Appunti di Calcolo automatico

Introduzione al corso

19/02/21

Programma del corso:

• Analisi matriciale dei sistemi di travi in regime elastico lineare.
• Il metodo degli elementi finiti.
• La modellazione per elementi finiti delle travi, delle lastre piane caricate nel piano, delle lastre inflesse e dei solidi tridimensionali.
• Analisi dinamica lineare e non lineare.
• Analisi statica non lineare dei sistemi di travi: non linearità geometrica e meccanica.

Testi consigliati:

• Leone Corradi Dell’Acqua, Meccanica delle Strutture, Volume 2: Le teorie strutturali e il metodo degli elementi finiti, McGraw-Hill.
• Robert D. Cook, Finite element modeling for stress analysis, John Wiley & Sons.

Il software per analisi strutturale: una black-box

Il software che si va ad utilizzare per l’analisi strutturale è comodo e facile da utilizzare ma si deve essere in grado ad avere controllo sui risultati del software, ovvero capire se il risultato ottenuto abbia senso. Se otteniamo un risultato inappropriato vuol dire che si è utilizzato male il software.

Come possiamo provare ad avere controllo sui risultati del software?

• Conoscenza del problema strutturale da analizzare
• Conoscenza dell’approccio di modellazione obiettivo del corso

Questi due ingredienti servono entrambi e il controllo sui risultati può avvenire solo quando vi è interazione tra questi due punti.

La responsabilità dell’utente

Si ha una trave che è stata caricata con un impulso di pressione e poi è stata lasciata libera di oscillare. La trave ha comportamento elastico perfettamente plastico, quindi può andare anche oltre al regime elastico e l’onda di pressione è abbastanza forte per cui si innescano anche delle plasticizzazioni. È stato detto di risolvere questo problema con diversi software commerciali e nel grafico abbiamo i risultati che sono stati ottenuti in termini di spostamento, del punto centrale della trave, nel tempo, in cui ad ogni curva corrisponde un software. Nei primi 1 o 2 secondi più o meno tutti i software danno lo stesso risultato però quando si arriva a 2 secondi si inizia a vedere che ogni software inizia a dare una risposta diversa. Questo ci fa capire come per differenze di modellazione minime tra i vari software possono condurre anche a risultati molto diversi.

Progettare un'analisi agli elementi finiti

Il punto di partenza è un problema da risolvere e la prima domanda da farsi è se è necessario fare un’analisi agli elementi finiti. Se si riesce ad utilizzare l’analisi agli elementi finiti ben venga perché ci permette di risparmiare tanta fatica e tante incertezze mentre se non si può utilizzare si prende la soluzione disponibile. Se si riesce ad utilizzare l’analisi agli elementi finiti si passa allo step successivo, in cui bisogna anticipare il comportamento fisico della struttura e pianificare come si controllerà la bontà dei risultati della modellazione. A questo punto si fa un primo modello, procedendo per tentativi, poi se le cose tornano si passa ad un modello un po’ più dettagliato. A questo punto ci si può mettere al calcolatore (che sarebbe la parte tratteggiata nel grafico) e si eseguono i vari passaggi. In conclusione bisogna vedere se i risultati ottenuti vanno bene facendoci delle domande e rispondendo ai criteri che ci eravamo dati prima dell’analisi. Se le domande sono in gran parte positive allora vorrà dire che il modello considerato andrà bene altrimenti se le domande non sono tutte positive allora ha senso fare una versione rivista del modello.

