Appunti completi di "Analisi dinamica delle strutture"

ANALISI DINAMICA

DELLE STRUTTURE

1. Introduzione

Lo scopo principale di questi appunti riguardanti la Dinamica delle Strutture è quello di

presentare i metodi di analisi per la determinazione delle deformazioni e degli stati tensionali

indotte da carichi dinamici qualsiasi. Ciò può essere considerato come una estensione dei

metodi standard di analisi strutturale che considerano solo la presenza di carichi statici. Il

termine dinamico designerà una grandezza che varia nel tempo. Un carico dinamico sarà

quello la cui intensità, posizione e/o direzione cambiano con il tempo. La risposta strutturale

connessa ad un carico dinamico sarà anch’essa dinamica. Per la valutazione della risposta

strutturale ai carichi dinamici sono disponibili due approcci fondamentali: quello

deterministico e quello aleatorio. Se la variazione del carico nel tempo è nota, anche se

altamente irregolare, ci si riferirà ad esso come un carico dinamico assegnato e l’analisi della

risposta strutturale sarà chiamata analisi deterministica. D’altra parte, se l’andamento nel

tempo del carico non è noto, se non in senso statistico, il carico verrà denotato come

aleatorio, così come la risposta strutturale sarà determinata mediante una analisi aleatoria.

INDICE

2. Sistema ad un grado di libertà (1 GDL)...........................................................................................2

2.1 Risposta in regime sinusoidale...................................................................................................7

2.2 Trasmissibilità..........................................................................................................................11

3. SISTEMI A MOLTI GRADI DI LIBERTA’ ................................................................................13

3.1 Analisi Modale.........................................................................................................................14

3.1.2 Troncamento modale.........................................................................................................21

4. MATRICI DI RIGIDEZZA ...........................................................................................................21

5. CENNI DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI (FEM).........................................................25

5.1 Matrice di rigidezza di elemento..............................................................................................26

5.1.1 Matrice di rigidezza della trave inflessa nel piano............................................................28

5.2 Partizione della matrice di rigidezza di elemento ....................................................................30

5.3 Matrice di struttura...................................................................................................................31

5.3.1 Riferimento globale di struttura ........................................................................................33

5.4 Soluzione statica ......................................................................................................................35

5.5 Matrice di massa ......................................................................................................................36

5.6 Metodi di riduzione dei gradi di libertà ...................................................................................37

5.6.1 Riduzione di GUYAN.......................................................................................................38

5.6.2 Riduzione di GRAIG-BAMPTON (CMS) .......................................................................39

6.1 Moto del vincolo ..........................................................................................................................41

6.2 Valutazione del sisma ..................................................................................................................43

7. STATI DEL SISTEMA .................................................................................................................48

1/50

2. Sistema ad un grado di libertà (1 GDL)

Il più semplice sistema vibrante è rappresentato in figura mediante una massa, una molla ed uno

smorzatore viscoso Il grado di libertà del sistema è rappresentato dallo

spostamento x(t) della massa determinato dalla forza

f(t).

L’equazione di moto del sistema è rappresentata dalla

equazione differenziale

+ + =

M x C x Kx f

&

& &

1)

che, noto l’andamento temporale della forza f può

essere integrata numericamente ed in questo caso

spesso anche analiticamente, per trovare il valore di

x(t).

Siccome vogliamo parlare di sistemi meccanici ‘veri’ è

Figura 1 Sistema ad 1 DOF bene anche soffermarci a riflettere su quale sia l’utilità

della soluzione x(t) che troveremmo: la x(t) in quanto tale non ci dice niente di interessante, mentre

può essere molto importante ad esempio conoscere la forza che sollecita la molla Fm=Kx(t). Infatti

tale forza può servire a dimensionare la molla reale schematizzata dalla costante di rigidezza K.

Altrettanto importante può essere conoscere la forza totale trasmessa al vincolo Fv=Kx(t)+Cx’(t)

per dimensionare gli organi che determinano il vincolo del sistema (perni, supporti, ecc) oppure per

far sì che il vincolo sia sollecitato il meno possibile, affinché il nostro sistema trasmetta al vincolo

l’azione minore possibile. Queste considerazioni, qui abbastanza ovvie, devono farci riflettere sul

fatto che, in generale, su sistemi più complessi, l’ottenimento della soluzione del sistema in termini

di spostamento è solo il primo passo, al quale vanno poi affiancate ulteriori elaborazioni per

ricavare le grandezze interessanti dal punto di vista del progettista.

