Calcolo delle probabilità e statistica matematica - Appunti

Per scegliere il tipo di stime da utilizzare vengono spesso impiegati il metodo della massima

verosimiglianza e il metodo dei momenti, orientati ad aumentare la probabilità di determinare

valori corretti o a ridurre la complessità dei calcoli. Prima di descriverli vediamo alcune definizioni.

(collezione di statistiche)

Momento Campionario (k-esimo) : dato un c.c. (X1..XN) di taglia N estratto da una popolazione

M

con genitrice di legge f, il k-esimo momento campionario è la seguente quantità:

k

1 k

∑

M X

=

k i

N i∈1...N

La media campionaria è l' 1-esimo momento campionario. 2

Varianza Campionaria : Dato (X1..XN) c.c. di taglia N, la varianza campionaria è

S

N

∑ 2

̄

X X

( − )

i

2 i=1 ̄

X

con media campionaria

S = N −1

NB: La varianza campionaria corrisponde alla definizione di varianza se non per il fatto che divido

2

S

per N-1 e non per N. Il valore atteso di è proprio la varianza!

Le statistiche sono utilizzate per fare inferenza ed ottenere stime per il parametro “teta” da stimare

di un c.c.; in particolare la stima è il valore assunto dalla funzione T in corrispondenza di un

particolare campione mentre uno stimatore è la v.a. T=T(X) con X=(X1...XN) campione casuale di

taglia N che serve per trovare una stima di “teta”. Tutte le possibili realizzazioni dello stimatore

(ovvero i valori assunti dallo stimatore al variare delle v.a. che compongono il campione) formano

l’insieme delle possibili “stime” del parametro incognito. In pratica uno stimatore per “teta” è una

specifica statistica T utilizzata per stimare il valore di “teta” per un campione casuale.

Le definizioni formali:

Stimatore (puntuale) : E' una funzione di una v.a. quindi è una v.a. che associa ad ogni

• possibile c.c. un valore del parametro “teta” da stimare.

Stima τ: E' il valore assunto dallo stimatore in corrispondenza di un particolare campione

• (cioè il campione osservato).

Uno stimatore è corretto se ha minima varianza (cioè piccola dispersione).

Se la funzione di distribuzione della popolazione è continua e simmetrica, media mediana e medie

̄

X

troncate sono tutte stimatori corretti di “teta”. Se la distribuzione è quella normale, (media

campionaria) è, tra questi citati, lo stimatore corretto di “teta” con minima varianza.

Metodi per la deduzione degli stimatori (richiedono nota la legge di X):

1. Metodo dei momenti (ultima spiaggia):

X ... X X

c.c. con genitrice , sapendo che la legge f di X dipende da M parametri

( )

1 N

θ ... θ θ=(θ ... θ

prendo parametro multidimensionale di dimensione M.

)

1 M 1 M

So che: n

1 ∑ k

M X k-esimo momento campionario

=

k i

n i=1

k k-esimo momento della genitrice

μ X

=E [ ]

k

Uguagliando i primi M momenti della genitrice con i corrispondenti momenti campionari si

M f ...θ

ottengono M equazioni (cioè imposto il sistema ) .

=μ = (θ )

k k 1 M

θ ... θ

Risolvendo rispetto a trovo le stime desiderate.

1 M

θ X ... X

=g ( )=T

1 1 1 N 1

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