Appunti di Complementi di Idraulica

COMPLEMENTI di IDRAULICA

APPUNTI

– –

Antonio Malasomma

– CORRENTI A PELO LIBERO –

Nelle CORRENTI presenta uno sviluppo maggiore lungo una direzione rispetto alle altre, ad

esempio nel deflusso in un fiume, o una tubazione e così via. Le CORRENTI A PELO

LIBERO presentano una quota parte del proprio contorno a contatto con l’atmosfera; la

sezione idrica può avere dimensioni e forme variabili, spesso si ha a che fare con SEZIONI

CILINDRICHE ma, ATTENZIONE; parlare di canale/sezione cilindrica, non vuol dire che il

canale ha tale forma, bensì che ha una sezione idrica che si ripete identicamente lungo

l’ascissa del canale. Nel canale l’acqua defluisce secondo una condizione

GRADUALMENTE VARIATA, cioè nel caso in cui i filetti fluidi siano sensibilmente

rettilinei e paralleli la corrente si dice gradualmente variata e la pressione varia con legge

idrostatica lungo la normale n ai filetti.

Le sezioni idriche possono presentarsi in forme differenti, ad esempio rettangolare, trapezia,

mistilinea e molte altre ancora. Si definisce il TIRANTE in una sezione dell’alveo, come la

distanza tra il punto più depresso della sezione e il pelo libero (formalmente è meno corretto

dire che il tirante è la distanza tra il pelo libero e il punto più depresso di una sezione, perché

non si può calcolare la distanza di un piano da un punto ma si può invece calcolare la

distanza di un punto da un piano, in altre parole si può fare la distanza tra il punto più

depresso della sezione e il pelo libero, inteso come piano, ma non viceversa). Infine,

l’insieme dei punti più depressi delle diverse sezioni rappresenta la LINEA DI FONDO DEL

CANALE, ovviamente nei canali che a differenza dei fiumi hanno un percorso imposto e

non arbitrario, l’acqua defluisce sempre verso quote piezometriche minori, ovviamente, la

posizione del pelo libero non è vincolata e può pertanto essere variabile.

La cosa importante da tener conto, è che la VELOCITÀ della corrente presenta valori nulli in

prossimità del fondo e delle pareti dell’alveo, ma al contrario ha velocità massime (o quasi)

in corrispondenza del pelo libero. Avvicinandosi alla parete, la velocità cala, essenzialmente

per due effetti, il primo è dovuto alla tensione superficiale ovvero all’interazione

intermolecolare tra le particelle del fluido e la parete, che va a creare un vincolo,

rallentandole, il secondo è dovuto alla turbolenza, ossia quel moto vorticoso dell’acqua, che

presenta sempre una componente del vettore velocità di agitazione opposto alla direzione del

moto, perché è un qualcosa di intrinsecamente tridimensionale e cioè ha tre componenti nello

spazio, fatto salvo in corrispondenza del pelo libero, dove non può avere una componente

verticale, altrimenti le particelle d’acqua salterebbero fuori; ciò significa che per effetto della

turbolenza, man mano che ci si avvicina al pelo libero, il relativo profilo delle velocità deve

subire necessariamente una distorsione (anche il pelo libero in prossimità delle pareti).

In particolare, l’effetto combinato della tensione superficiale e delle turbolenze, fa si che la

velocità massima non si attesti precisamente in corrispondenza del pelo libero ma poco al di

sotto. Di fatto nel tracciare i profili di corrente, si fa riferimento alle velocità medie locali

ovvero alla media delle velocità istantanee delle molecole d’acqua nella corrente,

disinteressandosi delle velocità di agitazione.

RICAPITOLANDO – IPOTESI DI BASE CORRENTI A PELO LIBERO:

⇒

1) Canale cilindrico sezione ripetuta. i = tan α.

2) La linea di fondo è inclinata rispetto all’orizzontale di Avendo indicato con

α l’inclinazione del fondo rispetto a un asse orizzontale x.

⇒

3) Corrente gradualmente variata Distribuzione idrostatica delle pressioni nelle varie

sezioni idriche, con relativa quota piezometrica costante.

4) La sezione idrica è quella che si ottiene, così come il tirante, tracciando un piano

secante ortogonalmente al fondo e quindi leggermente inclinato di un α rispetto alla

verticale. In tal caso le sezioni sono verticali. tan ≈ ≈ sin .

