Appunti di Controlli Automatici

Data: 30/09/2019

LEZIONE 1

Problema del controllo: esso si può suddividere in due rami:

• far svolgere al nostro processo un determinato task, raggiungere un certo obiettivo (task ed

obiettivo fanno riferimento al segnale di uscita del sistema ovvero alla risposta del sistema).

• Attribuire al sistema certe proprietà/prestazioni.

Le soluzioni al problema del controllo si dividono sostanzialmente in 2:

• controllo a catena aperta, in cui il blocco di controllo è collegato in serie al processo: tale

metodo risolutivo preclude la totale conoscenza dei fattori e di parametri caratteristici del

processo: questo non sempre avviene in pratica (si pensi ad esempio al problema della

termoregolazione di un'aula: non è possibile prevedere il numero di individui, se ci sono

finestre aperte ecc). L'uscita di tale sistema ricalca il valore dell'ingresso, quindi tenta di

seguirlo;

• controllo a catena chiusa: in questo caso si opera sull'errore ovvero sulla differenza tra il

(t)=u( (t )

segnale in uscita ed il segnale in ingresso . Se l'errore ha segno positivo,

e t)−y

nel caso del controllo della temperatura, si agisce per aumentare il livello d'uscita, viceversa

per diminuirlo. In questo modo è possibile costruire un controllo completo anche senza

dover conoscere per forza tutti i possibili parametri.

MODELLI INGRESSO-USCITA (I-O) LINEARI TEMPO INVARIANTI PROPRI E CAUSALI

SINGLE INPUT/SINGLE OUTPUT (SISO)

Sono modelli descritti dalla seguente equazione:

(n ) (n−1) (m) (m−1 )

d d d d

(t)+a (t)+ (t )=b )+ (t)+...+b (t )

a y y ...+ a y u(t b u u

n n−1 0 m m−1 0

n n−1 m m−1

dt dt dt dt

∈ℝ

a≠0, b≠0

in cui , quindi parliamo di un sistema reale. Se:

• parliamo di modello proprio;

n≥m

• parliamo di modello strettamente proprio.

n> m

La causalità è un'ipotesi aggiuntiva che risulta necessaria per considerare la realizzabilità fisica

del sistema in questione.

Esempio: modello della sospensione o quarter car model. Esso può venire schematizzato dalla

figura seguente: siano:

• M = massa del quarto di macchina;

• k = costante elastica della molla: è una forza di richiamo;

• D = costante di smorzamento dello smorzatore viscoso: è una forza di richiamo.

• (t ) è il nostro ingresso, la forza applicata all'auto.

u

In condizioni statiche, ovvero quando la macchina è ferma, la forza viscosa non agisce e la forza

peso e la forza di richiamo si bilanciano, portando il centro di massa di M in una posizione che

considereremo il nostro punto di riferimento. Applicando la seconda legge di Newton risulta:

2 2

d d d d

(t )=u (t)−k (t) ⇒ (t)+ +k (t)

M y y(t)−D y M y D y y=u

2 dt dt dt

dt

n=2, m=0

in cui .

Data: 01/10/2019

LEZIONE 2

Esempio: C 1

L (t )

i (t )

i C

(t ) 2

v C R (t)

(t ) y

u 1 C 2

(t)

i R (t)=v (t)+ +

u v y( t)

Applichiamo la legge di Kirchhoff alle maglie, quindi (1). Poi applichiamo

L C 1

(t)+i (t )

i(t)=i

Kirchhoff ai nodi: (2) che lega le correnti che attraversano i diversi componenti

R C 2

circuitali.

Sappiamo che per i componenti valgono le seguenti leggi:

d

=L (t )

v i

• per l'induttanza (3);

L

L L

dt d

(t )=C (t) C

i v

• per il condensatore (4);

1

C 1 C

dt

1 1

• (t)= (t)

y Ri per il resistore (5);

R

R d

(t )=C (t ) C

i v

• per il condensatore (6).

2

C 2 C

dt

2 2 (t )

y d

+C

i(t)= y(t)

per la (2) si può scrivere: . Applico l'operatore di derivazione alla (1)

2

R dt

ottenendo: 2

d d d d d d 1 d

(t)= (t)+ ( ⇒ )=L )+

u v v t)+ y( t) u(t i(t i( t)+ y( t)

L C 2

dt dt dt dt dt C dt

dt

1 1

Sviluppando, sostituendo ulteriormente ed effettuando opportuni raccoglimenti, risulta:

[ ] [ ]

(t)

2 3 y

d 1 d d 1 d d

(t)= (t)+C (t) + +C (t) +

u L y y y y(t)

2 2

2 3

dt R C R dt dt

dt dt 1

[ ]

C

3 2

d L d d 1 d

2

( +1 (t )+ (t)=

L C y t)+ y(t)+ y y u( t)

2 3 2

R C dt R C dt

dt dt 1 1 >

n=3 m=1

Il sistema è lineare tempo invariante, causale e strettamente proprio, infatti .

