Appunti di Calcolo delle probabilità e statistica

IÈÈÈÈÈÈÈÈÌÈÉ ÈÈÈÈÈÈTIIÈÌÈÈÈII Tite etttt ttttt1- e ** t t1-nun nIIII IIIII edelle tele e1- tt t1- tt t1- tnannannnnn. .. .. .. ..- rettetre1-1- # ee #e ## ee* 1-1-tinnnnntt1- 1-1- 1-nonnaÈÈÌÈÈÈÈÌÈÈÈÈÈÈÈÈÌÈÈÈÈÌÈÈ IIITI¥È te eti tt1- - E* e #1- 1-i nunaIIII eIIIII tele edelle t tt tt1- t1- t1- nannannnnn . .. ... .. .-I i i-iv1-tra1-1- # ee ##e ## etttinnnnn1-tttt1- nnnnn

Cavallari Gianmarco

Fenomeni deterministici e casuali

Nei sistemi deterministici possibileè. deterministico adstatolo sistemadel undeterminato tempo sistemi casuali nonei, .della probabilità fenomenovalutazioneLa di un. facilitàvalutazioneè della qualeilla con undeterminatodeterminato evento accade in unpossibili aiutareeventi le probabilitàspazio di , 1significa edpositivo tra 0assegnare numeroun ,piùtanto grande quanto probabilitàlaalta .indica ( )SLLo sieventi Omegadeglispazio con e

• Risultatitutti possibili eventocontiene dii un .Ogni ehsottoinsieme eventochiamasi
• R allorasottoinsiemiSe BA E sono :, ,f }verifichino1) eventoB AEB entrambisiAn che= f2) traevento }B che almenoA A Buno verosiae=v {'3) }evento AA verifichisiche NON= 0è l' eventoSL impossibileeventocerto

' datiopportuno valganoA ed eventiBcheE. , ,CR loAn AccCRAUBB spazioR cheovvero,, ,eventi stabiledegli intUnionadrispettosia campie.. .delleIl indica)# ildi (parti Omeganumero r. eventiche classela deglisottoinsiemidinumerocontiene . '

Spazi di probabilità

Un fenomeno caratterizzato dacasuale è :1 Un risultatideiSL (possibiliinsieme spazio. )degli eventi ACP )R(Una famiglia tale che2 :. AB }UB ce→A a Ee- , stabilità famigliaAB NBa aA. E aE →- Ace aA a →e-Definizione EGMAsi minuscolaPCR )Una famiglia 0C dice algebrasiE 6una se :-evento¢ famiglia( certo allad. Imp1 )Cl eeE .. , (Acea )complementareil nella famigliadiceA èA2 →e. Liam ?a) Anb)A1 Ed aa.AM3. e ei., . µ ,un mq intersezione conda ad 00che 1variaMDefinizioneasia algebra probabilitàinsieme a Una6-un una, .èP P Clapplicazione 0,17 tale[una → che: :PCR () 1)probabilità è1 certala1 =. { }AnSe elementiè didi Cl2 successioneuna a. due alloraAidisgiunti )due Ain 0( perovveroa = ,additivi hata ' che6- si÷% )( ) PCAP A =, algebrae -ma contienechecheUnione variacon i possibiliinfinitoda ad risultati1 se "Definizione es Formulaprobabilità" Dove V ×> )Pternaprobabilità (chiamaSi dicedispazio una ,algebradove insieme a e- dio partièsi unaun -,probabilitàR Pdi è suauna, .

Esempio f. }hasi tira latidado 112,3Si d.6 4,5 6 eaun = , ,.PPCR ) Quale ?a cheè 6esca= . èil risultatitruccato tuttidadoSe i sononon ,equiprobabilielementarieventi Elementari "".poichè compongono r .13PCI )() { PCEG23 } )=P =P= =. . .Inoltre deicerto che almeno lati6è unoesca :, uh )113 }ufufz1 ( } }) =PPCR 63 U= =.. .PCI {23 )63)13 ()PCI Ptp 6t t == ...P probabilitàdunque faccia Èsingola £È= = =totaleprobabilità faccevariatoIl risultato proporzionalmentesarebbe inbase faccedial numero . '

