Appunti di Biofisica

BIOFISICA

Appunti del corso del prof. Stefano Zapperi

a cura di Matteo Tajana

2020 Pagina lasciata intenzionalmente vuota.

Documento redatto orgogliosamente con in L TEX.

A

© Matteo Tajana. È vietato distribuire il seguente materiale senza il permesso dell’autore.

Indice

1 Perché: i numeri della biologia 1

1.1 I modelli in biofisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Cosa e dove 4

2.1 E. coli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Le cellule e le loro strutture interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Quando: cronometri su scale diverse 8

3.1 Il dogma centrale della biologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Il ciclo cellulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Alcune scale temporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4 Crescita e competizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4.1 Modelli epidemiologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4.2 Branching models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Equilibrio termico e meccanico nella cellula 13

4.1 Equilibrio meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Energia libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Equilibrio termodinamico e metabolismo delle cellule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Meccanica statistica 18

5.1 Soluzioni chimiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Reazioni chimiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3 Un modello per la polimerizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Sistemi a due stati 24

6.1 Ensemble gran canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Random walk e modelli conformazionali 28

8 Teoria delle travi 34

8.1 Teoria dell’elasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.2 Competizione tra energia elastica ed entropia: worm-like chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.3 Instabilità di buckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.4 Microtubuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9 Le membrane cellulari 46

10 Idrodinamica 52

11 Rate equations 55

11.1 Un altro modello per la polimerizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11.2 Instabilità dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

12 Motori molecolari 63

© Matteo Tajana, Università degli Studi di Milano

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© Matteo Tajana, Università degli Studi di Milano

Biofisica 1

Sopra, la doppia elica del DNA. Sotto a sinistra, accoppiamento di basi mostrando i legami idrogeno

Figura 1:

accettori (A) e donatori (D), e le dimensioni dei diversi gruppi metili e atomi di idrogeno (grandi e piccoli

asterischi). A destra, le tre conformazioni tipiche del DNA: doppia elica A, B e levogira Z (ordinate a scendere).

Tutte le rappresentazioni sono di D. Goodsell.

1 Perché: i numeri della biologia

Iniziamo la descrizione qualitativa della cellula. Ci sono varie probabilità su come poterlo fare. La prima

possibilità è quella di andare alla descrizione atomica, e possiamo dire che tutti i processi viventi sono carat-

O, N, P, H e C. È tutta questione di assemblare con cinque ingredienti un sistema

terizzati da cinque atomi:

estremamente complesso. Cambiando scala, diciamo che abbiamo quattro grandi classi di macromolecole: aci-

di nucleici (DNA e RNA), proteine (emoglobina, . . . ), i lipidi (componenti principali delle membrane) e infine

i carboidrati (che vengono usati come fonte di energia).

Esistono poi dei linguaggi che ci spiegano come avviene il passaggio dell’informazione all’interno della

cellula. Ci sono quindi degli alfabeti veri e propri, come quelli degli acidi nucleici con quattro lettere (i

nucleotidi) che formano le parole (codoni) che a loro volta fanno le “frasi” (cioè i geni). Le proteine sono

composte da amminoacidi—che possiamo considerare lettere continuando con l’analogia sintattica—che messi

assieme formano le parole (α-eliche e che poi fanno le proteine stesse una volta assemblate fra di

β-strands)

loro.

I codoni sono semplici macromolecole (lettere di base di questo alfabeto: adenina, timina, guanina e cito-

sina) che messe assieme con legami forti e deboli formano il DNA, una doppia elica—struttura di equilibrio.

Le dimensioni sono di circa 2 nm per la doppia elica, mentre 0.34 nm è la distanza tra due nucleotidi. Altra

questione interessante sono gli accoppiamenti tra le basi: A-T e C-G (legami a idrogeno)—Fig. 1. Le code 3’ e

5’ ci dicono “in quale verso” vada letta la frase espressa dal DNA.

