Appunti di finanza aziendale avanzato

​

MODELLO​ RISCHIO-RENDIMENTO

​ ​ ​

Utilità​ attesa​ della​ ricchezza

​ ​

Assiomi​ dell'utilità​ cardinale

● Comparabilità

● Transitività ​

● Indipendenza​ forte

● Misurabilità

● Ordinamento

​ ​

Utilità​ della​ Ricchezza

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Livello​ di​ ricchezza​ è noto​ con​ certezza​ (ipotesi),​ di​ conseguenza​ è possibile​ individuare​ il​ grado​ di​ utilità.​ In

​ ​ ​ ​ ​

realtà​ le​ scelte​ sono​ soggette​ all'incertezza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ sono​ in​ grado​ di​ associare​ una​ probabilità​ agli​ scenari,​ posso​ calcolare​ una​ media​ di​ quella​ che​ sarà​ la

​ ​ ​ ​ ​

mia​ ricchezza​ finale​ per​ ciascuna​ probabilità.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

L'obiettivo​ è massimizzare​ l'utilità,​ ma​ essendo​ in​ condizioni​ di​ incertezza​ io​ ho​ diversi​ gradi​ di​ utilità

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

associati​ a diverse​ situazioni,​ quindi​ questo​ obiettivo​ è inutile.​ Posso​ solo​ assegnare​ una​ stima.​ Posso

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

calcolare​ invece​ l'utilità​ attesa:​ calcolo​ l utilità​ in​ ciascun​ scenario​ e lo​ pondero​ con​ la​ probabilità​ che​ gli

​ ​

scenari​ si​ verificano.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Ora​ l'obiettivo​ è quello​ di​ massimizzare​ l'utilità​ attesa​ della​ ricchezza.​ L'obiettivo​ è quello​ di​ scegliere

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

l'ipotesi​ che​ mi​ garantisce​ una​ utilità​ maggiore,​ in​ media:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1. Trovo​ la​ ricchezza​ attesa:​ probabilità​ x ricchezza

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2. Ipotesi:​ l'individuo​ massimizza​ l'utilità​ associata​ alla​ ricchezza​ attesa.​ Quindi​ devo​ calcolare

​ ​ ​

l'utilità​ attesa​ della​ ricchezza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ CAPM​ si​ basa​ su​ questa​ assunzione:​ l'investitore​ massimizza​ l'utilità​ attesa​ della​ ricchezza​ E[U(w)].

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Non​ è detto​ che​ una​ ricchezza​ maggiore​ dia​ una​ utilità​ maggiore:​ dipende​ dalla​ funzione​ di​ utilità.​ L’utilità

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

della​ ricchezza​ U(W)​ permette​ di​ attribuire​ una​ e una​ sola​ misura​ di​ utilità​ a ciascun​ livello​ di​ ricchezza.

Assunzioni: ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Il​ comportamento​ degli​ individui​ è dettato​ dall’obiettivo​ di​ massimizzare​ l’utilità​ derivante​ dalla

​

loro​ ricchezza

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● ​

Assioma​ di​ non​ sazietà:​ la​ funzione​ è sempre​ crescente​ (derivata​ prima​ positiva​ ()​ > 0)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● L'utilità​ marginale​ è decrescente:​ gli​ incrementi​ di​ utilità​ al​ crescere​ della​ ricchezza​ sono

​ ​ ​ ​ ​ ​

decrescenti.​ La​ derivata​ seconda​ è negativa.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Si​ potrebbe​ pensare​ che​ l’individuo​ massimizzi​ la​ media​ delle​ misure​ di​ ricchezza​ di​ fine​ periodo,​ ovvero​ il

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

valore​ atteso​ della​ variabile​ casuale​ ricchezza​ (RICCHEZZA​ ATTESA):

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

In​ realtà,​ in​ condizioni​ di​ incertezza,​ l’individuo​ non​ massimizzerà​ il​ valore​ atteso​ della​ ricchezza,​ ma​ l’utilità