Ritornando agli aspetti più analitici del problema in esame, riflettiamo sul fatto che la x(t) dipende

ovviamente dalla f(t) e che due forze diverse danno soluzioni che apparentemente nulla hanno a che

fare l’una con l’altra, mentre è evidente che le due soluzioni hanno in comune di essere determinate

dallo stesso sistema vibrante. Questa circostanza non può essere messa in evidenza da una soluzione

dell’equazione differenziale, come mostra chiaramente la figura seguente. 2/50

1000

1000 500

500

(N) (N)

0 0

f1 f2

-500 -500

-1000 -1000

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

t (s) t (s)

0.1 0.04

0.05 0.02

(m) (m)

0 0

x1 x2

-0.05 -0.02

-0.1 -0.04

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

t (s) t (s)

Figura 2 Risposta x(t) di un sistema a due diverse forzanti

Ci farebbe comodo quindi l’esistenza di una qualche funzione dipendente dalle sole caratteristiche

del sistema, che potesse far da tramite tra il valore della forzante f(t) ed il valore della risposta x(t),

in modo da poter caratterizzare, con questa funzione, l’effetto che il sistema produce sulla forzante

al fine di determinare il valore della risposta. Di tale funzione ci immaginiamo l’esistenza, ma non

sappiamo come poter fare né a definirla, né tantomeno a trovarla.

A tal scopo ci viene in soccorso l’operatore matematico della trasformata di Laplace, secondo cui

una qualunque funzione del tempo y(t) può essere trasformata, passando dal dominio del tempo al

dominio della frequenza complessa s, mediante l’espressione

∞

∫ −

= st

Y ( s ) e y (

t ) dt

0

Questa è in generale una funzione complessa di variabile complessa che gode della proprietà

rispetto alla trasformata della derivata che

∞

∫

& −

= = +

st

Y ( s ) e y (

t ) dt sY ( s ) y ( 0 )

&

0

Applicando la trasformata di Laplace alla equazione 1), sia alla x(t) che alla f(t) otteniamo, dopo

qualche passaggio [ ]

( )

ξω

= + + +

X ( s ) H ( s ) F ( s ) M x ( 0 ) s x ( 0 ) 2 x ( 0 )

&

2) o 3/50

Avendo definito le grandezze

K

ω =

o M

3) C C

ξω ξ

= → =

2 o M 2 KM

e, soprattutto 1

M

=

( )

H s

4) funzione di trasferimento

ξω ω

+ +

2 2

2

s s

o o

Il dominio delle frequenze complesse s per il momento non ci dice niente di interessante, in quanto

non sappiamo attribuirgli un significato fisico. In ogni caso, prescindendo ora da questo problema,

se usiamo tale dominio la 2) ci dice che la risposta X(s) è legata sia alla forzante F(s) che alle

condizioni iniziali del moto x(0) e x’(0) tramite la funzione H(s), che abbiamo denominato funzione

di trasferimento. Tale funzione contiene solo grandezze del sistema vibrante (M,C,K) dunque

dipende solo dalle caratteristiche del sistema vibrante e quindi sembra svolgere bene il compito che

avevamo immaginato poco fa, ovvero di legare la risposta all’eccitazione per tramite delle

caratteristiche del sistema.

Riflettiamo ancora sulla 2). Nel caso che le condizioni iniziali siano nulle e che la trasformata della

f(t) sia F(s)=1, abbiamo che X(s)=H(s), ovvero la trasformata della risposta è uguale alla funzione

di trasferimento. Condizioni iniziali nulle è una circostanza comune:significa che iniziamo a forzare

il sistema quando esso è in quiete. F(s)=1 significa che la f(t) è la funzione di Dirac δ(t), ovvero

l’impulso di durata infinitesima ed ampiezza infinita. Quindi se il sistema, dalla quiete, venisse

eccitato mediante un impulso, risponderebbe con una x(t) che è la antitrasformata di H(s).

