Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

​ ​ ​

Relazione​ di​ parità​ put-call

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Relazione​ che​ si​ deve​ verificare​ affinché​ non​ sorga​ opportunità​ di​ arbitraggio.​ Data​ una​ put​ e una​ call​ con

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

stesso​ strike​ price,​ stessa​ scadenza​ e stesso​ sottostante​ è possibile​ individuare​ una​ relazione​ che​ non

​ ​ ​

permette​ opportunità​ di​ arbitraggio.

Ipotesi: ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Non​ ci​ sono​ costi​ di​ transazione,​ margini​ o tasse

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● È​ possibile​ prendere​ e dare​ a prestito​ al​ tasso​ risk​ free.

Si​ definisce:

−t ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

R come​ il​ fattore​ di​ sconto​ che​ applico​ alla​ grandezza​ monetaria​ per​ calcolarne​ il​ valore​ attuale.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

(r=1+tasso).​ È il​ fattore​ di​ valore​ attuale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Consideriamo​ due​ opzioni​ put​ e call​ Europee​ con:

● Stessa​ scadenza

​ ​ ​ ​

● Stesso​ sottostante​ (non​ paga​ dividendi)

​ ​

● Stesso​ strike​ price

​ ​ ​ ​

Possiamo​ costruire​ la​ seguente​ relazione:

​ ​ ​ ​ ​

● Compro​ un'opzione​ put​ e un'azione

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Vendo​ una​ call​ e vendo​ un​ titolo​ privo​ di​ rischio​ (prendo​ a prestito​ al​ tasso​ privo​ di​ rischio​ il

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

valore​ attuale​ dello​ strike​ price,​ vendo​ uno​ ZCB​ e mi​ danno​ a prestito​ del​ denaro)

−t

​ C − P − S + K r

Ottengo:​

​ ​ ​ ​

Il​ valore​ è dato ​ ​ ​ ​ ​ ​

● dall'incasso​ derivante​ dalla​ vendita​ della​ call​ C

​ ​ ​ ​ ​ ​

● Sborso​ P per​ l'acquisto​ della​ put

​ ​ ​ ​ ​ ​

● Sborso​ S per​ il​ prezzo​ dell'azione

−t

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● K r

Incasso​ per​ la​ vendita​ dello​ ZCB

​ ​ ​ ​ ​ ​

A​ scadenza​ si​ possono​ verificare​ due​ scenari:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● S*<K​ la​ put​ mi​ garantisce​ un​ payoff​ positivo​ pari​ a K-S,​ mentre​ la​ call​ non​ verrà​ esercitata

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● S*>K​ la​ call​ mi​ garantisce​ un​ payoff​ positivo​ pari​ a S-K,​ mentre​ la​ put​ non​ verrà​ esercitata.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ totale​ del​ payoff​ alla​ scadenza​ è nullo,​ per​ entrambi​ gli​ scenari​ possibili.​ Questa​ posizione​ mi​ garantisce

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

sempre​ un​ payoff​ nullo,​ quindi​ anche​ il​ payoff​ iniziale​ deve​ essere​ nullo.​ Se​ costruisco​ una​ posizione​ che

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

vale​ zero​ a scadenza​ (con​ certezza),​ deve​ valere​ zero​ anche​ all'inizio,​ cioè​ non​ deve​ produrre​ flussi,

​ ​ ​ ​ ​

altrimenti​ si​ avrebbe​ opportunità​ di​ arbitraggio.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ non​ vale​ la​ posizione​ di​ arbitraggio​ si​ avrà​ un​ payoff​ iniziale​ positivo.​ Per​ evitare​ arbitraggio​ deve​ valere

−t ​ ​

C − P − S + K r = 0 ,​ da​ cui:

​ ​

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Questa​ equazione​ è nota​ come​ la​ relazione​ put-call​ parity​ per​ opzioni​ Europee​ su​ azioni​ che​ non​ pagano

dividendi. ​ ​ ​ ​

Rappresentazione​ grafica​ delle​ due​ posizioni

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● P+S:​ inizialmente​ la​ put​ scende​ e l'azione​ sale,​ ma​ la​ loro​ somma​ rimane​ costante.​ Quando​ il

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

prezzo​ del​ sottostante​ supera​ lo​ strike​ price,​ il​ valore​ della​ put​ rimane​ costante,​ mentre

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

l'azione​ continua​ a salire,​ quindi​ la​ loro​ somma​ sale,​ la​ posizione​ coincide​ con​ il​ valore

dell'azione.

​ ​ ​ ​ ​

Questa​ relazione​ deve​ essere​ uguale​ a:

−t ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● K r

C+ :​ l'obbligazione​ ha​ un​ valore​ costante.​ Mentre​ la​ call​ è fissa​ all'inizio​ e aumenta​ quando

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

lo​ strike​ price​ supera​ il​ prezzo​ del​ sottostante.​ La​ somma​ di​ questi​ valori​ ha​ un​ andamento

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

uguale​ a quello​ della​ call,​ ma​ traslate​ verso​ l'altro:​ è una​ call​ alla​ quale​ è stato​ aggiunto​ K.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Put​ call​ parity​ in​ caso​ di​ azioni​ che​ pagano​ dividendi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Nella​ situazione​ precedente​ il​ sottostante​ non​ stacca​ i dividendi.​ La​ relazione​ di​ put​ call​ parity​ vale​ con​ un

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

piccolo​ aggiustamento:​ bisogna​ sottrarre​ al​ prezzo​ dell'azione​ il​ valore​ attuale​ dei​ dividendi​ (D),​ cioè​ i

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dividendi​ che​ l'azienda​ staccherà​ da​ qui​ fino​ alla​ scadenza.

