Elettrotecnica - Appunti

T

-

1 =

Quindi y(t)

vedere valori Q

dipende

che dai di

Si può Wo

e .

Analizziamo Q : y(t)A

Q0 Sovrasmorzato

Caso

se

· 5

,

frequenze

le distinte

naturali negative

reali l

sono e

, luogo

danno

di and

YlE) che

esponenziali

due

è somma

transitorio che tempo

estingue

si nel

un * t

kie)

y(t) = y(t)A

le

Se Critico

· frequenze

Q Con Smorzamento ,

Caso

5 Sono

= Kate

Kie Su

t

negative (t)

coincidente

reali e y +

=

e

,

la forma precedente

simile anche

di del

è

lt) caso

quella e

a

y che

i transitorio

luogo

danno

suoi

in questo addendi ad

caso un * t

estingue

si nel tempo .

SeQ

· Sottosmorzato

Caso

0

> 5 y(t)A

,

le Imm

frequenze parte

naturali complesse Coniugate

sono , a

, e

reale negativa oscillatoria

forma smorzata

y(t) assume una

ke)Sin(a * t

1)

y(t) t

- +

= (cioè aperto)

sostituito il

Se

Nota R anche

viene dunque

R-a Q-

con

c +

un v ,

,

considerato condensatore/induttore

al inizialmente

di

Si

circuito riduce 11 un

carichi avremo :

, Fu

X 1 wo

15

= = -

(Wot ,

y(t)

dunque presenta alcun transitorio

B)

Kisin perché

si

cui

per

+ non

=

y(t) tipo sinusoidale decade

dunque

di (t)

e darà

ci

tempo

nel ma

y non un

, di

sinusoidale

regime permanente generatori

in .

assenza

Circuito elettrico del 2º ordine RCL serie

R -m iniziale

corrente

i io dell'induttore

(t) =

<

i (t)

, tensione Condensatore

iniziale del

vc(t) vo

=

=↑ va(t)

I

E nodi

Applichiamo Kirchhoff ai

alle maglie e S

utilizzandole caratteristiche component

3

insieme rete

dei

quelle della ,

a l'eq

incognita differenziale

ricaviamo

quale

(t)

scegliamo v

e :

,

, .

+L

R

E RCt)

Vc(t) At

ic (di (t) t

(t)

= =

+

. sfrutterà tali condizioni iniziali

che risolvere :

per c

voin(d) icld =

vd =

= =

Se le Kirchhoff

,

variabile di

(t) unendo

invece i come alle

sceglie

si eq .

dei ottiene

caratteristiche 3

le componenti

maglie nodi si

,

ai :

eq

e

e . t

vitt

E Ric(t) R d

it

(dit (t) +

+

= + = +

. l'eq

Se tale

t otteniamo

integro

differenziale,

rispetto

deriviamo, equazione

a , .

ic(t)

(stavolta

differenziale funzione di

in :

++

R di

.

che risolverla

condizioni utili

come

,

avrà necessarie a :

V

d

R. i)(d)

(d)

i L

E +

Io +

;

= = -

(

= caratteristica a

l'a

variabile

A dalla diff

Nota alle

prescindere scelta semp

e

eq

, TQw]

Anche in rispettivamente

=

=

questo ponendo e

Wo come

caso

,

la fattore

di ed potremo

del

di

il qualità scrivere

Circuito

risonanza

pulsazione ,

le tali

frequenze di

naturali della funzione

in parametri

rete

-

= l'equazione

particolare

integrale

Un scritta in

completa termini Vc(t)

di sara

,

per ,

ILLA)

in di

scritta

mentre

E termini nulle

Vcplt sarà

se

,

= .

,

la del

Indicando iplt)

ai la

condensatore

Vplt)

yplt)

Con capi oppure

,

nell'induttore la potremo scrivere come :

e

* + **

y(t) kze yp(t)

k +

+

e

= , la

12 l'integrale

Yp(t)

naturali

frequenze

le

dove circuito

del sarà

sono e

e condizioni

particolare determinano

mentre base iniziali

si

Ki in alle

la

e e

in precedenza

richiamate . determinare regime

di

rapido ci di

metado consente

che la soluzione

Metodo simbolico 10 sinusoidale

= di tipo

permanente ANGOLO

(Fasoriale)

Ae

: L'argomento fasore

Numeri è

Complessi del

PARTE IMMAGINARIA

= , il

fasore

il

è modulo del Efficace

PARTE Valore

REALE cioè

FASORE ,

,

Per circuito le

approssimare

SINUSOIDALE

da

composto possiamo

generatore

un un ,

isofrequenziali

ilt)

VIH attraverso

sinusoidali pulsazione

medesima

a una

e e , (altriment

funzione il

facilita lavoro

definita complesso, che

nel sarebbe

campo

temporale)

da dominio

nel

eseguire funzione tempo-dipendente

Esempio di sinusoidale

una :

An

(wt

alt) a)

Au sin +

= RITARDO

L Fat

/

Ar Ampiezza Valore Massimo

= Pulsazione[r]

W = E

No

[rad]

