Appunti completi di Fondamenti di comunicazioni elettriche

Per definire questo inviluppo occorre definire il filtro di ricezione, che

dipende tuttavia dal tipo di modulazione.

Segnali AM-BLD

Per quanto riguarda i segnali AM-BLD, dato un segnale con banda il

() ,

segnale ricevuto avrà occupazione di banda attorno a e

() 2 2

.

attorno a −

Si identifica quindi una particolare tipologia di filtro di ricezione

con relativo inviluppo ()

(),

5

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

Segnali AM-BLD-PI e AM-BLD-PR

Per quanto riguarda i segnali AM-BLD-PI e AM-BLD-PR, l’uscita del filtro in

ricezione si ottiene usando gli inviluppi complessi:

Il segnale così ottenuto sarà un segnale in banda base, di cui dobbiamo

()

valutare la parte utile.

Considerando che la maggior parte del segnale ha comportamento costante,

potremmo facilmente ottenere il segnale utile come

Questo avrà potenza

Con 2

= 2 2

+

Per quanto riguarda il rumore scriviamo invece l’espressione dello spettro

di densità di potenza

Per cui integrando tra e otteniamo un’espressione della potenza del

−

rumore 6

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

Dove l’intervallo di integrazione è determinato dal fatto che ci troviamo a

lavorare con un segnale demodulato, ossia in banda base.

Valore di per segnali AM-BLD-PI/PR

Per le considerazioni precedenti possiamo quindi esprimere

Volendo esprimere il risultato in funzione di otteniamo

2

è la frazione di potenza utile per il segnale rispetto alla

= 2 2

+

potenza totale utilizzata nella trasmissione, e l’abbiamo già definita nella

trattazione delle modulazioni di ampiezza.

Abbiamo quindi che l’SNR peggiora rispetto al segnale di riferimento man

mano che si “spreca” potenza sulla portante.

Valore di per segnali AM-BLD-PI/PR

Possiamo considerare l’equazione prima della demodulazione

ricavare il valore di

Per poter

anche in questo caso solo la componente utile del segnale

Considerando ().

attraverso il demodulatore porta ad un guadagno di

Il passaggio in

3

di SNR, in quanto si ottiene

termini = 2

7

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

Segnali AM-BLD-PS

In questo caso il filtro mantiene la stessa struttura dei filtri visti nel

caso PI e PR.

L’uscita del filtro è determinata da

Per cui si ottiene un segnale demodulato

e per segnali AM-BLD-PS

Il calcolo della potenza del rumore, avendo a che fare con lo stesso filtro,

è lo stesso effettuato nel caso /.

Si ottiene quindi

In questi casi si ha che la portante non viene inviata, per cui l’SNR

demodulato e di riferimento coincidono perfettamente.

infine l’

Indichiamo

Mancano ora da analizzare AM-BLU e FM.

Segnali AM-BLU

Struttura del filtro

Consideriamo che un segnale modulante von banda darà luogo ad

()

un’occupazione di banda alla destra di , e ad un’occupazione analoga

8

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

alla sinistra di . Per la simmetria del segnale sapremo che questo è di

−

tipo

Sappiamo infatti che il segnale modulato, reale e simmetrico rispetto

all’origine, avrà banda solo sopra e sotto . Il nostro filtro sarà

−

quindi simmetrico e reale, e dato da , per cui

Tutti gli inviluppi complessi vengono definiti in funzione di

l’inviluppo complesso del filtro dovrà permettere il passaggio di elementi

da a

0 .

Otteniamo quindi un inviluppo complesso non reale.

Andiamo a scrivere l’inviluppo come la somma di due parti, nella cui somma

viene eliso un semispettro 9

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

Demodulazione di segnali AM-BLU

è quindi pari a

L’uscita del filtro ()

Abbiamo quindi un inviluppo complesso, di cui andiamo a prendere la parte

reale.

Perdiamo in questi casi sia potenza relativa al segnale, sia relativa al

rumore.

Il segnale utile sarà dato da

Osserviamo che il primo elemento della somma rappresenta la potenza ricevuta

utile, e corrisponde a .