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

attesa​ associata​ ad​ un​ dato​ livello​ di​ ricchezza​ (UTILITÀ​ ATTESA​ DELLA​ RICCHEZZA):

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Utilità​ della​ ricchezza​ attesa​ : è l'equivalente​ certo.​ Utilità​ che​ io​ ottengo​ se​ mi​ viene​ consegnata​ la​ somma

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

pari​ alla​ ricchezza​ attesa​ subito​ e con​ certezza​ . Questa​ misura​ è sempre​ superiore​ all'utilità​ attesa​ della

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ricchezza​ (in​ caso​ di​ avversione​ al​ rischio).​ Significa​ che​ l'individuo​ non​ vuole​ rischiare,​ è avverso​ al​ rischio,

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

la​ sua​ funzione​ di​ utilità​ è concava.​ Preferisce​ avere​ una​ vincita​ certa,​ piuttosto​ che​ partecipare​ alla​ lotteria

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

che​ gli​ permette​ di​ vincere​ di​ più,​ ma​ anche​ di​ meno.​ L'individuo​ avverso​ al​ rischio​ preferisce​ l'equivalente

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

certo,​ non​ vuole​ perdere​ ed​ è disposto​ a rinunciare​ alla​ possibilità​ di​ avere​ un​ guadagno​ maggiore.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Perché​ il​ metodo​ della​ ricchezza​ attesa​ e quello​ dell'utilità​ attesa​ della​ ricchezza​ danno​ risultati

contrastanti? ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Funzione​ concava:​ avversi​ al​ rischio​ (utilità​ marginale​ decrescente)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Funzione​ convessa:​ propensione​ al​ rischio​ (utilità​ marginale​ crescente)

​ ​ ​ ​

● Funzione​ lineare:​ indifferenza​ al​ rischio.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ CAPM​ ha​ l'assunzione​ che​ gli​ individui​ siano​ avversi​ al​ rischio,​ quindi​ hanno​ le​ funzioni​ concave.​ Gli

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

individui​ preferiscono​ sempre​ l'equivalente​ certo​ rispetto​ a partecipare​ alla​ lotteria.

​ ​ ​ ​

Come​ distinguere​ le​ varie​ funzioni:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1. Se​ l'utilità​ attesa​ della​ ricchezza​ è superiore​ alla​ utilità​ della​ ricchezza​ attesa,​ allora​ l'individuo​ è

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

propenso​ al​ rischio.​ In​ caso​ contrario​ è avverso​ al​ rischio

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2. Calcolo​ la​ derivata​ prima​ e la​ derivata​ seconda:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

a. Derivata​ prima​ maggiore:​ la​ funzione​ di​ utilità​ ha​ senso

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

b. Derivata​ seconda​ minore:​ l'individuo​ è avverso​ al​ rischio

3.

​ ​

FUNZIONE​ DI​ UTILITÀ: ​ ​ ​

● Strettamente​ crescente​ (non​ sazietà)

● Concava

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● I​ possibili​ risultati​ di​ Delta​ sono​ più​ "dispersi"​ rispetto​ a quelli​ di​ gamma

Definizioni

​

Principio​ media-varianza

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

CAPM​ si​ fonda​ sulla​ validità​ del​ principio​ media-varianza.​ Questo​ principio,​ a sua​ volta​ si​ fonda​ su​ tre

assunzioni: ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1. Investitori​ avversi​ al​ rischio:​ concave,​ preferenza​ dell'equivalente​ certo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2. I​ rendimenti​ dei​ titoli​ si​ distribuiscono​ secondo​ una​ variabile​ casuale​ normale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

3. L'investitore​ agisce​ massimizzando​ la​ propria​ utilità​ attesa​ della​ ricchezza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ queste​ condizioni​ sono​ soddisfatte,​ allora​ è valido​ il​ principio​ della​ media​ varianza:​ l'investitore

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

effettuerà​ le​ proprie​ scelte​ basandosi​ su​ due​ variabili:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1. Media​ : il​ rendimento​ atteso​ di​ un​ investimento

Varianza​​ ​ ​

2. dei​ rendimenti

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Egli​ massimizza​ l'utilità​ attesa​ scegliendo​ l'alternativa​ di​ investimento​ che:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● A​ parità​ di​ rendimento​ atteso,​ è caratterizzato​ da​ varianza​ minima

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● A​ parità​ di​ varianza,​ è caratterizzato​ da​ rendimento​ massimo.

