Appunti di Dinamica delle Strutture (inglese), prof. Federico Perotti

Name: Appunti di Dinamica delle Strutture (inglese), prof. Federico Perotti
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Author: ziopirro95

Revisionato il 31/05/2026

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Equations of motion for linear discretized systems: lumped mass and assumed-mode methods. One-degree-of-freedom systems: free vibrations, harmonic forces, arbitrary forces, time and frequency …

Esame Dinamica delle strutture

Facoltà Ingegneria civile ambientale e territoriale

Dal corso del Prof. Perotti Federico

Università Politecnico di Milano

A.A. 2018-2019

72 pagine

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Estratto del documento

Dynamics of structures

Marco Pirrò
Civil Engineering
Politecnico di Milano
Prof. Perotti F.
a.a. 2018/2019
71 pagine
Voto: 28

Equation of motion for linear discretized system

Under these assumptions:

Piccole oscillazioni attorno alla conf. indeformata
Linear elastic material
Plane stress condition
Only flexural behavior

Scriviamo la eq. di moto in dinamica usando il principio di D'Alembert.

BC + Cauchy condition

σ(x,t) = 0 |_x=0 ∀t
N'(x,t) = 0 |_x=L ∀t
M_t(x,t)|_x=L = 0 ∀t
M'(x,t)|_x=L = 0 ∀t

Discretization method for dynamic equation

Assumed mode method

Approssimiamo v(x, t) = u_k=1^U + ψ_k(x)q_k(t)

Slope functions (autofunzioni)
Lagrangian coordinates (non hanno un senso fisico tipo spostamenti o rotazioni)

Lumped mass method

La distribuzione di inerzia viene concentrata e localizzata in punti di massa precisi a cui vengono applicati le forze di marea e le forze esterne distribuite. In questo caso le Lagrangian Coordinates saranno gli spostamenti dei punti di massa (ed eventualmente le rotazioni).

Oss: Structural Dynamic Theory si basa sull'ipotesi di piccole oscillazioni intorno alla conf. di eq. stabile, ottenute tenendo conto dei vincoli statici e assumiamo che anche questi conf. siano in termini di piccoli spostamenti e di appoggio eventuali oscillazioni piccole.

Lagrange equations (in assumed mode method)

Poiché non possiamo applicare direttamente le equazioni di moto date da D'Alembert in quanto non tiene conto delle approssimazioni che noi introdurremo sia quando introduciamo il modello strutturale (tipo le dipendenze EI vs un beam) sia quando vogliamo usare quelle discretizzazione su v(x,t) (perché sto introducendo dei "vincoli" sul modo di deformare della strutture).

Vogliamo tramite il principio di Hamilton per un sistema descritto da un numero FINITO di gradi di libertà e secondo L.E.L.:

_∀f: - n dofs
Constraints are OLONOMIC (based on dependencies, not velocity)
FIXED (not vary in t)
SMOOTH

∀k=1:n solve

^{d/dt (dL/d_{q_k}) - dL/dq_k = Q_k(t)}

Lagrange equations where

L = T - V
Q_k = generalized component of external force
T = kinetic energy
V = total potential energy

- ∂W = Σ Q_k(t) ∂q_k virtual work of dynamic force at t=t

T = ¹/₂ Σ µ_ij v_i² where µ_ij is SYMMETRIC matrix with a constant coefficient (unknown, e.g. of S oscillations).

V = V^(e) + V^(o) due to elastic restoring force due to external forces

Elastic potential energy, V(E)

V(E) = \(\frac{1}{2}\) \(\int_{0}^{l}\) E(x) \(v_{,x}(x,t)^{2}\) dx = \(\frac{1}{2}\) \(\int_{0}^{l}\) E(x) \(\sum_{k}\sum_{j}\) \(\psi_{,x}^{k}\psi_{,x}^{j}\) qk(t)qj(t) dx = -\(\frac{1}{2}\) \(\underline{q_{T}}\) \(\underline{K}\) q where \(K_{ij}\) = \(\int_{0}^{l}\) E(x) \(\psi_{,x}^{i}\psi_{,x}^{j}\) dx so \(\underline{K}\) is symmetric.

For dq we discuss later...

Nota che posso esprimere via Taylor V attorno a \(\underline{V_0=0}\) (stek. eq. conf.)

V = V0 + V_{,i}(v-v0) + \(\frac{1}{2}\) V_{,ij}(v_{-}v_{0}) \(\underline{^{2}}\) + ... = negativo (eq. config.) \(\{pressu. +\frac{1}{2}\) V_{,ij} (v_{-}v_{0}) \(\underline{^{2}}\) +...\} so V>0 so \(\underline{K}\) is dependent.

Finally, for external loads

\(\underline{\delta}\)W = \(\int_{0}^{l}\) p(x,t) \(\underline{f}(x,t)\) dx virtual displacement \(\underline{ }\) = \(\int_{0}^{l}\) p(x,t) \(\sum_{k}\) \(\psi_{k}\delta q_{k}(t)\) dx = \(\sum_{k}\int_{0}^{l}\) p(x,t) \(\psi_{k}\) \(\delta q_{k}(t)\) = \(\sum_{k}\) \(\underline{q_{k}(t)}\) \(\delta q_{k}(t)\)

In small oscillations generally \(\underline{\delta}\)W non dipende da C0

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