Appunti di fisica classica e moderna

Posizione e spostamento

La posizione r di un oggetto puntiforme (definita vettorialmente) descrive la sua collocazione rispetto a un punto di riferimento (origine). Posizione x(t) e y(t). La traiettoria del corpo è l’insieme delle posizioni dello spazio che il corpo occupa nel tempo. (curva arancione) Lo spostamento rappresenta la variazione della posizione di un oggetto puntiforme, dipende solo dalla posizione iniziale e finale. Al tempo iniziale t(iniziale) corrisponde una posizione iniziale r(iniziale). Al tempo finale t(finale) corrisponde una posizione finale r(finale). Il Δr rappresenta vettorialmente una grandezza che ci dice dov’è localizzato il corpo.

Esercizio

La posizione finale è rappresentata dal punto dove arriva il vettore Δr. Rf= -0,2 versore i /+0,2 versore j

Velocità

Quando un corpo varia la sua posizione nel tempo, la velocità è la variazione di spazio diviso il tempo impiegato a percorrerlo. La velocità di un corpo è rappresentata da una grandezza vettoriale che misura quanto rapidamente e in quale direzione orientate un oggetto puntiforme si muove. Velocità media relativa a un certo spostamento Δr compiuto dal corpo in un certo tempo Δt è il rapporto tra lo spostamento e il tempo. È un numero che descrive complessivamente la velocità del tragitto, ma non descrive la velocità che abbiamo avuto in ogni punto del viaggio. È la velocità costante che produce lo spostamento Δr nel tempo Δt. Il vettore Δr congiunge il punto di inizio e il punto di fine. Si tratta di un prodotto scalare, poiché Δr è una grandezza vettoriale e Δt una grandezza scalare.

Unità di misura della velocità è l’unità di misura dello spostamento diviso l’unità di misura del tempo. Nel sistema internazionale lo spazio si misura in metri e il tempo in secondi. [V]= [s]/[t]= nel sistema internazionale m/s. Il vettore Δs è la somma del vettore Δx e del vettore Δy, quindi se Δs/Δt= Δx/Δt / Δy/Δt oppure Vav= Vavx + Vavy (sono grandezze vettoriali) Vav (Δt)= r2-r1 /t2-t1. Queste due quantità diventano sempre più piccole man mano che l’intervallo di tempo diminuisce.

Velocità istantanea

La velocità istantanea al tempo t1 è il limite per Δt che tende a zero del rapporto Δs/Δt. Non dipende dall’intervallo di tempo scelto, descrive la velocità che il corpo ha istante per istante. Se l’intervallo di tempo tende a zero anche l’intervallo di spostamento tende a zero. Per rappresentare un moto di un corpo si va a vedere come cambiamo le quantità di interesse di un certo tempo. X(t) Vx (t) Y(t) Vy (t)

Legge oraria

Rappresentazione grafica della dipendenza dal tempo della coordinata x e della coordinata y. Sull’asse delle ascisse metto il valore del tempo, sull’asse delle ordinate metto il tempo e la velocità media è rappresentata dalla pendenza della corda che congiunge il punto iniziale con il punto finale. Esprime la dipendenza dal tempo delle grandezze stesse.

Accelerazione media

Grandezza di natura cinematica, rende quantitativo il fatto che la velocità cambia nel tempo. La velocità cambia nel tempo e vengono fissati due istanti t1 e t2 Δt=t2-t1 Δv= v(t2)- v(t1) è il rapporto tra la variazione di velocità e l’intervallo di tempo in cui l’accelerazione ha luogo —> a(media)= ΔV/Δt a= [V]/[t] —> L (lunghezza) / t /t —> m/s²

Accelerazione istantanea

L'accelerazione istantanea è il limite per la variazione del tempo che tende a zero di Δv/Δt ha la direzione orientata di Δv. Accelerazione istantanea a(t) ax(t) ay(t)

Esercizio

Esercizio

Seconda legge di Newton

La forza risultante è la somma vettoriale di tutte le forze applicate a un corpo. La forza risultante agente su un corpo è direttamente proporzionale all’accelerazione del corpo. La sommatoria per i che va da 1 a n di tutte le forze che agiscono sul corpo è direttamente proporzionale all’accelerazione che agisce sul corpo, quindi F=ma (questa formula non si dimostra è un postulato della meccanica, va data per buona e descrive molto bene i fenomeni che osserviamo in natura, fino a scala atomica).

