0

0

2 2 2

L’energia potenziale elastica vale invece, come si vedrà:

1 1 (2.28)

2 2 2

U (t) = kx(t) = A k cos (ω t)

0

2 2

Utilizzando il teorema dell’energia meccanica (teorema 4) si ha quindi: 2

1 1 kA (2.29)

2 2 2 2

E = k(t) + U (t) = A k sin (ω t) + A k cos (ω t) =

0 0

M 2 2 2

L’energia meccanica è costante nel tempo. 10

CAPITOLO 2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Moto di un pendolo semplice in regime di piccole oscillazioni

Il moto di un pendolo che oscilla di piccoli angoli è un moto armonico. Studiandolo infatti si

otterrà l’equazione differenziale caratteristica del moto armonico.

La traiettoria del pendolo è un arco di circonferenza, grazie al filo inestensibile, e la legge oraria

è in funzione dell’angolo al centro (vedi figura 2.5).

ϑ Figura 2.5: Pendolo.

2 g

Attraverso i calcoli si ottiene Per angoli piccoli da cui l’equazione

d ϑ ≈

sin ϑ = 0. sin ϑ ϑ,

+

2 L

dt 2 g

differenziale caratteristica del moto armonico semplice Da ciò si ottiene:

d ϑ ϑ = 0.

+

2 L

dt

q g

• ω =

0 L

q

• L

T = 2π g

È importante notare che non dipendono dalla massa dell’oggetto.

2.6.5 Moto armonico smorzato da un attrito radente

In presenza di un attrito radente, una molla che oscilla su un piano orizzontale subisce l’azione

della forza peso e della reazione normale sull’asse delle ordinate, la cui risultante &eg