Appunti Di ELETTROTECNICA: CORRENTE CONTINUA - TRANSITORIO - CORRENTE ALTERNATA

P.S.E: I= ±I ±IE1 E2Rendere passivo un generatore di tensione (sostituirlo con un CC) o uno di corrente (sostituirlo con un CA)1)E1 ON – E2 OFF --> Calcolare la corrente, I’2)E1 OFF – E2 ON --> Calcolare la corrente, I”P.S.E: I= ±I’ ±I” (Segno dipendente dal verso della corrente)Composizione di generatori di tensione e corrente Serie di E: Eq= e1+e2 Parallelo di E: Se ideali, si va in contro ad un paradosso fisico. Se E1 diverso da E2, E1-E2=0?-contro la proprietà conservativa del campo elettrico Serie di J: Impossibile se ideali Parallelo di J: Jeq= j1+j2 Serie di E e J: J prevale su tutto ciò che ha in serie Parallelo di E e J; E prevale su tutto ciò che ha in paralleloTeorema di Millman F.e.m. di Em: Media pesata delle fem con pesi le conduttanze e la cui resistenza interna è data dal parallelo delle resistenze. Dati N. rami in parallelo in cui si trovano

generatori reali di tensione o resistenze o generatori di corrente, essi sono equivalenti ad un unico generatore reale di tensione che ha: Somma delle correnti di corto dei singoli rami/ somma delle conduttanze dei singoli rami resi passivi.

Em= (E1/R1+J)/1/R1

Teoremi di Thevenin e Norton

- Thevenin: data una rete lineare N, essa è equivalente ad un generatore di tensione reale, detto di Thevenin, la cui f.e.m. è pari alla tensione a vuoto della rete tra i punti A e B e la cui resistenza inserie è pari alla resistenza equivalente della rete N.

- Norton: data una rete lineare N, essa è equivalente ad un generatore di corrente reale, detto di Norton, la cui corrente generata è pari alla corrente di cortocircuito della rete tra i punti A e B e la cui resistenza in parallelo è pari alla resistenza equivalente della rete N.

Vth=Vab(0) Rth=Rj -.- Vth=Vab a vuoto= Rj*J

Jn=Icc Rn=Rn

Apparecchi Ideali e non per la misurazione di corrente e tensione

Voltmetro Reale = Rv in parallelo
Amperometro Reale = Ra in serie
Voltmetro Ideale = Circuito aperto, rv=inf
Amperometro Ideale= Corto circuito, ra=0

ELETTROTECNICA; TRANSITORIO – AC
Condensatore: Bipolo passivo e conservativo. Dispositivo composto da due armature metalliche parallele che ospitano un isolante che si interpone tra di esse, per evitare il passaggio di corrente (di elettroni). In presenza di un campo elettrico, una piastra si carica positivamente e una negativamente. La carica di un condensatore è definita da Q=CV, dove C indica la capacità, ossia quanta carica può accumulare il dispositivo. Essa si misura in Farad [C/V] e può anche essere espressa come C=εS/d, la sezione delle armature e d la loro distanza. Un condensatore “si ricorda” di quanto valeva la differenza di potenziale negli istanti precedenti. Se non fosse un bipolo inerziale, ammetterebbe variazioni finite di tensione in tempi

infinitesimi: fisicamente non è accettabile perché vorrebbe significare generare potenza infinita. (P=vi=(dw/dq)*(dq/dt)=vc*dv/dt=inf)

Q=CV= dq/dt=c dv/dt -> i=C dv/dt

Energia di un condensatore durante il transitorio [integrale che va da –inf a t]:2= ∫cv dv/dt dt = c ∫vdv= 1/2cv (t) - L’energia accumulata dal condensatore dipende da quanta tensione c’è in quel momento t. 2

Il condensatore è un bipolo conservativo passivo: accumula energia =1/2cv (t) ed è inerziale rispetto la tensione, ovvero che ai capi del condensatore la differenza di potenziale non può variare "bruscamente". ΔV

Q=CV= i=Cdv/dt se è costante, i=0. C si comporta come un circuito aperto

Il condensatore attraversa due fasi di funzionamento.

