Appunti di Calcolo automatico

PLANE BEAMS (TRAVI PIANE)

Parliamo del modello di trave chiamato alla Eulero-

bernoulli, che sono le travi non deformabili a taglio

quindi questo rettangolo azzurro lo modelliamo con

la sua linea d’asse, che va dalla sezione iniziale alla

sezione finale, in configurazione indeformata in cui

ad ogni punto della linea d’asse è associata una

sezione trasversale. In configurazione indeformata la

linea d’asse la segniamo rettilinea e la sezione

trasversale ortogonale alla linea d’asse, a seguito della deformazione la linea d’asse subisce sia delle

traslazioni rigide, delle rotazioni rigide e delle inflessioni, quindi nasce una curvatura e nel modello di trave

Eulero-Bernoulli non essendo rivista la possibilità di sviluppare deformazione tagliante, si ha che la rotazione

della linea d’asse e la rotazione della sezione coincidono in modo tale che la sezione trasversale si mantenga

ortogonale alla linea d’asse anche in configurazione deformata. Quindi in una trave alla Eulero-Bernoulli la

sezione trasversale rimane sempre ortogonale alla linea d’asse, di fatto conoscere nel generico punto la

rotazione della linea d’asse o conoscere la rotazione della sezione è la stessa cosa perché si mantengono

sempre ortogonali.

In linea ipotetica potremmo avere 3 gradi di libertà per nodo

completamente disgiunti, perciò la generica sezione può

traslare orizzontalmente, traslare verticalmente e ruotare. Il

generico punto della sezione trasversale, a seguito di questi 3

spostamenti globali della sezione passa da una posizione ad

un’altra, con d indichiamo lo spostamento che ha il generico

punto della sezione trasversale.

In questo momento per semplicità puntiamo l’attenzione sulla sezione che ha 3 gradi di libertà, ovviamente

questo è valido per ogni sezione, se siamo interessati a descrivere il comportamento della generica asta con

quello che succede alle due sezioni di estremità (la 1 e la 2) avremo che per ogni sezione di estremità potremo

definire questi 3 gradi di libertà u, v, θ. Dualmente, come sempre dualità cinematica statica, avremo 3

possibili forze che possiamo applicare sulle due sezioni che sono una forza orizzontale, una forza verticale e

una coppia. Quindi abbiamo tre gradi di libertà nella sezione di sinistra e 3 in quella di destra e

complessivamente avremo 6 gradi di libertà raccolti in questo vettore:

Nel caso della biella abbiamo ricavato la relazione che legava le forze che si sviluppano agli estremi della

biella per effetto degli spostamenti dell’estremità e questa è la matrice di rigidezza, per quello che abbiamo

visto cambierà sicuramente la dimensione, 6 gradi di libertà con matrice di rigidezza 6x6. Perciò

fondamentalmente si deve calcolare la matrice di rigidezza 6x6 seguendo la stessa strada che abbiamo visto

nel caso della biella, ovvero sia per via diretta, applicando la definizione di rigidezza, in cui gli elementi della

i-esima colonna della matrice di rigidezza sono costituiti tra la distribuzione di forze che devo applicare in

corrispondenza dei diversi gradi di libertà per avere che si sviluppi una configurazione nella quale i-esimo

spostamento ha valore unitario e tutti gli altri hanno valore nullo. Per esempio se voglio valutare la prima

è pari a 1 mentre

colonna della matrice di rigidezza devo applicare una configurazione di spostamenti dove u

1

tutti gli altri sono pari a zero e bisogna valutare quali sono le forze che devo avere agli estremi affinché si

possa avere u = 1 e tutti gli altri uguali a zero.

1

Qui si ha il risultato finale e un paio di schemi strutturali con i quali si calcola per esempio con lo schema di

sinistra la seconda colonna. Nello schema di sinistra si ha nodo 1 e nodo 2, abbiamo applicato uno

spostamento v nel nodo 1 unitario, gli altri spostamenti sono tutti nulli, non c’è spostamento assiale e non

c’è rotazione, cioè volendolo vedere come siamo abituati per scienza delle costruzioni è come se fosse un

problema dove c’è un incastro cedevole con cedimento vincolare assegnato e dobbiamo valutarne le reazioni

vincolari che nascono, chiaramente qui è riportata solo metà matrice essendo simmetrica. Con lo schema di

destra riusciamo a calcolare la terza colonna della matrice di rigidezza; la volta scorsa c’era solo il

comportamento assiale, mentre adesso oltre a quello assiale si aggiunge quello flessionale e un’ulteriore cosa

che emerge in questo caso è che il comportamento assiale e quello flessionale sono disaccoppiati ma

coesistono. L’approccio per il calcolo della matrice di rigidezza è generale, non è che necessariamente

prevede di trascurare la deformabilità tagliante (Eulero-Bernoulli). In questo caso la matrice di rigidezza è

simmetrica, si ha rango pari a 3 (6 dimensione matrice – 3 moti rigidi = 3).

Transformation matrix

Nel caso della biella abbiamo ricavato la matrice di rigidezza nel sistema di riferimento locale di ogni biella,

dopodiché abbiamo riportato tutte le espressioni ricavate a un medesimo sistema di riferimento strutturale

o globale. La cosa è del tutto analoga qui, quindi ci sarà la necessità di riportare queste espressioni, che

valgono in un sistema di riferimento locale a un sistema di riferimento globale, unico per la struttura.

