Appunti di Analisi matematica II

Funzione vettoriale

Una funzione : n m→f nR R

Osservazione

Le funzioni globalmente Lipschitziane sono gli esempi più semplici di funzioni scalari.

Funzione globalmente Lipschitziana

Una funzione (x, y) : R R0 →f R R

Sia (x̄, ȳ) ∃ K ∀(x, y) ∈ R R |f(x, y) - f(x̄, ȳ)| ≤ K||(x, y) - (x̄, ȳ)||.

OPERATORI LINEARI

Operatore lineare

Una funzione T : E F, dove E e F sono spazi vettoriali, si dice operatore lineare se soddisfa la proprietà di linearità, ovvero (λu + v) = (λu) + (λv). ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ E.

Rappresentazione di un operatore lineare

Sia T : n n→ R un’applicazione lineare, allora T(x) = (a,T x) 2Dunque, un funzionale lineare può essere rappresentato da un vettore riga adn

→R Resso associato. 19OsservazioneEsistono anche applicazioni lineari ed esse sono rappresentate da una matrice adn m→R Resse associate.

Operatore lineare limitatoUn operatore lineare : si dice limitato se 0 : riesce→ ∃C ∀x ∈T E F > E(x)||||T ≤ C||x||F E

Teorema di caratterizzazione degli operatori lineariCondizione necessaria e sufficiente affinché un operatore lineare sia continuo è che sialimitato.

Dimostrazione• limitato =⇒ continuoT TIl fatto che sia limitato implica:T kT k ≤ CkxkF EQuindi (xkT − ≤ −y)k Ckx ykF EPoiché è un operatore lineareT (x) (y)kkT − ≤ −T Ckx ykF EQuindi è Lipschitziana, di conseguenza è continua.T• continuo =⇒ limitatoT TIpotizzo per assurdo che non sia limitato, quindiT (x)kkTsup = +∞kxkx6 =0Do conseguenza deve esistere una successione (x ) che converge al supn(x )kkT nlim = +∞kx kn→+∞ nkx kn=⇒

0→(x )kkT nChiamo x n=un (x )kkT nQuindi lim = 0unn→+∞Poiché è continua, deve essere necessariamente sequenzialmente continua, quindi seT0 allora (u ) (0) = 0→ →u T Tn n (x )k(x ) kTT nn(u ) = =⇒ (u )k = =1kTT nn (x )k (x )kkT kTn nCiò implica che lim (u ) non può essere 0, quindi è assurdo supporre che nonT Tn→+∞ nsia limitato. 20 Norma operatorialeLa norma di un operatore lineare : si dice norma operatoriale e si definisce come→T E F (x)||||T= sup||T || ||x||x6 =0OsservazioneUn operatore lineare è continuo la sua norma è finita.⇐⇒In particolare, ogni operatore lineare : è continuo.n →T R R)L(E, FL’insieme delle applicazioni lineari da in si indica con ).E F L(E, FTeoremaSe lo spazio (F, ) è uno spazio di Banach allora (L(E, ), è uno spazio di|| · || || · ||)FFBanach.Spazio duale algebricoSia uno spazio vettoriale. Lo spazio duale di

Lo spazio algebrico è lo spazio formato da tutte le applicazioni lineari: V → K.

Lo spazio duale topologico è lo spazio formato da tutte le applicazioni lineari e continue: V → K.

Osservazione: Negli spazi di dimensione finita lo spazio duale algebrico e quello topologico coincidono poiché tutte le applicazioni lineari sono anche continue.

Uno spazio si dice isomorfo al suo duale se hanno la stessa dimensione, e quindi è possibile rappresentare gli operatori lineari come vettori.

Lo spazio duale di nR^L, l'insieme delle applicazioni lineari da R^L in R, si dice spazio duale di R^L.

Base canonica nel duale di R^n: Si definisce base canonica nel duale di R^n la proiezione dei vettori della base canonica nR^n, dove e_i è l'i-esimo vettore della base canonica e x_i è l'i-esima coordinata.

