Appunti di Fisica

Appunti di fisica

Misura ed errori

La fisica studia le leggi fondamentali della natura tramite modelli della realtà e tutto ciò che è misurabile. Una legge fisica è una regolarità della natura esprimibile in forma matematica. L’utilizzo di modelli è necessario in quanto sarebbe impossibile studiare la realtà così com’è a causa della sua complessità; tramite modelli si possono evidenziare e mantenere di volta in volta solo gli aspetti essenziali che si vogliono andare a studiare. Il rapporto con la realtà è mediato quindi dalla rappresentazione dei modelli e dagli strumenti che permettono di compiere misurazioni.

La fisica è una scienza quantitativa, cioè si occupa di caratteristiche e proprietà del mondo che possono essere misurate e quantificate, quindi di grandezze fisiche che sono quindi caratteristiche di oggetti o fenomeni che si possono misurare. Misurare significa associare ad una grandezza fisica un numero tramite uno strumento di misura, confrontando la grandezza campione, detta unità di misura, con la grandezza presa in esame. Il valore numerico ottenuto è la misura della grandezza e deve essere accompagnato dall’unità di misura.

Esiste un sistema internazionale che fissa le grandezze fondamentali e le rispettive unità di misura che prende il nome di sistema internazionale di unità [SI]. Il SI è costituito da sette unità fondamentali, dalle quali poi si ottengono tutte le altre unità di misura di grandezze fisiche (grandezze derivate):

Il metro è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299.729.458 secondo. Il kilogrammo è la massa di un particolare cilindro di una lega di platino-iridio depositato presso l’Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure a Sèrves in Francia. Il secondo è il tempo che occorre alla radiazione emessa da un atomo di cesio-133 per completare 9.192.631.770 oscillazioni all’interno di un orologio atomico.

Le grandezze derivate sono definite a partire dalle grandezze fondamentali; alcuni esempi sono l’area, la densità, il volume.

La misura di oggetti o fenomeni presuppone un errore che è dato dalle caratteristiche stesse di ogni strumento di misura:

• Portata: intervallo massimo di valori entro cui lo strumento può misurare;
• Prontezza: rapidità nella risposta;
• Sensibilità: la più piccola variazione di grandezza che lo strumento può rilevare;
• Precisione: rapporto tra portata e sensibilità.

Si aggiungono a questi fattori, altri che entrano in gioco nel processo stesso di misurazione e che possono portare a vari tipi di errori:

• Errore sistematico: è dato dal malfunzionamento dello strumento per cause esterne;
• Errore casuale: è dato da fluttuazioni imprevedibili della grandezza da misurare;
• Errore accidentale: è dato da un errore nella modalità di misurazione.

Nel caso di una singola misura, la sua attendibilità è espressa tramite l’errore assoluto dato dalla sensibilità dello strumento utilizzato.

Esempio: (105 ± 1) km

L’errore assoluto da solo però non basta a determinare la precisione di una misura, quindi si ricorre al calcolo dell’errore relativo dato dal rapporto tra errore relativo e misura ottenuta. L’errore relativo non ha unità di misura ed è quindi un numero puro; tanto più è piccolo tanto più la misura associata è precisa.

L’errore percentuale è dato invece dall’errore relativo moltiplicato per 100.

Più si elabora e manipola una misura, ad esempio nel caso delle misure indirette, più l’errore ad essa associato cresce (si propaga) in modo diverso in relazione all’operazione che si compie:

• Somma: date le grandezze a ± Δa, b ± Δb, l’errore assoluto della somma a + b è dato dalla somma degli errori assoluti: E(a+b) = Δa + Δb
• Differenza: date le grandezze a ± Δa, b ± Δb, l’errore assoluto della differenza a - b è dato dalla somma degli errori assoluti: E(a-b) = Δa + Δb
• Prodotto: date le grandezze a ± Δa, b ± Δb, l’errore assoluto del prodotto a · b è dato dalla somma degli errori relativi: E(a·b) = a(Δa/a) + b(Δb/b)
• Quoziente: date le grandezze a ± Δa, b ± Δb, l’errore assoluto del quoziente a/b è dato dalla somma degli errori relativi: E(a/b) = a(Δa/a) + b(Δb/b)

Fluide

I fluidi sono sostanze che possono scorrere da un punto all’altro e non hanno forma propria, ma assumono quella del recipiente che li contiene. Sono quindi compresi liquidi e gas.