 ΔVTransitorio (Carica o scarica, varia, quindi è presente una corrente I diversa da 0)

 Regime (ΔV è costante, I=0, energia costante. C si comporta da

Collegamenti in serie e in parallelo di condensatori

Serie: Attraversati dalla stessa corrente, possiedono la stessa carica, differenza di potenziale diversa. Σ1/Ci; C = 1/ 1/Ceq= 1/C1 + 1/C2. I= Ceq dVab/dt. Vab= q/Ceqeq(s)

Parallelo: C = ΣCi; Ceq= C1+C2 I= Ceq dVab/dt. Vab= q/Ceqeq(p)

A t=inf, il condensatore non potrà più caricarsi e si comporterà come un circuito aperto. Si dirà che il circuito è in condizione di regime e il condensatore è in equilibrio.

Induttore: L’induttore è un solenoide (una bobina con N avvolgimenti) avvolto ad un materiale ferromagnetico che se percorso da corrente genera un campo magnetico al suo interno. L’induttore è un bipolo passivo, conservativo e inerziale. Legge di Hopkinson: [Φ è il flusso generato dalla corrente] g-1Φ =NI/R dove R è detta riluttanza [H ] (opposizione al flusso) e NI è la forza magneto motrice. gR=l/μS dove μ è

Il coefficiente di permeabilità magnetica. μ= μ μ (o nel vuoto, r nei materiali ferromag.)o rPer riluttanze basse, le linee di flusso tendono a rimanere dentro il materiale ferromagnetico.

L'INDUTTORE A REGIME SI COMPORTA DA CORTO CIRCUITO.

Legge dell'induzione (Faraday-Neumann-Lenz)

F.e.m. di auto induzione=-dΦ /dt In un generico conduttore chiuso attraversato da un flusso B si crea unaΣdifferenza di potenziale uguale alla variazione del flusso concatenato (Φ ) nel tempo. Per cui si può dire cheΣad ogni variazione di flusso corrisponde la nascita di una f.e.m. nell'avvolgimento che prende il nome di femdi autoinduzione.

2 2Φ =NΦg=N I/R; F.e.m. indotta= dΦ /dt= N /R dI/dtΣ Σ 2

Coefficiente di Autoinduzione, L=Φ /I= N /R; L, coefficiente di autoinduzione, è definito come il rapportoΣtra il flusso totalmente concatenato e la corrente che lo ha generato. L si misura in Wb/A, ovvero in

H:Henry.L'induttore si rivela essere un dispositivo inerziale rispetto la corrente perché se la corrente al suo ingresso variasse bruscamente, si ammetterebbero valori di potenza infiniti (p=vi=Ldi/dt i). Energia accumulata in un induttore durante il transitorio [integrale che va da -inf a t]:2= ∫p dt = ∫Li di/dt dt= 1/2Li (t)ω  V=Ldi/dt; se I è costante, V=0. In Regime, l'induttore si comporta sempre da cortocircuito. Collegamenti in serie e in parallelo di induttori  Serie: L = ΣLi; Vab= Leq Li/dt (Vab=V1+V2=(L1+L2) di/dt)eq(s)  Parallelo: L =1/Σ1/Li; 1/Leq= 1/L1 + 1/L2 I=I1+I2: (i=1/Leq ∫Vab dt)eq(p) Transitorio di carica e scarica di un condensatore (Carica a sx e scarica a dx) Vo=E , Io= E/R [Carica] Vo=Vc0 , -Io=-Vco/R RC=τ (costante di tempo) [Ohm x Farad=secondi] -1t=τ > Vc(t=τ)=E(1-e^(-t/τ))= 0,632E Dopo τ secondi, il condensatore ha raggiunto il 63% di E. Più grande è τ più

lento è il transitorio. La durata del transitorio è approssimabile a circa 5τ.

Carica di un condensatore inizialmente scarico [ (Risposta forzata di un circuito RC)]:

ω(t=0)=0 e Vc(t=0)=0

Dalla legge alla maglia LKT: RI-E+Vc=0 :-t/τ -t/τ -t/τ

Vc(t)= E(1-e^(-t/τ)) | q=cv; q(t)= CE(1-e^(-t/τ)) | I= c dVc/dt= E/R e

Scarica di un condensatore inizialmente carico (Risposta naturale di un circuito RC):

-t/τ -t/τ -t/τ

Vc(t)=Vco e^(-t/τ) | q=cv; q(t)= CVc e^(-t/τ) | I= c dVc/dt= -Vco/R e

Le due cause sono: E+Vco, dove E è la risposta forzata e Vco la risposta naturale.