Definizione del newton

Unità di misura della forza. Analisi dimensionale [m]x[a]=[F] [m] x [L] / [t]² —> Kg x m /s². Questa legge consente, noto l’insieme delle forze che agiscono sul corpo, di prevedere dove il corpo si troverà. È rappresentata in termini di vettori F Fx e Fy A Ax e Ay. Componente x della seconda legge Fx= m ax m dvx/dt --> m dx(t)/dt/dt m d/dx (dx(t) /dt) Fx= m (d²x(t) ) /dt²) trovare x(t)? La massa è nota, si tratta di un’equazione differenziale dove l’incognita da trovare è la x(t).

Accelerazione

Accellerazione=Δv/Δt Può essere 0 quando la velocità è uguale a 0 sempre (per ogni valore di t) o il corpo si muove a velocità costante sempre. (si riferisce alla prima legge della dinamica—> un corpo permane nel proprio stato di quiete o si muove con velocità costante, con moto rettilineo uniforme. La massa di un corpo è la misura della sua inerzia, ovvero la resistenza che un corpo oppone a cambiare il proprio stato di moto sotto l’azione di una forza, se non ci sono forze nette applicate al corpo esso non cambia il suo stato di moto.)

Esercizio

La corda deve rimanere sempre tesa e i blocchi si muovono con la stessa accelerazione. Forza normale esercitata dal piano d’appoggio. Forza di tensione esercitata dalla corda che tira. Forza peso. La forza normale e la forza peso si controbilanciano. Nel blocco di destra vi è una forza F. Essendo note le forze calcolare l’accelerazione. La forza di attrito è una forza resistente si oppone al movimento, se il corpo si muove verso destra la forza d’attrito è esercitata verso sinistra.

Funzione x(t) e velocità V(t)

La funzione x(t) è l’integrale tra 0 e t di v(t) dt. V(t)= lim di delta t che tende a 0 di Δx/Δt (numeratori e denominatori diventano piccoli a piacere) dx/dt Δt è una variazione finita dt è una variazione finita. V(t) = dx(t) / dt V(t)= x’(t). X(t)= ∫x’(t) dt X(t)= ∫dx(t) / d(t) d(t) = ∫dx

Notazioni importanti

X(t)= ∫v(t) dt V(t)= ∫a(t) dt a(t)= dv(t) / dt v(t)= dx(t) / dt

Composizione delle velocità

Se ci sono due sistemi inerziali uno in moto relativo rispetto all’altro è impossibile senza ulteriori osservazioni dedurre quale è in stato di quiete e quale è in movimento. La terra non è un sistema inerziale anche se apparentemente vale il principio di inerzia (se metto un corpo sul tavolo infatti esso permane nel suo stato di quiete). Nei moti circolari quando un corpo subisce una rotazione, anche se la rotazione è uniforme, il corpo è comunque accelerato, per questa ragione siccome la terra è un corpo in rotazione non è un sistema inerziale in quanto soggetta a un’accelerazione.

La terra come sistema non inerziale

La ragione per cui vale il principio d’inerzia nasce dal fatto che gli effetti di accelerazione del nostro pianeta sono misurabili, ma in certi casi così piccoli da essere trascurabili: nel laboratorio, ad esempio, la terra si comporta come un sistema inerziale anche se su larga scala non lo è, poiché la terra, come detto prima, è un sistema accelerato che ruota, gli effetti di questa accelerazione si possono misurare stando proprio sulla terra. Quando un corpo subisce una rotazione essa non è costante ma accelerata.

Teorema di composizione delle velocità secondo Galileo

Esempio: noi siamo fermi sulla banchina della stazione e ci passa davanti un treno che si muove a velocità costante, dentro al treno c’è una persona che cammina con una certa velocità lungo la direzione del treno. La velocità di questa persona che si muove rispetto a un passeggero che è seduto è la velocità che il signore ha rispetto a qualunque oggetto del treno fermo ovvero di 2 m/s. Una persona che però sta sulla banchina della stazione e vede il treno passargli davanti vede questo signore muoversi non con la velocità 2 m/s ma con una velocità che è la somma della velocità del passeggero rispetto agli oggetti del treno fermi più la velocità di tutti gli oggetti che sono dentro al treno e del treno rispetto alla terra.

