Appunti di Comunicazioni Elettriche

Segnale di Energia

E = ∫ s²(t) dt

Segnale di Potenza

P = lim_T→∞ 1/T ∫ s²(t) dt

Un segnale di energia non può essere di potenza e viceversa.

Serie di Fourier

s(t) = Σ C_n e^{(j 2πn t / T₀)}

dove C_n = 1/T₀ ∫ s(t) e^{(-j 2πn t / T₀)} dt

• Con la serie di Fourier posso rappresentare segnali periodici
• La banda di un segnale è l'insieme di tutte le frequenze che mi servono per costruire il segnale attraverso la serie di Fourier.

Proprietà

• Lineari: a s₁(t) + b s₂(t) ⇒ a C_n1 + b C_n2
• Ritardo/Anticipo: s(t-t₀) ⇒ C_n e^{(-j 2πn t₀ / T₀)}
• Traslazione: s(t) e^{(j 2πn₀ t / T₀)} ⇒ C_n-n₀
• Integrazione: ∫ s(t) dt ⇒ j T₀/2πn C_n
• Derivata: ds(t)/dt ⇒ j 2πn/T₀ C_n
• P = Σ |a_n|² = ∫ |S(f)|² dξ = ∫ s²(t) dt

Teorema sistematico di potenza

• Indica come si ripartisce la potenza tra le varie frequenze.
• Lo spettro è l'insieme di tutte le frequenze di un segnale.

G_s(ξ) = _dp/_dξ   Z_−∞^+∞ |σn|² ξ(ξ − nξ₀)

R = ∫ G_s(ξ) dξ

Abbiamo scoperto che G_c(ξ) = |S(ξ)|²

Trasformata di Fourier

Se io ho un segnale NON periodico zero convertito attraverso la trasformata:

s(t) = ∫_−∞^∞ S(ξ) e^j2πξt dξ

dove S(ξ) = ∫_−∞^∞ s(t) e^−j2πξt dt

Proprietà

• Linearità d₁s₁(ξ) + b₂s₂(ξ) => d₁S₁(ξ) + b₂S₂(ξ)
• Anticipo/Ritardo s(t − t₀) => S(ξ)e^{−j2πξt₀}
• Espansione s(at) → S(ξ/a)
• Integrale ∫ s(t) dt => − j/_2πξ S(ξ)
• Derivata ds(t)/dt => j2πξS(ξ)

Convoluzione

s(t) [L(ξ)]= v(t)

Io so che

V(ξ) = S(ξ)·H(ξ) nel tempo   V(t) = s(t) ∗ h(t) che significa?

v(t) = ∫_−∞^∞ s(η) h(t−η) dη

h(t) : Risposta impulsiva

Una moltiplicazione in frequenza è una convoluzione nel tempo e viceversa!!

Segnali campionati e quantizzati

Per passare da un segnale continuo ad uno discreto utilizzo il campionamento. Secondo Nyquist, il mio tempo di campionamento, per non perdere nessuna informazione, deve essere:

T_C ≤ 1 / 2B

dove B è la banda del mio segnale NB: senza l'ampiezza è v(x)

Se io campiono un segnale, in frequenza avrà uno spettro che è composto da infinite copie dello spettro del segnale di partenza ma traslate di 1/T_C. Nel senso che ottengo uno "spettro" ogni volta che campiono il segnale.

Il segnale di partenza ha energia finita, il secondo infinito perché ho messo di mezzo delle delta di dirac.

Posso scrivere un segnale:

s_C(t) = Σ_h=-∞^+∞ s(t) δ(t-hT_C) = s(t) Σ_h=-∞^+∞ δ(t-hT_C) = s(t) Σ_h=-∞^+∞ c_n e^j2πht / T_C

= Σ_h=-∞^+∞ c_n s(u) e^j2πut / T_C

s(t)F = ∫_-∞^+∞ s(1) e^-j2πft dt = Σ_h=-∞^+∞ c_n s(1) e^{-j2π(f-f₀)t} dt = Σ_h=-∞^+∞ c_n s(f-f₀)

con c_n = 1 / T_C ∫_-TC/2^T_C/2 δ(t) e^j2πt/T T_C = 1 / T_C ⇒

s_C(ξ) = ∫ s(ξ[t]) = 1 / T_C Σ_h=-∞^+∞ s(f-f_h/T₀)

Siccome ottengo infinito, spettro del segnale originale (a distanza 1/T_C da quello originale) campionati a T_C

Posso ricavarmi il segnale originale con un filtro passa basso. Se però il tempo di campionamento di T_C è troppo basso (circa un rispetto a Nyquist) avviene un fenomeno che si chiama aliasing, ovvero gli spettri di ogni campionamento

Se ho x+y cosa succede per la varianza?

