Appunti di Calcolo automatico - Parte 2

I

termine cerchiato diventa il contributo di carico che vediamo se passiamo in un contesto dinamico, mentre

al contorno nulla cambia rispetto a quello scritto in statica. Il legame costitutivo anche questo è scritto tal

quale a quello che abbiamo visto in regime statico, la grande differenza del passaggio dalla statica alla

dinamica riguarda la presenza delle condizioni iniziali, all’istante zero è assegnato il valore dello spostamento

e il valore della sua derivata prima, ovvero sia della velocità. La vera novità è la I, la matrice d’inerzia che ora

andremo a vedere.

La matrice di inerzia per la trave - Timoshenko

La matrice di inerzia è scritta in forma generale e poi esplicitata per il caso, ad esempio, della trave alla

Timoshenko. In forma generale, u è il vettore che raccoglie gli spostamenti generalizzati, mentre d è il vettore

che raccoglie gli spostamenti del continuo genitore, il legame tra i due è dato dall’operatore di vincolo A. In

questo caso le forze d’inerzia se le valutiamo sul continuo genitore assumono la forma b , che è data dalla

I

densità di massa per l’accelerazione di due punti, con il segno meno perché si oppongono al moto in qualche

modo.

Abbiamo l’equivalenza energetica tra il lavoro delle forze d’inerzia valutato sul modello perché abbiamo il

lavoro delle forze d’inerzia per gli spostamenti generalizzati, mentre il termine a destra dell’uguale è l’analogo

lavoro delle forze d’inerzia valutato sul continuo genitore, vediamo che c’è equivalenza. Andiamo a fare le

opportune sostituzioni e il termine all’interno della parentesi è proprio la matrice d’inerzia, ci viene fuori che

f è uguale a tutto quello tra parentesi che sarebbe I per u due punti, tutto con segno meno, che è lo stesso

I

termine cerchiato in rosso visto nell’equilibrio dinamico. Quindi dalla matrice d’inerzia andiamo a sostituire

2

la A, sviluppiamo il prodotto e ci verrà una matrice 3x3, in cui ci sono gli 1 sulla diagonale e un y e i -y, quando

2

facciamo l’integrale sulla sezione i contributi dove c’è l’1 diventa ρA, la y sull’area della sezione è il momento

d’inerzia, l’integrale di y è il momento statico, ma visto che gli assi sono baricentrici è nullo. Ricavata la

matrice di inerzia per la trave alla Timoshenko, in corrispondenza dei gradi di libertà u e v, quindi delle

traslazioni, il contributo inerziale è associato a ρA, cioè è la massa per unità di lunghezza della trave, perciò

associato alle traslazioni si ha la massa e associato al grado di libertà rotazionale si ha ρI che è il momento

d’inerzia. A questo punto si è riformulato il problema e si vuole sviluppare un modello agli elementi finiti.

Il metodo degli elementi finiti – formulazione agli spostamenti in dinamica

che sarà data dalla differenza tra f e f , è come

A differenza della statica in questo caso utilizzeremo una f

eff I

se immaginassimo di riscrivere l’equazione di equilibrio dinamico come D*s uguale a forze efficaci.

Chiaramente abbiamo anche la dipendenza dal tempo in cui nella forza è stata esplicitata, perché non solo le

forze di inerzia ma anche i carichi di campo possono dipendere dal tempo e di conseguenza la dipendenza

dal tempo la troviamo anche nello spostamento, che è anche funzione dello spazio.

La u decidiamo di rappresentarlo come prodotto delle funzioni di forma, che sono le stesse che utilizzavamo

in statica, N(x), che sono delle funzioni che ci dicono come varia lo spostamento sul dominio dell’elemento,

sono funzioni solo dello spazio, che vengono moltiplicate per q(t) vettore dei parametri nodali che dipendono

dal tempo, quindi in u si fa una sorta di separazione delle variabili. Con questa assunzione andiamo nel

principio dei lavori virtuali e facciamo tutto quello che abbiamo già fatto in statica:

La M ricavata è quella che prende il nome di matrice delle masse o matrice delle masse consistente, il nuovo

ingrediente che si vede in dinamica nella formula incorniciata è Mq(due punti), il contributo delle forze

d’inerzia. La matrice delle masse viene definita consistente perché questa matrice delle masse che viene fuori

in maniera diretta con la rappresentazione assunta per lo spostamento, perché come vediamo è costruita a

base di N e le N sono le matrici della funzione di forma assunte per lo spostamento. Mentre in statica bisogna

assemblare solo la k, in dinamica bisogna assemblare anche la M, si assembla allo stesso modo della k.

Esempio trave alla Eulero Bernoulli (2D)

Ora andiamo a vedere quello appena detto su un semplice esempio, in particolar modo su una trave su una

trave alla Eulero Bernoulli sempre in regime piano.

Se puntiamo l’attenzione unicamente sulla parte flessionale, il generico elemento di trave ha 4 gradi di libertà

perché ho due nodi in cui in ogni nodo ho come grado di libertà lo spostamento trasversale e la sua derivata

prima ovvero sia la rotazione, da ricordarsi che la trave alla Eulero Bernoulli per garantire la continuità di

1 devo introdurre le derivate prime dello spostamento trasversale tra i parametri nodali e questo mi

ordine C

conduce alla possibilità di utilizzare le funzioni di forma Hermitiane, che sono le cubiche che vediamo

riportare in figura in rosso. Si ha v che è l’unica variabile rappresentata come Nq, in cui q è il vettore che

raccogli i 4 gradi di libertà, N è la matrice della 4 funzioni di forma, in dinamica i q possono variare nel tempo.