Abbiamo un codice genetico a partire da queste quattro lettere. Queste vengono poi codificate/trascritte in

un’altra macromolecola: l’RNA (copia precisa del DNA) che viene poi tradotto in una proteina. Come? L’RNA

viene copiato in maniera speculare al DNA, con la differenza che la T viene sostituita dalla U (uracile), ma

il discorso non cambia. Questa molecola poi ha le istruzioni per generare le proteine codice che associa

→

ad ogni nucleotide un significato. La parola essenziale all’interno del DNA è una tripletta di codoni. Ad

esempio, AGG è l’istruzione per la sintetizzazione dell’arginina (un amminoacido). Attenzione che uno stesso

amminoacido può essere sintetizzato a partire da sequenze diverse: più triplette possono essere associate ad

uno stesso amminoacido. Il vantaggio è che così usiamo tutte le triplette, e in caso di mutazione il sistema

è “robusto”: non sempre si hanno effetti sulla proteina in caso di errori. Inoltre ci sono triplette che non

corrispondono a nessun amminoacido, ad esempio UGA segnale di STOP (Fig. 2).

→

Abbiamo il codice genetico che ci dà le istruzioni per fare una determinata proteina. Ci si pone una do-

manda: quante proteine bisogna fare? Per questo dobbiamo parlare della suddetta espressione e repressione

dei geni: non tutti i geni vengono tradotti in proteine, e la quantità di queste cambia. Esiste un tipo di pro-

teine che attiva/blocca la trascrizione del gene. Come avviene questo processo di attivazione/repressione?

; M<

2 Biofisica

Trasformando la proteina attaccandoci un pezzo “fluorescente” possiamo vedere illuminandola quanta ce n’è:

si modifica un gene e lo si rende fluorescente per osservarlo. Se è repressa ne vedremo un segnale più debole.

Tipicamente l’attivazione avviene attaccando delle proteine all’inizio della zona di trascrizione, in modo tale

che attragga l’RNA che avvia la trascrizione rete di regolazione. Per la repressione, allo stesso modo, si

→

attacca una proteina che impedisce all’RNA di attaccarsi. Solitamente questo avviene formando dei loop che

rendono inaccessibile la zona interna—cfr. Sec. 7.

Non sappiamo come si forma un organismo complesso (anche “semplice” come un batterio): ci serve capire

quante proteine vanno codificate. Inoltre solo una piccola parte del DNA serve per codificare le proteine: ci

sono delle zone che non si sa ancora cosa facciano. La sfida del futuro è cercare di capire meglio come viene

regolato il DNA: abbiamo capito come funziona l’alfabeto e come si formano le parole. Le frasi sono ancora un

mistero.

1.1 I modelli in biofisica

Il DNA è interessante dal punto di vista modellistico, e ci chiediamo come possiamo farne una modellizzazione

matematica/fisica. Come tutti i modelli dipende dal fenomeno che vogliamo studiare. Ci sono più modelli di

per esempio dal punto di vista delle sequenze ci interessa

DNA a seconda del sistema che vogliamo osservare:

solamente un modello a 4 lettere, con i quattro nucleotidi, e possiamo farne un’analisi statistica. Oppure

possiamo avere come sistema quello di sito di legame dell’RNA-polimerasi in questo caso ci interessano

→

solamente le posizioni dei siti di legami, e andremo ad analizzare le interazioni tra queste e l’RNA-polimerasi.

Ancora possiamo interessarci a come le catene di DNA interagiscono tra di loro andremo quindi a vedere

→

le forze coulombiane tra le catene, trattate come polimeri carichi. O ancora possiamo prendere un polimero

elastico se ci interessano le deformazioni del DNA, lo interpretiamo come insieme di molle. Infine, se andiamo

a lunghezze più grandi, l’elasticità è meno importante e prevalgono le fluttuazioni termiche all’interno del

nucleo cellulare modello tipo random walk (RW).