RIPASSO STUDIO DEI MODELLI I/O NEL DOMINIO DEL TEMPO

I modelli ingresso uscita lineari tempo invarianti causali e propri vengono descritti da

un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del seguente tipo:

n m

(i ) (i)

d d

∑ ∑

(t)= )

a y b u(t

i i

i i

dt dt

i=0 i=0

≠0 ≠0∈ℝ

a , b n≥m

in cui e .

i i

• è l'ingresso, scalare, del sistema;

(t )

u

• è l'uscita, anch'essa scalare, del sistema.

(t)

y

E' importante stabilire un inizio e, osservando che il sistema è tempo invariante (quindi è insensibile

t≥0

alle traslazioni temporali), usiamo il semiasse fissando 0 come origine dei tempi.

(t) t≥0

y

Per studiare la dinamica, ovvero l'andamento dell'uscita per non è sufficiente

(t) t≥0

u

conoscere il valore dell'ingresso per ma è necessario anche conoscere lo stato del

(t ) t≥0

u

sistema prima che si agisca su di esso con l'ingresso per : in seguito ipotizzeremo

ℝ

(t)

u

sempre che sia un segnale causale, ovvero che se venisse considerato definito su tutto

(t)≡δ (t) δ (t)

u

(t)≡0 <0

u t

esso varrebbe ovvero con gradino unitario inverso . Lo

−1 −1 (t)

u

stato di sistema rappresenta la fotografia del sistema prima che l'ingresso agisca su di esso a

t=0

partire dall'istante e un modo per rappresentare questo stato è attraverso le condizioni

iniziali ovvero il valore dell'uscita e delle sue derivate in 0: a noi interessa avere:

(n−1)

d d

− − −

(0 ) (0 ), (0 )

y , y ... , y

n−1

dt dt

−

0

Osservazione: mettere lo 0 piuttosto che non va bene se applichiamo un segnale in grado di

cambiare il valore dell'uscita istantaneamente, ad esempio l'impulso e le sue derivate.

−

t=0

Si noti quindi che le condizioni iniziali sono valutate per al fine di evidenziare che

rappresentano lo stato del sistema subito prima che io applichi una sollecitazione in ingresso, in

t=0

particolare un ingresso di tipo impulsivo collocato in .

Allora possiamo interpretare: (n−1 )

d d

− − −

(0 ) (0 ), (0 )

• y , y ... y

condizioni iniziali n−1

dt dt

• (t)

ingresso causale.

u , t∈ℝ (t) t≥0

y

come le cause agenti sul sistema e l'uscita per come l'effetto ad esse relativo.

c ⇒

Poiché il sistema è lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti: se la causa 1

∀ α α ⇒ α +α =α + α

e c e , c c e e

⇒

effetto e la causa effetto allora, .

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

(t)

y , t≥0

Se sfrutto questa proprietà e separo le due cause posso dire che l'uscita è somma di

due componenti: (t)= (t)+ (t)

y y y

l f

ove • (t )

y rappresenta l'evoluzione libera di uscita e rappresenta l'uscita del sistema per le

l

condizioni iniziali date e ingresso identicamente nullo;

(t)

• y prende il nome di evoluzione forzata di uscita e rappresenta l'uscita del sistema per

f (t )

u

l'ingresso dato e condizioni iniziali nulle.

EVOLUZIONE LIBERA DI UN MODELLO I/O

(t )

y

L'evoluzione libera è soluzione dell'equazione differenziale omogenea che si ottiene da

l

quella di partenza eliminando l'ingresso ovvero:

n k

(i ) d

d

∑ −

(0 ) =0

(t)=0 y , k ,1 , ... , n−1

a y t≥0 con condizioni iniziali

i k

dt dt

i=0

Introduciamo l'equazione caratteristica del modello ingresso uscita che si ottiene mediante un abuso

di notazione:

Definizione: si definisce polinomio dell'equazione caratteristica il polinomio:

n

∑

Δ i

(s )= =0

d a s

i

i=0

(s )∈ℝ[

( ) d s]

d s ha grado n (anello dei polinomi a coefficienti reali). Indichiamo con

λ λ λ

, , ... , (s )

d

le r radici complesse di o, equivalentemente, dell'equazione caratteristica e

1 2 r

μ ,... ,μ

con numeri interi positivi le relative molteplicità:

1 r r

∏

μ μ μ μ

(s−λ ) (s−λ ) ) =a ( )

a ...( s−λ s−λ

1 2 r i

n 1 2 r n i

i=1

Nota bene: un polinomio il cui coefficiente del termine di grado massimo è unitario viene detto

monico. λ

Proposizione: a ciascuna delle r radici viene associata una famiglia di modi elementari in

i

μ

numero pari alla sua molteplicità ovvero:

i μ −1

2

t t i

λ λ λ λ

t t t t

e , t e , e ,... , e

i i i i

(μ −1)!

