Appunti di Analisi matematica II

Università degli Studi di Trieste

Ingegneria elettronica e informatica

Appunti di Analisi Matematica II

Gaia Michelazzi e Martina Maione

Se le persone credono che la matematica non sia

semplice, è soltanto perché non si rendono conto

di quanto la vita sia complicata.

John von Neumann

24 gennaio 2020

CAPITOLO

1

NEGLI EPISODI PRECEDENTI...

Funzione globalmente Lipschitziana

Una funzione : (E, (R si dice globalmente Lipschitziana se

|| · ||) → | · |)

f ,

+

0 : riesce

∃K ∀x, ∈

> y E ||x| − ||y||| ≤ −

K||x y||

1 | SUCCESSIONI

Successione

Una funzione : si dice successione in e si indica con (x ).

→

ϕ E E

N n

Successione convergente

Una successione (x ) si dice convergente a se 0∃n̄ : si ha

∀ε ∀n ≥

x̄ > n̄

n ||x − x̄|| < ε

n

Successione limitata

Una successione (x ) si dice limitata in (R ) se 0 : si ha

n || · || ∃C ∀n

, >

n 2

||x || ≤ C

n

Notazione

Una successione con componenti si indica come

k (1) (k)

(x ), (x )

(1) (k)

, . . . , x . . . , , . . . , x

n n

1 1

Proposizione

Condizione necessaria e sufficiente affinché una successione di punti sia convergente ad un

punto è che la successione converga componente per componente.

1

2 | CONTINUITÀ

Teorema ponte

Condizione necessaria e sufficiente affinché : sia continua in è che ogni

→

f E x

R 0

successione (x ) sia tale che .

∈ →

f x x

n n 0

Funzione continua

Una funzione : (E, (R con si dice continua in se

|| · ||) → | · |), ∈

f , x E, x 0

+ 0

0 : se riesce

0∃δ ||x − ||

∀ε > x < δ

> ε,x 0

0 (x) (x )|

|f − f < ε

0

Funzione sequenzialmente continua

Una funzione : (E, (R con si dice sequenzialmente continua in

|| · ||) → | · |), ∈

f , x E x 0

+ 0

se riesce

∀x → x

n 0 (x ) (x )

→

f f

n 0

3 | CONTRAZIONI

Contrazione

Sia : si dice contrazione se (0, 1) : tale che

→ ∃L ∈ ∀x, ∈

T X X, T y X

(x), (y)) ≤

d(T T Ld(x, y)

Teorema delle contrazioni

Sia (x, uno spazio metrico completo, sia : una contrazione, allora

→ ∃!x̄ ∈

d) T X X X

tale che (x̄) =

T x̄

dove è il punto fisso di :

x̄ T

Inoltre, = (x) converge verso l’unico punto fisso di , cioè

(n)

∀x ∈ X, x T T

n lim (x) =

(n)

T x̄

n→+∞

Dimostrazione

• Parto dal dimostrare una disuguaglianza preliminare

(x)) + (x))

≤d(x,

d(x, y) T d(y, T

| {z }

≤d(y,T (y))+d(T (x),T (y))

(x)) + (y)) + (x), (y))

≤d(x, T d(y, T d(T T

| {z }

≤Ld(x,y)

(x)) + (y)) +

≤d(x, T d(y, T Ld(x, y)

2

Quindi ) (x)) + (y))

≤

d(x, y)(1 d(x, T d(y, T

L

1 (d(x, (x)) + (y)))

≤

d(x, y) T d(y, T

1 − L

• Dimostro che = (x) è una successione di Cauchy, ovvero

n

x T

n lim sup ) = 0

d(x , x

n n+p

n→+∞

Considero 1

) (d(x (x )) + (x )))

≤

d(x , x , T d(x , T

n n+p n n n+p n+p

1 − L

1

(x), (x)) + (x), (x))

n n+1 n+p n+p+1

≤ d(T T d(T T

1 − L

1

(x)) + (x))

n n+p

≤ L d(x, T L d(x, T

1 − L

n n+p

L L

(d(x, (x)) + (d(x, (x))

≤ T T

1 1

− −

L L

n

L (x)) (1 )

p

−

≤ d(x, T L

1 − L {z }

| ≤2

Perciò 2L (x))

n d(x, T

) ≤

d(x , x

n n+p 1 − L

sup ) = 0

d(x , x

n n+p

n→+∞

Di conseguenza è di Cauchy, quindi è convergente ad un punto vista la

x x̄,

n

completezza di perciò se allora

→ →

X, x x̄ x x̄.

n n−1

Ma = (x) = (T (x)) = (x )

n n−1

x T T T

n n−1

Quindi, se = (x) (x̄)

n

→ →

x x̄ T T

n

allora = (x̄)

x̄ T

dunque è un punto fisso.

x̄

• Dimostro ora l’unicità del punto fisso.

