Appunti di Finanza aziendale

RISCHIO E RENDIMENTO: COVARIANZA E COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

Questi due titoli insieme riducono di poco il rischio di ptf, perché hanno una correlazione molto alta.

Esercizio RR2:

La seguente tabella riporta i prezzi di due titoli azionari, 1 e 2, il cui coefficiente di correlazione è pari a -0,30.

Calcolare:

• i rendimenti attesi e gli scarti quadratici medi dei due titoli (E(r1) = 2,30% - E(r2) = 0,50% - dev.std.1 = 6,96% - dev.std.2 = 14,31%)
• la covarianza tra i due titoli (Cov.1,2 = -0,299%)

RISCHIO E RENDIMENTO:

NB: non mi servono le quotazioni, ma i rendimenti!

r(1) up = (5500-5000)/5000 = 10% prob. 45% → r(1) down = (4800-5000)/5000 = -4% prob. 55%

r(2) up = (3600-3000)/3000 = 20% prob. 35% → r(2) down = (2700-3000)/3000 = -10% prob. 65%

COVARIANZA: alta diversificazione →

Esercizio RR3:

La seguente tabella riporta le ultime quotazioni delle azioni A e Z:

Utilizzando tali informazioni, calcolare il coefficiente di correlazione.

tra i due titoli e costruire lamatrice delle varianze/covarianze. (ρA,Z = 0,93).

Calcolo rischio e rendimento (logica ex post):

R(A): 1 = 4% 2 = -5% 3 = 10% r medio (A) = (4-5,77-5,1)/3 = 1,11%→

R(Z): 1= 10% 2 = -18,18% 3 = 33,33% r medio (B) = 8,384%→

(correggi calcoli sotto)

Covarianza e correlazione:

Matrice varianze/covarianze:

A B

A 0,35806% 1,43511%

B 1,43511% 6,65412%

Esercizio RR4.

Calcolare il rendimento atteso ed il rischio del portafoglio composto dai titoli azionari A – B – C, dicui si conoscono le seguenti informazioni: (E(rPtf )= 8,60% - dev.std.Ptf = 2,58%)

Proviamo a calcolare la composizione del MVP con i soli titoli A e B.

Esercizio RR5.

A - Le azioni CAR hanno la stessa probabilità di realizzare un rendimento del 12% o del -10%.

Determinare il rendimento atteso e la volatilità del titolo.

B - Calcolare rischio e rendimento del portafoglio formato per il 30% dalle azioni A e per il 70% dalleazioni B, note le caratteristiche dei titoli

indicate in tabellaC - Calcolare rischio e rendimento di un Ptf composto dai due titoli indicati in tabella, il cui coeff. dicorrelazione è +1. 129

Esercizio RR6.A - Volete creare un Portafoglio che abbia un rendimento del 6%, formato da azioni Well e da titoliprivi di rischio con un rendimento del 3%. Sapendo che le azioni Well hanno un rendimento del 9%ed uno s.q.m. del 10%, individuare la composizione del Ptf.

B - Un investitore che dispone di 3.000 euro, vorrebbe creare un portafoglio con una volatilità del12% (=dev.std.), composto anche da titoli azionari aventi un rendimento atteso del 15% e scartoquadratico medio del 10%. Tenendo conto che egli può prendere e dare denaro a prestito ad untasso privo del rischio del 5%, calcolare il rendimento del portafoglio e l'importo investito in azioni.