Essendo v l’unica variabile, lo spostamento trasversale, quindi la matrice d’inerzia è uno scalare ed è ρA,

essendo l’unico contributo associato alla v, che viene chiamata anche m perché è una massa per unità di

lunghezza della trave. Avendo tutte le espressioni, possiamo applicare la definizione di matrice delle masse

consistente, M , e sviluppare i semplici integrali.

ij

Trave alla Eulero Bernoulli deformabile assialmente (2D)

Se c’è anche la parte assiale rispetto a prima, non cambia molto, l’unica cosa è che per la parte assiale non è

necessario il requisito di continuita di ordine superiore come per la parte flessionale, visto che la

deformazione assiale è definita come derivata prima dello spostamento assiale, quindi i gradi di libertà

aumentano di numero perché oltre a v e θ, c’è u, e dobbiamo rappresentare lo spostamento assiale con delle

normali funzioni langragiane e anche con delle funzioni di forma lineari. La matrice I diventa una vera e

propria matrice e il contributo inerziale associato alla traslazione assiale è del tutto analogo al contributo

inerziale associato alla traslazione in direzione trasversale. Come già in statica, anche in dinamica, la parte

assiale e quella flessionale rimangono disaccoppiate.

Matrice delle masse concentrate (lumped)

In dinamica è abbastanza sentito il tema dell’onere computazionale in quanto la soluzione di un problema

dinamico è un po’ più onerosa di un problema statico, che sia essa una soluzione associata solo all’analisi

modale o dovesse essere una soluzione associata alle valutazioni delle time history dell’evoluzione della

risposta, e tutto ciò richiede qualche calcolo in più che coinvolge anche la matrice delle masse e non più

soltanto la matrice di rigidezza. Tutto ciò porta ad una maggiore sensibilità verso il tema dell’onere

computazionale e quindi una maggiore propensione a cercare, dove non costituisca un’approssimazione

eccessiva, di lavorare con matrici delle masse un po’ più snelle. Prendere la matrice di rigidezza e

diagonalizzarla facendo un po’ di assunzioni ragionevoli abbastanza brutali, creerebbe una risposta

strutturale troppo grossolana, mentre sulla matrice delle masse il cui ruolo è quello di dare conto di quelli

che sono gli effetti inerziali, c’è un po’ più margine di manovra, cioè si può pensare di costruire delle matrici

delle masse concentrate (lumped) che abbiano la forma diagonale e che comunque diano un’informazione

riguardo il contributo inerziale, che risulti in ogni caso ragionevole. Se confronto il risultato che posso

ottenere e quindi l’accuratezza del risultato a base delle matrici di base consistente, con la soluzione del

problema dove la matrice delle masse la si è costruita diagonale, è ovvio che si avrà un deterioramento

dell’accuratezza però se faccio le cose in maniera ragionevole questo deterioramento potrebbe non essere

così drammatico e viceversa si guadagna dal punto di vista dell’onere computazionale. In questo esempio

l’idea è di concentrare la massa nei nodi, quindi anziché considerarla una massa distribuita sarà concentrata

nei nodi, quindi meta massa nel nodo 1 e meta massa nel nodo 2, perciò le posizioni associate ai gradi di

libertà traslazionali sono la 1 e la 3, quindi è come se avessi ml/2 in entrambi i nodi che viaggiano

disaccoppiate l’una con l’altra perché fuori diagonale si ha tutto zero, cioè se ci si muove il nodo 1 è come se

metà trave traslasse, movimentando una massa che è la metà, e stessa cosa potrebbe capitare per il nodo 2.

E’ chiaro che questa cosa non è vera perché le deformate prevedono continuità, nel modo che abbiamo fatto

è come se spezzassimo in due la trave, in cui metà si sposta con il nodo 1 e metà si sposta con il nodo 2, dal

punto di vista però soltanto del contributo inerziale.

Costruendolo con buon senso ingegneristico, una possibilità è quella di associare a ogni nodo una barra rigida

che è lunga metà della trave che ruota solitamente con il nodo e quindi se nel nodo si sviluppa una rotazione,

3

/12, perciò nelle

mi si sviluppa un’inerzia rotazionale, allora il momento d’inerzia di questa barra rigida è mL

posizioni 2 e 4 della matrice inserisco questi due contributi. L’approccio con le masse consistenti include gli

effetti sia dell’inerzia traslazionale che di quella rotazionale. L’accortezza è che la somma delle masse nodali

associate con dei gradi di libertà traslazionali in ciascuna direzione eguagli la massa totale dell’elemento cioè

devo stare attento non alterare la massa complessiva. Spesso soltanto gli effetti dell’inerzia traslazionale

sono considerati e quindi le componenti delle matrici delle masse che corrispondono alle rotazioni nodali

sono omesse e in questo caso non c’è inerzia rotazionale e non c’è nessun accoppiamento tra i dive