​ ​

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Chi​ possiede​ l'azione​ riceve​ il​ dividendo,​ ciò​ che​ si​ perde​ con​ il​ valore​ dell'azione,​ lo​ si​ incassa

​ ​

con​ il​ dividendo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Chi​ possiede​ l'opzione​ non​ riceve​ il​ dividendo,​ ma​ subisce​ un​ calo​ di​ prezzo​ del​ sottostante,

​ ​

senza​ ricevere​ nulla.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Chi​ assume​ una​ posizione​ corta​ sull'azione,​ si​ è fatto​ prestare​ l'azione​ da​ un​ tizio​ che​ la

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

possedeva.​ Se​ l'azione​ stacca​ un​ dividendo,​ il​ tizio​ ha​ diritto​ di​ ricevere​ il​ dividendo:​ il​ dividendo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

va​ restituito​ a chi​ ha​ prestato​ l'azione​ (che​ rimane​ proprietario).​ Il​ dividendo​ deve​ essere

​ ​

restituito​ al​ prestatore.

Riassumendo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Per​ opzioni​ put​ e call​ Europee​ è sufficiente​ conoscere:

​ ​ ​

● Prezzo​ della​ put​ P

​ ​ ​

● Prezzo​ dell'azione​ sottostante​ S

−t

​ ​ interesse​​ ​

● r

Tasso​ di​ ​ ​ ​ pagati​​ ​

● Dividendi​ che​ verranno​ D

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

per​ essere​ in​ grado​ di​ determinare​ il​ valore​ di​ una​ call​ con​ stessa​ data​ di​ scadenza​ e strike​ price​ della​ put​ (e

viceversa). ​ ​ ​ ​

Limiti​ ai​ prezzi​ delle​ opzioni

Dividendi​ incerti

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Nella​ put​ call​ parity​ abbiamo​ dato​ per​ scontato​ che​ conosciamo​ a priori​ e con​ certezza​ quanti​ dividendi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

l'impresa​ staccherà​ nel​ periodo​ di​ durata​ dell'opzione.​ Questa​ assunzione​ spesso​ non​ è verificata.

Poniamo​ allora:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● D+​ valore​ attuale​ dei​ massimi​ dividendi​ che​ verranno​ pagati​ durante​ la​ durata​ residua

dell'opzione

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● D-​ valore​ attuale​ dei​ minimi​ dividendi​ che​ verranno​ pagati​ durante​ la​ durata​ residua

dell'opzione.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Con​ ciò​ si​ assume​ che​ si​ conoscono​ solo​ il​ limite​ massimo​ e il​ limite​ minimo​ dei​ dividendi.

​ ​ ​ ​ ​

PROPOSIZIONE​ 1 (LIMITI​ DI​ PREZZO)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Mette​ in​ relazione​ il​ prezzo​ di​ un’opzione,​ prezzo​ e dividendi​ dell’azione​ sottostante,​ e prezzo​ dello

​ ​ ​ ​

zero-coupon​ bond​ privo​ di​ rischio

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ chiamiamo​ C il​ prezzo​ della​ call,​ questa​ proposizione​ indica​ il​ valore​ massimo​ e il​ valore​ minimo​ della

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

call.​ Qua​ si​ ragiona​ sul​ prezzo​ dell'opzione​ in​ qualsiasi​ istante​ (non​ sul​ payoff​ a scadenza).​ Anche​ perché​ se

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

fossimo​ a scadenza​ sappiamo​ già​ che​ L'opzione​ vale​ S-K

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ valore​ di​ un'opzione​ call​ non​ è mai​ minore​ del​ massimo​ tra​ (il​ limite​ minimo​ di​ prezzo​ di​ una​ call):

● 0 ​ ​ ​ ​ ​

● Il​ suo​ valore​ di​ esercizio​ S-K

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Il​ prezzo​ dell'azione​ meno​ il​ valore​ attuale​ del​ prezzo​ di​ esercizio​ meno​ il​ valore​ attuale​ dei

−t +

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ S − K r − D

dividendi​ che​ saranno​ pagati​ durante​ la​ durata​ residua​ dell'opzione​ ( ).

