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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

cerchiamo di costruire modelli matematici ragionevoli di fenomeni aleatori INSIEME DELLE PARTI

Se Ω è un insieme, chiameremo insieme delle parti (o insieme potenza) di Ω il seguente insieme: P(Ω)= {A: A ⊆ Ω}

SIGMA ALGEBRA

Sia Ω un insieme su P(Ω) = famiglia di tutti dell'insieme dele parti di Ω diciamo che ℱ è una σ-algebra su Ω se ℱ soddisfa le seguenti proprietà:

  1. ∅, Ω ∈ ℱ
  2. ∀ A ∈ ℱ anche Ac ∈ ℱ (dove Ac = Ω ∩ (A))
  3. ∀ {Ai}i∈ℕ famiglia ∈ ℱ anche Ui Ai ∈ ℱ     e ∩i Ai ∈ ℱ

esempio se Ω γ minima P(Ω) è l'insieme delle parti di Ω allora P(Ω) è una σ-algebra detta: se Ω={1,2,3} P(Ω)={ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} da cui Ω γ insieme di 3 arcoids della σ-algebra

Chiamo sola Ω, P(Ω), e sempre una σ-algebra.

FUNZIONE DI PROBABILITÀ

Sia Ω un insieme, sia ℱ una σ-algebra su Ω, sia P: ℱ → [0,1] una funzione diciamo che P è una funzione di probabilità (o probabilità) sulla σ se soddisfa le seguenti proprietà:

1

P(Ω) = 1

2

∀ {Ai} ⊆ ℱ (σ-additività delle successioni di elementi contenuti nell’algebra ℱ) disgiunti: ∀ i ∈ N, i ≠ s, Ai ∩ As = Ø ; P(⋃i=1 Ai) = ∑i=1 P(Ai)

In particolare, se abbiamo una famiglia finita di insiemi

Se A, B ∈ ℱ, A ∩ B = Ø allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

SPAZIO DI PROBABILITÀ

Sia Ω un insieme (dei possibili risultati); chiameremo spazio di probabilità su Ω la terna (Ω, ℱ, P).

esempio:

Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ; ℱ (numero finito delle parti di Ω e una σ-algebra su Ω ; Definiamo P: ℱ(Ω) → [0,1] (ossia che P(Ai) = Ci, tutte le misure delle parti di Ω si somma σ-algebra)

Osservando: P(Ω) = 1

P(⋃ Pi Ai) = ∑ P(Ai)

=P(Ω) = P(⋃ Ai) = ∑ P(Ai)

A = {1,2,3,3}

P(A) - P(⋃ Ai) = ∑ ⅓ P(ξ) = ∑ 1/10 = 3/10

P(A|) = #A / # Ω - (1/# Ω) * # A = (#A/# Ω) = P

(Con questa relazione di probabilità UNIFORME Ω decide come sarà lo spazio degli eventi, infinita) det anche non "TRUCCATO"

(Notiamo calcoliamo di probabilità quale rispetto tra i casi favorevoli con possibili)

LEGENDA

P(ξ: X > a: ξ) si legge come "la probabilità relativa all'evento X>a" .

MODELLI CONTINUI (#X(Ω)->#N)

Densità di probabilità

Sia X: Ω → ℝ v.a. su (Ω,Ω,ℙ) s.d.p. con #X(Ω)=#N.

Se esiste f: ℝ→ℝ t.c.

  • f sia localmente Riemann integrabile su ℝ.
  • la funzione di ripartizione FX(t)=ℙ(X≤t), sia FX(t)= t ∫-∞ f(x)dx

Allora diremo che f è una densità di probabilità per la v.a. X.

La funzione densitá di probabilità relativa a modelli continui non esiste sempre ma solo se la funzione di ripartizione è derivabile. La funzione di ripartizione invece esiste sempre.

Variabile aleatoria assolutamente continua

Sia X una v.a. su (Ω,Ω,ℙ) s.d.p. p.a.

Sia X dotata di densità di probabilità f:ℝ→ℝ loc. Riemann integrabile su ℝ.

Allora diremo che X è una v.a. assolutamente continua.

Una v.a. è ass. continua se la sua f.d.r. ammette una densità.

Esercizio: Funzione ripartizione e funzione densità

Sia X una v.a. con fX: t

FX(t)=

  • 0 , t
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Publisher
lorenzolosi94
A.A. 2013-2014
86 pagine
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-S/01 Statistica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher lorenzolosi94 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e calcolo delle probabilità e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Bologna o del prof Ferrari Fausto.