Proprietà degli spazi di probabilità

diPR probabilità)sia ( Cl spaziouno, , .A RAcea AUACclSe anchee e = .Se ClB puòe si scrivere, B AAcA)( (Bn Bn )13 u= '13nA disgiunti13nAcon 1e .Allora 13nA:① AcA)PCB ) Bn(P )(=p Bn *t B certamente(Da )B* verifica=Lponendo si :② PCR )) PLAY c)PCA(A) PCA(=) )RPCAP )11 += = -= -③ )EACB PCA PCB)se Bn ± P)( MAC=PPCB A)) PCBNAC (A)* PCB=PDa ) (A)t +Osservazione verifica ABse ancheverifica BA allora sisiE se ,, .Ad A evento che 4l' 2siaesempio oppureesca ;:evento13 l' pallinache parisia unae esca ,{B }cioè Qualsiasi4,62 parisaràescanumero= , ,.verificatoB èe . Anc④ PCIPelham ) la) probabilità1 ovvero= - 1è laadugualedidell' eventiUnione -dei complementaridell'probabilità intersezioneeventidi questi .Infatti faccio il dell'complementare unionese ilDedi complementareMorganleggelaper ,èdell' l' dei complementariintersezioneunione .hai?( Y l') faquindiAn ottienesi sise inversapiante(4AM delil complementarepoiché= , all'complementare Adessoriporta originale per,.haAhA Aponendoproprietà chesi2:P=, AncAn PCI) )Y( ipotesida1 come= - , .

probabilitàEsempio lancia dado voltesi laQuale è2un .?due volte 6che escadegli è daformatoLo 6×6=36eventispazio coppie(estratti R )valori #di due 36= . voltaprobabilità data daèLa di almeno6 1avere{A I } infattiSia)( We Wzwa 6Wz 6O= w === , .{ }A- I Wz(fu Az )WZ}I( 6) WuWWZ We =Wi 6= =1 e= == ,, ,f }(Aidunque A2 )A2 6,6A A1 nv= e = .Adesso complementariaipassiamo :, fuAzcAics }I) 76We( neWz ovvero76wa== e, }Azc ) (fw I WeArch ( )We laallora1 edE 5Wa== 2 ,, .. ,., duedeiprobabilità che in6 nessunoescanonlanci dato daè AIAinAEPLAIN #) 5×5 ⇐= = =36IL 36# laproprietà chedunque probabilità4per escae ,, data6 dalancio èin almeno un ¥ÈAEPLAINPCA Play) 31%))uaz 1- =1- == =--⑤ si disgiuntiancheinsiemi nonpossono unire . BAn UCBIA( )AUB B)Ai ( B) Au= ^ a BAi BIAAn Bmenoinoltre : { PCAIB PCANB(A )PCAB)A' ))UCAMB }) ==• -→ PCB PCANBPCB( ))B A)B) )( u AnBia ' == -° haAllora si chePCAUB B) TPCBIA )B)Plan) PCA t= i = PCANB=P )PLANET PCB )Canio(A) ) t t -PCA )) )PCB Plan Bt= -⑥ PCBPCAUBUC tpcc) ) )PCPCAITPCB )PCANB Anc)) nc t= -- -pcanbnc )+infatti : ))) PCANCBUCPCAUCBUC (A) )=P TPCBUC) =-)(A) (=P PCB PCCANBIU IIAn) ) c)Pcc PCB [t nct =- -PCA PCB ]BACI(B) B)) PlanPCC )tplanc[) )tp PLANt nc= =- --(B) ) Baci(A) Plantpcctp ) PlanPlan) B ) PCBNC=P C t---Graficamente vediamo come,C)PCAUB P (A) TPCB ) PCC)t=• -C)) PCBN)(Plan AncB tp A B- --Bn c)P ( An (⑦ B dise haè Asottoinsieme siPCA ) )=P PCBB) CA poichèi - B AB)(A Bu Ai= ) PCA B)PCA PCB) it=

Probabilità condizionata

( )p probabilitàsia R Cl di A B AEspazio sianoe e, , probabilitàB)eventi PC Si dice allora probabilità condizionalesocon .Brispetto ilA rapporto valedi chea( )P ?BAnP B)( "Al Bdi Aprobabilità subordinato= ovvero)PCB PCAIÈ dataassoluta PCA )probabilità dadiversa dalla =, ) .PCBprobabilitàSe subordinatetotalelavuole dellesi usare,PCT B) Plan PPC=p B)) ( An B ) (A)te .