Un fluido è in equilibrio statico quando è in quiete nel suo complesso, ovvero quando i moti microscopici delle sue molecole non determinano un movimento d’insieme dell’intera massa del fluido. Un liquido, in quanto occupa solo una parte del recipiente che lo ospita, presenta una superficie libera, ovvero quella non a contatto con il recipiente, che è sempre piana e orizzontale.

La pressione è una misura della forza esercitata su un’unità di area; ovvero la pressione è definita come il rapporto tra l’intensità della forza premente sulla superficie e l’area della superficie. La pressione è una grandezza scalare misurata nel SI come N/m² e prende il nome di Pascal [Pa] dal nome del fisico e filosofo Blaise Pascal. Gli strumenti che misurano la pressione sono detti manometri. La pressione è direttamente proporzionale alla forza e inversamente proporzionale all’area.

Un fluido esercita una pressione sulle pareti del recipiente che lo contiene e su ogni oggetto immerso. La pressione in un fluido in equilibrio ha lo stesso valore in ogni punto del fluido e la forza che la genera è sempre perpendicolare alla superficie sulla quale viene esercitata.

La pressione dell’aria è detta pressione atmosferica [p_at] e ha il seguente valore: p_at = 1013 hPa = 1,013 · 10⁵ Pa. In genere è utilizzata l’unità ettopascal [hPa] pari a 100 Pa, ma è ancora diffuso il bar = 10⁵ Pa. Gli strumenti che misurano la pressione atmosferica sono detti barometri.

All’interno di un fluido la legge di Stevino fornisce la pressione interna di quel fluido. La pressione a una profondità h dalla superficie libera di un fluido è data dalla somma fra la pressione atmosferica e una quantità proporzionale ad h e alla densità d del fluido.

Spiega la legge dei vasi comunicanti: se nei vasi comunicanti il liquido ha tutta la stessa densità e la forza g è la stessa, allora anche l’altezza deve essere la stessa per la legge di Stevino. Una eccezione è rappresentata dal caso di un vaso costituito da un tubicino molto sottile. In quel caso entra in gioco la proprietà dell’acqua detta capillarità, per la quale essa si ‘arrampica’ sulle pareti per la grande forza adesiva. [Legge di Stevino: p = dgh + p_atm]

In conseguenza della legge di Stevino vi è il principio di Pascal: una pressione esterna, applicata a un fluido racchiuso in un recipiente, si trasmette inalterata in ogni punto del fluido [esperienza della botte di Pascal]. Un esempio di applicazione del principio di Pascal è il torchio idraulico, un sollevatore formato da due cilindri uno di base A₁ e l’altro di base A₂, maggiore di A₁. I cilindri, contenenti ciascuno un pistone, sono collegati attraverso un tubo e riempiti con un fluido. Se si preme sul pistone 1 con forza F₁ verso il basso, si ha un aumento di pressione nel cilindro 1 pari a Δp₁/A₁. Per il principio di Pascal, la pressione nel cilindro 2 aumenta della stessa quantità, pertanto sul pistone 2 si ha un aumento della forza verso l’alto pari a Δp₂/A₂. In questo modo è possibile sollevare oggetti pesanti con una forza molto inferiore alla loro forza peso.

Il fatto che la pressione di un liquido aumenti con la profondità porta come conseguenza a generare quella che è detta forza di galleggiamento o forza di Archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto di intensità pari al peso del volume del fluido spostato. [Principio di Archimede: F_g = Vg · d_f]

Un corpo è in equilibrio in un fluido se la sua forza peso compensa la spinta di Archimede, cioè se il suo peso è uguale al peso del fluido spostato.