C - Un operatore vuole investire 6.000 euro in un Ptf composto da azioni che hanno un rendimentoatteso del 12% e una volatilità del 15% (=dev.std.). Sapendo che

egli può prendere e dare denaro in prestito ad un tasso privo del rischio del 4%, calcolare il rendimento e la composizione del portafoglio con una volatilità del 21% e l'entità dell'investimento/finanziamento al tasso risk-free. Risultato: 45% Risultato rp = 9,75% e peso = 75% Abbiamo visto che nell'ambito del capital budgeting assume particolare importanza il WACC. Il problema è quello di determinare una stima del rendimento atteso dell'azionista re e del costo del debito rd. La teoria del portafoglio ci aiuta a pervenire a queste stime: re = si compone di una parte risk-free (rf) + un premio per il rischio (П). Abbiamo introdotto la CAL dicendo che il rendimento di ptf = rf + (rischio ptf * premio al rischio). La parte tra parentesi dà una quantificazione al premio per il rischio. Particolarità della CAL: sto determinando il rendimento di un ptf, combinazione di titoli risk-free e rischiosi. A noiinteressa il rendimento atteso di una società particolare. Un passo avanti. Esistono tanti titoli rischiosi. Sinora abbiamo considerato solo un titolo rischioso. In realtà l'investitore può scegliere tra: 1. un titolo risk free; 2. un titolo rischioso fra tanti titoli rischiosi. Osservo che i domina j. Esistono tante altre combinazioni, che generano diverse CAL. 132 Se esistono tanti titoli rischiosi... quale scelgo? Sarebbe meglio scegliere tra un titolo privo di rischio ed un titolo o un paniere di titoli che giace sulla frontiera efficiente. Ma quale sarà questo paniere di titoli? Vediamo tre CAL. Inseriamo la frontiera efficiente e notiamo che tutti i ptf che giacciono sulla linea centrale e in basso li posso realizzare, ma rispetto alla FE sono efficiente. Al contrario, la linea in alto (che è la CAL con pendenza maggiore) è tangente alle FE, in un punto che chiamiamo pft A. Quindi la CAL in alto domina le altre. Osservo che i domina j.

passo avanti…cosa rappresenta il portafoglio A?

L’analisi effettuata riguarda un solo investitore. Nella realtà, ci sono numerosi investitori. Inoltre, ipotizziamo che tutti gli investitori abbiano le stesse informazioni complete ed esista una situazione di concorrenza perfetta. Essi avranno aspettative omogenee. Ciò significa che:

1. tutti si troveranno di fronte alla stessa frontiera efficiente;
2. il portafoglio A sarà pertanto il portafoglio di mercato M (è la combinazione di tutti i titoli presenti sul mercato, quindi realizza la massima diversificazione possibile);
3. tutti vorranno tenere un portafoglio che sia combinazione di rf e il portafoglio di mercato M.

Il portafoglio di mercato M.

Il portafoglio M non è altro che il “Portafoglio di Mercato”. In un mondo in cui si abbiano “aspettative omogenee”, tutti gli investitori desiderano avere un portafoglio ponderato per il valore di mercato di tutti i titoli.

esistenti. Solitamente per rappresentare il portafoglio di mercato si ricorre a delle proxy: in genere gli indici di borsa come lo S&P 500, FTSE MIB, ecc. L'indice sintetizza con un punteggio tutti i valori dei titoli presenti su quel mercato, ciascuno pesato per il proprio valore rispetto al portafoglio di mercato.

UNA VOLTA SCOPERTO IL PORTAFOGLIO DI MERCATO COME DIVENTA LA CAPITAL ALLOCATION LINE? 133

La CAL diventa la Capital market line (CML): La retta che ha come ordinata all'origine il titolo RF diventa, a questo punto, la capital market line. Differenza rispetto alla CAL: premio per il rischio. Nella CAL generica lambda è dato da una certa formula, nella CML invece è il (rendimento del portafoglio di mercato - rf) / rischio portafoglio di mercato. Possiamo avere diverse CAL ma un'unica CML.

