Appunti di elementi di matematica

Elementi di matematica

Insiemi

A ∩ B se esiste un elemento che appartiene ad A ma non a B.

A ⊂ B se e solo se A ⊆ B e A ≠ B.

Ø è un gran insieme.

(NOTAZIONI) (insieme x insiemi posti)

Logica proposizionale

Formule logicamente equivalenti

• P ∧ Q ≡ Q ∧ P
• ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
• P ∨ (P ∧ Q) ≡ P
• P ∧ (P ∨ Q) ≡ P
• P ∧ Q ≡ Q ∨ P ∧ Q

Conseguenza logica

P ha conseguenza logica Q se ogni valutazione che rende vera P rende vera anche Q. Es.: ν(P ∧ Q) ∨ ν ⇒ ν(P) ⇒ ν

Logica predicativa

• ∀x ∃y A(x,y) - "Tutti amano qualcuno"
• ∃y ∀x A(y,x) - "Qualcuno è amato da tutti"
• ∃x (G(x) ∧ ¬N(x)) - "Esistono gatti neri"
• ∀x (G(x) ∧ N(x)) - "Tutti sono belli e sono neri"
• ∀x (d(x) → ¬n(x)) - "Tutti i gatti sono neri"
• ∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)
• ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
• ∀x (F(x) ∧ G(x)) ≡ ∀x F(x) ∧ ∀x G(x)
• ∃x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x F(x) ∨ ∃x G(x)
• ∀x ¬(x) ≡ ¬∃x (x)
• ∀x F(x) ≡ ¬x ∃x F(x)

Insiemi

A ∩ B se esiste un elemento che appartiene ad A ma non a B.

A ⊂ B se, e solo se A ⊆ B e A ≠ B.

Ø: un solo insieme.

Logica proposizionale

Formule logicamente equivalenti

• p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
• (p ∨ q) ≡ (q ∨ p)
• (p ∧ q) ≡ (q ∧ p)
• p → q ≡ ¬p ∨ q

Logica predicativa

• ∀x ∃y A(x,y) ‡ "Tutti amano qualcuno"
• ∃y ∀x A(y,x) ‡ "Qualcuno è amato da tutti"
• ∃x (G(x) ∧ ¬(x)) : "Esistono gatti morti"
• ∀x (G(x) ∧ R(x)): "Tutti sono belli e sono neri"
• ∀x (c(x) → n(x)) : "Tutti i gatti sono neri"
• ∀x p(x) ≡ ∃x ¬p(x)
• ∀x(f(x) ∧ g(x)) ≡ ∀x f(x) ∧ ∀x g(x)
• ∃x(f(x) ∨ g(x)) ≡ ∃x f(x) ∨ ∃x g(x)
• ∀x p(x) ⊢ ¬p(a)

Insieme potenza

Parti: X∈P(A)⇒X⊆A

Infatti, ∅∈P(A) A∈P(A), P(∅)=℘(∅)

Partizioni

Un insieme P è partizione di un insieme S se contiene sottoinsiemi di S e sono 2 disgiunti che ricoprano tutto S.

Non vuoti: P⊆(∅), X⊆P ⇒ X≠∅

Se ne prendo 2, l'intersezione è ∅ : ∀X∀Y(X∈P∧Y∈P∧X≠Y⇒X∩Y=∅)

Ricoprono tutto S: ∀s∈S⇒∃X(X∈P∧s∈X)

Es: Ho qui insiemi P: { {2}, {1,3}, {5c} } e Q: {2,4,6} Non vuoti Se ne prendo 2, l'intersezione è vuota L'unione non copre A∖X L'insieme Q, quindi, non è partizione di S.

Prodotto cartesiano

A×B: (a;b): a∈A ∧ b∈B

Relazioni

R: (b;a)∈B×A: (a;b)∈Ω

Triologie

• Riflessiva: ∀a∈A R(a) deve contenere tutte le coppie possibili
• Simmetrica: ∀a∀b (a;b, b;a) ⇒ “chiederci: c'è l'inverso?”
• Transitiva: ∀a∀b∀c (aRb∧bRc → aRc) → “chiude: corrisponde tutto”

Relazioni di equivalenza

Una relazione si dice di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Eg. R∋(x,y)∈N∧(i x e y hanno stessa parità?)

• Riflessiva: due numeri uguali avranno sempre uguale parità A ogni insieme ha tutte le possibili coppie
• Simmetrica: Se il numero ha uguale parità di altro, allora ha uguale parità al numero
• Transitiva: Se a ha uguale parità di b e b ha uguale parità di c, allora a ha uguale parità di b

Classi di equivalenza

L'unione delle classi di equivalenza è la partizione di A. In genere parlando, le classi di equivalenza sono le classi più piccole con cui si possono comprendere le altre.

Le classi d'equivalenza sono 2: [0] e [1], perché:

• [0]: {b∈A; ∃ 3⋅b ∈ 3⋅k, b-ù è pari} {b∈Z; b è pari}
• [1]: {b∈A; ∃ 3⋅b ∉ 3⋅k, b-ù è pari} {b∈Z; b è dispari}

Insieme dei rappresentanti

Elementi che rappresentano le classi. Sono uno per classe. Potete prendere ad esempio 4 e 9, quindi {4, 9} - insieme di rappresentanti.

Antisimmetria

Non simmetrica: ∄a∃b (aRb e bRa) ≠ se per una coppia non trova l'opposto.

Antisimmetrica: ∀a∃b (aRb e bR a) ≠ Non deve esserci nessuna simmetria.

Ordine

• Parziale: Se la relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva
• Totale: Se ordina al vero (aRb ∨ bRa), idee avere tutte le possibili relazioni, i numeri dell'insieme si possono sem