CAPITOLO 6: DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI SCALARI

1 | FUNZIONI SCALARI DI UNA VARIABILE

Derivata f(x + h) - f(x)

1. La derivata di una funzione si indica con f'(x).
2. Una funzione è derivabile se esiste la sua derivata.
3. Una funzione è lineare se e solo se la sua derivata è costante.
4. Le funzioni scalari di più variabili possono avere derivate parziali.
5. La derivata parziale di una funzione rispetto ad una variabile si indica con ∂f/∂x.
6. La derivata parziale si calcola considerando le altre variabili come costanti e derivando rispetto alla variabile di interesse.

secondo le usuali regole di derivazione per le funzioni reali di una variabile.

Funzione derivabile

Una funzione f: R^n → R si dice derivabile in x ∈ R^n se nel punto x esistono tutte le derivate parziali ∂f/∂x_1, ..., ∂f/∂x_n.

Direzione in R^n

Una direzione in R^n è un vettore non nullo v ∈ R^n \ {0}.

Derivata direzionale

Una derivata direzionale di f in x lungo la direzione v è definita come:

∂f/∂v(x) = lim_t→0 (f(x + tv) - f(x))/t

Notazione

La derivata direzionale si indica come: ∂f/∂v

Nota bene!

Le derivate direzionali sono una generalizzazione delle derivate parziali. Infatti se v è una delle direzioni degli assi coordinati, cioè se esiste un indice i ∈ {1, ..., n} tale che v = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) allora la derivata direzionale coincide con la derivata parziale ∂f/∂x_i.

Funzione differenziabile e...

è = (x ) + (x )(x ).−g(x) f df x0 0 0

Teorema del differenziale totale

Sia : con aperto, sia se esistono le derivate parziali e sonon⊂ → ∈f A A x A,R R, 0continue in , allora è differenziabile in .

x f x0 0

Dimostrazione

Chiamiamo ∂f(x ) = la derivata parziale rispetto af , y xx 0 0 ∂x

∂f(x ) = la derivata parziale rispetto af , y yy 0 0 ∂y

Parto da (x, (x )−f y) f , y0 0

Aggiungo e tolgo (xf , y)0 (x, (x + (x (x )− −f y) f , y) f , y) f , y0 0 0 0

Applico due volte il teorema di Lagrange + (x (x )(x, (x −− f , y) f , yf y) f , y) 0 0 00

{z } | {z }| ∃α:f ∃β:f ,β)(y−y(α,y)(x−x ) (x )x y0 0 024

Per dimostrare che è differenziale bisogna dimostrare chef (x, (x ) (x )(x ) (x )(y )− − − − −f y) f , y f , y x f , y yx y0 0 0 0 0 0 0 0lim =0(x ) + (y )p 2 2− −x y,y(x,y)→(x ) 0 00 0(x, (x ) (x )(x ) (x )(y )−

− − − −f y) f , y f , y x f , y yx y0 0 0 0 0 0 0 0(x ) + (y )p 2 2− −x y0 0(α, ) + (x ) (x )(x ) (x )(y )− − − − − −f y)(x x f , β)(y y f , y x f , y yx y x y0 0 0 0 0 0 0 0 0= (x ) + (y )p 2 2− −x y0 0(x ) (f (α, (x )) + (y ) (f (x (x ))− − − −x y) f , y y , β) f , yx x y y0 0 0 0 0 0 0= (x ) + (y )p 2 2− −x y0 0Considero (x, (x ) (x )(x ) (x )(y )− − − − −f y) f , y f , y x f , y yx y0 0 0 0 0 0 0 0(x ) + (y )p 2 2− −x y0 0(f (α, (x )) (x ) + (f (x (x )) (y )− − − −y) f , y x , β) f , y yx x y y0 0 0 0 0 0 0= (x ) + (y )p 2 2− −x y0 0(α, (x )| + (x (x )