Appunti di fisica 2: elettromagnetismo

Legge di Gauss

• Consideriamo il campo prodotto da una carica puntiforme q e calcoliamo il flusso attraverso un elemento di superficie cilindrica dS si ha:

dΦ(E) = E·ds = E·cos(α)dΣ = EdΣ = k_qo q/ε_o/r

dΦ(E) = k_q q/ε_o

• Potente attraverso una superficie finita si ha:

Φ(E) = ∮_S dΦ(E) = q/4πε_o

• Se la superficie è chiusa e la carica è interna si ha:

Φ(E)_(interna) = q/ε_o

• Se la superficie è chiusa e la carica è esterna si ha:

Φ(E)_(esterna) = ∮_Σ dΦEdΣ = 0

• Dimi: Consideriamo un cono di angolo dΩ che sta su una superficie chiusa. Due elementi dΣ₁ e dΣ₂ mi trovi in enzione delle normali unit, 2 due contributi opposti:

dΦ(E) = E₁dΣ₁ = E₂dΣ₂ = k_q qdΩ

• Quindi su tutta la superficie:

Φ(E)_(esterna) = ∮_Σ dΦ(E)dΣ = 0

• Per il principio di sovrapposizione, nel caso di più cariche puntiformi si ha che il flusso attraverso una superficie chiusa del campo è generato da un sistema di cariche è dato da:

Φ(E) = ∮ (Σ q_i)/ε_o

con Σ q_i : somma algebrica delle cariche contenute entro la superficie

Legge di Gauss in forma differenziale

• Relazione che lega le derivate del campo in un determinato punto, con la densità di carica ρ in quel punto
• Sfruttiamo il teorema della divergenza

∆Σ∫ ρ ∇ ·EdΣ = ∮∫ ∇·ρ V · dΣ

• Pertanto la legge di Gauss diventa:

Φ(E) = ∮_Σ dΦEdΣ = ∇ V_E dΣ = q/ε_o ^ ∫_V ρ dσ

con nabla E = ρ/ε_o

Condensatori

• Capacità:

  C = ^q/_V

• Lavoro per portare una carica q in un punto a distanza d dalla superficie di carica:

  dW = Vdq, dW = ^q/_q0 dq = ^q2/_2C

  W = ^q2/_2C = ¹/₂ CV² energia elettrostatica.

Q = ^ε₀/_d

V = ^Q/_ε0

ΔV = ∫Eds = ΔV = Ed = V = Ed

V = ^qd/_ε0

U_c = ^QV/_2C = ¹/₂ V²ε₀ ¹/₂ ε₀E²d = ¹/₂ ε₀E²(Σd)

U_e = ¹/₂ ε₀E²(Σd)

oppure U_e = ∫Udt = μe = ∫_S ε₀E1E1dσ

Condensatori in parallelo:

La d.d.p. applicata ai condensatore C₁ e uguale alla d.d.p applicata al condensatore C₂.

• q₁ = C₁V
• q₂ = C₂V
• q_tot = q₁ + q₂ = C₁V + C₂V
• C_eq = C₁ + C₂

Condensatori in serie:

Il valore della carica è la stessa su entrambi i condensatori

1. q = C₁(V_c - V_b)
2. q = C₂(V_a - V_a)

V_c - V_a = ^q/_C1 + ^q/_C2 = ^q/_Ceq

• ¹/_Ceq = ¹/_C1 + ¹/_C2

Polarizzazione per orientamento

• In assenza di un campo elettrico esterno, i dipoli molecolari sono orientati in modo casuale
• Quando applichiamo campo E_e, su ciascun dipolo di momento p₀ agisce un momento torcente che ne causa l’allineamento parallelo al campo E_e
• Così facendo viene detto polarizzazione per orientamento

In generale per entrambi i tipi di polarizzazione si ha che in presenza di un campo elettrico E_e si verifica un momento di dipolo medio <p> disposto lungo la direzione di E. Pertanto esiste una polarizzazione dielettrica P

• Nel caso semplice con il campo E uniforme si ha che anche in una porzione dielettrica uniforme in cui è immerso un condensatore carico meta nel dielettrico medio del condensatore (dove che densità dei dipoli è costante) esiste nel dielettrico una carica non si verifica sulla superficie del materiale ove appare una carica superficiale di polarizzazione q_p il cui densità σ_p

Equazioni dell’elettrostatica nei dielettrici

• Detto che le cariche di polarizzazione indotte da un campo E sono cariche fittizie, si ha:
  1. Φ(E) = 1/ε₀ ∫_Ω EdΣ = (q_e + q_p)/ε₀

Il flusso del campo elettrostatico attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma di tutte le cariche interne, sia libere (q_e) che di polarizzazione (q_p)

• Ma essendo P = 0 all’interno di un qualsiasi conduttore si ha che Φ′ di ∂Ω dΣ = P

ovvero Φ(E_µi_tT_sp)1_Σ = q_e) – ∫∂Ω dΣ = cq con D = ε₀E_t + P Vettore Induzione Elettrica

Legge di Gauss per induzione dielettrica

Il flusso dell’induzione dielettrica attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche libere contenute all’interno della superficie stessa

• Φ(D) – ∫∂Ω dΣ = q_e

Forze tra fili rettilinei percorsi da corrente

• Consideriamo due fili indefiniti, abbastanza vicini, percorsi rispettivamente da una corrente I₁ e I₂.
• Il secondo filo (cioè quello percorso da I₂) risente di una forza F₁₂ creata dal primo filo, perciòF₁₂ = lΔB₁ ove B₁ = (μ₀I₁) / (2πr) è il campo magnetico prodotto dal primo filo.

Allo stesso modo il primo filo (percorso da I₁) risente di una forza F₂₁ creata dal secondo filo, perciòF₂₁ = lΔB₂ ove B₂ = (μ₀I₂) / (2πr) è il campo magnetico prodotto dal secondo filo.

F₁₂ = F₂₁ = (μ₀I₁I₂l) / (2πr)

• Forze attrattive se i fili hanno lo stesso verso.
• Forze repulsive se i fili hanno verso contrario.

Legge di Ampere

• Consideriamo un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente I₁ che produce un campo magnetico B = (μ₀I) / (2πr) le cui linee di campo sono circonferenze concentriche al filo stesso.
• Preso ds, elemento di un tratto di circonferenza, possiamo considerare il prodotto scalare:Bds cosθd = (μ₀I) / (2π) essendo ds cosθd = dr
• Se invece consideriamo un tratto finito CD, avremmo l’integrale∫_CD B ds = (μ₀Iφ) / (2π) ∫_CD φ d
• Ma nel caso in cui la linea di circolazione fosse chiusa e le correnti più di una, si avrebbe:

∮ Bds = μ₀I

• ∮ l'integrale di linea del campo magnetico.
• B lungo una linea chiusa, ovvero la circuitazione.
• I(t) è uguale alla somma delle correnti concatenate moltiplicate per μ₀.
• B è il campo magnetico dovuto a tutte le correnti presenti.
• I è la somma algebrica delle correnti concatenate.