Il metodo degli elementi finiti: divide et impera – lezione 22/02/21

Normalmente con il metodo degli elementi finiti dobbiamo risolvere problemi in analisi strutturali, quindi sono problemi che sono governati da sistemi di equazioni differenziali e derivate parziali. Ora facciamo un parallelo tra questo problema e quello che è rappresentato nella figura, ovvero quello della misurazione della lunghezza di una circonferenza. Supponiamo di non conoscere la formula classica e quindi nel nostro parallelo vuol dire non conoscere la soluzione analitica del problema, allora introducendo delle approssimazioni (ipotesi) si cerca di trovare la soluzione. Si dispone solo di un metro che mi consente di misurare le lunghezze di segmenti e quindi è come dire che so solo risolvere sistemi di equazioni algebriche, allora ci si chiede: Si può ricondurre la circonferenza a un sistema di segmenti? in parallelo corrisponde a dire, è possibile ricondurre un sistema di equazioni differenziali e derivate parziali a un sistema di equazioni algebriche? Se si introduce qualche approssimazione si, infatti si vede che l’approssimazione nella circonferenza è il poligono che viene creato introducendo una serie di nodi che vengono congiunti con dei lati rettilinei (elementi). Quindi se si introduce una qualche approssimazione si riesce localmente, su una porzione limitata del dominio, a esprimere il problema in termini di equazioni algebriche e quindi lo si riesce a risolvere. A questo punto sulla circonferenza si misura la lunghezza di ogni lato e poi se si vuole ricavare la lunghezza complessiva si deve sommare tutte le lunghezze per ottenere la stima della lunghezza della circonferenza. Quindi per il metodo degli elementi finiti si prende il dominio, lo si divide in tanti sottodomini in tanti elementi, chiamato mesh, in cui su ogni elemento si introduce un’approssimazione che fanno sì che il problema anziché essere governato dalle equazioni differenziali alle derivate parziali sia governato dalle equazioni algebriche e poi mette insieme tutti i sottodomini attraverso un’operazione di assemblaggio. Quindi il passaggio dalle equazioni differenziali alle equazioni algebriche è avvenuto introducendo delle ipotesi/approssimazioni. Ovviamente se si va a far un raffittimento del dominio, ovvero a suddividere il dominio in più sottodomini, porta a un miglioramento dell’approssimazione. Allo stesso tempo non si deve nemmeno suddividere il dominio in tantissimi sottodomini poiché l’inserimento di ogni singolo elemento comporta un costo computazionale e bisogna fare attenzione.

Problemi dell’ingegneria strutturale

Tipi di struttura:

• Bielle, cavi, telai, archi, lastre, piastre, gusci, continui, ecc.

Tipo di problema meccanico:

• Statica lineare, statica non lineare, stabilità, dinamica modale, dinamica nel tempo, ecc.

Uno dei punti di forza del metodo degli elementi finiti è che è un approccio molto generale che ci permette di affrontare un qualsiasi problema di ingegneria strutturale caratterizzato da una qualsiasi combinazione tra tipi di struttura e tipi di problema meccanico.

Classificazione dei problemi strutturali

Considerando o meno l’inerzia:

• Statica, se non sono presenti forze d’inerzia.
• Dinamica, se sono presenti forze d’inerzia.

Il passaggio tra il mondo della statica e il mondo della dinamica avviene a base di forze d’inerzia.

Accettando o meno l’approssimazione lineare:

• Lineare, quando tutte le equazioni che lo governano sono lineare e quindi vale la sovrapposizione degli effetti.
• Non-lineare, basta anche una sola forma di non linearità per rendere il problema complessivamente non lineare e in questo caso non vale la sovrapposizione degli effetti.

Approcci classici (e loro limiti)

Metodo delle forze (forze generalizzate incognite):

• Equazioni di Muller-Breslau (congruenza)
• Limitato a strutture poco iperstatiche

Metodo degli spostamenti (spostamenti generalizzati incogniti):

• Equazioni di equilibrio (metodi diretti, metodo delle sottostrutture, ecc.)
• Metodi iterativi (Cross, ecc.)
• Limitati a telai piani

I metodi classici “manuali” sono limitati a casi semplici o semplificati.

Soluzione computazionale

• I calcolatori elettronici offrono “nuove” possibilità di calcolo: nasce la Meccanica Computazionale.
• Necessità di ricondurre il problema ad un numero finito di gradi di libertà (discretizzazione) in modo da consentire la formulazione algebrica e l’utilizzo della notazione matriciale.
• Necessità di sviluppare una procedura ripetitiva che possa venir tradotta in algoritmi e dunque in software.

Cenni alla storia del FEM

• Evoluzione di metodi di discretizzazione “manuali” come quello di Rayleigh-Ritz e quello di Galerkin per trasformare il problema differenziale in un algebrico.
• La nascita del metodo può essere fatta risalire al 1903, con la formulazione teorica di Study.
• Sostanziale riutilizzo di concetti teorici di largo utilizzo (metodi dell’equilibrio e della congruenza, notazione matriciale).
• Trova effettiva applicazione pratica solo dopo il 1954, anno in cui IBM sviluppa il FORTRAN, il primo linguaggio di programmazione ad alto livello.