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ valore​ dell'opzione​ non​ è mai​ maggiore​ del​ prezzo​ dell'azione​ sottostante​ S.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Scomponiamo​ la​ dimostrazione​ in​ quattro​ parti​ e supponiamo​ che​ ogni​ parte​ sia​ violata.​ Se​ la​ violazione

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

comporta​ arbitraggio​ privo​ di​ rischio​ (l'opportunità​ di​ fare​ profitto​ positivo​ certo​ senza​ investimento),

​ ​ ​ ​ ​

allora​ la​ proposizione​ dovrà​ essere​ vera.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1. C>0:​ se​ il​ prezzo​ della​ call​ fosse​ negativo,​ avrei​ profitto​ privo​ di​ rischio:​ compro​ la​ call​ e ottengo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

denaro,​ il​ mio​ payoff​ iniziale​ è positivo​ e nullo​ a scadenza

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2. C>S-K:​ se​ il​ prezzo​ della​ call​ fosse​ minore​ di​ S-K​ si​ aprirebbe​ opportunità​ di​ arbitraggio​ in

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

quanto​ posso​ comprare​ la​ call​ ed​ esercitarla​ subito.​ Compro​ la​ call​ a un​ prezzo​ inferiore​ a S-K,

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

la​ esercito​ subito​ e ottengo​ S-K,​ quindi​ ottengo​ profitto​ positivo​ (non​ possibile​ in​ caso​ di​ call

Europea) −t + −t +

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

S − K r − D S − K r − D

3. C> :​ se​ C è minore​ di​ ,​ è come​ se​ la​ call​ fosse​ sottovaluta,​ quindi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

posso​ costruire​ una​ posizione​ che​ mi​ permette​ di​ fare​ arbitraggio​ comprando​ la​ call​ e

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

assumendo​ una​ posizione​ corta​ su​ tutto​ il​ resto.​ In​ questo​ modo​ il​ payoff​ iniziale​ è maggiore​ di

−t +

​ ​

S − K r − D

zero​ ( –​ C).

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ alla​ scadenza​ S<K,​ allora​ ho​ un​ payoff​ K-S*​ (positivo).

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ alla​ scadenza​ K<S,​ allora​ il​ payoff​ finale​ è pari​ a zero.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

In​ ogni​ caso​ il​ payoff​ complessivo​ è positivo​ e certo.​ Questa​ condizione​ genera​ opportunità​ di

​ ​ ​ ​ ​

arbitraggio,​ quindi​ non​ è possibile.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Liquido​ D+​ per​ coprire​ i dividendi​ maturati​ dalla​ posizione​ di​ venditore​ dell'azione.​ Se​ i dividendi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

effettivamente​ pagati​ sono​ inferiori​ a D+​ , allora​ rimarrà​ un’ulteriore​ quantità​ di​ denaro​ a disposizione.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

4. C<S:​ se​ ciò​ non​ valesse,​ si​ può​ comprare​ l'azione​ e vendere​ la​ call,​ ottenendo​ immediatamente

​ ​

una​ somma​ positiva.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

a. Se​ la​ call​ venduta​ è esercitata​ prima​ o alla​ data​ di​ scadenza,​ consegno​ l’azione​ ed

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ottengo​ un​ ammontare​ positivo​ pari​ a K

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

b. Se​ scade​ senza​ essere​ stata​ esercitata,​ si​ possiede​ ancora​ l’azione,​ che​ non​ può

​ ​

avere​ valore​ negativo

Rappresentazione​ grafica

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Si​ trovano​ il​ limiti​ del​ prezzo​ della​ call:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● ≤

C S:​ se​ il​ prezzo​ dell'azione​ è 1,​ la​ call​ può​ avere​ al​ massimo​ il​ valore​ di​ 1 (retta​ 45°)

−t +

● ≥ S − K r − D

C :

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Non​ può​ avere​ un​ valore​ negativo​ (escludo​ il​ quadrante​ inferiore)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ K=0,​ la​ call​ deve​ essere​ per​ forza​ uguale​ a S

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ S=0,​ la​ call​ deve​ essere​ per​ forza​ uguale​ a 0

​ ​ ​ ​

PROPOSIZIONE​ 2 (STRIKE​ PRICE)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Mette​ in​ reazione​ i prezzi​ di​ due​ (o​ tre)​ call​ con​ il​ loro​ strike​ price.​ È composta​ da​ tre​ condizioni:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1. Se​ esistono​ due​ call​ uguali​ che​ si​ differenziano​ solo​ per​ lo​ strike​ price,​ allora​ quella​ con​ lo​ strike

​ ​ ​ ​

price​ maggiore,​ vale​ di​ meno.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2. Il​ valore​ della​ differenza​ dei​ prezzi​ delle​ due​ call,​ non​ può​ superare​ la​ differenza​ tra​ gli​ strike

price. ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

3. Abbiamo​ tre​ call​ identiche​ che​ si​ differenziano​ solo​ per​ lo​ strike​ price.​ Il​ prezzo​ della​ call​ con

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

strike​ price​ "in​ mezzo"​ agli​ altri​ due,​ non​ può​ superare​ la​ media​ ponderata​ dei​ prezzi​ delle​ due

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

call​ estreme.​ I pesi​ sono​ le​ distanze​ dallo​ strike​ price​ "in​ mezzo"

​ ​

Dimostrazione​ della​ 1

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

K K

Ipotizziamo​ che​ la​ call​ con​ lo​ strike​ price​ maggiore​ vale​ di​ più​ rispetto​ all'altra​ C( )<C( ).​ Si​ può​ fare

1 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

arbitraggio​ comprando​ la​ call​ che​ ha​ prezzo​ più​ basso​ e vendendo​ la​ call​ che​ ha​ prezzo​ più​ alto.

