Appunti di fisica 2: elettromagnetismo

Legge di Gauss

• consideriamo il campo prodotto da una carica puntiforme q e calcoliamo il flusso attraverso elemento di superficie chiuso dS si ha:

dΦ(E)=E⋅dΣ=E cosθdΣ=EdΣ=K_qdΩ ma dΩ=

quindi Φ(E)=K_qdΩ

Potento attraverso una superficie finita si ha:

Φ(E)=∫dΦ(E)=

• Se la superficie è chiusa e la carica è interna si ha: Φ(E_interno)=
• Se la superficie è chiusa e la carica è esterna si ha: Φ(E_esterno)=∮
• Dim: considerare un cono di angolo dΩ che stacca sulla superficie chiusa due elementi dΣ₁ e dΣ₂ ma in direzioni delle normali può a due contributi opposti:

dΦ(E)=E₁⋅dΣ₁=

dΦ(E)=E₂⋅dΣ₂=

quindi su tutta la superficie: Φ(E_esterno)=

• per il principio di sovrapposizione, nel caso di più cariche puntiformi si ha che il flusso attraverso una superficie chiusa del campo E_e generato da un sistema discreto di cariche è dato da:

Φ(E)=

con Σq_i: somma algebraica delle cariche contenute entro la superficie

Legge di Gauss in forma differenziale

• relazione che lega le derivate del campo in un determinato punto con la densità di carica ρ in quel punto
• sfruttiamo il teorema della divergenza ∂t =

pervento la legge di Gauss diventa:

Φ(E)=∮E⋅dΣ=∫∇⋅Edτ=

con ሼ

Legge di Gauss

• consideriamo il campo prodotto da una carica puntiforme q e calcoliamo il flusso attraverso elemento di superficie chiuso dS, si ha:

dΦ(E)=E•dS=Ecosθ dS=EdΩ=K_qma dΦ_E con K_q= quindi Φ(E)=k_qdΩ

Flusso attraverso una superficie finita, si ha:Φ(E)=∫dΦ(E)=Ω

• Se la superficie è chiusa e la carica è interna si ha: Φ(E_interno)=ε₀
• Se la superficie è chiusa e la carica è esterna si ha: Φ(E_esterno)=∮EdS=0

Dim: consideriamo un cono di angolo dΩ che sta sulla superficie chiusa. Due elementi, dS₁ e dS₂, ma l'incidenza delle normali porta a due contributi opposti:dΦ(E)=E•dS=quindi su tutta la superficie:Φ(E_esterno)= ∮EdS=0

• per il principio di sovrapposizione, nel caso di più cariche puntiformi si ha che il flusso attraverso una superficie chiusa del campo E_i generato da un sistema discreto delle cariche è dato da:

Φ(E)= con

Legge di Gauss in forma differenziale

• relazione che lega le derivate del campo in un determinato punto con la densità di carica ρ in quel punto
• sfruttiamo il teorema della divergenza:∂tε⟨EdS➝∇•Edτ

Diventa la legge di Gauss diventa:Φ(E)=∮EdS=∫∇•Edτ= ε₀con:

⟶ con

CONDENSATORI

• Capacità: C = ^q/_V
• Lavoro per portare una carica da un'armatura all'altra contro il campo E:

dw = Vdq = dw = ^Edq/_q = w = ^E/_2C dq = ^σ/_2C dq = ^UE di energia elettrostatica

Sensità superficiale di carica σ= ^Q/_S = ^Eε₀/_σ

AV= ʃ ds = AV = Ed = σ = V = Ed = Φ = ^qd/_ε₀S = ^Q = ε₀ ^Σ/_d

UE= ^Q2/_2C = ^{V2 ε₀}/_C ^l/₂ ^l/₂ ^l= ε₀ ^Σ/_d = ^l/₂ ε₀ ^Σ/_d = ¹/₁ ε₀^E2/_d = E ^(Σ)

Oppure ⇒ UE= ^l/_d = UE= ^l/_d = ε₀^E2/_d

CONDENSATORI IN PARALLELO:

• la d.d.p applicata è uguale alla d.d.p applicata al condensatore Cʟ
• q = CʟV . . . q = CʟV
• q = CʟV
• qʜᴏᴛ = q₁ + q₂ = CV + C₂V = V(Cʟ + C₂)
• Cₑq = ¹/_l = Cʟ + C₂

CONDENSATORI IN SERIE:

• il valore dell'arica è lo stesso su entrambi i condensatori
• σ = Cʟ(Vc - VB)
• q = C₂(Vb - Va)
• ⇒ Vc - Va = ^φ/_{Cʟ + C₂}
• ^φ/_Cₑq

¹/_Cₑq = ¹/_C₁ + ¹/_C₂

Carica di un condensatore

• Q = V C
• fem = V_C + V_R