La risposta completa di un circuito è definita da:

-t/τ -t/τ -t/τ

Vc(t)= Vco e^(-t/τ) + E (1-e^(-t/τ)) = E+(Vco+E) e^(-t/τ) [Risposta a regime, Risposta transitoria]

In un circuito RC, l'andamento della tensione del condensatore nel tempo [Vc(t)] è definita dalla seguente formula:

-t/τ -t/τ

Vc(t)= Vco e^(-t/τ) + Vc (1-e^(-t/τ))∞

· Vco è la tensione iniziale

· Vc è la tensione a regime

quando τ=rc∞Per ottenere questi valori, calcolare i valori della tensione prima e dopo la commuta dei tasti. La resistenzaequivalente, utilizzata nel calcolo rc, sarà calcolabile rendendo tutto il circuito passivo (E=cc, Ig= ca).
Transitorio di carica e scarica di un induttore
Carica o Risposta forzata di un circuito RL [induttore inizialmente scarico, Wl=0 e iL=0]
Da LKT: RI-E+Vl=0 dove Vl= Ldi/dt-t/τ -t/τ
Il(t)= E/R (1-e ) | Vl(t)= Ldi/dt= -EL/R e (-R/L) | τ=L/R
Scarica o Risposta naturale di un circuito RL [induttore inizialmente carico]
-t/τ -t/τ -t/τIl(t)=Ilo e | Vl(t)= Ldi/dt= L Ilo e (-R/L)=-RIlo e-t/τ -t/τ -t/τ
Il(t)= Ilo e + E/R (1-e ) = E/R+(Ilo+E/R) e [Risposta a regime, Risposta transitoria]
In un circuito RL, l’andamento della corrente nell’induttore nel tempo [Il(t)] è definita dalla seguente-t/τ -t/τformula: Il(t)=Ilo e + Il (1-e )∞ Ilo è la corrente sull’induttore a t=0, prima

della commutazione dei tasti.

Il è la corrente calcolata sull'induttore a t=∞ dopo la commutazione dei tasti.∞

Per il teorema di Thevenin, Il è la corrente di corto che passa in L quando L è a regime.∞

τ = L/Rth. Tau è dato dal rapporto tra L e Rth, dove rth è la resistenza di thevenin equivalente calcolata nel circuito reso passivo, vista dai capi dell'induttore (da considerare non come circuito aperto, ma come circuito chiuso ai cui capi è possibile calcolare la resistenza equivalente).

3. ELETTROTECNICA; CORRENTE ALTERNATA - SISTEMI TRIFASE

Si definisce corrente sinusoidale una corrente definita dall'equazione f(T)=F sin(wt+Φ); una è un tipo di Mcorrente elettrica nella quale il flusso di elettroni inverte la propria direzione continuativamente nel tempo.

F(t) è considerabile periodica se f(t ± T)=f(t)

T è il periodo [sec]

f è la frequenza (1/T) [Hz]

fm

è il valor medio, ossia la media dei valori che la f(t) assume

Il valore efficace, F , è dato da Fm (valore massimo) /√2 = F /√2

eff MF(t) è ALTERNATA se f(t ± T/2)=-f(t). (È periodica, ma dopo T/2 si ripete con valori negativi)

f(T)=F sin(wt+Φ)

M· F è il valore massimo

M· wt +Φ è detta fase

M· w è la pulsazione

M· Φ è la fase iniziale

M· T=2π/w ; w=2π/T o 2π/f

M· Se Φ=0, f(t)=F sin(wt) -f è in fase [f =0]M (0)

M· Se Φ<0, f(t)=F sin(wt+Φ) -f è in ritardo di fase [f <0]M (0)

M· Se Φ>0, f(t)=F sin(wt-Φ) -f è in anticipo di fase [f >0]M (0)

CIRCUITI RLC 2LKT: -e(t)+Ri(t)+Vl+Vc=0 --&g