Suppongo per assurdo che ce ne siano due: Quindi

x̄, x̂.

= (x̄) = (x̂)

x̄ T x̂ T

Considero =d(T (x̄), (x̂))

d(x̄, x̂) T

≤ ≤

Ld(x̄, x̂)1 L

Il che è assurdo poiché per ipotesi 1.

L < 3

• Dimostro ora la stima dell’errore. Dalla disuguaglianza preliminare risulta

n

L

) (x))

≤

d(x , x d(x, T

n n+p 1 − L n

L

lim ) lim (x))

≤

d(x , x d(x, T

n n+p 1 − L

p→+∞ p→+∞

Osservazione

L’errore è rappresentato dalla distanza n

L (x))

≤

d(x , x̄) d(x, T

n 1 − L

Grafico

Sia il grafico di si definisce come ) = : = (x,

2 3

⊂ → {(x, ∈

A f G(f y, z) z f y)}.

R R, R

4 | POLINOMI

Principio di identità tra i polinomi

Siano due polinomi di grado n:

(x) = + + + +

n n−1 · · ·

p a x a x a x a

n n n−1 1 0

(x) = + + + +

n n−1 · · ·

q b x b x b x b

n n n−1 1 0

Essi si dicono identicamente uguali i coefficienti sono ordinatamente uguali, cioè se

⇐⇒

= = = = .

· · ·

a b , a b , , a b , a b

n n n−1 n−1 1 1 0 0

Regola di Cartesio

Il massimo numero di radici reali positive di un polinomio è dato dal numero di variazioni di

segno fra coefficienti consecutivi, trascurando eventuali coefficienti nulli.

Proposizione

• Condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici siano negative è che i

coefficienti siano tutti positivi.

• Condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici siano positive è che i

coefficienti siano tutti negativi.

Teorema di approssimazione di Weierstrass

Ogni funzione continua se un compatto a valori in si può approssimare con una

R

successione di polinomi. 4

5 | SUBLINEARITÀ

Funzione sublineare

Una funzione : si dice sublineare se 0 : riesce

× → ∃c ∀t ∈ ∀x ∈

f I , c > I,

R R R

1 2

(t, +

|f ≤ |x|

x)| c c

1 2

Proposizione

Condizione necessaria e sufficiente affinché sia sublineare è che

f

(t,

|f x)|

sup +∞

<

+ |x|

c c

1 2

(t,x)

Nota bene!

Se è globalmente Lipschitziana allora è sublineare.

f

Nota bene!

Un polinomio di grado maggiore di 1 non è mai sublineare.

Osservazione

Sia (X, compatto, : : = (x), (y)) =⇒ : (x̄) = (non è

→ ∀x 6 ∃!x̄

d) T X X y, d(T T < d(x, y) T x̄

necessariamente una contrazione, ma ha un unico punto fisso).

Osservazione

Sia (X, compatto =⇒ è sequenzialmente compatto, cioè ) ) :

∀(x ∈ ∃(x → ∈

d) X, x̄ x̄ X.

n n

k

Proposizione

Ogni spazio compatto è completo.

Dimostrazione

Prendiamo una successione di Cauchy (x ). Siccome è compatto, allora convergente a

∃x

X

n n

k

∈

x̄ K.

Siccome (x ) è di Cauchy riesce

n kx − k

x < ε

n m

Considero +

kx − ≤ kx kx −

− k

x̄k x

x̄k

n n n n

k k

| {z } | {z }

<ε <ε

Siccome kx − x̄k < ε

n

allora converge a dunque ogni successione di Cauchy è convergente ad un insieme di

x x̄, K,

n

dunque è completo.

K 5

CAPITOLO

2

NORME E SPAZI NORMATI

Metrica

Una funzione : con le seguenti proprietà è detta metrica:

× →

d X X R +

1. 0 e = 0 =

∀x, ∈ ≥ ⇐⇒

y X, d(x, y) d(x, y) x y

2. Simmetrica: =

∀x, ∈

y X, d(x, y) d(y, x)

3. Disuguaglianza triangolare: +

∀x, ∈ ≤

y, z X, d(x, y) d(x, z) d(y, z)

Spazio metrico

La coppia (X, dove è un insieme qualsiasi, e una metrica su si definisce spazio

d), X d X

metrico.

