Calcolo delle probabilità e statistica matematica - Appunti

Statistica matematica

Approccio teorico

Data una lista di numeri, estrapolo delle informazioni che possono essere generalizzate al di fuori di questa lista. Ad esempio, ho fiori gialli e rossi; dai 3.000.000 che mi vengono l'anno, ne prendo 300 di cui 102 sono gialli e 188 sono rossi. Ricavo informazioni da questi 300 (descrittiva) per avere informazioni "incerte" sui 3.000.000 (inferenziale, trarre delle conclusioni logiche a partire dai dati disponibili).

Inferenza statistica

L'inferenza statistica, o statistica inferenziale, è il procedimento per cui si inducono le caratteristiche di una popolazione dall'osservazione di una parte di essa, detta campione, selezionata solitamente mediante un esperimento casuale.

Definizioni chiave

• Popolazione: La totalità degli elementi di interesse sui quali vogliamo fare inferenza.
• Campione casuale (c.c.): La collezione di v.a. (X₁...X_N) è detta campione casuale di taglia N estratto dalla popolazione f(x) se X₁...X_N sono indipendenti e identicamente distribuite alla v.a. X che ha densità f (distribuzione comune a tutte le v.a.) con X v.a. genitrice.

Nota (abuso di linguaggio): Dal punto di vista statistico, si confonde l'individuo con la caratteristica dell'individuo. Ad esempio, non mi interessa l'individuo, ma l'altezza dell'individuo. Allora si dice che estraggo dalla popolazione delle altezze f(x) e non dalla popolazione degli individui x.

Estrazione del campione casuale

Voglio che le mie v.a. siano indipendenti, quindi in teoria si dovrebbe estrarre con reimbussolamento. Di fatto, in genere non si fa, si estrae senza reimbussolamento con l'ipotesi che la popolazione abbia taglia infinita (la probabilità di estrarre un individuo due volte tende a 0).

Statistica applicata

In statistica applicata si hanno i dati, non le v.a.; i dati (x₁..x_N) sono la realizzazione del c.c. (X₁...X_N) (in Biostat utilizzo i dati, non le v.a.).

Statistica

Una statistica è una funzione del c.c. (X₁...X_N) di taglia N che non dipende dal parametro "teta". La statistica deve essere calcolabile. La sua legge di probabilità è detta distribuzione campionaria ed è determinata dalla legge f del campione.

Esempio di statistica: Media campionaria = media degli N valori osservati

\[\bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i\]

Statistica parametrica

La statistica parametrica studia una popolazione f(x) supponendo di conoscere la funzione di distribuzione di X (genitrice) a meno di alcuni parametri. Ad esempio, data f(x) popolazione finita e su di essa sia definita una v.a. X (continua o discreta) la cui funzione di distribuzione dipende solamente da un parametro "teta" (es. so che X ~ exp(λ) ma non conosco λ), dato che la statistica deve essere calcolabile occorre stimare il valore di λ.