In presenza del titolo RF, la CML diventa la nuova frontiera efficiente: cioè se combino titoli rischiosi con il rf vado su una nuova FE che è la CML. Se mi posiziono

All'origine della CML: il ptf è costituito solo da titoli RF. Posso posizionarmi in un punto qualsiasi della retta e trovo una combinazione tra ptf di M e rf. Se mi posiziono nel punto di tangenza dove c'è il ptf di M: ho investito tutto nel ptf di M. Se mi posiziono oltre la tangenza, mi sto indebitando (investo oltre la mia ricchezza sul ptf di M). Lambda ossia la pendenza della CML è maggiore rispetto a quella delle altre CAL: quindi il premio al rischio sarà il massimo.

La capital market line... sintesi.

• La linea del mercato dei capitali parte da un punto di intersezione con l'ordinata cui corrisponde il rendimento di un titolo privo di rischio e viene determinata tracciando una retta tangente alla frontiera efficiente
• Tra i tanti portafogli che giacciono lungo la frontiera efficiente, uno solo corrisponde al punto di tangenza che fa parte della CML; esso rappresenta il portafoglio ottimo ed il set efficiente corrisponde al

dalla propensione al rischio dell'investitore. Se l'investitore è più propenso al rischio, investirà una percentuale maggiore in M rispetto al titolo privo di rischio. Viceversa, se l'investitore è meno propenso al rischio, investirà una percentuale minore in M e una percentuale maggiore nel titolo privo di rischio. Il teorema della separazione afferma che la scelta del portafoglio di mercato M è indipendente dalle preferenze individuali degli investitori. Questo perché il portafoglio M è determinato sulla base di rendimento, rischio e covarianza dei titoli, e si trova sulla frontiera efficiente. Le preferenze individuali degli investitori entrano in gioco solo dopo che è stato determinato il portafoglio M. In sintesi, l'investitore può muoversi lungo il segmento compreso tra l'intercetta rf (il titolo privo di rischio) e il punto di tangenza con la frontiera efficiente. La percentuale di investimento in M e nel titolo privo di rischio dipende dalla propensione al rischio dell'investitore. Il portafoglio di mercato M è determinato sulla base di rendimento, rischio e covarianza dei titoli ed è indipendente dalle preferenze individuali degli investitori.

questo sì, dalle aspettative e quindi dalla sua propensione al rischio. io posso costruire M separatamente rispetto alla propensione al rischio degli investitori, questa→entra in campo in un secondo momento quando devono decidere come investire la propria ricchezza (quindi dove posizionarsi sulla CML). 135Esemplificazione. Un operatore può formare un portafoglio a partire da due titoli azionari contraddistinti dai seguenti rendimenti attesi:

• E (R1) = 0,06
• E (R2) = 0,05

E dalla seguente matrice Varianze covarianze:

0,4	0,03
0,03	0,2

Dato un tasso risk free del 4.5%, indicare tra i seguenti portafogli quale rappresenta il portafoglio di mercato:

• A: W1= 54.7% W2 = 45.3%
• B: W1= 33.4% W2 = 66.6%
• C: W1= 80.4% W2 = 19.6%
• D: W1= 64.8% W2 = 35.2%

Calcolo, per ogni combinazione/ptf, il rischio ed il rendimento ed il premio al rischio. → Stessa logica per tutti i portafogli: Graficamente: D ha lambda maggiore, quindi è il ptf di mercato.

136Cerchiamo di capire ora che tipo di rischio sta dietro alla CML. Partiamo considerando il fatto che sulla CML ciascun punto è efficiente. Ciò significa che, dato un certo rischio, non esiste un'altra combinazione di titoli che può dare un rendimento maggiore. Se voglio ottenere un rendimento maggiore devo spostarmi a dx di quel punto, accettando di sostenere un rischio maggiore. Abbiamo già visto che il rischio totale può scomporsi in 2 rischi: rischio specifico (o non sistemico o idiosincratico o diversificabile) e rischio sistematico (o di mercato o non diversificabile). Sulla CML il rischio specifico = 0 poiché sulla CML vi è il portafoglio di mercato che rappresenta la massima diversificazione e contiene pertanto solo il rischio di mercato. Solo il rischio s