Appunti di Calcolo delle probabilità e statistica

La probabilità condizionale e il teorema di Bayes

Si dice probabilità condizionale di un evento B rispetto all'evento A il rapporto valevole che:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

Se si vuole usare la probabilità subordinata totale, ovvero P(B|A), è data dalla probabilità assoluta P(B) diversa da zero.

Se si considera l'esempio dei fumatori e non fumatori, il 60% dei fumatori è malato (F) e il 40% non è malato (N). Rispetto ai fumatori, il 25% si ammala e il 75% non si ammala.

Scegliendo una persona tra 100 fumatori, qual è la probabilità che sia malata?

P(S|F) = P(F ∩ S) / P(F) = (0,25 * 0,6) / 0,4 = 0,375

Utilizzando la formula di Bayes:

P(F|S) = (P(S|F) * P(F)) / P(S) = (0,375 * 0,4) / 0,142 = 0,105

Quindi la probabilità che una persona sia fumatore dato che è malata è del 10,5%.

evento condizionato e* = condizionante l'evento con PCBIAIIPCAIPCAIIB Infatti Plain) )B)=: • PCB) • )PCB unione, disgiunta)B ( AnAa )Ar )Bn Bn Bninoltre v. (v. ci( e: = .. . È)Planar)PCB PCBNAN )t )PCAR; PCBI An ):t. .. ,

Esercizio : I } )PCAIPCBIC )Plan c)Dimostrare Pcc Bnc)Bn = ..

Esempio : fumatoriTornandoprobabilitadeiall' laquale èesempio , ?malata fumatoreche' una siapersona unRestringendo FU Bayesapplichiamo1r per= , fumiprobabilità malataottenere la che personauna :PPCF PCMIF(F) ) 0,25 70,4%0,704) 0,40 === =.PCM 0,142)stocasticaIndipendenza :A B Cl caoticamentesto indipendentiE sono se,PCAN PCBB) ) )PCA= . .Infatti _' PCA=P LI ?È §c' !PCAI ! aIIaB) PCAI= = tra di loroPCBIA PCBNA) ePCA PCB)) ) PCB )= - indipendenti= sono=PCAI PCA ) -eventise AnAi Az questidici più 2sono sono, ,. . ...stocastica menteindipendentiindipendenti solo se semprePCAIJ( AinPblocco blocco ) AjP ( #Aj ) i: - J=- . .famiglia

eventiL' A1 indipendenti.HN diceinsieme si di, .. in hascelta siikse KEI diogni indiciper per-: P, . ,. ..PAir )( )AirPlain ( )(p)Air Air Airn .=n . .. .. .Esempio :{ }SL 1 42,3= , , {f } } {Ha }AA1 1,4 verifico2,4 indipendenza3,4= 3 == , ,,in comune faf. PCAE)} IPCI PCA)Plain Az 4 a)1 ) = = == .. faÈ E) ÈPCAP Ar( 2);= = = =~ ~È PCAPCI ) CHI}Plain2 )=PAs 3)4) = .=. È PLAHa =PPC ( 3)){ } Ar3)3 A )=p (4 =n ..Adesso ?blocchiindipendentisaranno a,PA PCAZ ) PCAChi=P ) 3).43{ ¥È¥ 12 è indipendenzac'dunque blocchifalso a= enon.. ,,Attenzione blocchil' implicaindipendenza anche: aindipendenzal' due èdue contrarioil veroa non, .fortecondizioneL' blocchiindipendenza è piùa una .Esercizio 'ACIBProvare A indipendentiiindipendentida Bche , B'A indipendentiA , 'A indipendentiB,Esempio :Il lancio riportamoneta probabilitàdi tuna conPCOEPE ) probabilità monetaC 1 Lap1 vienecone

- È lanciata la volta di probabilità quale in avere altri primi CT KlanciK negli lancine - -((A)P seguito=P T di lanciche nei primi Kesca e-poi tutte )e lancisuccessivinei =Croce le voltevolteTesta RK --P ( )Cnfintanto nafratiTu Creta? n= ......=P )( PCTK parteTa pctz ) Ppunta) () ) Cn) =. .- ..... ... k""Pp -=p )(p )P ( )( P =p 11 p1. -. . ... -. . .. -.a probabilità se truccata la moneta è la la di non un altro è del sempre 50o % Esercizio pari, U v ¥ probabilità( )PiP = o estrprima! !: :: .:. P. del §( ?pari=^' dispari!i. : : { }R 1,213 4,5= , Piu+Pensa A③= 1 =probabilita seconda è estrazione la Quale ' lache• ?parisia ?)PzP ( considero precedentenellasuccesso è cosa= , probabilitadunque condizionata'estrazione uso, .estrazionesecondacheeventol'Ù ndrPz ( Pz( ))82 @ ←= evento estrazionepari chen è1 1.= estrazioneeventopari chee- act@ 01 dispariPanP ndr

èPz( () P )t ==2 (P 01101101 P PzPi ))Pz )P( ( ) (Pt == !% Zg ¥ Io IoIg Io+= 40%+e ~=. =, Pink ?probabilitàQuale è la di• faÈPan §)PiPzP 82101 (P)=P( () == -CALCOLOIL COMBINATORIO :Il delle elementipermutazioni dinumero n. ( diil in cui possonomodiovvero numero esseredisposti ) è : 2)( (! 1)n 2.1nh n= - --.- elementiIl stringhe dipiedelle K ovveronumero -° ' formareelementilunghe K siche possono con- , nrdatoèelementi dan - elementiIl didelle disposizioni semplicinumero n -. è datoK Kpresi daa ! formateDn din coppienumeroovvero=ne, , da distintielementi!)( in unn K- preciso ordineA ledelle precedentidifferenza esistonopie non- ,loroelementidue uguali internoalcoppie con .delle combinazioniIl elementi presidinumero n° datoK K daèa !!n contano tutteDanaCN.ie siovvero= = ,!)(! ! le disposizionikK n semplici- ,ripetizioniomettendo leEsempio ordinenessun}f1 Permutazioni ! 120X 2,3 4,5 5 =:= ., , 52=25pie

lungheK 2 :- -Disposizioni semplici 120 60:- =°120Combinazioni 1¥: 10- ==(6)2.Esempio :Si ( )lotto 4,52,3laal 1.seccacinquinagioca ,questodebbono in precisoi numeri uscireovvero da 90disponibiliI 1numeriordine avanno ..Quale ?la probabilita diè vincere'R tutteLo da leè cinquinecompostospazio tutti diversicomponenticon . }f){ }(D= Wz i 9C1Wi Wi WJ#Ws 1 5W : W= := , ,.. ... ,. . .. ., .,D= !!Allora 85T 89.9087.88# 90 86h . - .~= .!( ) !Kn 85 85T- tutti equiprobabiliestrazionilepoi se sono, la totaleprobabilita di'dunque avere unafortunata ècinquina !#P molto piccola= = ,a soso.gg-87 go .8 .- ammettesseil lottoSe cinquineinvece inavrebbesiordinequalsiasi :di ¥ probabilitàDgoCgc# la di= = e5!, , '51vincere sarebbe p '== ¥ Dgo 86 8988 9087! .- -5 -,dellasicuramente precedentemaggioreEsempio equilibrataUna lanciata voltemoneta viene n .testaprobabilitaQuale la volteche' escaè le?(ed ) volteKn croce-Vogliamo quante K

TuttoVolte Testasapere Inescale Elementi Possibili