Appunti di dinamica

DINAMICA:

studio del moto dei corpi in relazione alle cause che lo producono. Compare la variabile tempo.

• autovettura in partenza
• spazio di frenata in funzione della forza fren.
• crolli di viti
• sollecitazione su supporti
• vibrazioni
• pantografo - catenaria

SISTEMA 1 GRADO DI LIBERTÀ

(SDOF: single degree of freedom)

• Molla di rigidezza K (eu. potenziale elastica)
• Smunatore c (dissipazione)
• Massa w (eu. cinetica)

l'obiettivo è ricavare l'equazione del moto attraverso il

DIAGRAMMA DI CORPO LIBERO

w^2 c + k = 0

EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL MOTO

La soluzione è nella forma

x(t) = A e^ws

ẋ = s A e^ws

= s^2 A e^ws (w^2 s^2 + cs + k) A e^wt≠ 0

A = 0 è una SOLUZIONE BANALE che corrisponde al K = 0 cioè la massa non si sposta mu applico forze (sist. in quiete)

Equazione Caratteristica

w²s² + Cs + K = 0

s_1,2 = -C ± √(C² - 4Kw) / 2w

E ∈ ℂ (essendo sempre il radicando positivo)

Δ = C² - 4Kw ≥ 0

Si definisce:

ξ = C / C_c → Fattore di Smorzamento

dove C_c = 2√Kw

1. Se Δ > 0 (ξ > 1) gli zeri s sono reali, distinti (e negativi secondo Cartesio)

Il sistema si dice sovrasmorzato

2. Se Δ = 0 (ξ = 1) gli zeri sono reali, coincidenti (e negativi)

Il sistema si dice criticamente smorzato

3. Se Δ < 0 (ξ < 1) le soluzioni sono complesse coniugate con parte reale negativa

Il sistema si dice sottosmorzato

ẍ + Cẋ + Kx = 0

Divido per il coefficiente della derivata 2°

ẍ + C/ẅ ẋ + K/ẅ²x = 0

ẍ + 2ξw_n ẋ + w_n²x = 0 (a memoria)

Pulsazione propria o naturale

2) Eq. del moto

Equilibrio alla rotazione

1. I_o θ̈ + w² l² - wgl senθ = 0

2. (I_o + wl²) θ̈ + wgl senθ = 0

I_eq θ̈ + wgl senθ = 0 EQ. DEL MOTO

non lineare

3) Posizioni di equilibrio

3 CASI

1. STABILE: il sistema oscilla sull'intorno della posizione di equilibrio senza mai tendervi
2. ASINTOTICAMENTE STABILE: il sistema tende all'equilibrio per t→∞
3. INSTABILE: il sistema si allontana dall'equilibrio (soluzione divergente)

Risposta al gradino ( ζ < 1 )

f(t) = f_ou(t)

w²x + cẋ + kx = f_ou(t)

x(t) = (a cosw_dt + b sen w_dt) e^-ζw_nt + x_P

lim x(t) = x_P = _fo/^k

Sapendo che . . .

x(0) = a + x_P = a + _fo/^k = 0

⇒ a = -_fo/^k

b = -_ζ/√^1-ζ2_fo/^k

Quindi:

x(t) = _fo/^k[1-e^-ζw_nt(cosw_dt + _ζ/√^1-ζ2senw_dt)]u(t)

PULSAZIONE DI RISONANZA

w_exx = w_n√1 - 2ξ²

Q_max = ¹/_{2ξ√1 - ξ²} = (X_o |X_st/wexx)

Q = ¹/_{(1 - ξ²)² + (2ξr)²}

tgψ = ^2ξr/_{1 - r²}

r = w/w_n

Possiamo ora disegnare le curve

FRF (funzioni di risposta in frequenza) = Q

|Q| ↑ risonanza infinita

ξ = 0 (non realistico)

sovraccarichi elevati

^π/₂

φ ↓

^π/₂

π

(^ξ/_√2/2 = ≈70.7% affinché ci sia risonanza)

Per φ uso la convezione dei ritardi perché prendo i ritardi di fase (la fase intesa come numero positivo è l'anticipo)

