Fisica I - Appunti

Teorema di Carnot

Negando l'enunciato di Clausius, la macchina assorbe calore dal serbatoio a e lo cede al serbatoio T1a. Il calore ceduto e assorbito equivale a Q e quindi la macchina non compie lavoro. Ai due serbatoi è collegata una seconda macchina termica B, che assorbe calore dal serbatoio a e lo cede al serbatoio a. In questo caso però la macchina compie lavoro, quindi Q > Q1. Il calore ceduto vale come il calore trasferito dalla macchina A (figura 11.3). Il lavoro vale L = Q - Qass.

Se si considera la somma delle due macchine si ha che Q - Q = 0, Q = Q1 + Q2, tutte le relazioni viste finora si ha che: L = Q2 - Q1, e ciò è in contraddizione con l'enunciato di Kelvin.

Teorema di Carnot (di Carnot): Tutte le macchine reversibili che lavorano tra due (e due sole) sorgenti termiche a temperatura T1 e T2, con T1 > T2, hanno stesso rendimento. Qualsiasi altra macchina

2che lavori alle stesse condizioni ha un rendimento inferiore. Il risultato è indipendente dal sistemache compie il ciclo.Da tale teorema si ha che il massimo rendimento possibile per un gas ideale è il rendimento diCarnot: Tmin (11.1) ≤ −η η = 1x carnot TmaxIn particolare:

• se la macchina è reversibile: η = ηx carnot 59

• se la macchina è irreversibile: η < ηx carnot

essere due. Affinché però questa possa essere reversibile deve lavorare con un numero maggiore di serbatoi: l'unica macchina reversibile che lavora con due serbatoi è la macchina di Carnot.

11.2.1 Efficienza di una macchina frigorifera reversibile

Una macchina frigorifera di Carnot ha efficienza:

ξ = -T_C/T_H (11.4)

Dimostrazione. -1Q_ass/Q_ass = -1Q_L/Q_H (11.5)

ξ = Q_L/Q_H = Q_A/Q_C (11.6)

11.3 Entropia

11.3.1 Disuguaglianza di Clausius

Dal teorema di Carnot si ha che:

|Q_L|/T_L + |Q_H|/T_H ≤ 0 (11.7)

Questa relazione è valida anche in presenza di più di due serbatoi, con le dovute correzioni:

N QiX

(11.8) ≤ 0Tii=1Quest'ultima prende il nome di che se vista in forma infinitesimale, con disuguaglianza di Clausius, un numero di serbatoi che tende all'infinito, diventa: I dQ (11.9) ≤ 0T• se il ciclo è reversibile, vale l'uguaglianza; • se il ciclo è irreversibile, vale la disuguaglianza. La disuguaglianza di Clausius, il teorema di Carnot e il secondo principio della termodinamica sono equivalenti. 61

CAPITOLO 11. SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

11.3.2 La funzione di stato entropia

Se si considera un ciclo reversibile e lo si divide in due parti e nei punti A e B, si ottiene: Γ Γ Γ1 2I Z Z Z ZdQ dQ dQ dQdQ rev rev rev revrev (11.10)−= + = = 0T T T T TΓ ,A→B Γ ,B→A Γ ,A→B Γ ,A→B1 2 1 2Ciò girando la trasformazione lungo in quanto reversibile. Si ottiene che nel caso di un cicloΓ 2reversibile, la funzione dipende solamente dallo stato iniziale e da quello finale

ed è quindi una funzione di stato. Tale funzione prende il nome di entropia ed è misurata in J/K. L'entropia è una funzione di stato anche in caso di trasformazione irreversibile (Entropia). Sia una trasformazione qualunque, l'entropia è la funzione di stato:

Definizione 15:

ΔS = ∫_A^B dQ / T_rev

ΔS = S(B) - S(A) = nC_v ln(V_B / V_A)

Dimostrazione:

∫_A^B dQ / T = ∫_A^B dU / T + ∫_A^B p dV / T

∫_A^B dU / T = nC_v ln(T_B / T_A)

∫_A^B p dV / T = nR ln(V_B / V_A)

ΔS = nC_v ln(T_B / T_A) + nR ln(V_B / V_A)

11.3.3 Trasformazione isoentropica

Una trasformazione dove ΔS = 0 è detta isoentropica. Una trasformazione ciclica o una trasformazione adiabatica reversibile è isoentropica, mentre per una adiabatica irreversibile è ΔS > 0.

11.3.4 Principio di accrescimento dell'entropia

Considerando una trasformazione che è in parte irreversibile, dalla disuguaglianza di Clausius si arriva alla relazione:

∫_A^B dQ / T ≤ 0

dQrev (11.11)< = ∆ST TA AirrSe a questo punto si considera l’universo termodinamico e non più il sistema, questo ha scambidi calore nulli e pertanto: (11.12)≥∆S 0L’entropia dell’universo termodinamico (o un qualsiasi sistema termicamente isolato) non puòdiminuire: aumenta se la trasformazione è irreversibile, è nulla se la trasformazione è reversibile.11.4 Piano di GibbsDalla definizione 15 si ha quindi:BZ dQ dQrev rev (11.13)∆S = =⇒ dS = =⇒ dQ = T dSrevT TAda cui il grafico in figura 11.7. 62CAPITOLO 11. SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICAFigura 11.7: Esempio di trasformazione su un piano di Gibbs.11.4.1 CaratteristicheUn piano di Gibbs presenta le seguenti caratteristiche:• una trasformazione isoterma è rappresentata con una linea orizzontale;• una trasformazione isoentropica (adiabatica reversibile) è rappresentata con linee verticali;• una trasformazione isobara è

Rappresentata con linee a pendenza crescente;

• In una trasformazione ciclica, l'area interna corrisponde sia al calore reversibile sia al lavoro (per il primo principio).

Capitolo 12 Teoria cinetica dei gas

La teoria cinetica dei gas prevede lo studio di questi da un punto di vista microscopico, analizzando le interazioni tra particelle e recipiente. I gas vengono assimilati come ideali e quindi vengono fatte le opportune semplificazioni:

• Le molecole e gli atomi sono considerati come "particelle" e non interagiscono in maniera elettrostatica tra loro. Il moto si può quindi considerare come rettilineo uniforme ed è caotico (non esiste una direzione privilegiata);
• P vi velocità media (12.1)i< v >= =0 < v >:N
• Il volume del gas è di molto inferiore al volume del recipiente;
• Gli urti tra particelle e con il recipiente sono elastici;

Consideriamo il recipiente cubico con lato Prendiamo ad esempio l'urto in figura 12.1.

reazione∆t = 2L/vx,inormale.

63 64CAPITOLO 12. TEORIA CINETICA DEI GAS

Figura 12.2: Grafico degli urti tra le particelle e la parete.

Poiché la forza è impulsiva è più comodo utilizzare la media della sua intensità:2m v|∆p |x,i x,i (12.4)|< =R (t) >| =N,i ∆t L

Come detto, poiché il moto è caotico, la media delle velocità è nulla. È quindi più utile utilizzarela velocità quadratica media: 2P v (12.5)2 2 22 ii =< v > + < v > + < v >< v >= x y zN

A questo punto si può riscrivere la (12.3) come: 2v x,iPP mNRF mNx,tot N,i (12.6)i 2i Np = = = = < v >2 2 3