Composizione delle velocità

Quindi se dobbiamo trovare la velocità rispetto a un sistema di riferimento dobbiamo vedere come il sistema di riferimento si rapporta all’oggetto che si muove e come l’oggetto si muove nel sistema. Supponendo di vedere un soggetto che cammina all’interno di un treno in movimento si nota che il soggetto, se esso si muove nella stessa direzione del treno, si muoverà con la sua velocità sommata alla velocità del treno. Se il passeggero avesse camminato in verso opposto rispetto al verso del treno, l’osservatore avrebbe visto una velocità complessiva che sarebbe stata la differenza tra la velocità del treno e la velocità del passeggero, quindi il passeggero per questo signore si muove con una velocità minore della velocità del treno perché il passeggero cammina in verso opposto rispetto a quello di avanzamento del treno.

Il tempo come invariante

Il tempo è invariante rispetto al sistema di riferimento che scegliamo; tutti gli osservatori misurano con i loro orologi lo stesso tempo. La velocità della luce nel vuoto (costante molto importante) è la più alta che noi conosciamo nel mondo osservabile, è un valore limite 3x10⁸ m/s. Grazie ai grandi acceleratori atomici le particelle vengono accelerate a velocità che sono vicine alla velocità della luce nel vuoto, facendo esperimenti con queste particelle si verifica che non è vero che il tempo misurato dalla particella in moto è uguale al tempo misurato dall’osservatore che vede questa particella viaggiare a una certa velocità. Vi sono delle particelle che decadano, ovvero che in tempi caratteristici si trasformano in altre particelle, si può dimostrare che se queste particelle sono ferme il decadimento ha un certo valore, se invece esse sono accelerate a velocità vicino alla velocità della luce il loro tempo di decadimento cala e quindi il tempo non è più un’invariata rispetto a cambiamenti di sistemi di riferimento (teoria della relatività ristretta di Einstein: fu il primo a intuire che il tempo non è ovvio che sia un’invariante riflettendo sul ruolo della luce nella fisica). Il teorema della composizione della velocità di Galileo vale in forma semplice solo se il tempo è un invariante.

Esercizio

La barca ha un motore che imprime una velocità di 4 m/s; è poi presente una corrente che trascina l’acqua da sinistra verso destra rispetto alla riva di 2 m/s. Queste due velocità non hanno la stessa direzione: la velocità della barca rispetto all’acqua e la velocità dell’acqua rispetto alla riva. La velocità complessiva della barca è la somma vettoriale della velocità Vba + Var, queste due velocità non hanno la stessa direzione quindi per sommarle bisogna usare la regola del parallelogramma (velocità complessiva della barca è la diagonale del parallelogramma). La barca attraversa quindi il fiume in diagonale, anche se il motore imprime alla barca una velocità perpendicolare alla riva mentre procede la barca viene trascinata dalla direzione della corrente. Si tratta di un moto in due dimensioni, il tempo che serve per attraversare il fiume è il tempo che la barca impiega con la velocità Vba per percorrere 1800m, se non c’è corrente nel fiume l’unica velocità è quella del motore, se c’è corrente invece il moto lungo y avviene con la stessa velocità ed è sempre lo stesso, ciò che cambia è che se non c’è corrente la barca va a finire perpendicolarmente da dove è partita, se c’è corrente invece essa trasporta la barca e la fa arrivare dall’altra parte in un punto che non è di fronte a quello da cui è partita perché c’è una componente di velocità nella direzione y, in conclusione il tempo impiegato è lo stesso poiché esso è invariante ed è determinato dalla velocità perpendicolare alle due rive. (se c’è corrente semplicemente la traiettoria della barca è diversa).