2! i

μ +μ +...+μ =n

Poiché sappiamo che abbiamo n modi elementari che rappresentano un insieme

1 2 r

fondamentale di soluzioni dell'equazione differenziale omogenea. Ciò significa che le soluzioni

n (i )

d

∑ (t)=0

a y

dell'equazione differenziale omogenea sono tutte e sole quelle esprimibili nella

i i

dt

i=0

forma: μ −1

r k

t

i

∑ ∑ λ t

(t)=

y c e i

0 i k k !

=1 =0

i k

Tra tutte le soluzioni dell'omogenea, l'evoluzione libera è quella soluzione

μ −1

r k

t

i

∑ ∑ λ t c

̃

(t )= ove i sono tali da soddisfare le condizioni iniziali: quindi:

y c e

̃ i ik

l i k k !

i=1 k=0 −

(0)= )

• y y( 0

l

d d −

(0)= (0 )

y y

• dt dt

(n−1) (n−1 )

d d −

(0)= (0 )

• y y

n−1 n−1

dt dt c

̃

Le espressioni a sinistra sono in realtà combinazioni lineari dei coefficiente mentre quelle a

i k

destra sono ennuple di numeri reali.

In particolare le espressioni a sinistra rappresentano un insieme di equazioni algebriche lineari in n

incognite determinato: n perché effettivamente abbiamo n termini noti.

L'aggiunta di altre equazioni comporta due possibili situazioni: potrebbe capitare che il sistema non

sia risolvibile (le informazioni rilevate sono fra loro incompatibili) oppure semplicemente ci sia una

abbondanza di equazioni superflue. μ μ ≡μ

∃λ =λ

λ ∈ℂ ∖ ℝ

Proposizione: se ed ha molteplicità allora con . In questo caso

i j

i j i

i

alle 2 famiglie di modi elementari complessi,

{ } { }

k k

t t

λ λ

t =0 −1 ∪ =0 =μ −1

e , k , 1,... ,μ e t , k ,... , k

i j

i j

k ! k !

μ μ

2 2

(nota bene modi totali) è possibile sostituire una famiglia di modi reali equivalenti.

i i

λ =σ+ ω ω≠0 λ =σ− ω

j , j

Se e quindi la famiglia di modi reali equivalenti è:

1 j

{ }

k k

t t

σ σ

t t

(ω ) =0 μ −1

e cos t) , e sin(ω t , k , ... , i

k ! k ! μ

2

Il senso è che tutte le combinazioni lineari dei modi reali sono tutte e sole le combinazioni

i

μ

2

lineari dei modi complessi di partenza.

i

EVOLUZIONE FORZATA DI UN MODELLO I/O

(t)

y

L'evoluzione forzata è la soluzione dell'equazione differenziale di partenza assumendo che

f

(t)

u , t∈ℝ

agisca l'ingresso causale e noto e le condizioni iniziali siano tutte nulle.

Definizione: definiamo risposta impulsiva del sistema la risposta forzata del sistema quando

(t)=δ (t) (t)

u w

. Se indichiamo con la risposta impulsiva, essa è la soluzione dell'equazione:

n m

(i ) (i)

d d

∑ ∑

(t)= δ(t)

a w b , t≥0

i i

i i

dt dt

i=0 i=0

(n−1)

d d

− − −

(0 )= )=...= (0 )=0

w w(0 w

con .

n−1

dt dt ℝ

(t)

w

E' conveniente pensare che sia definita in tutto .

Osservazione:

(t)=0 (t)=0

t< 0 t< 0

w u

1. per giacché per , le condizioni iniziali sono nulle ed il

sistema è causale; (i)

d δ(t)=0 ∀ ⇒ (t) ⇒

i w

t> 0

2. per allora è soluzione dell'equazione omogenea è

i

dt

combinazione lineare dei modi elementari:

μ −1

r k

t

r

∑ ∑ λ t

(t)=

w d e , t>0

i

i k k !

=1

i k=0 (0)

t=0 n> m n=m

w

3. per se la precedente espressione giustifica anche : se invece

devo introdurre un termine impulsivo.

In conclusione posso scrivere: [ ]

μ −1

r k

t

r

∑ ∑ λ t ≠0 ⇔

d n=m

ove .

