Appunti Calcolo delle probabilità e statistica

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di copf.daraio

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Appunti redatti seguendo il corso completo del Professor Abundo, integrando nozioni basate sul libro di testo consigliato dal professore e esercizi di esami di anni accademici passati svolti in …

Esame Calcolo delle probabilità e statistica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Rosolino Mario Abundo

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2021-2022

120 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Fenomeni non deterministici: essi analizzano la valutazione della veridicità di un evento, ovvero la probabilità che esso accada.

Lo spazio dei possibili risultati o spazio degli eventi viene indicato con Ω.

Nell'esempio di un dado, lo spazio degli eventi è {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Lo spazio degli eventi è fatto da singoli eventi elementari.

Esempio (dado):

A: [esce numero dispari] = {1, 3, 5} A ⊂ Ω

B: [esce numero pari] = {2, 4, 6} B ⊂ Ω

Se A e B sono degli eventi, dunque sottoinsiemi di Ω:

se A, B ⊂ Ω:

A ∩ B = ∅
A ∪ B ⊂ Ω
A^C = Ω \ A ⊂ Ω

Il significato è rispettivamente:

A ∩ B → i due eventi associati ad A e B in verifica simultanea.
A ∪ B → almeno uno dei due eventi A e B in verifica.
A^C → l'evento associato ad A non si verifica.

In questo senso, ∩ darà l'evento certo, cioè quello che si verifica certamente, mentre l'insieme vuoto Ø darà l'evento impossibile, quello che certamente non si verifica.

Successivamente ci chiederemo se P gode di determinate proprietà se A e B sono eventi disgiunti (cioè A ∩ B = ∅, ovvero A e B non si possono verificare simultaneamente), ovvero

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Fenomeni non deterministici: essi analizzano la soluzione della veridicità di un evento, ovvero la probabilità che esso accada.

Lo spazio dei possibili risultati o spazio degli eventi viene indicato con

Nell’esempio di un dado, lo spazio degli eventi è {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Lo spazio degli eventi è fatto da singoli eventi elementari.

Esempio (dado):

A: {esce numero dispari} = {1, 3, 5}

B: {esce numero pari} = {2, 4, 6}

Se A e B sono degli eventi, dunque sottoinsiemi di , se A, B :

A B
A B
A = \ A

Il significato è rispettivamente:

A B = i due eventi associati ad A e B si verificano entrambi.
A B = almeno uno dei due eventi A e B si verifica.
A = l'evento associato ad A non si verifica.

In questo senso sarà l’evento certo, cioè quello che si verifica certamente, mentre l’insieme vuoto sarà l’evento impossibile, quello che certamente non si verifica.

Successivamente ci chiederemo se P gode di determinate proprietà se A e B sono eventi disgiunti (i.c.d. A

B = , ovvero A e B non si possono verificare simultaneamente), ovvero

P(A B) = P(A) + P(B)

Gli eventi dentro lo spazio degli eventi devono formare un'algebra.

Un'algebra degli eventi Q è

Q = { A ⊂ Ω ; tutti gli eventi A che tra loro soddisfano ∪, ∩ e complementare }.

Q ⊂ ℘(Ω)

℘(Ω) = {∅ , Ω , {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3},....insieme delle parti.. {1,2,3},... , {1,2,3,4},... , 1,2,3,4,5 }, }

Ω è l'unica settimana.

# ℘(Ω) = 2^{# Ω} numero di elementi di.

Nel caso del dado, 2⁶

Definiamo ora una σ-algebra. Una famiglia Q di parti di un insieme Ω è una σ-algebra degli eventi se:

∅ , Ω ∈ Q
Se A ∈ Q => A^c ∈ Q
A₁, A₂, ... ∈ Q => ∪_n=1^∞ A_n ∈ Q ∩_n=1^∞ A_n ∈ Q

Una σ-algebra è un'algebra stabile rispetto alle unioni ed intersezioni infinite.

Spazio di probabilità.

Siano Ω un insieme ed Q una σ-algebra di parti di Ω.

Definiamo la probabilità P come un'applicazione

P: Q → ℝA → P(A) ∈ [0,1]

Tale che

P(Ω) = 1 (se non fosse 1, Ω non è il "tutto")
P(∅) = 0 (se l'evento è impossibile, non può verificarsi)

2) A₁, A₂, ... con A_i ∩ A_j = ∅ =>

P(⋃_mA_m) = ∑_mP(A_m))

Axiomi dunque come spazio di probabilità una terna

(Ω, A, P)

dove:

Ω è uno spazio degli eventi;
A è una σ-algebra di parti di Ω;
P è una probabilità su A.

È dunque ragionevole pensare agli spazi di probabilità come dei modelli matematici regimanti di fenomeni aleatori; ove su fenomeni la cui previsione è incerta e “affidata al caso”.

Esempi:

Nel caso del dado

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2, 5}

Qual è la probabilità che si verifichi A?

P(A) = ?

P(A) = ³/₆ = ¹/₂ P({1, 2}) = ¹/₆

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1} ∪ {2} ∪ {3} ∪

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