Appunti di Controlli Automatici (6 CFU)

ℂ(P),

controllore dell’insieme e ricorda che se trovi un controllore della classe allora li trovi tutti.

∈

In effetti, se supponi che P(s) (ovvero ha tutti i poli a Re<0) allora si ha (come abbiamo visto):

()

ℂ() = {() = , () ∈ } () ∈ ;

1 − ()()

() + ()()

ℎ ℂ() = {() = , () ∈ } () ∉ .

() − ()()

()

() = ()() + ()() = 1

()

Allora quando è che queste condizioni equivalgono?

() = 0, () = 1, () = 1 () = ().

Equivalgono quando si prende Con queste scelte

∈ ),

(nota come si ha che:

() = () ℎ ;

()

()() + ()() = 1 ℎ ;

∈

Quindi la forma generale si applica anche al caso di P(s) se si fanno quelle scelte sopra. Quindi

la classe dei controllori stabilizzanti generale si riduce a quella particolare.

ℂ(P)

Dobbiamo ora far vedere che comunque preso un controllore della generale esso risulta

stabilizzante internamente per il sistema di controllo. Ciò si fa scrivendo le 4 FdT e facendo vedere

che esse appartengono ad se ci sostituiamo una C(s)

ℂ(P).

presa da

Dimostrazione:

Le 4 FdT sono: {1, , , } .

(1 + )

1 1 1 ( − )

= = = =

+ ( (

− ) + + )

1 + − + +

1 + ∗

− ( − )

( − )

= = ( − ) ∈ .

+

= ∗ ( − ) = ( − ) ∈ .

1 +

+

= ( − ) = ( + ) ∈ .

1 + −

= ( + ) ∈ .

1 +

.

Tutte appartengono ad essendo prodotti/somme di funzioni appartenenti ad Per completare

dovremmo fare che se un controllore è stabilizzante è scrivibile nella forma nella parentesi graffa,

ma non lo facciamo. Facciamo un esempio.

Esempio: calcoliamo la classe dei controllori stabilizzanti.

1

() = ;

−1

Ricordiamo che: () + ()()

ℂ() = {() = , () ∈ } () ∉ .

() − ()()

()

() = ()() + ()() = 1

()

Si comincia con la fattorizzazione coprima in modo da soddisfare la prima condizione.

1 () 1 − 1

+ 1

() = = → () = () = ∈ .

− 1 () +1 +1

+1

Non sarebbe cambiato nulla se avessi usato s+2 invece che s+1.

∈

Ora si deve determinare X(s) e Y(s) tali che X*N+M*Y=1.

Non si ha una procedura sistemica, quindi si va per tentativi:

1 −1

() ∗ + () ∗ = 1;

+1 +1

Prendiamo per esempio, per partire, X(s) e Y(s) costanti pari ad A e B. Si ottiene:

(

1 − 1) + ( − 1)

∗ +∗ =1→ = 1 → + ( − 1) = 1

+1 −1 +1

L’ultima è una uguaglianza tra polinomi, essi sono uguali se hanno gli stessi coefficienti.

+ − = + 1 → − = 1 = 1 ℎ = 2.

La soluzione è: () = 2 () = 1 ∈ .

Quindi la classe dei controllori stabilizzanti è composta da:

−1

2 + ()

+ 1

ℂ() = {() = , () ∈ }.

1

1−( ) ∗ ()

+1

In particolare, un controllore particolare è quello che si ha per Q(s)=0.

0 ()

= 2

Ma 2 è controllore stabilizzante? Come si verifica? Non ci sono cancellazioni poli-zeri tra C^0 e P e

inoltre si deve verificare che 1+C^0(s)P(s) deve avere tutti gli zeri a parte reale <0.

1 +1

1+2∗ = , è − 1 → .

−1 −1

Dopo vedremo come si trova (la procedura) un controllore stabilizzante instabile di un impianto

non stabile (una volta trovato uno gli altri vengono di conseguenza). In futuro vedremo un modo

sistematico per trovare X e Y per la forma generale. ∉ :

Altro metodo di determinazione di un controllore stabilizzante nel caso P(s)

Sottolineiamo che ora cercheremo UN controllore, non l’intera classe. Questo capitoletto è una

piccola introduzione al metodo della Sintesi Diretta (che è diverso dal metodo dei controllori

stabilizzanti, che riprenderemo più avanti).

Portiamo avanti la spiegazione con un esempio: −1

() = ∉ .