​ ​ ​ ​ ​

Il​ payoff​ iniziale​ è positivo

​ ​ ​ ​ ​

Per​ quello​ finale​ abbiamo​ che​ se:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● S*<K1:​ le​ call​ scadono​ entrambe​ non​ esercitate​ e si​ chiude​ con​ un​ payoff​ nullo.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● K1<S*<K2:​ sarà​ esercitata​ la​ call​ con​ strike​ price​ K1.​ Ottengo​ profitto​ positivo​ pari​ a S-K1

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● S*>K2:​ rende​ conveniente​ l'esercizio​ di​ entrambe​ le​ opzioni.​ Si​ ottiene​ profitto​ positivo​ per

K2-K1.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Questa​ condizione​ permette​ opportunità​ di​ arbitraggio​ privo​ rischio

Rappresentazione​ grafica

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Proposizione​ 1:​ Se​ lo​ strike​ price​ è pari​ a zero,​ allora​ il​ prezzo​ della​ call​ deve​ stare​ per​ forza​ uguale​ a S.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Proposizione​ 2:​ Se​ aumento​ di​ 1 dollaro​ lo​ strike​ price,​ il​ prezzo​ della​ call​ diminuisce​ di​ una​ diminuzione​ al

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

massimo​ pari​ alla​ differenza​ degli​ strike​ price,​ la​ call​ si​ deprezza​ al​ massimo​ di​ 1 (retta​ 45°).

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Proposizione​ 3:​ curva​ decrescente,​ che​ asintoticamente​ tende​ a un​ prezzo​ della​ call​ pari​ a zero.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

In​ questo​ grafico​ il​ prezzo​ dell'azione​ sottostante​ è dato​ per​ costante.

​ ​ ​ ​ ​ ​

PROPOSIZIONE​ 3 (TEMPO​ A SCADENZA)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Mette​ in​ relazione​ il​ prezzo​ della​ call​ con​ il​ tempo​ a scadenza.​ Maggiore​ è il​ tempo​ a scadenza,​ maggiore​ è il

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

prezzo​ della​ call​ perché​ aumenta​ la​ probabilità​ che​ si​ verifichino​ valori​ estremi​ del​ sottostante,​ oltre​ al​ fatto

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

che​ una​ maggiore​ scadenza​ porta​ a un​ valore​ minore​ del​ valore​ attuale​ dello​ strike​ price,​ e quindi​ un

​ ​ ​ ​

maggior​ valore​ del​ prezzo​ dell'opzione.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ valore​ di​ una​ call​ non​ può​ essere​ inferiore​ al​ valore​ di​ un’altra​ call​ identica​ con​ tempo​ di​ scadenza​ più

breve. ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Supponiamo​ che​ la​ proposizione​ sia​ violata:​ compro​ quella​ che​ scade​ dopo​ (costa​ di​ meno),​ vendo​ quella

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

che​ scade​ prima​ (costa​ di​ più).​ All'inizio​ ho​ un​ profitto​ positivo.

Alla​ scadenza: ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Non​ si​ esercita​ la​ call​ che​ è stata​ venduta.​ Profitto​ positivo​ iniziale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Si​ esercita​ la​ call​ che​ è stata​ venduta.​ E lo​ può​ fare​ alla​ scadenza​ o prima​ della​ scadenza​ (con

opzioni​ Americane)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

○ Alla​ scadenza:​ ho​ in​ mano​ la​ call​ che​ vale​ ancora,​ mentre​ la​ sua​ è scaduta.​ Se​ la

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

esercita​ è un​ payoff​ negativo,​ ma​ la​ mia​ call​ che​ non​ è scaduta​ (ha​ time​ value

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

positivo)​ vale​ di​ più​ della​ sua.​ Devo​ corrispondere​ S1-K.​ È qualcosa​ di​ negativo,​ ma

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ho​ in​ mano​ un'opzione​ che​ vale​ di​ più​ del​ valore​ di​ esercizio,​ quindi​ se​ la​ vendessi

​ ​

otterrei​ profitto​ positivo.

​ ​ ​ ​ ​

○ Prima​ della​ scadenza:​ vale​ come​ prima.

PROPOSIZIONE​ 4

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ valore​ di​ una​ call​ deve​ essere​ maggiore​ di​ S-K​ in​ ogni​ momento​ ad​ eccezione​ di​ due​ momenti:

​ ​

● Alla​ scadenza:​ C=S-K

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Appena​ prima​ dello​ stacco​ del​ dividendo​ del​ sottostante​ ci​ possono​ essere​ dei​ casi​ in​ C=S-K​ (è

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

come​ se​ il​ time​ value​ è azzerato,​ nonostante​ ci​ sia​ ancora​ del​ tempo​ alla​ scadenza)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Dimostrazione:​ supponiamo​ che​ C = S – K tra​ due​ date​ di​ distribuzione​ dividendi.​ Sorgerebbe​ allora

​ ​

un’opportunità​ di​ arbitraggio:

​ ​

● Compro​ la​ call

● Vendo​ l'azione

−t

​ ​ ​ ​

● K r

Investo​ in​ obbligazione

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Liquido​ l’intera​ posizione​ subito​ prima​ della​ successiva​ data​ di​ distribuzione​ del​ dividendo.​ Il​ profitto​ sarà

​ ​ ​ ​ ​ ​

almeno​ pari​ all’interesse​ ottenuto​ sullo​ strike​ price.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ non​ liquido​ la​ posizione,​ non​ sono​ sicuro​ di​ ottenere​ un​ profitto:​ devo​ infatti​ restituire​ il​ dividendo​ al

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

prestatore​ dell’azione,​ che​ potrebbe​ essere​ maggiore​ dell’interesse​ guadagnato.