1

( ) σ ω

− −

= = = t

1

h (

t ) x (

t ) L H ( s ) e sin( t )

5) risposta all’impulso

ω d

M d

dove

ω ω ξ

= − 2

1

d o

σ ξω

= o

L’andamento della risposta all’impulso è rappresentato in figura 4/50

-3

x 10

2

1.5

1

0.5

h(t) 0

-0.5

-1

-1.5

-2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t (s)

Figura 3 Risposta all'impulso -σt

e

La h(t) è una sinusoide di pulsazione ω la cui ampiezza diminuisce come la funzione .

d

La quantità σ è detta velocità di decadimento esponenziale e la quantità ω è detta pulsazione

d

propria smorzata del sistema. E’ ovvio che la velocità di decadimento è nulla se il sistema non è

smorzato ed in tal caso la pulsazione propria coincide con ω che è detta pulsazione propria non

o

smorzata del sistema. La quantità ξ è detta fattore di smorzamento. Di norma il suo valore è piccolo

(si usa esprimerla in percentuale e vale intorno al 5% per i normali sistemi costituiti da materiali

metallici). Più propriamente dovrebbe chiamarsi frazione di smorzamento critico e deve essere

compresa tra 0 ed 1, perché il sistema abbia una risposta all’impulso quale quella in figura. Se è

maggiore di 1 la ω diviene immaginaria e la risposta all’impulso non ha più la forma di sinusoide,

d

ma quella di una esponenziale decrescente. In tal caso il sistema non ha più la capacità di oscillare a

seguito di un impulso, ma esibisce una risposta decrescente con asintoto nullo. E’ per questo che si

definisce smorzamento critico quello per cui ξ=1, che discrimina il comportamento oscillante da

quello esponenziale.

Ritornando ad analizzare la 2), supponiamo che la forza applicata al sistema sia nulla F(s)=0, ma

che all’istante iniziale il sistema abbia uno spostamento iniziale x(0) o una velocità iniziale x’(0) od

entrambe. Ovvero perturbiamo lo stato iniziale del sistema e vediamo come questo si muove in

conseguenza. Dalla 2) si vede che la X(s) sarebbe una funzione proporzionale ad H(s) e ad sH(s).

Cio’ significa che la x(t) sarebbe la somma di una funzione come la h(t) e di una come la derivata di

h(t). Ovvero sarebbe ancora una funzione dall’andamento analogo alla h(t). In conclusione il

sistema perturbato si muove con una transitorio oscillante che dopo un breve tempo si esaurisce.

Dunque se la forzante f(t) è persistente, ovvero se è applicata per un tempo abbastanza lungo, i

termini della 2) dipendenti dalle condizioni iniziali, se ci sono, dopo un breve lasso di tempo

diventano trascurabili e quindi la 2) si riduce a 5/50

=

( ) ( ) ( )

X s H s F s

2’)

Cioè la trasformata di Laplace della risposta è proporzionale alla trasformata di Laplace della forza

tramite la funzione di trasferimento H(s). La 2’) è una relazione fondamentale, una volta che se ne è

compreso bene il significato prima spiegato.

Per la proprietà della convoluzione della trasformata di Laplace abbiamo

t

∫ τ τ τ

= −

( ) ( ) ( )

x t h f t d

2’’) o

Ovvero la risposta di un sistema è data dall’integrale di convoluzione della risposta all’impulso con

la funzione della forzante, sempre che, beninteso, siano nulle le condizioni iniziali di spostamento e

velocità.

La funzione di trasferimento è funzione complessa di variabile complessa. Vediamo l’andamento

del suo modulo Figura 4 Modulo della funzione di trasferimento

Come si vede il modulo diventa infinito per valori di s pari a

σ ω

= − ±

p j

1

, 2 d

Tali valori sono i poli della funzione di trasferimento e sono valori complessi coniugati. Dalla

definizione 4) di funzione di trasferimento vediamo che i poli sono i valori di s che annullano il

6/50

denominatore di H(s). I poli contengono tutte le caratteristiche del sistema, ovvero la velocità di

decadimento esponenziale e la pulsazione naturale smorzata.

