Lezioni: Appunti di Statistica e Calcolo delle Probabilità

Capitolo 1: Algebra degli eventi

Introduzione

Quando si esamina un qualsiasi fenomeno è possibile conoscere alcuni fattori e ignorarne altri. Se i fattori noti sono quelli i cui relativi effetti sono significativi (in questo caso possiamo parlare di fattori principali), per lo studio del fenomeno in esame possiamo utilizzare le sole discipline deterministiche. Qualora, invece, tra i fattori principali ce ne siano alcuni ignoti e/o incontrollabili, per lo studio del fenomeno in esame può risultare molto utile l’utilizzo del calcolo delle probabilità.

Il calcolo delle probabilità, quindi, è fondamentale quando è importante prendere delle decisioni, gestendo tutte le informazioni possibili, allo scopo di controllare e minimizzare i rischi di errore.

1.1 Algebra degli eventi

Nell’ambito del calcolo delle probabilità, definiamo esperimento casuale (o un qualunque fenomeno del mondo reale per il quale vi è più di un risultato possibile e il cui esito non è prevedibile a priori con certezza, ossia in altri termini un esperimento il cui esito non è certo) un esperimento nel caso in cui l’esperimento osservato abbia un unico risultato non è più possibile parlare di esperimento casuale.

Possiamo fare diversi esempi di esperimenti casuali: un lancio della moneta (i risultati possibili sono Testa o Croce, ma possiamo anche discriminare il caso in cui la moneta resti in verticale se cade sulla sabbia), un sondaggio di opinione (somministriamo un questionario con più possibilità di risposte chiuse), un esame universitario (i risultati possibili sono Promosso o Bocciato, ma possiamo anche discriminare in base al voto, cioè in termini di qualità specifica del risultato ottenuto), una partita di calcio (i risultati possibili sono vittoria, pareggio, sconfitta, ma possiamo anche considerare altri risultati come sospesa per impraticabilità del campo, sospesa per scarsa visibilità, rinviata per motivi di ordine pubblico, ecc).

Possiamo dire, fin da ora, che è molto importante stabilire cosa intendiamo per esperimento, specificando esattamente come esso deve essere eseguito e quando è possibile ritenerlo concluso, perché solo in questo modo siamo in grado di definire correttamente gli esiti possibili: ad esempio, se consideriamo l’esperimento “partita di calcio” e stabiliamo che esso è concluso quando si ha un risultato finale definitivo, gli esiti possibili saranno solo vittoria, pareggio, sconfitta.

Gli esiti possibili di un esperimento casuale vengono definiti eventi elementari: per definizione, l’evento E è un’asserzione logica che riguarda un numero aleatorio o un parametro aleatorio o una funzione aleatoria o comunque un ente aleatorio, in cui aleatorio significa non conosciuto, al momento, sebbene individuato senza possibilità di fraintendimenti. Di consueto, ad un evento possibile associamo una certa probabilità, la quale per definizione esprime il grado di fiducia che attribuiamo al suo verificarsi condizionatamente al nostro stato di conoscenza.

Gli eventi elementari, chiaramente, non possono verificarsi contemporaneamente, ma uno e uno solo per volta. Ad esempio, se consideriamo il lancio di un dado bilanciato a sei facce, gli esiti possibili, cioè gli eventi elementari, sono E₁, E₂, E₃, E₄, E₅ ed E₆ (abbiamo indicato con E evento elementare e con il pedice il numero di puntini della faccia del dado):

L’insieme di tutti i possibili esiti dell’esperimento, quindi l’insieme degli eventi elementari, è per definizione lo spazio campione S: stabilire qual è esattamente lo spazio campione è fondamentale per una corretta impostazione del calcolo delle probabilità. Lo spazio campione, quindi, contiene tutti gli esiti possibili ed è tale che almeno uno degli eventi che lo compone si verifichi (due eventi, però, non possono verificarsi contemporaneamente): pertanto, al verificarsi di tale insieme di eventi attribuiamo la nostra totale fiducia di avverarsi (che poniamo pari a 1 o talvolta a 100), cioè la probabilità dello spazio campione è uguale a 1 (o a 100), mentre ad ogni evento che lo compone attribuiamo una probabilità pari ad una frazione della probabilità di S.