Differenti approcci al FEM

FEM è l’acronimo del metodo agli elementi finiti. Nella maggior parte dei codici commerciali il metodo degli elementi finiti fondamentalmente fa riferimento al metodo degli spostamenti, però non è l’unica opzione, c’è la possibilità di sviluppare elementi finiti anche basati sul metodo delle forze o anche dei metodi misti che mischiano il metodo delle forze e il metodo degli spostamenti.

Metodo delle forze (o della congruenza, o della flessibilità)

Scelta delle incognite Equazioni risolutive matrici utilizzate

Metodo degli spostamenti (o dell’equilibrio, o della rigidezza)

Esempio Si vuole realizzare una lastra piana o rettangolare, appoggiata su due lati e libera sugli altri due (potrebbe essere un solaio) e si vuole analizzare come si comporta in modo strutturale, solitamente sotto effetto di carichi che in questo caso non abbiamo o sotto effetto del peso proprio.

• Passo 1: suddivisione della struttura continua in elementi connessi fra loro nei nodi

  La lastra sarà una struttura continua ovvero ogni punto è sede di materia ma soprattutto vuol dire che le equazioni differenziali che governano il comportamento di questa struttura sono funzione continua del punto, cioè in ogni punto di coordinate x e y valgono e se si è in grado di risolverle analiticamente si ottiene una soluzione che ci dice per ogni coppia x e y quanto vale lo spostamento in direzione z, quanto vale lo sforzo ecc. Solitamente quando si risolve un problema di analisi strutturale si è interessati alla valutazione degli spostamenti, delle deformazioni e degli sforzi che si hanno in una struttura a fronte di alcune situazioni di carico. Si va a suddividere la lastra in tanti sottodomini, che in questo caso sono 9 rettangoli, in cui ognuno di questi viene chiamato elemento e i pallini rossi vengono chiamati nodi. La figura che vediamo a destra sarebbe la mesh. Momentaneamente ci si disinteressa di conoscere la soluzione in tutti i punti della struttura ma si concentra l’attenzione su alcuni punti, punti di controllo o nodi, perché stiamo facendo riferimento al metodo degli spostamenti. Una volta noto lo spostamento nei nodi si andrà poi a ricavare la deformazione e lo sforzo. Si parla di struttura discretizzata perché anziché conoscere la funzione spostamento come funzione continua del punto, ci si accontenta di conoscere la funzione spostamento soltanto in alcuni punti (nodi) per i quali vogliamo conoscere lo spostamento, per esempio lo spostamento trasversale se immaginiamo che questa sia una lastra inflessa. Quindi in questo passo si è ottenuta una mesh e si è stabilito quali sono i punti di controllo, ovvero si è diviso il dominio in elementi fondamentalmente attraverso i nodi.

• Passo 2: definizione delle grandezze incognite solo nei nodi

  Ragionando sull’elemento evidenziato, si rinuncia a sapere qual è la soluzione vera all’interno dell’elemento e se si riesce ad ottenere quanto vale lo spostamento nei nodi, facciamo noi un’assunzione/ipotesi su come varia lo spostamento all’interno del dominio. Ad esempio se riesco a sapere quanto valgono gli spostamenti dei 4 nodi poi quanto vale lo spostamento dentro ci mettiamo noi una funzione, ovvero sarà dato dall’interpolazione dei valori che ho nei nodi, però bisogna fare attenzione perché non è detto che sia così. Fare questa ipotesi, ovvero stabilire a priori come va lo spostamento all’interno del generico elemento a base di valori nodali, fondamentalmente consente di esprimere il comportamento meccanico del generico elemento con un sistema di equazioni algebriche e non più equazioni differenziali delle derivate parziali, quindi ci semplifichiamo il problema.

  Nella struttura continua gli spostamenti incogniti sono funzioni della posizione (infinito numero di valori). Nella struttura discretizzata gli spostamenti incognite sono un numero finito (quelli nei punti deboli).

• Passo 3: interpolazione dei valori nodali a livello di elemento
• Passo 4: ricostruzione della struttura globale tramite assemblaggio degli elementi

  Per ognuno di questi 9 elementi ho un sistema di equazioni algebriche che dice come variano gli spostamenti nei 4 nodi in funzione delle forze che posso applicare ai 4 nodi però attenzione, perché ad esempio l’elemento in basso a sinistra condivide nodi con gli elementi adiacenti e quindi non è che gli spostamenti e anche le forze che ho nei nodi sono avulse dagli altri elementi, ma devono avere una giusta relazione. Quindi bisogna dire ai singoli elementi che fanno parte di una singola struttura e questo lo si fa attraverso l’assemblaggio. Si ottiene un sistema di equazioni le cui incognite sono gli spostamenti nodali.

