Appunti di elementi di matematica

Elementi di Matematica

INSIEMI

• A e B se esiste un elemento che appartiene ad A, ma non a B.
• A è B se A B, e B A.
• B è in ogni insieme

NOTAZIONI (esempio x insiemi positivi)

• (es: n è pari)
• (es: n è _pari)
• PROPRIETÀ

LOGICA PROPOSIZIONALE

FORMULE LOGICAMENTE EQUIVALENTI

• P Q  P Q
• P P  P
• (P ) (Q )  P Q
• P (Q )  P Q
• P (Q ) P  P Q

CONSEGUENZA LOGICA: F ha conseguenza logica G se ogni valutazione che rende vera F, rende vera anche G. Es.:

• v(P Q) v v(P) v

LOGICA PREDICATIVA

• x y A(x,y) "Tutti amano qualcuno"
• y x A(y,x) "Qualcuno è amato da tutti"
• x [G(x) N(x)] : "Esistono gatte nere"
• x [G(x) N(x)]: "Tutti sono gatti e sono neri" si riferisce a tutte e 2
• x (G(x) N(x)) : "Tutti i gatti sono neri" si riferisce a G(x), che ha proprietà N(x).

• x P(x) x F(x)
• x F(x) x P(x)
• x [F(x) G(x)] k F(x) k G(x)
• x (F(x) G(x)) x F(x) x G(x)
• x [F(x) H(a)]
• F(a) x F(x)

Insieme Potenza

Per X

• X ∈ P(A) ⇒ X ⊆ A
• Insieme {∅, P(A)} ∈ P(P(A)} P(∅) = {∅}

Partizioni

Un insieme P è partizione di un insieme S se contiene sottosistemi di S e sono disgiunti che ricoprono tutto S.

1. Non vuoti R(S) = {X | X ∈ P} X ∈ P ⇒ X ≠ ∅
2. Se ne prendo 2, l'intersezione è vuota ∀X∀Y ∈ P ∧ X ≠ Y⇒ X ∩ Y = ∅
3. Ricoprono tutto S ∀s ∈ S ⇒ ∃X(X ∈ P ∧ s ∈ X)

Es: Ho gli insiemi P: {{2},{3,8},{6,2}} e S: {2,4,6,9}

• Non vuoti
• Se ne prendo 2, l’intersezione è vuota
• L'unione non copre A X

L'insieme p quindi non è partizione di S.

Prodotto Cartesiano

A × B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B}

Relazioni

R su A² e R ⊆ A × ARelazione binaria su A² = A × AR ⊆ A × B = {(a,b) : a ∈ B, a ∈ Z}

Tipologie:

• Riflessiva: ∀a ∈ A A ∈ è tale contegna tutte le 4 coppie possibili.
• Simmetrica: ∀a b ∈ (a,b), b (a,b), (chiedere) cè l'inverso!
• Transitiva: ∀a b ∈ (a,b), b ∈ a e ∀ quindi "corrispondo" tutto

Relazioni di Equivalenza

Una relazione si dice di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Es: R E S (X,Y) ∋ ∃ IN X,X E Y hanno stessa parta?

Riflessiva: due numeri uguali avvicinano sempre uguale partita!A sono tutte le possibili coppie.

Simmetrica: Se il numero ha uguale partita all'altro allora ha uguale parte al numero!

Transitiva: Se a ha uguale partita di b e b ha uguale partita di c, a ha uguale partita di b

Tipologie:

• Funzione iniettiva: elementi diversi del dominio hanno immagini diverse

∀a, b ∈ A (f(a) = f(b) → a = b) oppure ∀b ∈ F^-1(b)| ≤ 1

• Funzione suriettiva: ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio

∀b ∈ B ∃a ∈ A (f(a) = b)Mod._B(f^-1(b)) ≥ 1

Funzione biunivoca: se iniettiva e suriettiva e se∃! ^f(b)1

Funzioni Compòste

Data una funzione f:A → B e una funzione g:B → C la funzione composta ο: A → C p(g(f(a)): f:A → B

Funzione Invertibile:

Una funzione è invertibile se ∃g:B → A tale che g ο f = id_A e f ο g = id_B

Ese: f: ℤ → ℤ f(n) = n+1 g(n) = n-1

&surd;inf: g ο f → ℤ → ℤ g(f(n): g(n+1) = n g ο f id_ℤ

&surd;f ο g: ℤ → ℤ f ο g = id_ℤ

f ο g id_ℤ

La g applicata all'immagine f(n) = n1 di un elemento n, riporta al valore originario n.