Una collezione di eventi elementari è, per definizione, un evento composto (o anche semplicemente evento o ancora evento non elementare). Un evento composto si verifica quando l’esito dell’esperimento è uno degli eventi elementari che lo costituiscono. Se consideriamo, ad esempio, nuovamente il lancio di un dado bilanciato a sei facce, possiamo indicare l’evento A come “le facce del dado con un numero pari di puntini”, quindi come insieme degli eventi elementari E₂, E₄ ed E₆, e l’evento B come “le facce del dado con un numero di puntini maggiore di tre”, quindi come l’insieme degli eventi elementari E₄, E₅ ed E₆:

• A = {E₂, E₄, E₆}
• B = {E₄, E₅, E₆}

L’evento A si verifica ogni qualvolta si verifica uno degli eventi elementari E₂, E₄ ed E₆, mentre l’evento B si verifica ogni qualvolta si verifica uno degli eventi elementari E₄, E₅ ed E₆.

Oltre al concetto di evento elementare e di evento composto, possiamo introdurre anche quello di evento certo e di evento impossibile: l’evento certo è l’evento che sicuramente si verifica (per definizione, lo spazio campione è un evento certo), mentre l’evento impossibile è l’evento che sicuramente non si può verificare, a cui coerentemente attribuiamo una probabilità nulla.

Osservazione

L’evento impossibile viene introdotto per far capire che, rispetto a certi operatori, l’insieme che stiamo trattando gode della proprietà di chiusura. Ad esempio, l’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’operatore di somma, perché se sommiamo due numeri naturali la loro somma è ancora un numero naturale, cosa che invece non è sempre vera rispetto all’operatore differenza e divisione.

Se rappresentiamo lo spazio campione attraverso un rettangolo, ogni evento di S è rappresentato da una porzione di area del rettangolo stesso:

Le aree tratteggiate, oltre a rappresentare gli eventi, rappresentano anche le rispettive probabilità se si assume pari all’unità l’area del rettangolo S. Questo tipo di rappresentazione grafica è nota come diagramma di Venn: su questo diagramma (qualitativo) non è importante tanto la forma con cui vengono rappresentati gli eventi, ma la loro area (assimilabile come detto alla rispettiva probabilità, per cui più sono grandi gli eventi più è probabile che essi si verifichino) e la loro posizione relativa (ad esempio, se due eventi A e B non sono diagrammati con porzioni sovrapposte, sicuramente gli eventi A e B non possono verificarsi contemporaneamente).

Se consideriamo sempre il lancio di un dado bilanciato a sei facce, tutte le facce hanno la stessa probabilità di verificarsi, per cui tutti gli eventi elementari devono essere rappresentati con la stessa area sul diagramma di Venn. Inoltre, poiché gli eventi elementari non possono verificarsi contemporaneamente, le loro rappresentazioni sul diagramma di Venn non devono avere parti in comune, cioè non devono essere sovrapposti. Il modo più semplice di rappresentare questi eventi elementari, allora, è il seguente:

Un altro esempio di diagramma di Venn potrebbe essere il seguente, relativo ad un esperimento che prevede sette possibili esiti (sette eventi elementari), non equiprobabili e tali comunque che non possono verificarsi contemporaneamente:

Ovviamente, in entrambi i casi, non c’è nessuna parte dello spazio campione S che non sia coperta da un evento elementare, perché sicuramente un evento elementare si deve verificare; inoltre, le rappresentazioni degli eventi elementari non si sovrappongono, perché gli eventi elementari, come detto, sono tali da verificarsi uno solo alla volta e mai contemporaneamente.

Il diagramma di Venn, quindi, è un valido strumento che ci permette di trasferire tutte le informazioni utili sugli eventi in esame per cominciare a ragionare sul calcolo delle probabilità.

Operatori tra eventi

Agli eventi di uno spazio campione ha senso applicare le operazioni già note per gli insiemi: gli operatori che studiamo sono essenzialmente tre, cioè unione, intersezione e negazione.