​ ​ Il ​ ​ ​ ​ ​ ​

Distribuzioni​ asimmetriche​ e sintomi​ di​ curtosi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Variabili​ con​ queste​ caratteristiche​ non​ si​ presentano​ come​ una​ normale.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ principio​ della​ media-varianza​ è posto​ in​ discussione​ e quindi​ il​ modello​ del​ CAPM​ non​ vale.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Le​ differenze​ rispetto​ alla​ distribuzione​ normale​ si​ possono​ verificare​ in​ termini​ di:

Asimmetria:​​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● si​ verifica​ quando​ scostamenti​ dalla​ media​ di​ pari​ entità​ ma​ di​ segno​ opposto

​ ​

hanno​ probabilità​ diverse

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Curtosi:​ la​ distribuzione​ di​ probabilità​ dei​ valori​ attorno​ alla​ media​ è diversa​ rispetto​ alla

​ ​ ​

normale​ («spessore​ delle​ code»)

​ ​ ​ ​

Rendimenti​ e rendimenti​ logaritmici

​ ​

A​ cosa​ serve: ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Se​ il​ sottoperiodo​ è sufficientemente​ breve,​ il​ rendimento​ semplice​ e quello​ logaritmico

​ ​

tendono​ ad​ equivalersi.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Il​ rendimento​ di​ un​ periodo​ in​ forma​ logaritimica​ si​ può​ esprimere​ come​ somma​ dei​ rendimenti

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dei​ singoli​ sottoperiodi.​ Questo​ è importante​ per​ il​ teorema​ del​ limite​ centrale:​ la​ distribuzione

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

di​ una​ variabile​ casuale​ che​ è generata​ dalla​ somma​ di​ altre​ variabili​ casuale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

(indipendentemente​ dalla​ loro​ distribuzione),​ tende​ a essere​ distribuita​ come​ una​ normale.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Se​ la​ distribuzione​ dei​ rendimenti​ dei​ sottoperiodi​ brevi​ è stazionaria,​ la​ distribuzione​ dei

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

rendimenti​ di​ periodo​ ln​ (1+rT​ ) tenderà​ alla​ normale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

L'assunzione​ del​ principio​ di​ media-varianza​ è soddisfatto​ in​ quanto​ dalla​ somma​ dei​ rendimenti​ si​ ottiene

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

una​ normale.​ Quindi​ i rendimenti​ logaritmici​ sono​ distribuiti​ secondo​ una​ normale.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

È​ importante​ che​ i rendimenti​ dei​ sottoperiodi​ siano​ stazionari.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

I​ rendimenti​ semplici​ tendono​ a distribuirsi​ come​ una​ log-normale​ . È una​ approssimazione​ della​ normale,

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

quindi​ si​ possono​ trattare​ anche​ i rendimenti​ semplici​ come​ se​ fossero​ distribuiti​ normalmente.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Nella realtà i rendimenti dei titoli si distribuiscono normalmente?