• Se la densità del corpo è uguale alla densità del fluido, il corpo rimane sospeso nel fluido;
• Se la densità del corpo è maggiore della densità del fluido, il corpo va a fondo;
• Se la densità del corpo è minore della densità del fluido, il corpo galleggia: in questo caso il corpo è inizialmente immerso e viene fatto riemergere dalla spinta di Archimede fino a quando non raggiunge la condizione di equilibrio in cui il suo peso è uguale al peso del fluido spostato; la forma del corpo immerso influisce molto sul suo galleggiamento.

Cinematica

Vettori

Una grandezza scalare è una grandezza fisica espressa solamente da un numero, detto modulo o intensità, accompagnato da un’unità di misura. Una grandezza vettoriale è invece una grandezza fisica rappresentata matematicamente da un vettore.

Un vettore è un ente matematico definito da un modulo (numero non negativo), una direzione e un verso, il quale è definibile in due dimensioni (nel caso di un piano bidimensionale). Un vettore è rappresentato graficamente da una freccia, mentre in forma simbolica il vettore è dato da una lettera in corsivo con una piccola freccia sopra. La stessa lettera senza freccia indica il modulo del vettore.

I vettori si possono sommare, sottrarre, moltiplicare.

Sommare un vettore significa trovare il vettore somma o risultante. Il modulo della somma di due vettori non è uguale alla somma dei moduli dei vettori, a meno che questi vettori non abbiano la stessa direzione e lo stesso verso. I vettori si possono sommare utilizzando diverse modalità:

• Metodo punta-coda: per sommare i vettori A e B, si dispone la coda di B sulla punta di A; la somma è il vettore C che va dalla coda di A alla punta di B;
• Regola del parallelogramma: per sommare i vettori A e B, si fanno coincidere le loro code e si disegna il parallelogramma che ha i due vettori come lati; la somma è la diagonale del parallelogramma.

Per sottrarre due vettori, e quindi determinare il vettore differenza, la regola generale è la seguente: dato un vettore B da sottrarre al vettore A, si costruisce il vettore -B che è l’opposto di B; il vettore differenza è la somma dei vettori A e -B.

Per moltiplicare un vettore per un numero la regola generale è la seguente: dato un vettore A da moltiplicare per un numero x, si moltiplica il suo modulo per il valore assoluto del numero; la direzione del vettore prodotto non cambia, mentre il suo verso rimane lo stesso se il numero è positivo, si inverte se il numero è negativo.

Scomporre un vettore lungo due rette (qualsiasi) significa trovare due vettori diretti lungo queste rette, la cui somma sia uguale al vettore dato. Per farlo si ricorre alla regola del parallelogramma: se A è il vettore da scomporre lungo le rette r₁ ed r₂, si tracciano le parallele ad r₁ ed r₂ passanti per la punta di A; i lati del parallelogramma che si ottiene, orientati a partire dalla coda di A, rappresentano i vettori cercati (vettori che come somma danno A).

Per scomporre un vettore lungo i due assi cartesiani (trovare le componenti cartesiane): scegliamo un’origine O e un verso positivo per l’asse x e l’asse y; ponendo la coda di un vettore nell’origine e disegnando le parallele agli assi x e y che passano per la punta di A, si trovano due vettori perpendicolari A_x e A_y la cui somma è A.

Forze

Le forze tendono a modificare il moto dei corpi o a provocarne una deformazione; possono agire per contatto o a distanza. Le forze sono grandezze vettoriali, descritte matematicamente da vettori. La coda della freccia che rappresenta graficamente il vettore forza va collocata nel punto in cui agisce la forza, detto punto di applicazione. Un possibile strumento di misura delle forze è il dinamometro a molla, il cui funzionamento è basato sull’allungamento che una forza produce quando viene applicata a una molla.