=

2

Ricordiamo che () ()

=

4 = 1

��

��

Per cui integrando in si ottiene

[−, ] 10

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

In questo caso diciamo quindi che banda laterale doppia a portante soppressa

e banda laterale unica hanno stesse prestazioni, ossia non si ha alcun

impatto positivo o negativo sulle prestazioni.

Si ha una differenza fondamentale tra le due, in quanto ricordiamo che,

si

rispetto a ha un’occupazione di banda dimezzata nella

− .

Modulazioni angolari

Nella trattazione relativa alle modulazioni angolari ci concentreremo

particolarmente sulla FM.

Considereremo che in questo caso la banda del segnale dipenderà dalla banda

del segnale modulante, per cui la banda passante del filtro di ricezione

potrebbe avere un valore Assumeremo, nell’FM, che questo faccia

≫ 2.

passare almeno 2 volte la banda di Carson.

Analisi della demodulazione 11

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

Consideriamo in ogni caso che il segnale ricevuto, costituito dalla somma

portando ad

del messaggio e del rumore, passa per un filtro (),

un’uscita

Notiamo alcune differenze fondamentali rispetto al caso dell’AM

1. La banda passante e sarà dipendente dall’indice di

()

≫ 2

modulazione

2. L’operazione di demodulazione include un’operazione non lineare,

inversa alla modulazione

La demodulazione per estrarre è, nel caso della PM

()

E nel caso FM ()

1 1 ) =

+ () ln �

ln(2

= �

2

Demodulazione del rumore

In condizioni reali, queste operazioni di demodulazione non vengono svolte

ma sulla sua somma con il rumore, ossia su

direttamente su ().

(),

Occorre tenere conto quindi anche dell’effetto della demodulazione non

lineare sul rumore, che prima della demodulazione non è mai stato modulato.

Definiamo quindi l’operazione da effettuare per estrarre ().

reale, si ha analogia con

Essendo l’inviluppo del filtro di ricezione ()

ℎ

il caso AM-BLD: Il nostro inviluppo complesso (in uscita dal filtro di

ricezione) sarà dato dalla somma dell’inviluppo del segnale ricevuto e del

rumore.

Consideriamo che in questo caso il filtro di ricezione è reale, in quanto il

segnale è simmetrico. Si ha quindi 12

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

Nel caso della FM si ha quindi

Si tratta di un logaritmo di una somma, che non può quindi essere spezzata,

ma possiamo andare a riorganizzare il logaritmo, considerando

Otteniamo quindi la somma di e di un secondo termine, che dobbiamo

()

andare ad analizzare, in quanto questo rappresenta l’unione di un contributo

di rumore e di segnale utile.

Analisi della componente aggiunta della demodulazione (rumore in uscita)

contiene al suo interno sia il rumore sia il

Osserviamo infatti che ()

segnale utile.

Andiamo a riscrivere

Non sappiamo come si comporta, ma generalmente sapremo che questo avrà

andamento indicativo determinato da √. 13

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

Nel caso di grandi indici di modulazione, e quindi di elevati, potremo

approssimare ln(1 + ) ≈

quindi a rimuovere la non linearità, per cui otteniamo

Andiamo

un’espressione approssimativa del rumore

Questi passaggi sono ottenuti senza introdurre altre approssimazioni, ma

solamente attraverso procedimenti algebrici.

Dobbiamo adesso considerare la banda del segnale.

Il da mediante integrazione, e sappiamo che

dipende

cos () ()

l’operazione di derivazione e integrazione di questi non varia segnali.

Se ha banda piccola rispetto a , sapremo che questo varierà molto

()

e

lentamente rispetto a () () ().

∗ ℎ ∗ ℎ

come una

Potremo quindi generalmente assumere quasi costante rispetto

()

al resto.

Spettro di densità di potenza del rumore demodulato

Andiamo quindi a trattare il seno ed il coseno come costanti 14

6.3 Valutazione delle prestazioni per modulazioni analogiche

sono spettri di densità di potenza, di cui conosciamo il

e ()

()

valore (ricavato all’inizio), per cui teniamo conto che

Lo spettro di densità di potenza del segnale demodulato (del rumore) sarà

quindi definito in ma sapremo che il nostro segnale è

[− ],

∈ ,

compreso in per cui aggiungeremo un passa-basso, che eli