​ ​ ​ ​

PROPOSIZIONE​ 5 (ESERCIZIO​ OTTIMO)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Indica​ quando​ è ottimo​ esercitare​ la​ call:​ qual​ è l'istante​ di​ tempo​ più​ conveniente​ per​ esercitarla?

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● L'azione​ non​ paga​ dividendi:​ non​ mi​ conviene​ esercitarla​ prima​ della​ scadenza.​ Se​ la​ vendo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ottengo​ S-K+time​ value,​ se​ la​ esercito​ ottengo​ S-K.​ Non​ è ottimale​ esercitare​ questo​ tipo​ di

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

opzione​ prima​ della​ scadenza,​ perché​ potrei​ rivenderla​ e incassare​ di​ più.​ La​ porto​ a scadenza​ o

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

la​ vendo.​ Per​ la​ proposizione​ 4:​ C>S-K,​ quindi​ è conveniente​ venderla,​ piuttosto​ che​ esercitarla

​ ​

prima​ della​ scadenza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● L'azione​ stacca​ il​ dividendo:​ è ottimale​ esercitarla​ a scadenza​ o appena​ prima​ dello​ stacco​ del

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dividendo.​ Posso​ scegliere​ se​ esercitarla​ a scadenza​ o prima​ dello​ stacco​ del​ dividendo.​ Questa

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

scelta​ dipende​ da​ quanto​ è grosso​ il​ dividendo.​ Prima​ dello​ stacco​ del​ dividendo​ devo​ valutare:

il​​ ​ ​

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

○ Quanto​ è grande​ dividendo

: più​ è grande,​ più​ la​ call​ vale​ di​ meno.​ Ho​ il​ diritto​ di

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

acquistare​ qualcosa​ che​ vale​ di​ meno.​ Se​ esercito​ L'opzione​ prima​ dello​ stacco​ del

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dividendo​ mi​ copro​ dalla​ perdita​ che​ avrò​ domani​ sulla​ call.​ Perdita​ sul​ prezzo​ della

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

call​ se​ non​ esercito​ l'opzione.​ Se​ il​ dividendo​ è piccolo,​ allora​ è ottimo​ esercitarla

​ ​ ​

alla​ data​ di​ scadenza.

Il​​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

○ tempo a scadenza

: se​ esercito​ la​ call​ mi​ impegno​ ad​ acquistare,​ spendendo​ K.​ Se

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

l'avessi​ tenuto​ avrei​ potuto​ maturare​ degli​ interessi​ su​ K.​ Perdita​ del​ degli​ interessi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dovuto​ al​ fatto​ che​ esercito​ L'opzione​ prima​ dello​ stacco​ dei​ dividendi.​ Se​ decido​ di

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

esercitare​ la​ call​ oggi​ perché​ domani​ l'azione​ paga​ il​ dividendo,​ devo​ sborsare​ K.​ Se

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

decido​ di​ portare​ la​ call​ a scadenza,​ allora​ K posso​ investirlo​ in​ un​ risk​ free​ e

​ ​ ​ ​ ​

guadagnare​ interessi​ da​ oggi​ alla​ scadenza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ saldo​ tra​ questi​ effetti​ determina​ se​ devo​ esercitare​ l'opzione​ prima​ della​ scadenza​ o meno.​ Ad​ esempio,

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

se​ il​ dividendo​ è talmente​ grande​ che​ non​ si​ può​ recuperare​ la​ sua​ perdita​ con​ gli​ interessi,​ allora​ mi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

conviene​ esercitare​ la​ call​ prima​ dello​ stacco​ del​ dividendo​ (acquisto​ l'azione​ prima​ che​ perda​ valore)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Esercitare​ la​ call​ prima​ dello​ stacco​ del​ dividendo​ ha:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Beneficio​ non​ perdo​ il​ valore​ determinato​ dallo​ stacco​ del​ dividendo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Costo:​ si​ perde​ la​ possibilità​ di​ investire​ lo​ strike​ price​ in​ un​ titolo​ privo​ di​ rischio​ e guadagnare

​ ​ ​ ​ ​

gli​ interessi​ oggi​ fino​ alla​ scadenza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ si​ porta​ la​ call​ a scadenza:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Beneficio:​ ottengo​ gli​ interessi​ maturati​ sullo​ strike​ price

