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R̄= R R R R1 2 T tT T =t 1RDove è il rendimento realizzato di un titolot t, Tall'anno per gli anni da 1 aVarianza stimata utilizzando i rendimentirealizzati T1 ∑ 2( )( -Var R)= R R̄t-T 1 t= 1Si stima la deviazione standard ovolatilità come la radice quadratadella varianza.Il rendimento medio è soltanto unastima del rendimento atteso.Errore Standard: una misura statistica del grado di errore della stima(singoliSD rischi))=SD( media di rischi identici e indipendenti √ numero di osservazioniSD = Standard deviation = SQM95% intervallo di confidenza•Per lo S&P 500 (1926–2014)( )20,1 % =12,012,0 % ± 2 % ± 4,3 % Che corrisponde a un intervallo dal 7,7% al 16,3%√ 89Trade-off Rischio – Rendimento:Rendimento di portafogli di grandi dimensioniRendimento in eccesso: la differenza tra il rendimento medio di un investimento e ilrendimento medio dei Buoni del TesoroRischio specifico di impresa e rischio
Quando si inseriscono molte azioni in un portafoglio di grandi dimensioni, il rischio specifico dell'impresa per ogni azione si compensa e viene diversificato. Il rischio sistematico, invece, avrà ripercussioni su tutte le imprese e non sarà diversificato. È influenzato da notizie buone/cattive sull'impresa o sul mercato.
Assenza di Arbitraggio e Premio per il Rischio: Il premio per un rischio diversificabile è nullo, perciò gli investitori non sono compensati per il rischio specifico dell'impresa. Se il rischio diversificabile delle azioni fosse compensato con un premio per il rischio aggiuntivo, allora gli investitori potrebbero acquistare azioni, ottenere un premio aggiuntivo e nello stesso tempo diversificare ed eliminare il rischio. Il premio per il rischio di un titolo è determinato dal suo rischio sistematico e non dipende dal suo rischio diversificabile. Questo comporta che la volatilità di un'azione,
che è una misura del rischio totale (rischio sistematico più rischio diversificabile), non è molto utile per determinare il premio per il rischio che gli investitori otterranno. Misurazione del rischio sistematico La deviazione standard non è una misura ragionevole per il rischio di un singolo titolo. Non dovrebbe esservi alcuna relazione chiara tra volatilità e rendimento medio per i singoli titoli. Di conseguenza, per stimare il rendimento atteso per un titolo, dobbiamo trovare una misura del rischio sistematico del titolo stesso. Per misurare il rischio sistematico di un'azione, occorre determinare quanto la variabilità del suo rendimento è dovuta al rischio sistematico, o rischio di mercato, e quanto al rischio non sistematico. Per determinare quanto il rendimento di un'azione sia sensibile al rischio sistematico, osservate il cambiamento medio del rendimento per ogni 1% di cambiamento nel rendimento di un portafoglio chesubisce fluttuazioni dovute solamente al rischio sistematico.
Portafoglio efficiente: un portafoglio che contiene solamente rischio sistematico. Non vi è modo di ridurre la volatilità del portafoglio senza ridurre il suo rendimento atteso.
Portafoglio di mercato: un portafoglio efficiente che contiene tutte le possibili azioni e i titoli sul mercato proxy. Lo S&P 500 è spesso usato come del portafoglio di mercato.
Sensibilità al rischio sistematico: il Beta (β)
Il beta di un titolo è in relazione alla sensibilità di fatturato e flussi di cassa alle condizioni globali dell'economia. Le azioni di settori ciclici sono tendenzialmente più sensibili ai rischi sistematici e presentano beta maggiori rispetto alle azioni di settori meno sensibili.
La variazione percentuale attesa del rendimento in eccesso di un titolo per una variazione dell'1% del rendimento in eccesso del portafoglio di mercato.
Il beta è
diverso dalla volatilità. Quest’ultima misura il rischio totale (rischiosistematico e non sistematico), mentre il beta misura soltanto il rischiosistematico.
Calcolo del Beta
Problema
Supponete che il portafoglio di mercato tenda a crescere del 52% quando l’economia è forte e a calare del 21% quando l’economia è debole.
Qual è il beta di un’impresa di tipo S il cui rendimento è del 55% in media quando l’economia è forte e del–24% quando l’economia è debole?
Qual è il beta di un’impresa di tipo I che sostiene soltanto un rischio idiosincratico, specifico dell’impresa stessa?
Soluzione
Il rischio sistematico produce una variazione del 52% – (–21%) = 73% nel rendimento del portafoglio di mercato.
Il rendimento dell’impresa di tipo S varia del 55% – (–24%) = 79% in media.
Quindi il beta dell’impresa è β = 79%/73% = 1,082.
SOvvero, per ogni
Variazione dell'1% nel rendimento del portafoglio di mercato si ha una variazione dell'1,082% nel rendimento dell'impresa di tipo S.
Stima del premio per il rischio
Premio per il rischio di mercato
Il premio per il rischio di mercato è la ricompensa che spetta agli investitori che detengono un portafoglio con un beta pari a 1.
