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Logica proposizionale
La logica proposizionale è un ramo della logica che si occupa dello studio delle proposizioni e delle loro connessioni logiche. Le principali connessioni logiche sono la disgiunzione inclusiva e il condizionale.
Disgiunzione inclusiva
La disgiunzione inclusiva, rappresentata dal simbolo "V", è una connessione logica che stabilisce che una proposizione è vera se almeno una delle due proposizioni disgiunte è vera. È falsa solo nel caso in cui entrambe le proposizioni disgiunte sono false.
Ad esempio, la proposizione "Massimiliano è genovese o Mario è genovese" è vera se e solo se "Massimiliano è genovese" è vera oppure "Mario è genovese" è vera.
Condizionale
Il condizionale, rappresentato dal simbolo "=>", è una connessione logica che stabilisce una relazione di causa-effetto tra due proposizioni. La proposizione condizionale "Se piove allora la partita non si gioca" è falsa solo nel caso in cui piove e la partita si gioca. È vera in tutti gli altri casi.
Un condizionale con antecedente falso è sempre vero. Se la condizione espressa dall'antecedente non sussiste, ciò che è espresso dal conseguente non ha più rilevanza.
Il condizionale è vero per default, in modo non informativo.
p → q
V VVV FF F VVF VFB
Il bicondizionale "Piove se e solo se la partita si gioca" è vero se entrambi gli enunciati sono veri o entrambi falsi e falso in tutti gli altri casi. Nel caso in cui sono entrambi falsi, il bicondizionale è vero per default. Una certa condizione sussiste solo se ne sussiste un'altra e viceversa, una non può sussistere senza l'altra. Può essere anche costruito con la congiunzione e il condizionale: "Se piove allora la partita si gioca e se la partita si gioca allora piove". Quando pronuncio un condizionale mi impegno a dire che non può darsi che una sola delle due condizioni sussista e l'altra no.
p ↔ q
V VVV FF F FVF VFT
Teoria semantica per L (nomi propri, predicati a n-posti, negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale)
Occorre dare al principio generale una forma ricorsiva per poter
Le condizioni di verità degli enunciati costruiti tramite i connettivi sono le seguenti:
- Un enunciato "¬p" è vero se e solo se "p" è falso.
- Un enunciato "p ᴧ q" è vero se e solo se "p" è vero e "q" è vero.
- Un enunciato "p v q" è vero se e solo se "p" è vero oppure "q" è vero.
- Un enunciato "p → q" è vero se e solo se "p" è falso oppure "q" è vero.
- Un enunciato "p ↔ q" è vero se e solo se "p" e "q" sono entrambi veri oppure sono entrambi falsi.
Le clausole semantiche permettono di determinare le condizioni di verità degli enunciati complessi a partire dagli enunciati atomici, costruiti tramite i connettivi.
"Massimiliano non è
genovese”: Derivare le condizioni di verità di:
- “non: Massimiliano è genovese” (negazione + enunciato atomico).
- Consulto la clausola sulla negazione: “Massimiliano non è genovese” è verose e solo se “Massimiliano è genovese” è falso.
- L’enunciato negato è atomico, quindi consulto la prima parte del principiogenerale: “Massimiliano è genovese” è falso se e solo se rif(“Massimiliano”) ∉rif(“è genovese”).
- Consulto gli assiomi semantici: “Massimiliano è genovese” è falso se e solo se Massimiliano {x: x è genovese}.∉
- “Massimiliano è genovese” è falso se e solo se Massimiliano non è genovese.
- “non: Massimiliano è genovese” è vero se e solo se Massimiliano non è genovese. “Se Massimiliano è genovese allora
Stefano nonDerivare le condizioni di verità di: vive a Genova”
Assiomi semantici:
- Rif(“Genova”) = Genova
- Rif(“Massimiliano”) = Massimiliano
- Rif(“Stefano”) = Stefano
- Rif (“è genovese”) = {x: x è genovese}
- Rif (“vivere a”) = {<x, y>: x vive a y}
- “Massimiliano è genovese → ¬ (Stefano vive a Genova)” è vero se e solo se “Massimiliano è genovese” è falso oppure “¬ (Stefano vive a Genova)” è vero (da clausola semantica del condizionale).
- “Massimiliano è genovese → ¬ (Stefano vive a Genova)” è vero se e solo se “Massimiliano è genovese” è falso oppure “Stefano vive a Genova” è falso (da 1 applicando la clausola della negazione).
- “Massimiliano è genovese” è falso se e solo se rif
("Massimiliano") rif ("è" nonin "genovese") (dalla clausola degli enunciati atomici).
"Massimiliano è genovese" è falso se e solo se Massimiliano {x: x nonin genovese} (da assiomi semantici).
"Massimiliano è genovese" è falso se e solo se Massimiliano non è genovese (parafrasando il linguaggio insiemistico).