Dati due eventi A e B, si definisce l’unione di A e B l’evento costituito da tutti gli eventi elementari che appartengono o ad A o a B o ad entrambi. L’evento unione si indica nel modo seguente: A ∪ B.

Per come è stata definita, l’unione degli eventi A e B si verifica se si verifica A o si verifica B o se si verifica sia A che B: in altre parole, l’evento unione A ∪ B si verifica quando almeno uno dei due eventi si verifica.

Per utilizzare l’operatore unione è necessario, chiaramente, che gli eventi A e B appartengano allo stesso spazio campione S, cioè A e B devono essere esiti possibili dello stesso esperimento. Se consideriamo il seguente diagramma di Venn:

L’unione degli eventi A e B è la parte delimitata dal profilo più esterno (linea spessa). Diciamo fin da subito che nel calcolare la probabilità dell’evento unione di A e B bisogna considerare solo l’area delimitata dal profilo più esterno, per cui il contributo delle parti sovrapposte deve essere considerato una sola volta. Ad esempio, se consideriamo l’esperimento del lancio di un dado bilanciato a sei facce e stabiliamo che gli eventi A e B siano rispettivamente:

• A = {E₂, E₄, E₆}
• B = {E₄, E₅, E₆}

Gli eventi elementari E₄ ed E₆ sono comuni sia all’evento A che all’evento B per cui nell’operazione di unione dovranno essere contati una sola volta. Ne consegue che l’unione degli eventi A e B è:

• A ∪ B = {E₂, E₄, E₅, E₆}

Questo concetto è molto importante per il calcolo delle probabilità, per cui è necessario sempre stabilire se gli eventi in esame hanno o meno eventi elementari in comune: se non hanno eventi elementari in comune la probabilità della loro unione è la somma delle rispettive probabilità, se hanno eventi elementari in comune la probabilità della loro unione è leggermente inferiore alla somma delle rispettive probabilità, perché dobbiamo decurtare il contributo degli eventi elementari in comune che va considerato una sola volta.

Dati due eventi A e B appartenenti allo stesso spazio campione S, si definisce l’intersezione di A e B l’evento costituito da tutti gli eventi elementari che appartengono sia ad A che a B. L’evento intersezione si indica nel modo seguente: A ∩ B.

Per come è stata definita, l’intersezione degli eventi A e B si verifica quando si verificano sia l’evento A che l’evento B contemporaneamente, per cui sul diagramma di Venn l’intersezione dei due eventi è rappresentata dalla parte comune ad entrambi (quella tratteggiata):

Ad esempio, se consideriamo l’esperimento del lancio di un dado bilanciato a sei facce e stabiliamo che gli eventi A e B siano rispettivamente:

• A = {E₂, E₄, E₆}
• B = {E₄, E₅, E₆}

Gli eventi elementari comuni sia ad A che a B sono solo E₄ ed E₆, per cui l’intersezione degli eventi A e B è:

• A ∩ B = {E₄, E₆}

Chiaramente, se i due eventi non hanno parti in comune la loro intersezione è l’evento impossibile.

Osservazione

L’evento impossibile serve per fare in modo che, considerati tutti gli eventi elementari dello spazio campione S, la loro intersezione dia origine ad un evento (l’evento impossibile appunto) che fa parte di un insieme ancora più vasto di S, che chiamiamo spazio degli eventi.

Lo spazio degli eventi contiene tutti gli eventi per i quali ha senso parlare di calcolo delle probabilità, a patto che esso abbia la caratteristica di essere chiuso rispetto agli operatori di intersezione e di unione, cioè se prendiamo due eventi che appartengono allo spazio degli eventi la loro intersezione o la loro unione deve essere ancora un evento che appartiene allo spazio degli eventi.

Lo spazio degli eventi contiene quindi lo spazio campione, gli eventi elementari, gli eventi composti, l’evento impossibile e quasi tutte le possibili combinazioni degli eventi elementari. Se la cardinalità dell’insieme è finita, come nel caso del lancio dei dadi, lo spazio degli eventi contiene lo spazio campione, gli eventi elementari E₁, E₂, E₃, E₄, E₅ ed E₆ e le unioni degli eventi elementari (l’intersezione è chiaramente l’evento impossibile).