\( \sigma_{x+y}^{2} = \int \int \left[ (x+Y) - (\bar{x} + \bar{Y}) \right]^{2} f_{xy}(x,y) \, dx \, dy = \)

\( = \int \int [(x-\bar{x})^{2} f_{xy}(x,y) \, dx \, dy + \int \int [(Y-\bar{Y})^{2} f_{xy}(x,y) \, dx \, dy + \int \int 2(x-\bar{x})(Y-\bar{Y})f_{xy}(x,y) \, dx \, dy = \)

\( = \sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} + \text{Cov}(x,y) \)

T_eorem_a del limite centrale

La somma di N variabili casuali, tra di loro indipendenti e con una densità di probabilità casuale, forma insieme una densità di probabilità normale Gaissiana

\( F(a) = \frac{1}{\sqrt{2 \Pi} \sigma_{x}} e^{\frac{(x-m)^{2}}{\sigma_{x}^{2}}} \)

\( m = \) media \( \sigma^{2} = \) varianza

\( \sigma \) si chiama deviazione standard

Il suo integrale vale 1!!

La sua funzione cumulativa di probabilità vale:

\( F_{a}(x) = \frac{1}{2} Erfc \left( \frac{|x|}{\sqrt{2}\sigma^{2}} \right) \) “Error function complementary”

Se io ho la media e la varianza posso prevedere con che probabilità arriva un tipo di uomo ad infinito

Trasformazioni di variabili casuali

Se io ho una variabile x in ingresso ad un sistema con l’out pari a g(x) = y,

avendo la funzione di densità di probabilità di x posso conoscere quello di y!

Quindi, il segnale si costruisce così:

s(t) = Σ c_i g (t - iT_b) dove g(t) = rettangolo di altezza V

di più in generale sarà:

s(t) = Σ c_i g (t - iT_b)

Posso usare non utilizzato simboli binari, e possono avere non essere reali. Se utilizzo il numero disceto c_i ε {±1, -1, ±1} Se utilizzo dei numeri nel piano complesso che dichiamo tra bar in onde quadrate posso parlare di 'costellazioni', le più interessanti sono le M - QAM e le M - PSK

Per la 4-QAM ho utilizzato: c_i ε {±j, 1 - j , -1 + j , -1 - j }

Questo segnale, di cui non conosco e c_i, è CALCOLABILE. Ma è stazionario? Ricorda alcune cose:

• Se il segnale è stazionario E otteniamo lo è pure quello in uscita
• Se il segnale è otteniamo posso calcolare il suo spettro

Posso dire qui: s(t) = Σ c_i g (t - iT_b) * g (t) = λ(t) * g(t) Se il mio segnale è stazionario Se i segni sono completamente scattabili tra loro lo spettro uscente del blocco G(G) dipende solo ed esclusivamente da G(G) pure l'autocorrelazione è nulla! Posso passare lo spettro in uscita?!

Altri tipi di AM: AM SSB ed AM VSB

AM SSB: Questo tipo di AM mi toglie la parte inferiore della banda del segnale m(t)cosωct.

E.g.:

Infatti, se vado a modulare AM precedenti, hanno una banda che è doppiata di quella del segnale di partenza! Invece, in questo modo, la mia banda rimane uguale.

A questo punto per ricevere il segnale di partenza utilizzo un demodulatore coerente ed un filtro passabasso. Così, me elimino il segnale indesiderato con l'elimina-multipla delle bande.

Ma come faccio all'inizio a modulami il segnale con le sole bande superiori?

m(t)cosωct = cosωmt cosωct = _{cos(ωc+ωm)t} ⁺ _{cos(ωc-ωm)t} lo elimino

• Posso usare un filtro passa basso (o passa alto, dipende) prima mai funziona bene con i segnali di modulazione parciali. I filtri non sono perfetti.
• Utilizzo un indivisore a 90 gradi.^*

Cos(ωm+ωc)t/2 = csωct^(csωmt)₍₂₎ + _{senωct senωmt}

Quindi:

Acosωctm(t) ± Asenωct_m̅(t)

P_{AM SSB} = _{PAM DSBSC}^/2 = _Δ²Pm^/4