FASe

1 Iniziale ANTICIPO

= funzione il

dove tempo

di

alti il

periodo è

T quale

periodica

Nota T =,

è per

una [Hz frequenza

f ,

J

il = che

ciclo la

reciproco è =

avviene suo ovvero

un ; ,

il nell'unità

indica di

di cicli tempo

numero .

anticipi ritardi

di determinare

Il dello

ci

rapporto al

tra zero

permette passaggio ,

e

valoripositivi/negativi fase

della

base

in ai : (RMS)

alt) Valore

Ar-Sin(wt medio

Anticipo

1) quadratico Ar

= +

alt) (wt

Ar a) RITARDO

Sin to T

= - +

. 1) la(t d

Ar

(Wt) =

Ate

alt Sin A

In FASE

= =

. ACAm funzioni

( sinusoidali)

per

altdt

A (per funzioni

Valore efficale o

periodiche

An

=

funzione l'ampiezza Are

sinusoidale

tempo-dipendente determinata

Una conosciamo

è se

lo la il frequenzaf)

,

(o

Ar)

medio

efficace

valor A la

pulsazione

valor periodo T

,

co

o o

. , ,

fase

la iniziale X

.

e isofrequenziali (funzioni frequenza)

funzioni sinusoidali

Assegnate di

dotate

2 ugual

B)

Busin(wt

b(t)

alt) Arsin (wt a)

+ +

= =

Avremo : b(t) L

>B B

alt)

- ANTICIPA

--

per -

alt) b(t)

<B RITARDA X

B

- per Su

+

- -

alt) b(t)

opposizione

X-B FASE

In e in

- DI con

per =

- QUADRATURADANapo

Per Sul

in il

funzioni quanto

in

di

possiamo

queste complesso

concetto numero

associare

A ,

funzioni

dette modulo parte

determinano

si ,

anche cioe

argomento

con e

Amisurars funcie

della

immaginaria

reale e e

e

are

fare

valore iniziale

↑

Scrivendo alt) =

Ae fare b(t)

/lo

A A stesso

A Con

potremo

sind

= cost + J

= S l'argomento

il alt)

efficace

dove ,

di

A modulo A x

valore

al

sarà sarà

pari e

, ,

fase iniziale

pari alla .

2

sua

Si sinusoide

definisce della

Rappresentativo

Numero Complesso

fasore o ,

il complesso

numero : Ae

EAsin(wt =

a(t) a) JAsind

Acosx

+ +

= =

= BeB

Ae B

fasori A rappresentati nel

I Complesso

piano

generici essere

possono

e =

=

(di , dove 2

Gauss) lettore

il componenti

ha parte

(asse

delle reale) coincide la di

Acosa

sull'asse ascisse reale

quella con

immaginario)

(asse

A la

delle parte

sull'asse coincide

ordinate

quella con

; A

di

Asind

immaginaria

Esempi : t

B

A A π AA

A I

I

A .

=

I .

- .

.

. Z

. A

T

B x = -

- Z

Bo A opposizione

7 -A

# fase

di .

(d a (d

X * D *

R

A A R

R

A

.

. . .

b(t) .

.

quadratura

in

in anticipo rispetto -B

-B

aa(t) quadratura

b(t) in

e fase blt)

rispetto alt)

ritardo in

a can

alt)

Fasori Antiorario positivo

Come

Neta Verso

a seno

Per entrambe

stabilire fase

relazioni le grandezze

di

le

poter esprimere in .

occorre o cos

( Sindacosk- quadratura

) è Anticipo

sin rispetto

in

coseno

+

cosa= al seno

tra fasori tensioni

Operazioni sinusoidali

correnti

ricavare

per e

forma (sinusoidale

Si ,

di

corrente pulsazione

conosciuta

su regime a

a

eseguano w) per

fasi

determinare efficaci

precisamente valori i quali

,

più

ci servono

cui per e per

funzioni ottenerli

tempo

del da

cui

numeriche

incognite

sono non posso

per

e , eq.

differenziali

algebriche .

non

e tramite il

sistema

Tale scriverlo simbolico

metodo avrà

di posso esso come

eq :

(fasori)

incognite rappresentativi

i sinusoidali

delle

numeri corrent

Complessi :

BeP

+ (A (BcosB

B JAsina)

= jBsinB)

1 C Ae

SOMMA cos

: +

+

= +

+ = =

. Ce c

(cosp j(sing

+ =

=

A

A =

I .

. Somma sarà

B

che

- In la

altro ,

Az avremo

NOTA +

modo

· ,

della C(t)

rappresentativo sinuisoide alt) e

sommando

195)s blt) la

delle sinusoidi

cui alla Corrisponde

somma

per

,

* .

R

A . fasori

dei

Somma :

+

EAsin(wt B)

1) Bsin(wt

a(t) b(t) +

+

+ =

=

↓ sind) sinB)

(sin(wt)cosB

VB

EA(sin(t) Cos(wt)

Cos(wt)

cosa +

+ + =

↓ E cos

BrosB)

Sin(t) (ACosa BsinB)

(Asina

(wt)

V + +

+ =

= (Csing)

1

(Scoss)

E coslut)

(wt) Alla

Sin sinusoidi

delle

somma

+

↓ C

V (wt y) la dei

corrisponde

c(t)

Sin + somma

= fasori

2 diversi<