Se la cardinalità dell’insieme è infinita non numerabile, per poter fare i calcoli di probabilità non possiamo far riferimento a tutte le possibili combinazioni ma solamente ad una parte ridotta di esse (perché verrebbe meno una caratteristica nota come misurabilità), cioè dobbiamo costruire quell’insieme che è noto come sigma algebra, facendo in modo però che sia chiuso rispetto agli operatori di unione ed intersezione. Dato un evento A, si definisce negazione (o complementare) l’evento A che si verifica quando e solo quando non si verifica A. L’evento negato si indica come segue: A̅.

Sul diagramma di Venn, l’evento A̅ è l’area tratteggiata:

Chiaramente se la probabilità dello spazio campione S è pari a 1, la probabilità dell’evento A sarà pari a 1 meno la probabilità dell’evento A̅, in quanto le aree degli eventi A e A̅ sono complementari a 1.

Disegnare correttamente il diagramma di Venn è un vantaggio per il calcolo delle probabilità: se gli eventi sono separati, infatti, la probabilità dell’unione è la somma delle rispettive probabilità, la probabilità dell’intersezione, qualunque siano le rispettive probabilità, è pari a zero, in quanto l’evento intersezione è l’evento impossibile.

Esempio

Consideriamo il seguente diagramma di Venn:

La parte tratteggiata è pari a intersecato: A ∩ B.

Per verificare se quanto detto è vero possiamo fare una semplice prova tratteggiando (diversamente) le aree relative all’evento A e all’evento B. Se vogliamo l’intersezione tra i due eventi, la parte che ci interessa è quella con il doppio tratteggio:

Facendo riferimento alla figura, invece, possiamo dire che la parte che ha almeno un tratteggio è pari a: A ∪ B mentre la parte senza tratteggio è pari a: A̅ ∪ B̅.

Relazioni tra eventi

Oltre agli operatori, possiamo anche considerare relazioni tra eventi: in particolare parliamo di incompatibilità, inclusione, equivalenza e necessarietà.

Due eventi A e B dello stesso spazio campione S sono detti incompatibili (o disgiunti) quando è impossibile che possano verificarsi contemporaneamente. È chiaro che l’intersezione tra eventi incompatibili è l’evento impossibile: A ∩ B = Ø.

Ad esempio, se consideriamo l’esperimento del lancio di un dado bilanciato a sei facce, l’evento elementare E₁ e l’evento elementare E₃ non possono verificarsi contemporaneamente, per cui E₁ ed E₃ sono eventi incompatibili.

Dire inoltre che tre eventi A, B e C sono mutualmente incompatibili significa dire non solo che i tre eventi non possono verificarsi contemporaneamente, ma anche che non possono verificarsi insieme a due a due: questo vuol dire, allora, che sul diagramma di Venn i tre eventi A, B e C sono separati. Ne consegue che l’insieme degli eventi elementari, cioè lo spazio campione S, è un insieme costituito da eventi mutualmente incompatibili.

Un evento B si dice incluso nell’evento A quando il verificarsi di A garantisce anche il verificarsi di B. L’inclusione di B in A si indica nel modo seguente: B ⊆ A.

Questa notazione potrebbe anche significare che B coincide con A, tanto è vero che spesso i matematici usano il principio della doppia inclusione per dimostrare l’uguaglianza tra due affermazioni logiche: se B è incluso in A e A è incluso in B, allora B coincide con A.

Esempio

Per capire meglio la relazione di inclusione facciamo il seguente esperimento: assegniamo a ciascuno studente di una classe un numero ed estraiamo da un’urna dei numeri a caso. Indichiamo con A l’evento che si verifica se lo studente estratto è più alto di 170 cm e con B l’evento che si verifica se lo studente estratto è più alto di 180 cm:

• A = {H > 170 cm}
• B = {H > 180 cm}

Per rappresentare correttamente gli eventi A e B sul diagramma di Venn, dobbiamo capire il tipo di relazione di inclusione che intercorre tra A e B. Chiaramente, l’evento B è incluso nell’evento A.