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Costo:​ il​ valore​ dell'azione​ e quindi​ della​ call​ diminuisce​ a causa​ dello​ stacco​ del​ dividendo.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Tre​ restrizioni​ di​ arbitraggio​ relative​ al​ corretto​ timing​ di​ esercizio​ di​ una​ call:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1. Una​ call​ non​ dovrebbe​ mai​ essere​ esercitata​ in​ un​ momento​ diverso​ dalla​ data​ di​ scadenza​ o

​ ​ ​ ​ ​

subito​ prima​ di​ una​ data​ ex-dividend

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2. Se​ il​ valore​ attuale​ dei​ massimi​ dividendi​ che​ devono​ essere​ pagati​ durante​ la​ vita​ residua​ di

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

una​ call​ sarà​ sempre​ minore​ del​ concomitante​ valore​ attuale​ degli​ interessi​ che​ possono​ essere

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

guadagnati​ sullo​ strike​ price​ durante​ lo​ stesso​ periodo,​ allora​ la​ call​ non​ dovrebbe​ essere

​ ​ ​

esercitata​ prima​ della​ scadenza

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

3. Se​ conviene​ in​ ogni​ momento​ esercitare​ una​ call,​ allora​ non​ è mai​ ottimo​ lasciare​ inesercitata

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

un’altra​ call​ identica​ con​ strike​ price​ inferiore​ o scadenza​ più​ breve.

Implicazioni

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Ho​ una​ call​ europea,​ non​ posso​ esercitarla​ prima​ della​ scadenza​ quindi​ è sempre​ ottimale​ esercitarla​ alla

​ ​ ​ ​ ​ ​

scadenza​ e venderla​ prima​ della​ scadenza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Ho​ una​ call​ americana,​ azione​ che​ non​ stacca​ i dividendi,​ non​ è ottimale​ esercitarla​ prima​ della​ scadenza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Una​ call​ americana​ e una​ call​ europea​ costruite​ su​ azioni​ che​ non​ staccano​ dividendi​ hanno​ lo​ stesso​ valore.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Esercitare​ la​ call​ americana​ prima​ della​ scadenza​ non​ è ottimale,​ è meglio​ venderla,​ per​ questo​ i prezzi

sono​ uguali.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ l'azione​ stacca​ dividendi,​ la​ call​ americana​ e quella​ europea​ non​ avranno​ lo​ stesso​ valore,​ perché​ in

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

alcuni​ casi​ è ottimale​ esercitare​ la​ call​ prima​ dello​ stacco​ dei​ dividendi​ (guardo​ l'effetto​ combinato​ di

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dividendo​ e interessi).​ Questo​ lo​ permette​ solo​ la​ call​ americana.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

L'esercizio​ anticipato​ è conveniente​ se​ l'effetto​ dell'interesse​ è prevalente​ rispetto​ a quello​ del​ dividendo.

​ ​

VALUTAZIONE​ DELLE​ OPZIONI

​ ​

Il​ modello​ binomiale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Con​ il​ modello​ binomiale​ bisogna​ fare​ delle​ semplificazioni:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1. Suddividiamo​ la​ durata​ della​ opzioni​ in​ periodi​ al​ termine​ dei​ quali​ il​ prezzo​ della​ call​ può

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

variare,​ mentre​ all'interno​ di​ questi​ periodi​ il​ prezzo​ della​ call​ rimane​ costante.​ Stiamo

​ ​ ​

operando​ in​ tempo​ discreto.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2. Si​ ipotizza​ che​ in​ ogni​ periodo​ il​ rendimento​ della​ call​ può​ assumere​ solo​ due​ e soltanto​ due

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

valori.​ Nel​ periodo​ successivo​ la​ call​ può​ avere​ solo​ due​ scenari​ che​ si​ possono​ verificare​ nella

realtà.

​ ​

Richiami​ di​ statistica

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Queste​ semplificazione​ possono​ essere​ rappresentate​ da​ un​ albero​ binomiale:​ suddiviso​ in​ nodi​ e ogni

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

passaggio​ da​ un​ nodo​ a quello​ successivo​ ha​ due​ possibili​ rami.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Gioco:​ n estrazioni​ da​ un’urna​ contenente​ 100​ palline,​ di​ cui​ k nere​ e 100-k​ rosse.​ Ad​ ogni​ estrazione,​ la

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

somma​ ottenuta​ fino​ a quel​ momento​ si​ moltiplica​ per:

​ ​ ​ ​ ​ ​

● $u,​ se​ si​ estrae​ una​ pallina​ nera

​ ​ ​ ​ ​ ​

● $d,​ se​ si​ estrae​ una​ pallina​ rossa

​ ​ ​ ​ ​

con​ u > d ​ ​

Triangolo​ di​ Pascal

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Riporta​ i passibili​ risultati,​ cioè​ il​ numero​ di​ percorsi​ possibili​ per​ n (numero​ estrazioni).​ J indica​ il​ numero​ di

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

successi,​ cioè​ il​ numero​ delle​ estrazioni​ di​ palline​ nere.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Per​ ogni​ coppia​ n,​ j la​ formula​ mi​ restituisce​ quanti​ sono​ i possibili​ percorsi​ (risultati)​ dell'albero​ binomiale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

per​ arrivare​ in​ quel​ nodo​ o scenario.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