→ che hanno modelli ancora più complessi del

Questi modelli possono essere applicati anche alle proteine,

DNA. Anche qui possiamo vederla come sequenza, ma di amminoacidi anziché basi. Oppure possiamo analiz-

zare il modello HP, con zone idrofobiche e idrofiliche. Oppure possiamo considerare la proteina come insieme

di strutture secondarie: e Tipicamente la proteina non è un filamento ma ha una struttura

α-eliche β-strands.

propria tendenzialmente globulare (problema complesso), che può essere vista come un RW compatto, con

interazioni diverse a seconda della zona sul reticolo. Sulla scia di questi modelli fisici di rappresentazione

delle proteine possiamo fare dei modelli atomistici, in cui consideriamo tutti gli atomi che compongono una

proteina e ne facciamo una simulazione di dinamica molecolare (folding della proteina). Il problema è estre-

mamente complesso (ci sono tanti atomi. . . ), e le proteine tipicamente vivono in ambiente acquoso, e bisogna

considerare anche le molecole acqua che influisce sulla forma stessa delle proteine (interazioni idrofobiche e

idrofiliche) potenziali efficaci che tengono conto di queste interazioni. Possiamo anche scendere nell’altra

→

direzione e vedere la proteina dall’esterno, osservandola interagire con l’ambiente recettori che rispondono

→

a segnali esterni, affinità delle proteine. Infine possiamo vedere le conformazioni delle proteine, che possono

cambiare sistemi a 2 stati, in cui possono usare uno spin/bit che cambia con una certa probabilità.

→

Come facciamo a sapere che queste sono le strutture delle proteine? Ci sono dei metodi sperimentali

molto complessi (raggi X, microscopia elettronica a bassa temperatura, NMR. ) che ci permettono di fare

. .

“fotografie” delle strutture delle proteine. formate da

Si può fare lo stesso discorso sui vari modelli anche alle membrane biologiche cellulari,

un doppio strato di lipidi, un foglio che copre la superficie della cellula. Possiamo vedere le proprietà di

deformazione di queste membrane fluttuazioni elastiche con superfici random. Oppure possiamo essere

→

interessati alle proprietà elettrostatiche della membrana, come questa reagisce agli stimoli esterni circuito

→

RC. Un altro aspetto interessante che vedremo sono gli effetti di osmosi, cioè il fatto che la cellula è racchiusa

da una membrana che non è impermeabile: possono formarsi gradienti di pressione osmotica dovuti ai pori

presenti per equilibrare i potenziali chimici dai due lati della membrana.

Un altro sistema-modello è quello dell’E. coli, del batterio della colite. Questo è un batterio biologico che

può essere associato ad un modello matematico, che può essere di vario tipo a seconda della proprietà che

ci interessa studiare. Possiamo per esempio vederlo come un insieme di recettori per vedere quali segnali

vengono ricevuti dal batterio. Un’altra classe di modelli studia il moto di questi batteri modelli di nuoto.

→

Se invece guardiamo più a grande scala il modello, possiamo vedere anche qui la traiettoria del batterio come

un RW “casuale”, anche se in realtà potrebbero esserci dei target bias. Infine possiamo vedere i network

→

genetici.

Altro modello di interesse biologico è quello dell’acqua. Innanzitutto possiamo vederla come solvente in

cui andiamo a mettere un soluto (ioni/ligandi), ruolo passivo. Oppure possiamo essere interessati all’idro-

; M<

Biofisica 3

O O

NH+ O- NH+

O

3 O-

3

NH+ O-

3

O O

NH+ NH+ N

O- O-

O 3 3

NH+ O- NH2

NH

NH2

3 NH2 O

+

O NH O-

OH

O 3

NH+ O

O- F K

3 O

NH+ L N

O- NH+

3 OH

R O-

3

S

NH S

SH O

O U AGCU

GC OH

C UA NH+

NH+ AG O-

C

O- T 3

3 G C

W A U

U A S

† C G

G C I

U A O

Y A U

C G M / ? NH+

U A O-

G C

OH 3

C G I

G C

† U A

A U

A U

U A

O O

U A

C G

C G E

NH+ NH+

O- O-

G C

3 3

C G

L O

A U

G C

U A D +

NH

A U O-

C G 3

G C

A U

U A OH

O C G O OH

P G

G C

+ A U

NH U A

O- C G

2 G C O

A U O

NH+ O-

3

O R A

NH+ O- O

H

3 V

Q NH+ O-

3

O

N NH+

O O-

3

NH+

NH2

NH O-

3

O

NH+ O-

3 NH2

O

NH

N

Insieme delle sequenze di basi (AUCG) dell’RNA che andranno poi ad esser tradotte nei 20 am-

Figura 2:

minoacidi, con rispettive strutture chimiche. La sequenza segnata da corrisponde al segnale di inizio di

?

trascrizione, mentre quelle segnate da al segnale di stop.