Esempio : fumatori fumatori (Il il 60% )F)dei ed(40 N% non .deirispettofumatori aldei 7TIl ammala25% si non.,Scegliendofumatori tra laquale è100 persone. ,malataquesta ?probabilità siacheha PSi PCN(f) )0,4 i: 0,6==P ( MIMI F) )(P N0,25 0 07i == ' )PCANB ) )PCBPCAIB= -totalidelledunque la probabilitàformulausiamo :) PCMIF=PPCM ( N( )PCNPF) (F))) pMnMn PCMIN )t t= .. %14,20,4 0,25 0,1420,60,07 at == - .

Formula di Bayes

Aisiamo AN disgiuntieventi esaustivied ovvero, . ,..( UAZUA1 )AN SL alloraU := ,. . . PCBIAIAi )P PCBAIB) PCAIPCAI )( )1 )= =-• •)PCB "a )PCBPCAK ) An✓ l'si scambia evento condizionato e* =condizionantel' eventocon PCBIAIIPCAIPCAIIBInfatti Plain) )B)=: =• PCB) • )PCB unione, disgiunta)B ( AnAa )Ar )Bn Bn Bninoltre v. (v. ci( e: = .. . È)Planar)PCB PCBNAN )t )PCAR; PCBI An ):t. .. ,Esercizio : I } )PCAIPCBIC )Plan c)Dimostrare Pcc Bnc)Bn = ..

Esempio : fumatoriTornandoprobabilitadeiall' laquale èesempio , ?malata fumatoreche' una siapersona unRestringendo FU Bayesapplichiamo1r per= , fumiprobabilità malataottenere la che personauna :PPCF PCMIF(F) ) 0,25 70,4%0,704) 0,40 === =.PCM 0,142)

Indipendenza stocastica

stocasticaIndipendenza :A B Cl caoticamentesto indipendentiE sono se,PCAN PCBB) ) )PCA= . .Infatti _' PCA=P LI ?È §c' !PCAI ! aIIaB) PCAI= = tra di loroPCBIA PCBNA) ePCA PCB)) ) PCB )= - indipendenti= sono=PCAI PCA ) -eventise AnAi Az questidici più 2sono sono, ,. . ...stocastica menteindipendentiindipendenti solo se semprePCAIJ( AinPblocco blocco ) AjP ( #Aj ) i: - J=- . .famiglia eventiL' A1 indipendenti.HN diceinsieme si di, .. in hascelta siikse KEI diogni indiciper per-: P, . ,. ..PAir )( )AirPlain ( )(p)Air Air Airn .=n . .. .. .

Esempio :{ }SL 1 42,3= , , {f } } {Ha }AA1 1,4 verifico2,4 indipendenza3,4= 3 == , ,,in comune faf. PCAE)} IPCI PCA)Plain Az 4 a)1 ) = = == .. faÈ E) ÈPCAP Ar( 2);= = = =~ ~È PCAPCI ) CHI}Plain2 )=PAs 3)4) = .=. È PLAHa =PPC ( 3)){ } Ar3)3 A )=p (4 =n ..Adesso ?blocchiindipendentisaranno a,PA PCAZ ) PCAChi=P ) 3).43{ ¥È¥ 12 è indipendenzac'dunque blocchifalso a= enon.. ,,Attenzione blocchil' implicaindipendenza anche: aindipendenzal' due èdue contrarioil veroa non, .fortecondizioneL' blocchiindipendenza è piùa una .

Esercizio 'ACIBProvare A indipendentiiindipendentida Bche , B' indipendentiA , 'A indipendentiB,Esempio :Il lancio riportamoneta probabilitàdi tuna conPCOEPE ) probabilità monetaC 1 Lap1 vienecone - .èlanciata lavolte diprobabilitàquale;in avere- altri ?primi CT KlanciK neglinei lancine- -((A)P seguito=P T di lanciche nei primi Kesca e-poi tutte )e lancisuccessivinei =Croce le voltevolteTesta RK --P ( )Cnfintanto nafratiTu Creta? n= ......=P )( PCTK parteTa pctz ) Ppunta) () ) Cn) =. .- ..... ... k""Pp -=p )(p )P ( )( P =p 11 p1. -. . ... -. . .. -.a probabilitàse truccata latomoneta èla la dinon unaltrol' è delsempre 50o %Esercizio pari,U v ¥ probabilità( )PiP = o estrprima! !: :: .:. P. del §( ?pari=^' dispari!i. : : { }R 1,213 4,5= , Piu¢Pensa A③= 1 =probabilita secondaè estrazionelaQuale ' lache