Diagramma di corpo libero:

m\[\ddot{x}\] = (m_T - m₀)\[\ddot{X}\] + m_s\[\ddot{x}\]

Sto valutando il termine legato al trascinamento

m\[\ddot{x}\] + c\[\dot{x}\] + kx - m₀w²E senwt = 0

reazione del vincolo:

Nella realtà il vincolo è dato dall'attrito dei piedini che fanno nascere una forza orizzontale

m\[\ddot{x}\] + c\[\dot{x}\] + kx = m₀w²E senwt = f_m[m₀w²E e^iwt]

In questo caso la forzante è diversa perché l'ampiezza dipende da w

m\[\ddot{x}\] + c\[\dot{x}\] + kx = m₀w²E e^iwt

X = X₀ e^iwt con X₀ ∈ ℂ

• soluzione a regime

(k - mw² + iwc)X₀e^iwt = m₀w²E e^iwt

X₀ è l’AMPIEZZA COMPLESSA del moto della lavatrice

X₀/E = ^m₀w2/_{k - mw² + iwc}

SMORZAMENTO ISTERETICO

Finora abbiamo usato il modello ċ viscoso perché è più "comodo" in quanto lineare. Ma questo non è realistico. Quindi devo introdurre un altro tipo di smorzamento che è quello ISTERETICO.

× + ċ + = ₀cos

= cos( − φ) con ≡ |₀|

̇ = −sen( − φ)

Calcoliamo il lavoro in un ciclo:

c = ∮c ̇ = c∮̇² =

( _{̇ = /} )

= − c∮² ²sen²(t − φ)

_{super. viscoso}

_{in un ciclo}

= c² ³∫^2π₀ sen²θ θ = πc² ⇒ _c = πc²

_{lavoro in un ciclo se ci fosse smorzamento viscoso}

Se prendiamo un provino di un materiale dove non abbiamo nessuna forma di dissipazione viscosa e lo sottoponiamo a trazione calcolando il lavoro: esso non è proporzionale a .

F ← ☐ → F

2η = 2²

Sperimentalmente si parla di SMORZAMENTO ISTERETICO o STRUTTURALE o INTERNO.

x(t) = a \cos \omega_n t + b \sin \omega_n t + \frac{F_0}{k - \Omega^2 m} \cos \Omega t

Trovo a e b:

C.I. {

x(t=0) = x_0 => x_0 = a + \frac{F_0}{k - \Omega^2 m} => a = x_0 - \frac{F_0}{k - \Omega^2 m}

\dot{x}(t=0) = v_0

v_0 = \omega_n (-a \sin \omega_n t + b \cos \omega_n t) - \frac{\Omega F_0}{k - \Omega^2 m} \sin \Omega t \bigg| _{0} =

= \omega_n b => b = \frac{v_0}{\omega_n}

x(t) = \left( x_0 - \frac{F_0}{k - \Omega^2 m} \right) \cos \omega_n t + \frac{v_0}{\omega_n} \sin \omega_n t + \frac{F_0}{k - \Omega^2 m} \cos \Omega t

Relazione univoca che lega la risposta del sistema alle C.I.,

alla forzante e alle proprietà del sistema.

Si possono osservare 2 casi:

1. \Omega \approx \omega_n => BATTIMENTO
2. \Omega = \omega_n => RISONANZA

Suppongo per semplicità che x_0 = v_0 = 0

x(t) = \frac{F_0}{k - \Omega^2 m} \left( \cos \Omega t - \cos \omega_n t \right)

Risposta all'impulso unitario

Forza semplice

Facendo il lim _ε→0 ottengo una forza impulsiva ideale

Delta di Dirac

(Studiata per rispondere ai fenomeni impulsivi) È una funzione generalizzata o distribuzione

La delta di Dirac ha le seguenti proprietà:

• δ(t-t₀)=0 t≠t₀ (prima e dopo t₀ la forza è nulla)
• ∫_-∞^+∞ δ(t-t₀)dt=1 Risposta all'impulso unitario
• δ(t-t₀)= d(t-t₀)/dt Derivata del gradino unitario