Analogamente

(f ^-1(b)) = b

Come composizione di una funzione invertibile:

• Capite f s componore ∃e&; | invertibile.
• Per trovare l'inverso f ∃, dobbiamo risalire il valore di as &quad;| l'equazione f(a) =b

Ese: ∃a ∈ f(n) =: a+1, q n+1 = b, quindi a = b-1, f ^-1(b) = b+1

Ese: ∃r(a,b): b(a) = (b>a) a(a) - (c,d), quindi b 'Pi' scegliere un numeroν tale che MCD

(αm)=1

1

Per cifrare aΜ

Per cifrare si calcola aβ

33Μ

31

(μ,θ)=

33,3

a:4

αexample

a 64Μ

31

α3Μ

31

-α2

Per

CHIAVE PRIVATA:

COPPIA(μ,θ)

Per decodificare un numero αcalculato numero β

Per decodificare un numero B viene decodificato elevando b alla e e riducendo modulo m.

(αm)

6:34

-27Μ

6/(GR

O·=2·8·4

mJ

G4

costruire un codice

COPPIA(μ,θ):RN x Nk=αx MCD(αΜ,1)

O4

α3(vom)Α(Μ)Φm-1

0>⁴Μ<m/

α3

COPPIA(μω)

E+)/α2=

1

απαχ

θμ

({Μ4}

20

CHIAVE PRIVATA:

COPPIA(μβ):

G/

2Ö/α24/10

CoppiPrivataζ22.4/β=[4/10]

2α4

Ku0αΠ

OUC12

γ6

n:

e ΜΣα

λπΦ

1.Α/3)

2.β

ανξΟ

6.fη) (7

-Λoi-(Gcd)cream)

Abbiamo a disposizione 10 lettere e dobbiamo combinare una stringa di 5. Non ripetiamo i caratteri. Quanti modi abbiamo?

n=10 k=5: A,B,C,D,E,F,G,H,I,L

D: disposizioni ₁₀P₅= 10 x 9 x 8

Se cambiamo una lettera al primo o all'ultimo posto cambia tutto! Plurali:

D: disposizioni con ripetizione ₁₀P₅= 10⁵

Ci sono 10 condomini. Bisogna scegliere 1 Presidente, un Segretario e un Tesoriere. Quanti modi abbiamo?

n=10 k=3 ₁₀P₃= 10 x 9 x 8

Disposizioni: Uno al primo posto è Presidente, mettere la ma allo ultimo cambia e diventa il Tesoriere. Quoci cambia tutto! Plurali!

D: ₁₀P₃ = 10³

Ci sono 50 persone e dobbiamo scegliere 3 rappresentanti. Quanti modi abbiamo?

n=50 k=3 C: combinazioni: ₅₀C₃ =

= ₅₀C₄₇

Ci sono 10 femmine e 5 maschi. Dobbiamo scegliere 2 persone di sesso diverso. Quanti modi abbiamo?

n=15 -> n=10 f n=5 (f maschi: vedimi)

K=2 C

10 x 5 = 50 modi

Se vogliamo che siano dello stesso sesso? Complementary: Non cambia niente il numerò tanto sono dello stesso sesso!

Abbiamo 27 fiori: 15 margherite e 12 rose. Vogliamo confezionare un mazzetto con 10 fiori. Vogliamo inoltre che ci siano almeno una margherita e almeno una rosa. Quanti modi abbiamo?

n=27 -> n=15 n=12 k=10 completamento:

Calcolare modi totali: Combinazioni:

C: 27C10: (15 tutte margherite, 10 rose 15: (21-14))

D: Tosfere 1 rosa: Con sole 10 margherite o con sole 10 rose: 27C9: (27-19-14)

Abbiamo 15 matematici e 20 fisici. Dobbiamo scegliere 3. n=15 n=20

K=3 C totali: combinatori: ₃₅C₃

Almeno un matematico: Completamento: C: ₂₀C₃ - salutis minacci ₁₅C₃

Se può matematica o fisica, ma almeno un fisico?

(15C1)(20C2) (15C2)(20C1)

6 3 9 Amioche fisici

3