2.1 Risposta in regime sinusoidale

Dato che ogni funzione del tempo può essere approssimata da una serie di Fourier, ovvero

n [ ]

∑ ω ω

≈ +

( ) sin( ) cos( )

y t A t B t

i i i i

=

i 0

π

2

ω = n

i T

ove T è il periodo della funzione, è evidente che, applicando la serie di Fourier alla funzione che

rappresenta la forza imposta al sistema, questa può essere considerata la somma di termini

sinusoidali ciascuno ad una frequenza nota.

Ha quindi grande interesse studiare la risposta del nostro sistema, qualora la forzante sia di tipo

sinusoidale.

Se dunque ω

=

( ) sin( )

f t F t

o ω

=

( )

F s F ω

o +

2 2

s

La 2’) ci dice che X(s) è una funzione di s prodotto di due polinomi a denominatore con 4 poli

complessi coniugati

σ ω

= − ±

p j

1

, 2 d

ω

= ±

p j

3 , 4

Bisogna scomodare un po’ di strumenti matematici e per la precisione il teorema dei residui il quale

ci consente di esprimere X(s) come

4 R

∑

= i

X s F

( ) o −

s p

=

i 1 i

è il residuo di X(s) nel polo p , del quale tralasciamo la definizione che può essere reperita

Dove R

i i

nei testi specifici. Ci basti pensare che R è un coefficiente noto.

i

1

− =

1 pt

L ( ) e

−

s p

Dunque la x(t) è la combinazione lineare di funzioni del tipo

σ ω

− ±

( j ) t

e d

ω

± j t

e

Con i coefficienti della combinazione dati dai residui. Tali funzioni possono essere ricondotte a

sinusoidi smorzate di pulsazione ω e a sinusoidi di pulsazione ω.

d

In definitiva la x(t) è una funzione sinusoidale smorzata analoga alla risposta all’impulso che dopo

un po’ diventa trascurabile ed una sinusoide di pulsazione ω che persiste per quanto persiste la

sono dati dalla funzione di trasferimento

sinusoide della forzante. I residui corrispondenti ai poli p

3,4 7/50

valutata in s=j ω e tali residui determinano l’ampiezza della risposta persistente di pulsazione pari a

quella della forzante.

Dunque, la risposta in regime sinusoidale di un sistema è data da uno spostamento della stessa

pulsazione della forzante di ampiezza e fase definiti dalla H(s= j ω), ovvero dalla H(s) valutata per s

immaginario. 1 / M

ω ω

= = =

H ( s j ) H ( ) ω ω σω

2’’’) − +

2 2 j 2

o

La H(ω ) è chiamata risposta in frequenza del sistema.

La H(ω) è funzione complessa di variabile reale ω. Può essere vista come parte reale H (ω) e parte

r

immaginaria H (ω) , oppure come ampiezza |H(ω)| e fase φ(ω )=arctg(H (ω )/H (ω)).

i i r

Una forzante f(t)=F sin(ωt) da luogo a regime (dopo che si è esaurito il transitorio dato da

o

dall’esponenziale decrescente di pulsazione ω ) alla risposta

d

ω ω ω ω

= +

x (

t ) F [ H ( ) sin( t ) H ( ) cos( t )]

o r i

oppure ω ω θ ω

= +

x (

t ) F | H ( ) | sin( t ( ))

o

La figura seguente mostra il grafico della risposta in frequenza con ascisse la frequenza f==2π/ω

che ha un significato più immediato della pulsazione.

-5 -5

x 10 x 10

5 5

4

(m/N) (m/N)

3

Ampiezza 0

Reale

2

1

0 -5

0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

frequenza (Hz) frequenza (Hz)

-5

x 10

0 5

-30 (m/N)

-60

(°) Immaginario

Fase -90 0

-120

-150

-180 -5

0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

frequenza (Hz) frequenza (Hz)

Figura 5 Risposta in Frequenza H(f) 8/50

La curva rossa è per smorzamento nullo, quella blù per ξ=0.3.

A frequenza nulla l’ampiezza vale 1/K, il reciproco della rigidezza del sistema. A frequenza infinita

l’ampiezza tende a 0. Ovvero a frequenza nulla abbiamo il caso statico f=Kx , a frequenza grande si

tende al caso d