Lezioni: Appunti di Statistica e Calcolo delle Probabilità

Y

Per confrontare tra di loro due variabili aleatorie non identicamente distribuite si possono valutare i

cosiddetti momenti, come ad esempio la media.

Due variabili e invece, si dicono quando sono proprio la stessa variabile definite

W Z, equivalenti

però attraverso una codifica diversa. Due variabili equivalenti, chiaramente, sono anche

identicamente distribuite (non vale il contrario)

–

Operatore speranza matematica Indici di posizione e Indici di dispersione

La e la servono a fornire informazioni sintetiche sulla legge di probabilità di una

media varianza

variabile aleatoria: in particolare la media e la varianza forniscono indicazioni, rispettivamente,

Volendo fare un’analogia con la

sulla posizione e sulla dispersione di una variabile aleatoria.

geometria delle masse, la media è il “baricentro” della variabile aleatoria, mentre la varianza ne

fornisce il “momento di inerzia”. E(∙).

Per il calcolo di questi indici si utilizza il cosiddetto operatore speranza matematica

OSSERVAZIONE:

Abbiamo detto che una variabile aleatoria è un’applicazione che fa corrispondere ad ogni evento

elementare di un valore in Supponiamo che lo spazio campione sia costituito da tre eventi

S R.

elementari , e .

E E E

1 2 3

Indichiamo con la variabile aleatoria che può assumere due valori e e facciamo

X(E) x x

1 2

corrispondere all’evento il valore e agli eventi ed il valore . Se di questa variabile

E x E E x

2 2 1 3 1

aleatoria consideriamo una qualunque altra trasformata che battezziamo, ad esempio,

X(E) g(X) Y:

 



Y g X

ad ogni valore di possiamo far corrispondere un valore di in particolare a facciamo

x y, x

1

corrispondere e a facciamo corrispondere :

y x y

1 2 2

Ci accorgiamo quindi che, essendo una modalità della variabile aleatoria anche lo è, perché,

x X, y

anche se indirettamente, non abbiamo fatto altro che far corrispondere ad ogni evento elementare E

un valore di Se è vero che è pari a allora, ad e ad corrisponde e poi , mentre ad

y. Y g(X), E E x y

1 3 1 1

corrisponde e poi .

E x y

2 2 2

ogni trasformazione ragionevole di una variabile aleatoria è anch’essa una

Ne consegue che

variabile aleatoria, a patto di scegliere tra le funzioni misurabili, cioè tra le funzioni per le

g(X)

quali abbia ancora senso parlare di probabilità. l’operatore speranza

Fissata una variabile aleatoria e una sua qualunque trasformata

X g(X),

matematica è così definito: 

      

 k



  g x p x se X è una variabile discreta



   

  i X i

      

1

i

 

E g X  g x f x dx se X è una variabile continua

X



in cui e sono, rispettivamente, la funzione massa di probabilità e la funzione densità di

p (x ) f (x)

X i X

probabilità della variabile aleatoria X.

Se la è la funzione identità, la speranza matematica fornisce (se esiste) la (o

g(X) media valore

X

o ancora della variabile aleatoria

atteso momento primo) X:



    



 k



  x p x se X è una variabile discreta

     i X i

    

1

i

 

E X 

X  x f x dx se X è una variabile continua

X

 ha una logica nel senso dell’esperimento

Il valore atteso di una variabile aleatoria ripetuto:

X

quando facciamo un esperimento, alcune volte possono uscire valori maggiori del valore atteso,

altre volte valori minori del valore atteso, però mediamente nel lungo periodo i valori osservati

“ballano” il valore atteso è un’informazione utile

intorno alla media. Ne consegue, allora, che

l‘esperimento viene ripetuto

solamente nel caso in cui diverse volte.

Non è detto che il valore atteso di una variabile aleatoria (discreta o continua) esista. La media di

X

infatti, esiste se e solo se la sommatoria e l’integrale sono assolutamente convergenti, cioè se

X, (per dire che la media esiste è necessario che esistano sommatoria e integrale con il valore

E(|X|)≠∞

assoluto). intero ≥1, fornisce il cosiddetto

In generale, la con della variabile

r

E(X ), r momento r-esimo r

aleatoria X. 