Norma

Una funzione : = : 0}, dove è uno spazio vettoriale, con le seguenti

|| · || → {x ∈ ≥

E x E

R R

+

proprietà è detta norma:

1. 0 e = 0 = 0

∀x ∈ ||x|| ≥ ||x|| ⇐⇒

E, x

2. Positività omogenea: =

∀λ ∈ ∀x ∈ ||λ · |λ| · ||x||

E, x||

R,

3. Sub-additività: + +

∀x, ∈ ||x ≤ ||x|| ||y||

y E, y||

Osservazione

La norma è una funzione globalmente Lipschitziana.

Dimostrazione

Parto kxk

Aggiungo e tolgo y + +

kx − ≤ kx − kyk

y yk yk

6

Quindi kxk − kyk ≤ kx − yk

Se parto da ottengo

kyk kyk − kxk ≤ kx − yk

In conclusione |kxk − kyk| ≤ kx − yk

Spazio normato

La coppia (E, dove è uno spazio vettoriale su e è una norma qualsiasi definita

|| · ||), || · ||

E R,

su si definisce spazio normato.

E,

Osservazione

Gli spazi normati sono gli esempi più semplici di spazi metrici, in cui la distanza tra due punti

è espressa come la norma della loro differenza = kx −

d(x, y) yk

Nota bene!

Spazio normato =⇒ spazio metrico ma spazio metrico =⇒ spazio normato

6

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è un insieme non vuoto su cui sono definite le seguenti operazioni:

E

1. somma + : (u +

× → ∈ ∈ 7→ ∈

E E E, E, v E) u v E;

2. prodotto per scalari : (λ

· × → ∈ ∈ 7→ · ∈

E E, v E) λ v E.

R R,

che soddisfano i seguenti assiomi:

1. Associatività della somma;

2. Commutatività della somma;

3. Esistenza dell’elemento neutro per la somma;

4. Esistenza dell’elemento neutro per il prodotto;

5. Distributività della somma;

6. Distributività del prodotto;

7. Associatività del prodotto;

Spazi vettoriali importanti

• Spazio delle funzioni continue =⇒ se definisco una norma in posso definire la

R

distanza tra due funzioni continue.

• Spazio delle successioni reali =⇒ è possibile definire la distanza tra due successioni.

• Spazio delle matrici =⇒ è possibile definire la distanza tra due matrici.

7

1 | SPAZI VETTORIALI DI DIMENSIONI FINITA

Spazio di dimensione finita

Uno spazio vettoriale si dice di dimensione finita esistono vettori linearmente

⇐⇒

V n n

indipendenti tali che ogni elemento si esprime in modo univoco come

{e } ∈

, ..., e v V

n

1

= , con

ni=1 ∈

P

v λ e λ R.

i i i

Norme importanti

• Norma infinito (o uniforme): = max

||x|| |x |

∞ i

1≤i≤n

• Norma uno: n

= X

||x|| |x |

i

1 i=1

• Norma due (o euclidea): 1

n ! 2

= X 2

||x|| |x |

i

2 i=1

• Norma tre: 1

n ! 3

= X 3

||x|| |x |

i

3 i=1

• Norma (con 1):

p p > 1

n ! p

= X p

|x |

kxk i

p i=1

Nota bene!

Norme diverse =⇒ spazi normati diversi.

Norme equivalenti

La norma si dice equivalente alla norma e si indica con , se:

||x|| ∼ ||x||

A B A B

1. Sono definite sullo stesso spazio vettoriale;

2. 0 :

∃m, ∀x ∈ ≤ ||x|| ≤ ||x||

M > E, m||x|| M

A A

b

Teorema

In uno spazio di dimensione finita tutte le norme sono equivalenti.

Commento

Il precedente teorema permette di estendere tutto ciò che sappiamo sulle funzioni di una

variabile alle funzioni di più variabili.

Osservazione

In tutte le norme sono equivalenti poiché esso è uno spazio di dimensione finita.

n

R

Osservazione

Se non siamo in uno spazio di dimensione finita esistono norme non equivalenti.

8

1.1 Disuguaglianze

Disuguaglianza di Young

Siano 0 e : + = 1, allora:

1 1

∈ ≥

x, y p, q

R p q 1 1

+

p q

≤

xy x y

p q

Disuguaglianza di Holder

Siano : + = 1, allora:

1 1

p, q p q n

X |x ||y | ≤ kxk · kyk

i i p q

i=1

Disuguaglianza di Minkowski

Sia 1, allora:

≥

p + +

||x ≤ ||x|| ||y||

y||

p p p

2 | SPAZI VETTORIALI DI DIMENSIONE INFINI-

TA

Norme importanti di funzioni

Le seguenti norme sono definite sullo spazio vettoriale = (C[a, = : [a,

{f →

V b], b]

R) R

continue in [a, b]}.

