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Estratto del documento

DYNAMICS OF STRUCTURES

Marco Pirrò

Civil Engineering

Politecnico di Milano

prof. PEROTTI F.

a.a. 2018/2019

71 pagine

voto: 28

EQUATION OF MOTION FOR LINEAR DISCRETIZED SYSTEM

Consideriamo il primo esempio

under this assumptions:

  • piccole oscillazioni attorno alla config. indeformata
  • linear elastic material
  • plane stress condition
  • only flexural behavior (ϵtt=0)

Scriviamo la eq. di moto in dinamica usando il principio di D'Alembert

caricando l'ep. di moto in statica aggiungendo le forze di inerzia come forze esterne con segno negativo (-u 0 : 5K + 2NL > 0

Analysis:

Tθ0=0 = 1/2 I ω12 θ̇2

Now compute Q(t) = generalized comp. of F(t)

with the formula:

δW = F(t) δyp

= F(t) L cosθ δθ

= Q(t) δθ

let we evaluate in θ = 0 -> Q(t) = F(t) L

Finally we write the eq. of motion of the small oscillation

around the eq. stable conf. θ0 ≈ 0 :

2/3 I θ̈ + (5K + 2NL) θ = F(t) L

The eq of lagrange in a moving ref system ( supposing each

constraint at the ground moves equally ) is :

d/dt (∂T/∂q̇i) + ∂V/∂qi + ∂D/∂q̇i = 0

d/dt (µ i q̇i) + ∂V/∂qi + ∂D/∂v̇i = 0

d/dt (ε T µv̇ + εT µv v̇) + εT Kv + Cv v̇ = εT ξ v̇ = 0

case:

u v̇ + u v + Kv + Cv v̇ = 0

or

u v̇ + ε T + K v = -uT v̈

Os. Potavo considerare l'osservatore non inerziale (cioè solidale alla struttura per cui vede u(t) ) e riscrivere l'eq di L.Ma dovevo aggiungere le forze apparenti date da

Eqn - µ(ü(t)) ∀ k

e quindi

Now we have

v(t) = F0/k f/1-(

ω1+2ε/ω1)2

{sin((ω1+2ε)t) -

ω1 +2ε/ω1 sin(ω1t)}

F0/k ω1/(

ω1+2ε)2 + ω12

)

v(t) = F0/k

ω1/ ω21 -

ω21 + 4ε2

{2ω1 cos((ω1 + θ)t) sin(εt) - 2ε sin(ω1t)}

= F0 ω1/k(

ω21 - (ω1+2ε)2)

={ 2ω1 cos((ω1 + θ)t)

sin(εt) - 2ε sin(ω1t)}

Symbol ∑ξω1 :

v(t) ≈ F0/k

ω1/4ε2 -

ω21 - 4ε2

{{2ω1 cos((ω1 + θ)t) sin(εt)}

≈ -F0/k

1/4ε

{ 2ω1 cos(ω1 t)

sin(εt) }

oscillation with freq ω

oscillation with freq ε (so very slowly)

BEAT phenomenon

Oscillatory function with freq ω so

frequency but its amplitude is

not constant but it is modulated

by this envelope sin(εt)

la soluzione particolare zp(t) è di facile ottenibile.

Ragionando H∼(β):

H∼(β) = (1 - β2) + i(1 - 2ζβ)/(1 - ρβ)2 + (2ζβ)2 = 1/k [Re(H∼) + i Im(H∼)]

zp(t) = E/k [Re (H∼) t i Im(H∼)] cos(ωt) t i sin(ωt)

= Sp(t) t i Vp(t)

= la parte reale di zp(t) corrisponde a una forzante cos

e la parte immagionaria di zp(t) corrispondente a una forzante sin

zp(t) = E/k [Re(H∼) t i Im(H∼)] cosωt t E/k [- Im(H∼) + i Re(H∼)] sinωt

- = E/w [Re(H∼) cosωt - I(H∼) sinωt + LE/w [Re(H∼) t i Im(H∼) cosωt

Nota che:

  • Re(H∼) e l'ampiezza del risposta in fase con la forzante
  • Im(H∼) e l'ampiezza del risposta in quadratura

so

supposing

the above:

so amplitude of the response of 1st harmonic is 4,72·10-2 m

so amplitude of response of 2nd harmonic is 8,78·10-4 m

N

p

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Publisher
ziopirro95
A.A. 2018-2019
72 pagine
SSD Ingegneria civile e Architettura ICAR/08 Scienza delle costruzioni
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ziopirro95 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica delle strutture e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Perotti Federico.