5) Si considerano alvei di PICCOLA PENDENZA, cioè si assume:

Un angolo per il quale un alveo può intendersi di piccola pendenza deve far si che

siano rispettate le approssimazioni appena scritte (α in radianti)

Con le ipotesi di base fatte, si potranno fare diverse semplificazioni molto semplici ed utili

alla risoluzione del problema. Considerando un punto sul pelo libero, dove le pressioni sono

pari a quella atmosferica, la quota piezometrica del pelo libero corrisponde col valore della

quota piezometrica dell’acqua in quella sezione.

MEMO – La PIEZOMETRICA rappresenta il luogo geometrico dei punti che distano dal

= 0

piano di riferimento di una quantità pari alla quota piezometrica dei punti nelle varie

sezioni che si susseguono; e quindi da un’indicazione di come varia la quota piezometrica

lungo una certa condotta/alveo. Per gli alvei di piccola pendenza con corrente gradualmente

variata, il pelo libero rappresenta la piezometrica.

Esiste una distinzione tra i, I e J.

i – Pendenza longitudinale del canale.

I – Inclinazione della piezometrica rispetto all’orizzontale, indica il passo con il quale la

⇒

corrente dissipa la quota piezometrica (più inclinata più dissipazione in distanze minori).

J – Pendenza della linea dell’energia (ottenuta sommando alla quota piezometrica l’altezza

⇒

cinetica Equazione di Bernoulli).

Tali simboli indicano ovviamente cose differenti e, spesso possono anche coincidere. Nelle

condizioni di MOTO UNIFORME, ovvero quando il campo di moto della corrente si

mantiene costante da sezione a sezione, cioè con eguale portata, tirante, sezione idrica,

velocità ecc., ergo, in un canale cilindrico, la linea del pelo libero deve essere parallela alla

linea di fondo, e quindi la CADENTE PIEZOMETRICA I è uguale alla pendenza

longitudinale del canale i. Lo stesso dicasi per J, poiché come detto le velocità sono costanti

da sezione a sezione, quindi il termine cinetico è lo stesso da sezione a sezione e quindi J ha

la stessa pendenza di I e di i.

Si ricorda che nel caso delle condotte in pressione invece l’andamento della piezometrica è

totalmente indipendente dall’andamento della condotta stessa, ad esempio per una tubazione

che porta acqua al quinto piano, la cadente piezometrica è declive al contrario della condotta

che è verticale. Nel caso di correnti a pelo libero si è visto che c’è una forte dipendenza tra

l’inclinazione della linea di fondo e l’inclinazione della cadente

piezometrica, che in condizioni di moto uniforme devono essere

parallele. Come si comporta quindi la corrente se nel canale

cambia la portata? Cambia il TIRANTE, perché l’inclinazione

della cadente è bloccata a differenza delle condotte in pressione,

quindi varia il livello dell’acqua; quindi data una portata Q, è

PERIMETRO BAGNATO = ,

fissata la cadente piezometrica ma non lo è la sezione

idrica. A questo punto, stando in condizioni moto uniforme, si può utilizzare una formula del

moto uniforme. Quindi la portata Q defluirà in moto uniforme, quando si andrà a mettere, a

sistemare con un tirante, e quindi con una sezione e una velocità media di portata, tale che

nel suo moto dissipa una I, ovvero una quota piezometrica per unità di percorso, pari

all’energia che gli fornisce il canale inclinato i. Questa inclinazione i fornisce una forza

motrice all’acqua perché sta scendendo lungo questo piano inclinato e tende ad accelerare, la

corrente scende mettendosi in moto uniforme con un tirante/velocità tali che I assuma

proprio un valore di i. Quando c’è quest’uguaglianza, la corrente viaggia in moto uniforme.