La​ somma​ dei​ numeri​ (risultati)​ in​ ciascuna​ riga​ è 2n

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Formula​ per​ rappresentare​ ogni​ elemento​ della​ matrice​ in​ funzione​ del​ suo​ numero​ di​ riga​ e colonna​ (n,​ j):

​ ​ ​ ​

Risultati​ dopo​ n estrazioni:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

La​ probabilità​ associata​ all'esito​ di​ ogni​ estrazione​ non​ è influenzata:

​ ​ ​ ​

● Dal​ numero​ di​ estrazioni​ precedenti

​ ​ ​ ​

● Dalla​ sequenza​ dei​ risultati​ precedenti

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ manifestarsi​ di​ questi​ risultati​ segue​ un​ random​ walk​ stazionario​ moltiplicativo:​ la​ situazione​ attuale​ non

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

è​ influenzata​ da​ quello​ che​ è successo​ nel​ passato,​ la​ probabilità​ di​ avere​ successi​ è sempre​ la​ stessa​ per

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ogni​ periodo.​ I risultati​ successivi​ sono​ indipendenti​ e identicamente​ distribuiti.

Se​ n=2

Risultati d^2 du ud u^2

Probabilità (1-q)^2 (1-q)q q(1-q) q^2

​ ​ ​ ​

Funzione​ di​ distribuzione​ complementare​ binomiale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

La​ probabilità​ di​ arrivare​ in​ un​ singolo​ nodo​ dell'albero,​ deve​ essere​ moltiplicato​ per​ il​ numero​ di​ percorsi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

possibili​ (risultati)​ attraverso​ i quali​ posso​ arrivare​ in​ quello​ scenario:​ è più​ probabile​ finire​ negli​ scenari

​ ​ ​ ​ ​

intermedi,​ rispetto​ a quelli​ estremi.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

A:​ numero​ minimo​ di​ successi​ che​ voglio​ ottenere

​ ​ ​

J:​ numero​ di​ successi

​ ​ ​

N:​ numero​ di​ estrazioni

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

La​ funzione​ descrive​ la​ probabilità​ su​ n estrazioni​ di​ ottenere​ a successi.

​ ​ ​ ​

Modello​ binomiale​ di​ option​ pricing

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Si​ ipotizza​ che​ il​ prezzo​ dell'azione​ segue​ un​ modello​ binomiale​ moltiplicativo​ nel​ discreto.​ A fine​ periodo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

avremo​ due​ possibili​ prezzi​ dell'azione:​ l'azione​ potrà​ abbassarsi​ o alzarsi.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Ipotizzando​ che​ la​ call​ scada​ il​ periodo​ successivo,​ si​ avrà​ che​ il​ suo​ valore​ è:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Il​ massimo​ tra​ 0 e uS-K​ Cu,​ con​ probabilità​ q

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Il​ massimo​ tra​ 0 e dS-K​ Cd,​ con​ probabilità​ 1-q

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

In​ finanza​ deve​ valere​ l'assenza​ di​ opportunità​ di​ arbitraggio:​ due​ posizioni​ uguali​ devono​ avere​ lo​ stesso

prezzo.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ riesco​ a costruire​ una​ posizione​ che​ tra​ un​ periodo​ varrà​ esattamente​ quanto​ la​ call,​ allora​ il​ suo​ prezzo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

oggi​ dovrà​ essere​ uguale​ al​ prezzo​ della​ call.​ Si​ crea​ quindi​ un​ portafoglio​ di​ copertura​ costituito​ da:

● Δ​ azioni

​ ​ ​

● B​ obbligazioni​ risk​ free

​ ​ ​

Quindi​ in​ t=0​ avremo:

● ΔuS+rB

● ΔdS+rB

​ ​ ​ ​ ​

Si​ pone​ questa​ posizione​ uguale​ a

● Cu

● Cd

​ ​ ​ ​ ​ ​

Δ

Si​ calcola​ e B

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Valore​ di​ un'opzione​ in​ termini​ di​ portafoglio​ equivalente

In​​ ​ t=0​​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Δ

il​ prezzo​ della​ call​ deve​ essere​ uguale​ a S+Br,​ perché​ so​ che​ in​ t=1​ avranno​ lo​ stesso​ valore.​ Se​ ciò

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

non​ vale​ si​ aprono​ opportunità​ di​ arbitraggio.​ Per​ calcolare​ ciò​ è necessario​ conoscere​ Cu​ e Cd.​ Se​ questo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

viene​ calcolato​ a scadenza,​ allora​ sappiamo​ che​ la​ call​ varrà​ il​ massimo​ tra​ 0 e S-K.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Questa​ tecnica​ è utilizzata​ per​ coprirsi​ dal​ rischio​ dell'opzione:​ chi​ assume​ una​ posizione​ corta​ sulla​ call,​ si

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

copre​ con​ un​ portafoglio​ che​ replica​ la​ call.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

E’​ una​ prima​ formula​ per​ il​ prezzo​ dell’opzione​ che​ si​ basa​ sulla​ costruzione​ del​ portafoglio​ equivalente.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Valore​ di​ un'opzione​ in​ termini​ di​ valore​ attuale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ valore​ della​ call​ è pari​ alla​ probabilità​ di​ Cu+​ probabilità​ Cd​ (media​ pesata​ dei​ prezzi),​ scontati​ per​ il​ tasso

di​ attualizzazione.