• Norma lagrangiana o :

∞

L = max (x)|

kf k |f

∞ x∈[a,b]

• Norma :

1

L b

Z (x)|dx

= |f

kf k

1 a

• Norma :

2

L 1

!

b 2

Z

= (x)|

2

kf k |f dx

2 a

• Norma (p

p

L > i): 1

!

b p

Z

= (x)|

p

kf k |f dx

p a

• Norma :

1

C 0

= +

||f || ||f || ||f ||

∞ ∞

1

C

questa norma rende lo spazio completo.

Osservazione: 1

C

Nota bene!

Le suddette norme non sono equivalenti poiché sono definite su uno spazio vettoriale di

dimensione infinita. 9

Spazio di Banach

Uno spazio normato completo, ovvero uno spazio in cui ogni successione di Cauchy è

convergente, si dice spazio di Banach.

Spazio di Hilbert

Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare completo rispetto alla norma indotta dal

prodotto scalare si dice spazio di Hilbert.

Nota bene!

Per gli spazi vettoriali di dimensione infinita l’essere o meno completi come spazi normati non

dipende solo dallo spazio vettoriale ma anche dalla norma che si considera.

• è completo con qualsiasi norma poiché è uno spazio di dimensione finita.

n

R

• non è completo con nessuna norma.

Q

• ([a, ) è completo.

k · k

C b], ∞

• ([a, ) non è completo.

k · k

C b], 1

L

• ([a, ) non è completo.

1 k · k

C b], ∞ ) è completo.

• ([a,

1 k · k

C b], 1

C 10

CAPITOLO

3

UN PO’ DI GEOMETRIA

1 | FORME BILINEARI

Forma bilineare

Una funzione : è una forma bilineare se possiede le seguenti proprietà:

× →

B E E R

1. Semidefinita positività: 0

∀x ∈ ≥

E, B(x.x)

2. + = +

∀α, ∈ ∀u, ∈

β v, w E, B(αu βv, w) αB(u, w) βB(v, w)

R,

3. Simmetria: =

∀x, ∈

y X, B(x, y) B(y, x)

Definita positiva

Una forma bilineare : si dice definita positiva se 0 e

× → ≥

B E E B(x, x)

R

= 0 = 0.

⇐⇒

B(x, x) x

Base canonica di n

R

Data una forma bilineare : la base canonica di è un sistema di vettori

n n n

× →

B n

R R R, R

ortogonali = (e ) tali che è sempre possibile scrivere la forma bilineare come

e , . . . e

n

1

combinazione lineare di questi vettori.

2 | PRODOTTO SCALARE

Prodotto scalare

Sia uno spazio vettoriale su definiamo prodotto scalare una funzione :

h·, ·i × →

V V V

R, R

con le seguenti proprietà:

1. 0 e = 0 = 0

hx, ≥ hx, ⇐⇒

xi xi x

2. =

hx, hy,

yi xi

3. = =

htx, hx,

yi tyi thx, yi 11

4. + = +

hx hx, hy,

y, zi yi zi

Osservazione

Il prodotto scalare è un’applicazione lineare definita positiva e simmetrica.

Vettori ortogonali

Due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.

Sistema ortogonale

Un sistema i cui vettori sono a due a due ortogonali e ognuno di questi ha norma 1 è detto

sistema ortogonale.

Osservazione

L’esempio più semplice di prodotto scalare è :

· × →

R R R.

Prodotto scalare euclideo

Il prodotto scalare n

(x, = X

y) x y

i i

2 i=1

con = (x ) e = (y ) si chiama prodotto scalare euclideo.

x , . . . , x y , . . . , y

n n

1 1

Norma euclidea

La norma associata al prodotto scalare euclideo è 1

= (x,

||x|| x) 2

2

ed è detta norma euclidea.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Sia un prodotto scalare su allora riesce:

∀u, ∈

B E, v E 1 1

|B(u, ≤ ·

v)| B(u, u) B(v, v)

2 2

Dimostrazione

Sia ∈

t R, 0 + + =B(u, + + +

≤ B(u tv, u tv) u) B(u, tv) B(tv, u) B(tv, tv)

= + 2B(u, +

B(u, u) tv) B(tv, tv)

= + 2tB(u, + 2

B(u, u) v) t B(v, v)

Quest’ultima espressione può essere vista come una parabola nella variabile t.

La parabola deve essere positiva, dunque il determinante ∆ deve essere non positivo, quindi

∆ 04B (u, 4B(u, 0

2

≤ − ≤

v) u)(B(v, v)

(u, )B(v,

2 ≤

B v) B(u, u, v)

1 1

|B(u, ≤

v)| B(u, u) B(v, v)

2 2

12

Proposizione

Condizione necessaria e sufficiente affinché una norma provenga da un prodotto scalare è c