(t)=d δ(t)+ δ (t )

w d e i 0

−1

0 ik k !

i=1 k=0

(t)

y , t≥0 (t)

w

Proposizione: l'evoluzione forzata di un modello I/O di risposta impulsiva

f

(t )

u

con ingresso è: + +

t t

∫ ∫

(t)=[w ∗u](t)= τ )u (t −τ) τ= τ)d τ

y w( d w(t−τ)u(

− −

0 0

in cui gli estremi servono per includere nell'integrale il contributo di eventuali impulsi collocati in 0

e t.

Data: 03/10/2019

LEZIONE 3

TRASFORMATA E ANTITRASFORMATA DI LAPLACE UNILATERA

(t )

v , t∈ℝ

Nota bene: con l'espressione di segnale intenderemo nel seguito sempre la somma di

una funzione in senso tradizionale continua oppure discontinua (combinazioni lineari, funzioni

trigonometriche) e una combinazione lineare di impulsi di vario ordine (impulso regolare, la

derivata prima ovvero il suo doppietto, ecc).

d d d d

dt dt dt dt

→ → → →

δ δ δ δ δ

← ← ← ←

−2 −1 0 1 2

∫ ∫ ∫ ∫

dt dt dt dt

Osservazione: gli impulsi sono distribuzioni, non funzioni. (t ) t∈ℝ

v

Definizione: si chiama trasformata di Laplace di un segnale con la funzione

complessa di variabile complessa s che, dove esiste, è definita nel seguente modo:

+∞

∫ −s t

(s)=ℒ [v (t )]= (t)

V v e dt , s∈ℂ

−

0

Osservazioni: (t )

v , t∈ℝ

1. è unilatera perché sfrutta solo la parte causale del segnale , ovvero i valori

≠v

v

t> 0

temporali positivi ; quindi considerando due segnali ma tali che

1 2

(t)=v (t ) ∀ [v (t)]=ℒ [v ( ∀ (t),

v t> 0 ℒ t)] v t∈ℝ

allora . In particolare risulta

1 2 1 2

[v (t )]=ℒ [v (t )δ (t )]

ℒ

che ovvero si considera effettivamente la trasformata per soli

−1

valori positivi del tempo;

−

0

2. l'estremo inferiore dell'integrale è necessario per poter evidenziare il fatto che

t=0

eventuali componenti impulsive collocate in vanno incluse nel calcolo dell'integrale;

3. non è detto che l'integrale sia finito: si definisce regione di convergenza della trasformata di

{ }

∣ ∣

+∞

∫

Δ −st

(V ( (t)e <+∞

ROC s))= s∈ℂ: v dt

(t )

v

Laplace di : . Si può notare che ROC

−

0

ℂ ∃a∈ℝ

o è l'insieme vuoto oppure oppure (ascissa di convergenza) tale che:

{ } { }

ℜ( )> ⊆ROC (V (s ))⊆ ℜ(s)≥a

s∈ℂ: s a s∈ℂ:

PROPRIETA' DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE

Di seguito elencheremo alcune proprietà fondamentali di cui gode la trasformata di Laplace.

1. Proprietà di linearità:

(s )=ℒ [v (t )]

V , i=1 , 2

sia , allora:

i i

∀ α α ∈ℂ ⇒ [α (t )+α (t)]=α [v (t)]+α [v (t)]

, ℒ v v ℒ ℒ

1 2 1 1 2 1 2

2. Proprietà della derivata:

(s)=ℒ [v (t )]

V

se allora: [ ]

d −

(t ) =s ( (0 )

ℒ v V s)−v

dt [ ] i−1

(i ) k

d d

∑

(i ) −

i−1−k

∀ i∈ℤ , i≥1 (t ) =s ( )− ( )

Iterando la formula, : ℒ v V s s v 0

k

dt dt

k=0

[ ]

(i )

d i

(t ) =s (

ℒ v V s)

(t )

v

Osservazione: se è un segnale causale, allora .

i

dt

3. Proprietà della derivata della trasformata.

(s)=ℒ [v (t )] ∀ ∈ℤ

V , k

Se intero e non negativo si ha:

k

d

[ ]

k k

(t ) =(−1) (s)

ℒ t v V

k

ds

4. Proprietà del prodotto per un esponenziale:

[ ] λ∈ℂ

(s)=ℒ

V v( t)

Se e allora: [ ]

λ t

(t)e =V (s−λ)

ℒ v

alla modulazione del tempo corrisponde una traslazione in s; per dimostrarlo basta

effettuare una sostituzione nell'integrale dopo aver sostituito l'espressione.

5. Proprietà del prodotto di convoluzione:

(t) (t )

v v

supponiamo che e siano due segnali causali la cui trasformata di Laplace

1 2

[ ] [ ]

( (t ) (s )=ℒ (t)

V s)=ℒ v V v

vale e : allora, essendo due segnali causali, risulta:

1