• Passo 5: soluzione della struttura nelle variabili nodali incognite

  Questa è una possibile deformata. Otteniamo gli spostamenti dei nodi poi riutilizziamo l’ipotesi che già avevamo introdotto in precedenza per vedere come vanno le cose all’interno dell’elemento (tra nodo e nodo). La soluzione termina con la valutazione degli spostamenti dei nodi e successivamente si passa alla fase di post processing, ad esempio ottenere la deformata. Risolvendo il sistema si ottengono le incognite nodali. Tramite le funzioni di interpolazione è possibile conoscere i valori (approssimati) degli spostamenti anche negli altri punti. Se lo spostamento è continuo la compatibilità non sarà violata. La congruenza richiede che lo spostamento sia continuo perché devo poterlo derivare e ricavarmi poi di conseguenza deformazioni e sforzi.

• Passo 6: dagli spostamenti nodali si ricavano le grandezze secondarie a livello di elemento

  Una volta costruito un campo di spostamenti è possibile calcolare, a livello di elemento, altre grandezze secondarie (ma fondamentali per la pratica ingegneristica!) ovvero le deformazioni e gli sforzi.

Passi del metodo

1. Decomposizione della struttura continua in elementi (discretizzazione).
2. Definizione delle incognite (e.g. spostamenti) solo in un numero finito di punti (nodi), quindi a questo punto si è stabilita la mesh.
3. Interpolazione dei valori nodali a livello di elemento (approssimazione tramite le funzioni di forma) ovvero si stabilisce qual'è la rappresentazione dello spostamento sul generico elemento. Con questo si passa, per un generico elemento, da equazioni governanti di natura differenziale a equazioni di natura algebrica.
4. Assemblaggio degli elementi nella struttura intera.
5. Soluzione del sistema di equazioni nelle variabili primarie (e.g. spostamenti).
6. Si plottano gli spostamenti (deformata) e si fa il calcolo delle variabili secondarie a livello di elemento (post processing), che si ottengono derivando, che sono deformazioni e sforzi.

Ciò che non può essere violata nel metodo degli spostamenti è la congruenza. Si cerca tra le infinite configurazioni congruenti/compatibili che una struttura può avere, quell’unica che è anche equilibrata e così ottengo la soluzione. Le funzioni che si adottano su ogni elemento per interpolare lo spostamento sull’elemento ma devono essere tali per cui quando si mettono insieme due elementi, un lato comune, su questo lato se identifico gli spostamenti dei nodi, su tutto il lato lo spostamento deve essere lo stesso da una parte e dall’altra perché deve essere garantita la continuità dello spostamento quindi la compatibilità. Ricordiamoci che bisogna poter ottenere dallo spostamento la deformazione e se non ho continuità la funzione dello spostamento non è più derivabile e quindi la deformazione in alcuni punti non la posso più ottenere. Se lo spostamento è continuo, la deformazione la posso ottenere ma non è detto che la stessa sia continua perché se avessi una cuspide quando si deriva la deformazione potrebbe essere diversa da una parte all’altra. Attenzione perché può succedere che la distribuzione di deformazione e di sforzo sia affetta da dei salti tra un elemento e l’altro (come si vede nella figura del passo 6), in questo caso localmente c’è una violazione dell’equilibrio, senza la presenza di una forza concentrata, poiché la violazione locale dell’equilibrio è fisiologica nel metodo degli spostamenti. Quindi per la compatibilità non si fanno sconti mentre sull’equilibrio localmente è ammesso che ci sia deroga.

Un metodo democratico

Viene chiamato metodo democratico perché per quello che abbiamo detto, anche se l’abbiamo fatto su un problema a sviluppo bidimensionale (lastra inflessa), in realtà il flusso delle operazioni è lo stesso anche se si tratta di elementi monodimensionali (travi o bielle) o anche elementi tridimensionali. L’unica differenza, ad esempio per elementi 3D, sarà quella di dividere l’oggetto, non in tanti rettangoli, ma in tanti cubi o se ad esempio fosse un sistema di travi verrebbe suddivisa in tante sottotravi. Il vantaggio di questo metodo è la sua generalità.