La relazione a sinistra trasforma gli spostamenti mentre la relazione a destra trasforma le forze nodali, da

ricordarsi che con il sopra segno siamo nel locale mentre senza sopra segno siamo nel globale. L’operatore

che ancora ci permette di fare questa trasformazione è T che è del tutto analogo a quello visto per le bielle,

salvo che nelle bielle mancavano le θ, quindi ci sono le rotazioni in più da gestire ma le rotazioni

fondamentalmente avendo asse vettore ortogonale al piano non risente di questa eventuale rotazione d’assi

nel piano, perciò θ e θ segnato coincidono.

Frames

A questo punto sono pronto a trattare un generico telaio per esempio questo, in cui avrò bisogno di un

elemento trave dal nodo 1 al nodo 2, un altro elemento trave dal nodo 2 al nodo 3 e un altro elemento trave

dal nodo 3 al nodo 4, quindi complessivamente avrò 3 elementi trave in cui potrò caricarli come voglio, potrò

vincolarli come voglio. Mi ricavo tutto al riferimento locale per la trave 1, la trave 2 e la trave 3 poi riporto

tutto al riferimento globale e poi assemblo, alla fine la matrice di rigidezza del sistema assemblato sarà una

12x12, perché ho 4 nodi con ognuno 3 gradi di libertà.

Loads between nodal points

La scorsa volta avevamo tralasciato la possibilità di avere carichi distribuiti, ma avevamo solo lavorato con

forze che potevano essere applicate nei nodi. In realtà sulle travi è abbastanza comune avere dei carichi

distribuiti, il classico carico trasversale che tipicamente viene chiamato q e immaginiamo ci possa essere

anche un carico distribuito assiale che possiamo chiamare p.

L’espressione S = Kq ci dà informazioni su quali sono le forze che si sviluppano all’estremità della trave per

effetto degli spostamenti delle estremità medesime, cioè deformare la trave per avere certi spostamenti

dovrò avere applicate certe forze.

We can apply fictious external constraints by clamping the nodes and compute the fixed end reaction forces.

In questo caso ho una trave in cui ci sono dei carichi

distribuiti e ho applicato due incastri quindi non ci

saranno spostamenti, perciò agli estremi si

svilupperanno delle forze per reazione degli

incastri. Si ha una situazione nella quale

nonostante gli spostamenti siano nulli (q=0) però ci

sono delle forze, quindi per trattare i carichi

distribuiti devo gestire questa possibilità di avere delle forze all’estremità non nulle, anche

in presenza di q = 0, allora arricchisco l’espressione S = Kq di un ulteriore termine:

Questo r sono le reazioni di incastro perfetto (presenti nello schema) che derivano

dall’eventuale presenza di carichi distribuiti, perciò sovrappongo gli effetti e ho che S può

essere dovuta o alla presenza di spostamenti quindi di una vera e propria deformazione

globale della trave o alla presenza di carichi distribuiti. Quindi in conclusione non si possono

sviluppare forze nodali agli estremi ai nodi o per effetto della presenza dei nodi medesimi, quindi

deformazione globale della trave o per effetto dei carichi o per entrambi gli effetti che si sommano.

Qui sotto abbiamo una tabellina di reazioni d’incastro perfetto per vari tipi di carichi:

Another way to reinterpret the relation: apply fictious external constraints by clamping the nodes and

compute the fixed end reaction forces. Then we remove the fictious constraints by applying to the nodes

loads that are equal and opposite to the fixed-end forces.

Spesso anziché lavorare con il vettore r si lavora con il vettore g che è definito come -r, cioè si hanno le

reazioni d’incastro perfetto cambiate di segno, come abbiamo visto in questo esempio.

Assembly

Abbiamo arricchito un po’ l’espressione che correla le forze nodali agli spostamenti nodali, tenendo in conto

ora anche dei carichi distribuiti, apparte questo il resto è del tutto analogo a quanto già visto.

La F è il vettore delle forze, dove all’interno in parte sono note ovvero i carichi e in parte saranno incognite

che sono le reazioni vincolari, quelle note potrebbero essere in parte delle forze applicate ai nodi e in parte

derivare dal carico distribuito quini derivare dalle reazioni per gli incastri perfetti.

Esempio

Si hanno due travi, globalmente 3 nodi, poi si ha un carico distribuito q nella trave 1 e nel nodo 2 si ha un

carico concentrato P, come reazioni vincolari abbiamo una cerniera e un incastro. A livello locale sulla trave

1 è diverso da zero il vettore g mentre nella trave 2 il vettore g è nullo perché non c’è un carico distribuito.

Dopodiché abbiamo i 3 vettori da 9 componenti, in cui F vista prima deriva dalla somma di questi due f, dove

il vettore f contiene solo la forza concentrata in posizione di spostamento verticale de nodo 2, poi si ha g

C

della trave 1 e g della trave 2 che è tutto nullo e poi c’è il vettore delle reazioni vincolari f che è nullo dove

r

non ci sono vincoli ed è incognito dove vi sono i quadratini blu.

Se invece ad esempio il carico concentrato agisse a metà della trave 1:

Per risolverla o dovremmo fare riferimento alla tabella di prima con i vari schemi o si va a considerare il punto

in cui è applicato il carico concentrato come un nuovo nodo della struttura:

Quindi dividere la trave superiore in due travi allineate.

Strain Energy of deformation (saltato perché già tr