† ; M<

© Matteo Tajana, Università degli Studi di Milano

4 Biofisica

Struttura interna di un batterio E. coli.

Figura 3:

dinamica di questo mezzo idrodinamica, Navier-Stokes. Se invece andiamo a vedere l’acqua come motore

→

molecolare, questa fornisce resistenza dovuta alla vistosità del liquido. Quando vedremo la diffusione, l’ac-

qua è il background di questo modello. Stessa cosa è nel rapporto delle proteine, per via delle interazioni

idrofobiche/filiche interazioni efficaci.

→

Come in tutti i corsi di fisica si parte da un modello. Qui partiamo dall’oscillatore armonico:

1 2 ~

=⇒ =

= kx F x.

U −k~

2

Qual è il suo ruolo in biofisica? Ci sono molti modelli che possono essere ricondotti a questo. Ad esempio

può essere usato per le deformazioni delle membrane, oppure per le trappole ottiche (un modo per intrappo-

lare e spostare molecole, che sono “immerse” in un potenziale di questo tipo, con conseguenti forze elastiche).

Il DNA abbiamo già detto che può essere modellizzato come una serie di molle.

Un libro utile è “Cell Biology By The Numbers” [8], adottato come libro di testo. Su [7] si possono trovare

molti numeri utili nella biofisica: scale di energie in gioco, energia di un legame idrogeno, il costo entropico

quando due molecole formano un complesso, forza applicata da un filamento del citoscheletro, quanto sono

grandi le cellule, eccetera.

2 Cosa e dove

2.1 E. coli

Nel caso dell’E. coli l’ordine di grandezza della cellula è circa 2 µm possiamo pensarlo come un oggetto

→

2

“rettangolare” di dimensioni 2 1 µm . Il flagello permette al batterio di muoversi. Usando un microscopio a

×

trasmissione elettronica riusciamo a vedere delle strutture all’interno del batterio (tipicamente DNA).

Com’è fatto il batterio all’interno (Fig. 3)? Innanzitutto c’è una grande presenza di acqua, che dà il maggior

contributo alla massa del batterio. Se non la considerassimo, i batteri sono fatti in termini di massa al 55% da

proteine e al 20% da RNA. Innanzitutto abbiamo una membrana lipidica interna e una esterna, da cui partono

questi liposaccaridi all’esterno del batterio. All’interno abbiamo le molecole di mRNA messaggero e i ribosomi:

macchine che prendono l’RNA e sintetizzano le proteine. Il DNA è invece tutto concentrato all’interno della

cellula. C’è una grande differenza con le cellule eucariotiche: queste hanno all’interno degli organelli, mentre

nel nucleo delle cellule eucariotiche.

in un batterio il DNA è sparso nella cellula—contenuto 7

Sul bordo esterno ci sono circa un milione di proteine di membrana, e circa 5 10 lipidi. All’interno della

×

cellula batterica ci sono circa due milioni di proteine interne, il DNA è fatto da circa cinque milioni di basi

(lunghe circa 1/3 di nm, per cui il DNA “srotolato” è lungo circa 2 mm). Il batterio è lungo 2 µm, per cui il

DNA srotolato è lungo circa come 1000 batteri! deve essere ben compattato. Altra molecola importante

→

sono i ribosomi (circa 20 000) e ci saranno circa 2000 molecole di mRNA.

Visto che le proteine sono ottenute dall’mRNA, il tempo di vita delle proteine deve essere più lungo di

quello dell’mRNA, essendocene di più!

Come facciamo a osservare le proteine all’interno di un batterio? C’è una tecnica chiamata elettroforesi,

per cui applicando un campo elettrico possiamo vedere come si muovono le proteine in questa corrente (si

muoveranno in maniera diversa avendo le proteine cariche diverse). Data una tabella di calibrazione possiamo

vedere a sec