"Stefano vive a Genova" è falso se e solo se <rif("Stefano"), rif("Genova")> nonin rif("vive a") (dalla clausola semantica degli enunciati atomici).
"Stefano vive a Genova" è falso se e solo se <Stefano, Genova> {<x, y>: x nonin vive a y} (da assiomi semantici).
"Stefano vive a Genova" è falso se e solo se Stefano non vive a Genova.
"Massimiliano è genovese → ¬(Stefano vive a Genova)" è vero se e solo se Massimiliano non è
genovese oppure Stefano non vive a Genova (da 2, 5, 8 etransitività del condizionale).
10. “Massimiliano è genovese → ¬ (Stefano vive a Genova)” è vero se e solose, se Massimiliano è genovese allora Stefano non vive a Genova (parafrasando9 sulla base della tavola di verità del condizionale, poiché l’antecedente è lanegazione del 1° disjiunto di 9).
Quantificatori
Quantificatori universali (ꓯ): es. tutti, ogni.
Quantificatori esistenziali (Ǝ): es. alcuni, qualche.
Alfred Tarski (logico polacco) elaborò una teoria sui quantificatori (teoria dellaquantificazione) per dare una definizione rigorosa di verità logica.
“Tutti i gatti col pelo rosso sono gatti”:a. per sapere che è vero basta la suacomprensione, è una verità logica. È necessario, non può darsi il caso che siafalso.
“Alcuni gatti col pelo rosso sono grassib. ”: Non è
Sufficiente la sua comprensione, occorre l'esperienza, quindi sapere come è fatto il mondo. Possiamo immaginare un mondo possibile in cui l'enunciato sia falso, non è verità logica. Il principio del 3° escluso costituisce una verità logica, per esempio: "Massimiliano è genovese o Massimiliano non è genovese" (Massimiliano è genovese v (¬Massimiliano è genovese)). Tale enunciato ha per forza un disgiunto vero, quindi è vero. Rimane vero in entrambe le alternative, non può essere falso (p v ¬p). Qualsiasi enunciato sostituisco a p, l'enunciato rimane vero, la sua verità dipende dalla sua struttura logica.
Bernard Bolzano e Gottlob Frege proposero una definizione intuitiva di verità: una verità logica è un enunciato vero che rimane vero dopo la sostituzione logica uniforme di qualsiasi espressione linguistica fatta eccezione per le costanti logiche. Le costanti logiche,
per esempio, sono i connettivi, la negazione e i quantificatori. Tarski, invece, parla di "interpretazione", piuttosto che di "sostituzione" di espressioni linguistiche, ovvero parla di variare il riferimento del nome invece che di una verità logica è un enunciato vero che rimane vero per qualsiasi sostituirlo: interpretazione che posso fornire delle espressioni non logiche che figurano in esso. Per esempio: Int. 1: rif("Massimiliano") = Massimiliano Int. 2: rif("Massimiliano") = Stefano Int. 3: rif("Massimiliano") = Carlo Non importa come si interpretano il nome e il predicato, l'enunciato continuerà a essere vero sotto ogni interpretazione. Lo strumento teorico usato da Tarski è la nozione di modello, che è una coppia formata da un dominio di oggetti e da una funzione di interpretazione: M:- assegna a ciascun nome proprio un individuo del dominio D come suo riferimento
- assegna a ciascun predicato a n-posti un insieme di n-uple formate da individui del dominio D come suo riferimento
- Dato un qualsiasi modello, se la funzione di interpretazione assegna un qualsiasi oggetto (che appartiene al dominio) al nome proprio e al predicato, l'enunciato rimane vero in ogni modello.
- Tarski era interessato al linguaggio formale, che si può usare per formalizzare frammenti delle lingue naturali, e non al linguaggio naturale.
- Il linguaggio formale contiene:
- Costanti individuali (a, b, c...): per formalizzare i nomi propri delle lingue naturali.
- Lettere predicative a n-posti (P, Q, R...): per formalizzare i predicati a uno o più posti.
- ¬, ʌ, v, →, ↔: per formalizzare negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale.
- Variabili individuali (x, y, z...)
- Quantificatore universale (ꓯ): per formalizzare "tutti".
“per ogni”.
Quantificatore esistenziale (Ǝ): per formalizzare “alcuni”, “almeno uno”.
“Massimiliano è genovese”: GmLettera predicativa costante individuale(è genovese) (Massimiliano)Prima va indicata la lettera predicativa e poi la costante individuale.
“Massimiliano è genovese o Massimiliano non è genovese”: Gm v ¬ Gm
“Se Massimiliano è genovese o Marco è torinese allora Carlo è milanese”: (Gm v Ta) → Mc
“Massimiliano viaggia da Genova a Torino”: Vmgt
“Maria è sorella di angelo e e solo se Marco è padre di Stefano”: Sma ↔ Pms
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