Osservazioni

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

La​ probabilità​ di​ rialzo​ e ribasso​ dell'azione​ non​ è rilevante:​ queste​ probabilità​ soggettive​ dipendono

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dall'attitudine​ dei​ vari​ individui​ verso​ il​ rischio,​ noi​ stiamo​ assumendo​ solo​ l'assenza​ di​ arbitraggio,​ quindi​ la

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

sola​ variabile​ rilevante​ è il​ prezzo​ dell'azione​ sottostante,​ non​ si​ fa​ nessuna​ ipotesi​ sull'attitudine​ degli

individui. ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Scontare​ qualcosa​ al​ tasso​ del​ risk​ free,​ significa​ che​ qualcosa​ è certo.​ Si​ può​ utilizzare​ il​ tasso​ di​ risk​ free

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

perché​ non​ si​ fanno​ assunzioni​ sull'atteggiamento​ degli​ investitori,​ si​ ipotizza​ che​ l'investitore​ è neutrale​ al

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

rischio,​ è indifferente​ aspettare​ di​ più​ o di​ meno,​ quindi​ è possibile​ scontare​ al​ tasso​ di​ risk​ free.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

P​ è la​ probabilità​ che​ posso​ assegnare​ se​ ipotizzo​ che​ tutti​ gli​ investitori​ siano​ neutrali​ al​ rischio​ e quindi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

posso​ utilizzare​ il​ tasso​ risk​ free​ come​ tasso​ di​ sconto.​ La​ probabilità​ effettiva​ di​ rialzo​ e ribasso​ non

​ ​ ​

influenza​ il​ prezzo​ dell'opzione.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

La​ sola​ variabile​ casuale​ da​ cui​ dipende​ il​ prezzo​ della​ call​ è il​ prezzo​ dell’azione​ sottostante.

​ ​

Neutralità​ al​ rischio

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Come​ visto,​ le​ probabilità​ di​ variazione​ positiva​ e negativa​ del​ prezzo​ dell’azione​ non​ rientrano​ nella

​ ​ ​

formula​ del​ prezzo​ dell’opzione.

​ ​ ​

Esso​ non​ dipende​ da:

​ ​ ​ ​ ​

● Il​ valore​ atteso​ del​ prezzo​ dell’azione

​ ​ ​ ​ ​ ​

● L’attitudine​ degli​ investitori​ nei​ confronti​ del​ rischio

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

La​ ragione​ di​ ciò​ è che​ tali​ informazioni​ sono​ già​ incorporate​ nel​ prezzo​ dell’azione​ sottostante.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

E’​ quindi​ possibile​ calcolare​ il​ valore​ di​ un’opzione​ ipotizzando​ che​ tutti​ gli​ investitori​ siano​ neutrali​ al

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

rischio:​ tutte​ le​ attività​ finanziarie​ (opzioni​ incluse)​ avrebbero​ lo​ stesso​ costo​ del​ capitale,​ ovvero​ il​ tasso​ di

​ ​ ​

interesse​ privo​ di​ rischio

​ ​ ​ ​ ​

Modello​ option​ pricing​ neutrale​ al​ rischio

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Step​ del​ modello​ di​ option​ pricing​ neutrale​ al​ rischio:

​ ​ ​ ​ ​

1. Calcolare​ le​ probabilità​ neutrali​ al​ rischio

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

a. Probabilità​ di​ stati​ futuri​ coerenti​ con​ il​ prezzo​ corrente​ dell’azione​ ipotizzando​ che

​ ​ ​ ​ ​ ​

tutti​ gli​ investitori​ siano​ neutrali​ al​ rischio

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

b. Il​ valore​ atteso​ dell’azione​ calcolato​ secondo​ tali​ probabilità​ e scontato​ al​ tasso

​ ​ ​ ​ ​ ​

risk-free​ deve​ eguagliare​ il​ valore​ corrente​ dell’azione

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2. Calcolare​ il​ valore​ atteso​ dell’opzione​ secondo​ tali​ probabilità

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

3. Calcolarne​ il​ valore​ attuale,​ scontato​ al​ tasso​ risk-free

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

π)​

Le​ probabilità​ neutrali​ al​ rischio​ ( devono​ essere​ tali​ per​ cui:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​


ACQUISTATO

20 volte

PAGINE

97

PESO

7.50 MB

AUTORE

ellenys

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in management per l'impresa (MILANO - ROMA)
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ellenys di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Finanza aziendale avanzato e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Cattolica del Sacro Cuore - Milano Unicatt o del prof Signori Andrea.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Corso di laurea magistrale in management per l'impresa (milano - roma)

Economia dell'istruzione
Appunto
Apppunti di Metodologie 2 (bilancio consolidato e analisi di bilancio) + temi d'esame svolti
Appunto
Riassunto esame Gestione delle Risorse Umane, prof. Manzolini, libro consigliato Risorse Umane. Persone, Relazioni e Valore, Costa
Appunto
sunti Marketing Business to Business, prof. Tunisini
Appunto