( − 2)

Cerchiamo un controllore che stabilizza il sistema di controllo. Le condizioni per la stabilità interna

sono (ripetiamole):

1. 1+C(s)P(s) deve avere tutti i zeri a parte reale <0;

2. Non ci devono essere cancellazioni polo-zero a parte reale >0 tra C e P.

Se troviamo una C(s) che soddisfa queste condizioni allora è un controllore stabilizzante. In

generale si possono usare le reti correttrici ma immaginiamo di avere un sistema/impianto con

moltissimi poli e zeri.

Il trucco non è progettare C(s) ma la FdT W(s) definita come:

()()

() = ∈ .

1 + ()()

Che soddisfa le condizioni 1 e 2. Infine, da W(s) si va a ricavare direttamente C(s). Infatti:

1 ()

: () = () 1 − ()

Le condizioni 1 e 2 sono espresse con C e P, quindi intanto esprimiamole con W(s). ∈ ;

1. Notando che 1+CP è il denominatore di W(s) si ha che la condizione si traduce in: W(s)

2. L’altra condizione è più complicata. Supponiamo che P(s) abbia uno zero a parte reale

maggiore di zero e che non venga cancellato da C, per far sì si deve avere che ogni zero a

parte reale ≥0 di P(s) deve essere anche zero di C(s)P(s) con almeno la stessa molteplicità.

Supponi infatti di avere uno zero di molteplicità m in P(s):

′

( ) ()

() = −

0

Per non poterlo cancellare si deve avere un fattore del tipo:

̅ ′

( ) ()

()() = −

̅ ≥

0

Inoltre nota che gli zeri di C(s)P(s) sono gli zeri di W(s). Quindi la condizione 2 diventa: si deve

avere che ogni zero a parte reale ≥0 di P(s) deve essere anche zero di W(s) con almeno la stessa

molteplicità −1

() =

Nel nostro caso che accade? , ha uno zero in s=1, quindi W(s) deve avere almeno uno

(−2)

zero in s=1. Questa equivale a dire che W(s) calcolata in s=1 deve valere 0.

(1) = 0 ( )

Questo è il caso di P(s) con uno zero a parte reale maggiore di zero, nel caso di più zeri si deve

ripetere il procedimento.

Ora dobbiamo evitare che si cancellino i poli (diamo la 3° condizione su W(s) per avere equivalenze

con le condizioni 1 e 2 espresse a inizio sezione):

3. Ogni polo a parte reale ≥0 di P(s) deve essere anche polo di C(s)P(s) con almeno la stessa

molteplicità. 1 ′ ()

ℎ () =

( )

−

0

Per evitare cancellazioni si dovrà avere: 1

()() = ′()

̅

( )

−

0

1 − ().

Prendiamo ora, per il nostro esempio, la funzione:

()() 1

1 − () = 1 − ( )=

1 + ()() 1 + ()()

Se scrivi C(s) come rapporto di A(s)/B(s) e scrivi P(s) come R(s)/T(s) (tutti polinomi) e sostituisci

ottieni che: 1 ()()

=

() () ()() + ()()

1+ () ()

Quindi gli zeri di 1-W(s) sono gli zeri di A(s)T(s), quindi i poli di C(s)P(s) sono gli zeri di 1-W(s).

Quindi possiamo riscrivere la condizione 3 sopra come: ogni polo a parte reale ≥0 di P(s) deve

essere anche zero di 1-W(s) con almeno la stessa molteplicità.

−1

() =

Nel nostro esempio che accade? ha due poli a parte reale maggiore o uguale a zero

(−2)

(s=0 e s=2) entrambi di molteplicità 1. La funzione 1-W(s) deve avere almeno uno zero in s=0 e s=2.

Ovvero la funzione 1-W(s) si deve annullare sia in s=0 che in s=2.

1 − (0) = 0 → (0) = 1

1 − (2) = 0 → (2) = 1

( );

Queste si chiamano “Condizioni d’interpolazione”, ovvero la W(s) deve avere valori precisi dove

P(s) ha poli e zeri a parte reale maggiore di zero, in particolare:

1. La W(s) deve avere gli stessi zeri a parte reale maggiore o uguale a zero di P;

2. 1-W(s) si deve annullare laddove P ha poli a parte reale maggiore o uguale di zero;

Una volta trovata la W(s) che soddisfa queste condizioni d’interpolazione ci ricaviamo C(s) il

controllore stabilizzante.

Riassuntino:

C’è un’ultima osservazione da fare circa il grado di W(s), ma prima costruiamola nel nostro caso.

−1

() = ( − 2)

() ∈ .

1. () = 1 ((1) = 0);

2. 1 − () = 0 = 2 ((0) = (2) = 1);

3. ,

Per costruire W(s) poniamo intanto lo zero in s=1, poi deve appartenere ad questo si fa

ponendo al denominatore un polinomio con tutti zeri a parte reale minore di zero. Per facilitare i

conti si pone (s+1)^un