Naturalmente, al variare del tirante, varia anche la sezione idrica, il perimetro bagnato, ossia

il perimetro della sezione che si trova a contatto diretto solo con il liquido e non con

l’atmosfera (gas), questo perché tra il liquido e il gas gli sforzi tangenziali sono praticamente

trascurabili e l’errore commesso nel trascurarli è praticamente nullo, infine varia anche il

raggio idraulico pari al rapporto tra la sezione e del perimetro bagnato:

= (ℎ) = (ℎ) = (ℎ)

TIRANTE

Si fa riferimento ad esempio alla relazione di Gauckler-Strickler:

1 2 1 2

= ⇒ = (ℎ) (ℎ)

2 3 2 3

Assegnato un canale: la geometria, il materiale (k ) e la pendenza (i). Da ricordare che la

st

forma del canale che può essere la più varia possibile, ma essa si traduce sempre nelle

= (ℎ) = (ℎ) = (ℎ).

funzioni: Assegnato un valore di portata Q, si ricava il

tirante con cui defluisce in condizioni di moto uniforme. Ovviamente si deve tener conto che

i valori dei coefficienti di scabrezza presenti in letteratura, sono di fatto aleatori e molto

variabili, quindi difficili da trattare con precisione. Infatti nelle tabelle sono sempre forniti

degli intervalli in cui possono variare tali coefficienti, e non un numero ben preciso. Alla

luce delle considerazioni appena fatte, si può riassumere il tutto dicendo che in un canale,

ogni portata Q defluisce con un tirante h e viceversa, ogni tirante h permette il deflusso di

una portata Q (in condizioni di moto uniforme). La condizione di moto uniforme si ottiene

=

con la sostituzione e dall’equazione di Gauckler-Strickler riscritta:

1 2

= (ℎ) (ℎ) ⇒ Per ogni tirante si ottiene una Portata (Q) e, l’insieme delle

2 3

coppie di valori (ℎ ; ) che soddisfano la relazione di moto uniforme, QUALSIASI

RELAZIONE CHE SI SCEGLIE DI USARE, costituisce la SCALA DI DEFLUSSO IN MOTO

UNIFORME per quel canale. Essa si può porre in forma grafica o tabellare o entrambe:

Quando l’acqua si trova in condizione di corrente a pelo libero all’interno di un canale, e

non è forzata a viaggiare in una certa maniera, vuol dire che la condizione di moto

uniforme non è scontata, a differenza di una condotta in pressione, dove mettendo

sempre una stessa quantità d’acqua, ovvero la stessa portata quindi la stessa velocità

media di portata, in più, l’acqua è incomprimibile e le pareti della tubazione

indeformabili, allora defluirà per gioco forza in condizioni di moto uniforme ⇔ =

⁄

Quindi non può essere altrimenti. Nelle correnti a pelo libero l’acqua è libera,

infatti sopra c’è l’aria che non costituisce un vincolo, quindi non si ha la certezza che

essa defluisca in condizioni di moto uniforme.

ALTEZZA CINETICA IN AUMENTO

h DIMINUISCE

In figura sono chiaramente visibili la piezometrica (linea nera) e il profilo dell’energia

(linea rossa) ottenuto sommando il termine dell’altezza cinetica alla piezometrica. A

prescindere dalla correttezza grafica, va tenuto conto che se la portata è costante lungo

tutto l’alveo, e ad esempio ad un certo punto diminuisce il tirante, significa che la

σ

sezione diminuisce, ed essendo: = / allora la velocità aumenta e con essa anche

il termine cinetico, quindi la linea dell’energia sale.

Si vede, infatti, che il tirante nel passare da

a h fa si che la sezione idrica diminuisca

h 1 2

da σ a (σ-dσ), e ciò comporta univocamente

un incremento della velocità a parità di

portata, ergo un aumento del termine

cinetico. 2

′

: = + +

2

Energia Totale (E) è riferita al piano orizzontale = 0.

L’EQUAZIONE DEL MOTO per il deflusso può essere scritta come:

∂E = −J

∂s

In cui s è l’asse della condotta che va da monte verso valle, quindi per s crescente, l’energia

posseduta dall’acqua va diminuendo secondo l’inclinazione della J rispetto ad un piano di

riferimento orizzontale. Nel caso di moto uniforme allora I = J. Il trinomio di Bernoulli può

essere scritto in un’altra forma, scrivendo il termine z come somma di due termini distinti:

= +

– distanza del punto P dal fondo del canale.