L’unità di misura della forza è il newton [N], ovvero la forza che produce un allungamento della molla di un dinamometro uguale a quello prodotto da una massa appesa di 102 g. Quasi sempre su un corpo agiscono contemporaneamente più forze. La forza totale, o risultante di due o più forze che agiscono su un corpo, è il vettore R, somma vettoriale delle forze.

Il peso è la forza gravitazionale misurata in Newton. [P = mg]

La massa è una quantità invariante tipica di ogni corpo, misurata in kilogrammi.

Forza elastica: per allungare o comprimere una molla, dobbiamo compiere un certo sforzo dovuto al fatto che quando la molla viene accorciata o allungata esercita sulla nostra mano una forza di richiamo detta forza elastica, che tende a riportarla allo stato iniziale. La forza elastica è proporzionale all’allungamento e la sua entità è definita dalla legge di Hooke, che stabilisce il rapporto tra forza elastica e allungamento. Una molla esercita una forza elastica la cui intensità è direttamente proporzionale all’allungamento o alla compressione della molla: F_elastica = kx. La costante k è la costante di proporzionalità, ovvero la costante elastica della molla [N/m]. La legge di Hooke è una legge empirica, ciò significa che non vale per qualsiasi valore di x poiché ogni molla ha il proprio limite di elasticità.

Teoria degli urti

Un urto è una situazione in cui due oggetti si colpiscono tra di loro. Se il sistema è isolato durante l’urto, la quantità di moto si conserva. Ciò non significa che anche l’energia cinetica si conserva; spesso questa durante l’urto si trasforma in altre forme di energia.

Tipologie di urti:

• Urti elastici: si conservano energia cinetica e quantità di moto (caso limite che non si manifesta sulla Terra);
• Urti anelastici: le particelle che si urtano si incollano tra loro. Si conserva la quantità di moto, ma non l’energia cinetica.

Nel mezzo si collocano gli urti reali in cui le particelle non si incollano e non si conserva tutta la quantità di moto ed energia.

Baricentro ed equilibrio

Il baricentro di un corpo è il punto di applicazione della forza peso. Il corpo si comporta quindi come se tutta la sua massa fosse concentrata in quel punto. In un oggetto di forma regolare ed omogeneo, il baricentro è situato nel centro geometrico dell’oggetto, anche se questo punto è esterno all’oggetto.

Per determinare sperimentalmente il baricentro di un corpo si sfrutta il fatto che se un oggetto di forma qualsiasi viene sospeso in un punto, esso si dispone sempre in modo che il suo baricentro si trovi su una retta verticale che passa per il punto di sospensione. Un oggetto è in equilibrio finché il suo baricentro appartiene ad una retta che cade all’interno della base sulla quale l’oggetto è appoggiato.

Se un corpo rigido viene spostato dalla sua condizione di equilibrio, possono verificarsi tre situazioni (es. per un corpo appeso):

• Punto di sospensione al di sopra del baricentro: equilibrio stabile;
• Punto di sospensione al di sotto del baricentro: equilibrio instabile;
• Punto di sospensione che coincide con il baricentro: equilibrio indifferente.

Cinematica del punto

Un corpo (un punto materiale, supponendo che tutta la sua massa sia concentrata in un punto) in movimento descrive una traiettoria, cioè la linea che unisce le posizioni occupate successivamente dal corpo. Per descrivere il moto di un corpo serve inoltre un sistema di riferimento costituito da un sistema di assi cartesiani rispetto al quale individuare la posizione del corpo. Altro elemento importante per la descrizione del moto di un oggetto è il tempo, per poter dire in quale istante il corpo si trova in una certa posizione e quanto tempo impiega per spostarsi da una posizione all’altra.

Il moto di un corpo è sempre relativo a un sistema di riferimento; cambiando sistema di riferimento, il moto cambia. La distanza percorsa da un corpo è la lunghezza complessiva del tragitto. La distanza è espressa in metri ed è una grandezza scalare, quindi sempre positiva. Lo spostamento, Δ, di un punto materiale è...