    





  k

 r

x p x se X è una variabile discreta

     i X i

    

1

i

 

r

E X 

r  r

x f x dx se X è una variabile continua

X



Esempio:

Supponiamo di avere dieci biglie con sopra scritti dei numeri messe in un’urna, tali che su più biglie

ci sia lo stesso numero: ad esempio immaginiamo di avere quattro biglie con il numero 1, una biglia

L’esperimento consiste nell’estrarre una biglia

con il numero 3 e cinque biglie con il numero 7.

dall’urna e assegnare ad una variabile aleatoria il numero estratto. La variabile aleatoria, quindi,

X

può assumere solamente tre valori diversi , e :

x x x

1 2 3

 

   

1, 3, 7

X x x x

1 2 3

La probabilità che sia proprio pari a 1, a 3 o a 7 è:

X      

     

4 1 5

1 ; 3 ; 7

P X P X P X

10 10 10

Calcoliamo il valore atteso di cioè la media della variabile aleatoria

X=g(X), X:



  

 

          

        

     

3 4 1 5 42

     

1 3 7

E X x P X x



X i i 10 10 10 10

1

i

Volendo calcolare il valore medio di tutti i numeri segnati sulle biglie, possiamo anche moltiplicare

ciascun numero segnato sulla biglia per il corrispondente numero di biglie e dividere per il numero

totale di biglie:         

 

 

   

1 4 3 1 7 5 42

E X

X 10 10

ritrovando così lo stesso risultato.

Calcoliamo il valore atteso di cioè il momento secondo della variabile aleatoria

2

X =g(X), X:

     

 

        

        

     

3 4 1 5 258

     

2 2 2

2 2 1 3 7

E X x P X x

2  i i 10 10 10 10

1

i

Volendo dare un’interpretazione fisica al valore atteso di possiamo dire che il momento

2

X =g(X),

è legato al momento di inerzia rispetto all’origine.

secondo

Se la funzione è qualsiasi, non possiamo ricavare facilmente la media di a partire, ad

g(X) g

esempio, dalla media di cioè in generale non è vero che il valore atteso di è uguale alla

X, g(X) g

valutata in corrispondenza del valore atteso di X:

   



   

   

E g X g E X

Questa eguaglianza, come vedremo tra poco, è vera solamente quando la ha una forma

g(X)

particolare.

Supponiamo che sia una funzione lineare della variabile aleatoria del tipo:

g(X) X

   

g X aX b

e valutiamone il valore atteso (supponiamo per semplicità che la variabile aleatoria sia continua):

X

 

 

         

 

     

 

 

E g X E aX b g x f x dx ax b f x dx

X X

 

 

       

 

  

ax f x dx b f x dx

X X

 

 

     

 

  

a x f x dx b f x dx

X X

 

 

  1

 

E x

aE x b

per cui, se vogliamo calcolare il valore atteso di dobbiamo semplicemente moltiplicare

g(X)=aX+b,

Ne consegue, allora, che l’operatore

per la media di cioè e sommare speranza

a X, E(x), b.

matematica è un operatore lineare. In questo caso possiamo dire che è valida la seguente

eguaglianza:    



   

   

E g x g E x

perché il valore atteso di è uguale alla valutata in corrispondenza del valore atteso di

g(X) g X:

 

 

 

   

 

   



E g X aX b aE X b

X E X “ballano” i risultati di un esperimento

Abbiamo detto che la media fornisce il valore intorno al quale

casuale quando eseguiamo un numero elevato di prove. Per tale motivo la media è un indice di

posizione.

La media, tuttavia, non sempre esiste e non sempre è un valore tipico. Immaginiamo, ad esempio,

che in gruppo di individui ci sia una persona molto ricca; se calcoliamo il reddito procapite, il

valore trovato sicuramente sarà più rappresentativo del reddito della sola persona ricca che non di

tutti gli altri individui. Esistono, infatti, delle distribuzioni di probabilità che non sono simmetriche,

ma presentano una forte asimmetria, in quanto la variabile aleatoria può assumere valori molto alti

ma con una frequenza bassa. In questi casi, quindi, la media o può essere molto distante dal valore

tipico della popolazione (tende a spostarsi verso la coda) o addirittura può non esistere.

Esistono per tale motivo altri indici di posizione che, similmente alla media, forniscono

informazioni sulla di una variabile aleatoria e che possono essere usati con

tendenza centrale

maggiore validità: e

moda, mediana quantili.

La moda di una variabile aleatoria X è il valore (se esiste) per cui è massima la funzione massa di

probabilità (se la variabile aleatoria è discreta) oppure la funzione densità di probabilità (se la

Di conseguenza, se la distribuzione di probabilità ha un andamento

variabile aleatoria è continua).

simmetrico, con un solo massimo, la media e la moda coincidono, mentre se la distribuzione ha un

andamento asimmetrico con un solo picco, la moda è il valore più probabile:

Esistono anche distribuzioni che presentano un doppio picco e che pertanto vengono dette bimodali,

ma solo per specificarne la forma perché è possibile individuare un solo valore della moda, cioè

quello che si presenta con maggiore frequenza se facciamo tante prove (se i due picchi hanno la

stessa altezza allora effettivamente abbiamo due dive