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

NO.​ Verifiche​ empiriche​ mostrano​ che​ la​ distribuzione​ dei​ rendimenti​ presentano​ asimmetria​ e curtosi

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Curtosi:​ la​ distribuzione​ del​ rendimento​ di​ un​ titolo​ tende​ a non​ essere​ stazionaria.​ La​ media​ e

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

la​ varianza​ non​ sono​ per​ sempre​ pressoché​ uguali,​ media​ e varianza​ cambiano​ nel​ tempo.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Questo​ genera​ sintomi​ di​ leptocurtosi.​ Rendimenti​ vicini​ alla​ media​ sono​ più​ probabili​ rispetto

​ ​

alla​ distribuzione​ normale

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Asimmetria:​ media,​ mediana​ e moda​ non​ corrispondono.​ Non​ esiste​ una​ rendimento​ inferiore

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

a​ - 100%,​ però​ non​ ci​ sono​ limiti​ superiori.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

L'osservazione​ empirica​ non​ conferma​ la​ normalità​ della​ distribuzione​ dei​ rendimenti,​ quindi​ non​ si​ può

​ ​ ​

applicare​ il​ principio​ media-varianza.

​ ​ ​ ​

Conseguenze​ dell'asimmetria​ sul​ principio​ media-varianza

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● In​ presenza​ di​ normalità,​ ad​ ogni​ scostamento​ dalla​ media​ corrisponde​ uno​ scostamento​ di​ pari

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

entità​ e segno​ opposto​ avente​ uguale​ probabilità

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Ma​ a parità​ di​ scostamento​ dalla​ media:​ il​ «guadagno»​ di​ utilità​ non​ compensa​ la​ «perdita»​ di

​ ​ ​

utilità​ (avversione​ al​ rischio)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● A parità​ di​ rendimento​ atteso,​ l’investimento​ con​ rendimenti​ meno​ dispersi​ ha​ maggiore​ utilità

attesa

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se​ la​ distribuzione​ dei​ rendimenti​ è normale,​ l'investitore​ avverso​ al​ rischio​ preferirà,​ a parità​ di

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

rendimento,​ l'opportunità​ di​ investimento​ con​ minore​ varianza,​ e avrà​ necessità​ di​ conoscere​ solo​ due

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

parametri​ riguardanti​ la​ distribuzione​ dei​ rendimenti​ degli​ investimenti​ tra​ cui​ può​ esercitare​ la​ sua​ scelta,

​ ​ ​ ​ ​ ​

cioè​ la​ media​ e la​ varianza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ fatto​ che​ una​ distribuzione​ di​ investimento​ è non​ normale,​ rende​ invalido​ il​ principio​ di​ media-varianza.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

In​ presenza​ di​ asimmetria​ gli​ investimenti​ non​ possono​ più​ essere​ confrontati​ solo​ sulla​ base​ della​ media​ e

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

della​ varianza:​ non​ è più​ vero​ che​ scostamenti​ sopra​ e sotto​ la​ media​ di​ medesima​ entità​ hanno​ il

​ ​ ​

medesimo​ grado​ di​ probabilità.

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

In​ caso​ di​ asimmetria​ destra,​ il​ guadagno​ di​ utilità​ (per​ un​ investitore​ avverso​ al​ rischio),​ più​ che​ compensa

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

la​ perdita​ di​ utilità.​ Questo​ significa​ che​ gli​ investitori​ dimostrano​ preferenza​ per​ l'asimmetria​ positiva​ (o

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

destra),​ e di​ conseguenza​ gli​ investimenti​ verranno​ scelti​ sulla​ base​ della​ media,​ della​ varianza,​ e della

asimmetria. ​ ​

Diversificazione​ di​ portafoglio

​ ​ ​

Composizione​ di​ un​ portafoglio

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Il​ peso​ di​ un​ titolo​ all'interno​ di​ un​ portafoglio​ può​ essere​ negativo​ o positivo:

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Positivo:​ posizione​ lunga.​ Comportano​ un​ esborso​ perché​ li​ devo​ acquistare

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

● Negativo:​ posizione​ corta.​ Comporta​ un​ entrata​ di​ denaro​ perché​ li​ vendo

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

○ Vendita​ allo​ scoperto:​ l'investitore​ prende​ a prestito​ tale​ titolo​ da​ chi​ lo