= 0

– distanza dalla linea di fondo del canale rispetto a

2 2 2

1

1

+

+ = + + = + h + ⇒ = + +

= + �

�

2 2

2

2

2

Sostituendo nell’equazione del moto si ottiene:

2 2

∂ 1

∂

∂ 1 Q Q

(z )

= −J ⇒ + = −J (1)

+

+ h +

�z � �h �

f f

2 2

∂s 2g

∂s

∂s 2g σ σ

si vede che:

∂z

f ) (s ) (z ) )

(z = sin α ⇒ = −(s sin α ⇒

= −i ⇔ − z − s − z − s

1 2 2 1 1 2 1 2

∂s (z ) dz

− z

1 2

⇒ = − sin α ⇒ = − sin α ⇒ tan α ≈ α ≈ sin α = i ⇒

(s ) ds

− s

1 2 dz = −i Pendenza longit. del Canale

ds

Quindi la (1) si può scrivere come: 2 2

1 ∂ 1

Q Q

∂ + = −J ⇒ + =i − J

−i + �h � �h �

2 2

2g ∂s 2g

∂s σ σ

si pone il termine: 2

1 Q

H =h+ ENERGIA SPECIFICA TOTALE

2

2g σ(h)

che rappresenta l’energia posseduta dall’acqua rispetto al fondo del canale, da cui si può

ancora scrivere L’EQUAZIONE DEL MOTO DELLE CORRENTI A PELO LIBERO:

∂H =i − J

∂s

La relazione: ∂E = −J

∂s – J

indica che l’acqua nel suo moto perde energia totale con un tasso ovviamente negativo, in

quanto in diminuzione, ora nell’equazione appena ricavata invece, il segno della differenza

(i − J) può essere positivo, negativo o nullo. N.B. Tutte le considerazioni fatte fino a questo

punto sono valide in condizioni di MOTO PERMANENTE cioè di campo di moto

indipendente dal tempo. Le definizioni di energia Totale e di Energia Specifica totale

possono essere applicate sezione per sezione, note che siano tiranti, sezioni ecc.

Si assegni una certa sezione di un canale, nella quale

defluisce una certa portata Q, che può defluire con qualsiasi

tirante e corrispondentemente avrà un certo valore

dell’energia specifica totale: 2

1 Q

f(H, h, Q) = 0 H =h+ 2

2g σ(h)

La funzione qui scritta lega a un’assegnata portata e tirante un valore dell’energia specifica

totale, se in quella sezione si fa variare la portata, si avrà un altro legame. Quindi lega tre

variabili, che in una ben precisa sezione devono assolutamente rispettare quella funzione.

σ(h)

Una volta assegnata la sezione e la portata, si avrà un legame tra h e H, che assume uno

specifico andamento, di seguito studiato. 2

1 Q

ℎ → ∞ ⇒ σ(h) → ∞ ⇒ H = h + ⇒ H = h asintoto obliquo

2

2g σ(h)

2

Q

1 ⇒ H → ∞ asintoto oorizzontale (h = 0)

ℎ → 0 ⇒ σ(h) → 0 ⇒ H = h + 2

2g σ(h)

Questa curva presenta un minimo, cioè la portata Q può defluire con infiniti tiranti, ma per

ℎ = ℎ

un valore di , si ha un valore minimo dell’energia specifica totale, ed in particolare

ℎ è proprio il TIRANTE DI STATO

questa è detta condizione di STATO CRITICO ed

CRITICO, relativamente è l’energia specifica totale minima che si attesta nelle

condizioni di stato critico. Per ottenere la condizione di stato critico basta

derivare: 2

Q

1

H =h+ 2

2g σ(h)

2

Q (ℎ)

−2

=1+ =0

�

� 3

ℎ ℎ

2g σ(h)

(ℎ)

il termine è il limite del rapporto

ℎ

∆

incrementale ovvero, in corrispondenza

∆ℎ

dell’aumento del tirante ci sarà un incremento della

sezione, quindi si può scrivere:

= (ℎ) ℎ ⇒ = (ℎ).

ℎ

Quindi in definitiva si avrà:

2 2

Q

Q L(h) = 0 ⇒ L(h) = 1

1 − 3 3

g σ(h) g σ(h)

Si può definire anche un valore della velocità che possiede la corrente quando si trova in

condizioni di stato critico, detta VELOCITÀ MEDIA DI PORTATA CRITICA:

2 2 ) )

Q L(h L(h )

Q (

c c

2

) �

= 1 ⇒

L(h = 1 ⇒ V = 1 ⇒ =

c c

) ) )

3 2 (

g σ(h σ(h ) )

gσ(h gσ(h

c c c c

σ(h)

(h) =

h ⇒ = �

m

L(h)