Quantità di moto

Si definisce in meccanica quantità di moto la grandezza vettoriale p = mv detta anche momento lineare. La sua unità di misura è Kg x m/s. P è un vettore e si ottiene dalla moltiplicazione di una costante che è la m per un vettore che è la v. La seconda legge della dinamica per una particella di massa m si può scrivere in termini della quantità di moto—> L’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo, la massa è una costante che non cambia per effetto del moto e essendo questa una costante può essere considerata una costante nel derivare e quindi questa relazione può essere scritta come la derivata di mv rispetto al tempo e quindi dp/dt.

Teorema dell’impulso

Se la risultante delle forze applicate al corpo è nulla, la quantità di moto si conserva quindi è costante nel tempo (poiché la derivata è nulla). Se il sistema è soggetto a forze che vengono determinate solo da parti del sistema su altre parti del sistema allora il sistema è isolato e quindi in questa situazione si è sicuri che la risultante sia zero sapendo che ogni forza va sempre a coppia e ognuna è accoppiata alla sua opposta. Per un sistema di particelle in cui le forze sono solo interne (cioè esercitate da particelle del sistema su altre particelle del sistema), la risultante delle forze applicate al corpo è nulla per la terza legge della dinamica e la quantità di moto totale si conserva.

Esempio

Esempio: esplosione di un proiettile, oggetto formato da parti ferme, ad un certo punto queste parti si mettono in movimento e il proiettile esplode, ovvero che le varie parti del corpo viaggiano in tutte le direzioni, ad ogni particella di massa m che viaggia in una direzione corrisponde una particella di massa uguale che viaggia in direzione opposta, in modo tale che la somma di tutte le quantità di moto sia nulla. Da questo principio di conservazione della quantità di moto si dice che la M1v1+ M2V2 = 0, quindi le due velocità devono essere opposte perché la somma delle quantità di moto sia nulla. La quantità di moto quindi è utile per studiare urti tra corpi.

Studio di moti 1D e 2D

Moto rettilineo

Moto rettilineo—> moto che avviene in una direzione, il corpo si muove su una linea retta (traiettoria è una retta).

Moto rettilineo uniforme (con velocità costante)

È un moto caratterizzato dalla proprietà di avere velocità costante. L’esempio della barca di prima è un esempio di moto rettilineo uniforme perché la barca ha velocità costante rispetto all’acqua e l’acqua ha velocità costante rispetto alla riva. La velocità ha quindi la stessa direzione e verso della traiettoria e il corpo percorre questa traiettoria. Se la velocità è costante, il simbolo di vettore può essere omesso perché tanto direzione e verso del vettore sono obbligatoriamente quelli del moto e quindi possiamo trascurare la natura vettoriale della velocità nel moto 1 D perché la velocità e lo spostamento devono essere concordi, in conclusione diciamo semplicemente che la velocità è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. (spazio e tempo sono direttamente proporzionali, x=Vxt). Se disegno un grafico spazio e tempo si ottiene una linea retta e il coefficiente angolare della retta è la velocità, più piccola è la velocità più piccolo sarà il coefficiente angolare della retta e viceversa. Il tempo è sempre sull’asse x e lo spazio sull’asse y. Per quanto riguarda la velocità il grafico è una retta orizzontale che corrisponde a un determinato valore di velocità costante. La caratteristica fondamentale del moto rettilineo uniforme è che la velocità è costante in intensità, direzione e verso e quindi l’accelerazione in questo moto è sempre 0 (a=ΔV/ΔT, se la velocità è costante, ad ogni istante preso la velocità ha lo stesso valore e quindi sia l’accelerazione media sia l’accelerazione istantanea sono nulle).

Esercizio

X0 posizione del cane o del coniglio al tempo t=0. Quando si incontrano xcane=xconiglio. Il cane quindi raggiunge il coniglio in 6s. Siccome il cane si muove ad una velocità superiore la retta che fa riferimento al cane ha un coefficiente angolare maggiore. Il secondo diagramma—> a ogni tempo corrisponde la stessa velocità.

Moto 1D—> moto rettilineo con accelerazione costante

Moto uniformemente accelerato

Qui è costante l’accelerazione e quindi abbiamo una direzione privilegiata che è la traiettoria del corpo e ancora una volta l’accelerazione e la velocità avranno la stessa direzione della traiettoria del corpo. Attenzione ai segni! Il corpo può muoversi nella stessa direzione dell’accelerazione oppure può muoversi in direzione opposta.