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Matrice di rigidezza della trave inflessa nel piano

T T T= ∂ = ∂ = ∂ TL x f L dV x [ B ] [ D ] [ B ]dV x e i  V VUguagliando e semplificando rimane definita la matrice di rigidezza [k] 27/50 [ ] ∫= Tk [ B ] [ D ] [ B ]dV 23)  VNel caso dell’asta − 1     − − 1 1 EA 1 1[ ] L∫ ==k E dV      1 L L L − 1 1   V   LLa 23) è la relazione che consente in maniera generale di trovare in modo efficiente la matrice dirigidezza di un elemento.5.1.1 Matrice di rigidezza della trave inflessa nel pianoCon questo metodo troviamo la matrice di rigidezza della trave in flessa nel piano. Essa corrispondealla topologia sotto schematizzataE’ un elemento a due nodi con due gradi di libertà per nodo che sono lo spostamento lungo y e larotazione attorno a z. Sui nodi si applicano quindi le forze di taglio in direzione y ed i momentiattorno a z. Abbiamo

   y f11    θ   M   { } { }= = 11x f    y f  22    θ M     22

Per il campo di spostamenti interni scegliamo la freccia della linea elastica e la sua derivata rispetto ad x, ovvero

       y3 2 3 2 3 2 3 22 3 2 2 3x x x x x x x x     −− +− +− + 11 x        θ ( )y x 3 2 2 3 2 2 L LL L L L L L      { }  = = 1( )x P    θ          y2 2 2 2 2( )x 6 6 3 4 6 6 3 2x x x x x x x x          2− − + − + −1            θ3 2 2 3 2 2L LL L L L L L            2

28/50La matrice di funzioni di forma 2x4 ha ciascuna funzione che corrisponde a tener uno spostamentounitario e gli altri nulli, richiamando ancora il metodo manuale di calcolo della matrice di rigidezza.La trave è risolta in termini di caratteristiche di sollecitazione, ovvero delle risultanti delle tensionisulla sezione della trave stessa. Ci conviene pertanto mantenere questa impostazione, per cui alposto delle deformazioni unitarie scegliamo la grandezza più utile che è, nel caso della trave inflessa, la curvatura. z ed i momenti attorno ad y, la stessa matrice precedente con Jy al posto di Jz risolve la trave in flessa nel piano x-z. La 18) risolve la trave a sforzo normale in direzione x e la 18') la trave a torsione. Definendo quindi il seguente vettore di spostamenti nodali e di forze nodali:         x fx         y f         y         z f         z                 θ θ         xx         θ θ         yy         θ θ                 { } { } = = zzx f1 1             x f     x         y f     y         z f     z         θ θ     xx         θ θ     yy     θ θ             yy θ θ zz 2 2Basta costruire i termini della matrice di rigidezza 12x12 inserendo nella posizione i,j i termini appropriati presi dalla 18), 18’) e 24).5.2 Partizione della matrice di rigidezza di elementoPer come abbiamo deciso di organizzare gli spostamenti e le forze nodali, se un elemento ha n nodi com m gradi di libertà per nodo abbiamo { }{ } La matrice di rigidezza è partizionata in sottomatrici. La sottomatrice [k]ij viene moltiplicata per lo spostamento del nodo j e dà il contributo del nodo j alla forza sul nodo i. La 26) è molto comoda perché consente di considerare formalmente i gradi di libertà nodali in un unico pacchetto e quindi adoperando i sottovettori e le sottomatrici è come se ogni nodo avesse un solo grado di libertà. Naturalmente si possono organizzare in modo diverso gli spostamenti nodali se ne abbiamo la necessità. In tal caso bisogna scambiare di posto congruentemente le colonne della matrice di rigidezza. Qualora si voglia organizzare diversamente il vettore delle forze nodali bisogna scambiare di posto congruentemente le righe della matrice di rigidezza. Vedremo più avanti che questa operazione è utile.

5.3

Matrice di struttura

Quanto abbiamo finora detto costituisce la base del metodo agli elementi finiti che è quella di poter caratterizzare il legame di rigidezza per un elemento. Ma un elemento è il mattone che consente, assemblando molti elementi insieme, di poter modellare una struttura complessa. Questa operazione deve essere formalizzata per accorgersi come l'assemblaggio di più elementi possa esser fatto facilmente in maniera automatica.

Per far questo prendiamo un elemento con un grado di libertà per nodo quale l'asta (le considerazioni del paragrafo 5.2 ci consentiranno di generalizzare facilmente adoperando per ciascun nodo dei sottovettori e delle sottomatrici, anziché degli scalari).

I due elementi asta a e b sono tra loro separati. Possiamo scrivere

a ak k 0 0 xf
a ak k 0 0 xf
21 22 =2

'       b bk k0 0 xf   11 122 '' 2 ''     b b  k k0 0 xf         21 223 3

Abbiamo scritto insieme le equazioni di ogni asta. Le aste continuano ad essere disaccoppiato. Per accoppiarle dobbiamo introdurre una condizione di congruenza ed una di equilibrio, ovvero

= =x x x2 ' 2 '' 2+ =a bf f f2 ' 2 '' 2

La prima impone che i nodi siano uniti tutti nel nodo 2 e la seconda è l’equazione di equilibrio al nuovo nodo 2 dove

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Publisher
FedericoSormani
A.A. 2019-2020
52 pagine
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SSD Ingegneria civile e Architettura ICAR/08 Scienza delle costruzioni
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher FedericoSormani di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi dinamica delle strutture e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Perugia o del prof Braccesi Claudio.