Aggiustamento al beta
Stima del rendimento atteso di un titolo in funzione del suo beta
[ ][ ] = + + -r )
E R tasso privo di rischio premio per il rischio=r β ×( E Rf Mkt f
Problema
Supponete che l'economia abbia una probabilità del 60% che il rendimento del mercato sarà il 15% il prossimo anno e una probabilità del 40% che il rendimento del mercato sarà il 5% il prossimo anno.
Ipotizzate che il tasso privo di rischio sia del 6%.
Se il beta di Microsoft è 1,18, qual è il suo rendimento atteso per il prossimo anno?
Soluzione
E[R ] = (60% × 15%) + (40% × 5%) = 11%
Mkt r rE[R] = +
β ×(E[R ] − )f Mkt fE[R] = 6% + 1,18 × (11% − 6%)E[R] = 6% + 5,9% = 11,9%CAP 11.7 Capital Asset Pricing Model
Il Capital Asset Pricing Model permette di individuare il portafoglio efficiente di attività rischiose senza dover conoscere il rendimento atteso di ogni titolo.
Il CAPM utilizza le scelte ottimali effettuate dagli investitori per individuare il portafoglio efficiente come il portafoglio di mercato, cioè il portafoglio di tutte le azioni e titoli presenti sul mercato (o di una sua proxy, lo SP-500).
Tre ipotesi principali
Ipotesi 1: gli investitori possono acquistare e vendere tutti i titoli al prezzo di mercato (senza sostenere costi di transazione o pagare imposte) e possono prendere o dare a prestito denaro al tasso di interesse privo di rischio.
Ipotesi 2: gli investitori detengono solamente portafogli efficienti di titoli scambiati – portafogli che danno il maggiore rendimento atteso per un determinato livello
Volatilità. Ipotesi 3: gli investitori hanno aspettative omogenee su volatilità, correlazioni e rendimenti attesi dei titoli.
Aspettative omogenee: tutti gli investitori effettuano le stesse stime sui futuri investimenti e i futuri rendimenti.
Offerta, domanda ed efficienza del portafoglio di mercato
Date aspettative omogenee, allora tutti gli investitori domanderanno lo stesso portafoglio efficiente di titoli rischiosi.
Il portafoglio combinato di titoli rischiosi di tutti gli investitori deve essere uguale al portafoglio efficiente.
Se tutti gli investitori domandano il portafoglio efficiente, e l'offerta di titoli è il portafoglio di mercato, allora i due portafogli devono coincidere.
Quando valgono le ipotesi del CAPM, il portafoglio ottimale è una combinazione del titolo privo di rischio e del portafoglio di mercato.
Quando la tangente passa per il portafoglio di mercato, e detta capital market line (CML) o linea del mercato dei capitali.
Il rendimento atteso
e la volatilità di un portafoglio sulla capital market line è:]=(1−x) + ]=r + ( [R ]−r )E[ R r xE[ R x ExCML f Mkt f Mkt f)=xSD(R )SD( R xCML MktCAP 12 Il Costo del Capitale ProprioIl Capital Asset Pricing Model (CAPM) è un pratico metodo di stima.• Il costo del capitale di un’opportunità di investimento è uguale al rendimento atteso di• investimenti disponibili con lo stesso beta.La stima è fornita dall’equazione della Security Market Line:• premio per il rischio delititoloCostruzione del portafoglio di mercatoCapitalizzazione di mercato• Il valore totale di mercato delle azioni in circolazione di un’impresaPortafoglio value-weightedUn portafoglio in cui ogni titolo è detenuto in proporzione alla sua capitalizzazione dimercatoUn portafoglio value-weighted è un portafoglio equal-ownership: per ogni titolo sidetiene la stessa percentuale del numero totale di azioni in
circolazione.S&P 500: Portafoglio value-weighted dei 500 maggiori titoli azionari statunitensi
M Vvalore di mercato di i i= =x ∑i valore totale di mercato di tutti i titoli nel portafoglio M V jj
Il premio per il rischio di mercato
Determinazione del tasso privo di rischio
- Rendimento dei titoli del Tesoro USA– Indagini survey indicano che la maggior parte dei professionisti usa titoli del Tesoro– da 10 a 30 anni
Andamento storico del premio per il rischio
- E [R rSi stima il premio per il rischio ( ] – ) utilizzando la media storica del– fMktrendimento in eccesso del mercato rispetto al tasso di interesse privo di rischio
L’uso di dati storici ha due inconvenienti:
- Gli errori standard della stima sono grandi
- Si guarda al passato, perciò non si può essere certi che siano rappresentate le aspettative correnti.
Un’alternativa è quella di determinare il tasso di sconto coerente con il livello attuale
Il beta corrisponde alla pendenza della retta di miglior adattamento nel grafico dei rendimenti in eccesso del titolo rispetto ai rendimenti in eccesso del mercato.
Calcolato attraverso una regressione lineare:
α è l'intercetta della regressione.
• iβ (R - r) rappresenta la sensibilità del titolo al rischio di mercato. Quando il rendimento di mercato aumenta dell'1%, il rendimento del titolo aumenta del %.
iε è il termine di errore e rappresenta la deviazione dalla retta di miglior adattamento.
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