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Estratto del documento

Fenomeni non deterministici: essi ammettono la

della probabilità di un evento, ovvero la probabilità

che esso accada.

Lo spazio dei possibili risultati o spazio degli eventi viene

indicato con Ω.

Nell'esempio di un dado , lo spazio degli eventi è:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Lo spazio degli eventi è fatto da singoli eventi elementari.

Esempio (dado):

A: {esce numero dispari} = {1, 3, 5}

B: {esce numero pari} = {2, 4, 6}

Se A e B sono degli eventi, dunque sottoinsieme di Ω

se A, B ⊂ Ω:

  • A ∩ B = ∅
  • A ∪ B = Ω
  • Ac = Ω \ A = ∩

Il significato è rispettivamente:

  • A ∩ B = ∅ -> i due eventi associati ad A e B si verificano
  • A ∪ B = Ω -> almeno uno dei due eventi A e B si verifica.
  • Ac = Ω \ A -> l'evento associato ad A non si verifica.

In questo senso ∩ starà l'evento certo cioè quello

che si verifica certamente, mentre l'insieme vuoto ∅ è

l'evento impossibile, quello che certamente non si verifica.

Successivamente ci chiederemo se P gode di determinate

proprietà. Se A e B sono eventi disgiunti (cioè

A ∩ B = ∅, ovvero A e B non si possono verificare simultaneamente), allora

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Gli eventi dentro lo spazio degli eventi devono formare un'algebra. Un'algebra degli eventi Q e:

Q = {A ⊆ Ω | tutti gli eventi A che tra loro soddisfano ∪, ∩ e complementare}

P(Ω) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, ... {1,2,3}, ... {1,2,3,4}, ... {1,2,3,4,5} ...}

Ω e l'unica certezza.

#P(Ω) = 2n Ω

numero di elementi di

Nel caso dei dadi, 26

Definiamo ora una σ-algebra. Una famiglia Q di parti di un insieme Ω si dice σ-algebra degli eventi se:

  1. Ω ∈ Q
  2. Se A ∈ Q ⇒ Ac ∈ Q
  3. A1, A2, ... ∈ Q ⇒m=1 ⋂∞ Am ∈ Q

Una σ-algebra e un'algebra stabile rispetto alle unioni ed intersezioni infinite.

Spazio di probabilitàSiano Ω un insieme ed Q una σ-algebra di parti di Ω.Definiamo la probabilità P come un'applicazione

P: Q ---> ℝA ---> P(A) ∈ [0, 1]

Tale che

  1. P(Ω) = 1 (se non fosse 1, Ω non e il "tutto")
  2. P(∅) = 0 (se l'evento e impossibile, non può verificarsi)

Probabilità condizionata

Siano Ω, A, B ∈ Ω uno spazio di probabilità e A,B ∈ Ω con P(A) > 0. Si definisce probabilità condizionata di B rispetto ad A la quantità:

P(B|A) = P(A ∩ B)

Intuitivamente la probabilità condizionata P(B|A) è la probabilità che B si verifichi sapendo che A si è verificato.

B: evento condizionatoA: evento condizionante

Esempio:

Nel caso della roulette, ci si chiede se possa uscire un numero tra 3, 13 e 22, sapendo che la roulette è truccata.

Ω = {0, 1, ... 36} 〈

A = {3, 13, 22}B = {1, 3, 5, ... 35}

  • B = 18
  • # casi favorevoli in A = 2

P(A|B) = P(A ∩ B)

P(B) = 2 = 1 = 2/37 = 1

18 9 18/37 9

Esempio:

Popolazione0.4 FUMATORI (F) → 0.6 NON FUMATORI (Fc) →

0.25 MALATI (M)0.75 NON MALATI (Mc)0.05 M0.95 Mc

P(M) = ?

Utilizziamo la formula delle probabilità totali. Sapendo che Ω = F ∪ Fc

P(O1 ∩ P2) + P(O1 ∩ D1) = P(O2 | P1)P(O1) + P(O2 | D1)P(O1) = 2/5 + 2/4 = 2/20 + 6/20 = 8/20 = 2/5 = 0.4

3) P(O1 ∩ P2) = P(O2 | P1)P(O1) = 1/4 × 2/5 = 1/10

1.7

A1 = {ha parato il I giocatore}

A2 = {ha parato il II giocatore}

B = {il bersaglio è stato colpito}

P(A2 | B) = ?

P(A1) = 9/10 P(A2)

P(B | A1) = 8/10

P(B | A2) = 9/10

P(A2 | B)b.c.r = P(B | A2)P(A2)/P(B | A1)P(A1) + P(B | A2)P(A2) =

= 7/10 × 10/9 P(A1)/8/10 P(A1) + 7/10 × 10/9 P(A1) =

= 7/10 × 10/9 P(A1)/8/10 + 7/9 P(A1) = 8/9

= 7/9 × 8 = 7/9 = 35/71 = 0.4929

1.46

difetto

V = (V ∩ Dc) ∪ (V ∩ D)

P(V) = ?

P(Dc | Vc) = ?

P(D | V) = ?

P(V) = P(V ∩ Dc) + P(V ∩ D) =

P(A) = P(R1 ∩ B1) + P(B1 ∩ R2) =

P(B1 | R1)P(R1) + P(R2 | B1)P(B1) = *

P(R1) = n/b+n

P(B1 | R1) = b/b+n-1

P(B1) = b/b+n

P(R2 | B1) = n/b+n-1

= b/b+n-1 x n/b+n + n/b+n-1 x b/b+n = 2bn/(b+n)(b+n-1)

Nella seconda richiesta, senza rimpiacere, abbiamo

(b/k) (n-k) / (b+n/m)

Se m = 2 e X = 1 -> (b/1) (n/1)

(b+n/2) = b/1!·(b+1) x b12/1!·(a+1!)

(a+1) (b+1) (b+2) (b+1) 2!(b+n-2!)

= 2bn/(b+n)(b+n-1)

Con rimpiacere,

(m/k) (b/b+n)k (n/b+k)m-k = (m/k)

(b/k) (n/m-k) (b+n/m)

P(R2) = ?

P(B2) = ? = 1 – P(R2)

R2 = (R2 ∩ R1) ∪ (R2 ∩ B1)

P(R2) = P(R2 ∩ R4) + P(R2 ∩ B1) =

P(R2 | R1)P(R1) + P(R2 | B1)P(B4) =

n-1/b+n-1 n/b+n + n/b+n-1 b/b+n - (n/(b+n) (b+n-1) (b+n-2))

= n/b+n = P(R4)

Dettagli
Publisher
copf.daraio
A.A. 2021-2022
120 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/06 Probabilità e statistica matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher copf.daraio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Calcolo delle probabilità e statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma Tor Vergata o del prof Rosolino Mario Abundo.