Appunti di Analisi matematica I

SMC SMD

−1 −1

[−1,1]

arcsin = = = = ,

[− ] SMC

2 2

31

−1 −1

[−1,1] [0,

arccos = = = = ] SMD

sin

Un’altra funzione periodica è tan = ( = ; = ℝ\ + } , ∈ ℤ = ℝ)

{

cos 2

Questa funzione è suriettiva, ma non è iniettiva. Per trovarne la funzione inversa, bisogna

considerare una sua restrizione, la quale risulta iniettiva (e pertanto invertibile):

tan = , = ℝ

[− ] SMC

2 2

−1 −1

arctan = = ℝ = = ,

[− ] SMC

2 2

3.9. Funzioni pari e funzioni dispari

∀ ∈ ⇒ (−) = ()

Una funzione si dice pari

2 2 2

(−)

() = (−) = = = ()

Es. 32

∀ ∈ ⇒ (−) = −()

Una funzione si dice dispari

3 3 3

(−)

() = (−) = = − = −()

Es.

Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse e non sono mai iniettive.

Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all’origine.

3.10. Traslazioni nel piano

Funzione di partenza:

2

=

Traslazioni verticali (rigide):

2 2

= + 1 = − 1

Traslazioni orizzontali (rigide): 33

2 2

( (

= − 1) = + 1)

Le traslazioni rigide (verticali e orizzontali) sono commutative e associative: applicare prima la

risultato dell’applicare prima

traslazione verticale e poi quella orizzontale porta allo stesso

l’orizzontale e poi la verticale.

3.11. Funzioni con valori assoluti

3

() = −

Funzione di partenza: (funzione dispari)

|()|

Valore assoluto della funzione:

|()| () () > 0

Il grafico di è uguale a quello di quando ed è uguale alla simmetria rispetto

34

all’asse () () < 0

di quando (||)

Funzione del valore assoluto:

(||) () ≥ 0

Il grafico di è uguale a quello di quando ed è uguale alla simmetria rispetto

all’asse () < 0

di quando

(), ≥0

(||) = { (−), <0

|| |−|

(||) =

è pari perché

4. Continuità e limiti

4.1. Continuità di una funzione

l’ordinata corrispondete ad una

Presa una funzione, sia generica ascissa . Se le ordinate

0 0

vicine ad corrispondono ad ascisse vicine ad , la funzione si dice continua.

0 0

∈ ℝ ∈ ℝ ∧ > 0.

Definizione di intorno: siano e Si definisce intorno di centro e raggio

0 0

l’intervallo aperto e limitato costituito dai valori appartenenti all’insieme ( − , + )

0 0

{ | |

( ) (

= − , + ) = ∈ ℝ | − < }

0 0 0 0 0

(1) (1 (−1,

= − 2, 1 + 2) = 3)

Es. 2 ( ) ( )

> , ⊂

Dati e con (ogni intorno è strettamente contenuto in tutti gli intorni

1 2 2 1 0 0

1 2

di raggio più grande

1 1 1 3

(1)

= (1 − , 1 + ) = ( , )

Es. 1 2 2 2 2

2 1 1 3 5

(1)

= (1 − , 1 + ) = ( , )

1 4 4 4 4

4 (1) (1) (1)

⊂ ⊂

1 1 1

4 2 35

(+∞): (,

+∞ +∞)

intorno di di estremo inferiore

(−∞): (−∞,

−∞ )

intorno di di estremo inferiore

∈ . ()

Definizione di continuità: sia Una funzione si dice continua in se

0 0

|()

) )| (

∀ > 0 ∃ = (, > 0 | − ( < ∈ − , + ) ∩

è verificata almeno per

0 0 0 0 0

non è unico e deve essere un numero grande, mentre è un numero scelto piccolo a piacere,

ma sempre positivo. ) ( ) ))

∀ > 0 ∃ = (, > 0 | ∈ ∩ ⇒ () ∈ ((

Definizione con gli intorni: 0 0 0

() = 2 + 3 = 1 = ℝ

Es. 0 |2 (2 (1

∀ > 0 ∃ = (1, ) > 0 | + 3 − ⋅ 1 + 3)| < ∈ − , 1 + )

è verificata almeno per

|2 |2 |

+ 3 − 5| < ⇔ − 2| < ⇔ − 1| < ⇔ ∈ (1 − , 1 + )

2 2 2

(1 − , 1 + ) ⊆ (1 − , 1 + ) ⇔ ≤

2 2 2

⊆ . ∀ ∈

Sia Una funzione si dice continua su se è continua

4.2. Continuità di sinx e cosx [−1,

() = sin = ℝ = 1] = 2 funzione dispari (l’uguaglianza si ha

|sin ||

sin | ≤

Per dimostrare la continuità di si utilizza il seguente lemma:

= 0).

solo per

Per la dimostrazione si ricorre alla trigonometria:

̅̅̅̅

= sin

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

≥ 36

̅̅̅̅ ̆

≤ in geometria euclidea, il tratto più breve che unisce due punti è una retta.

̆ ̅̅̅̅ ̆

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

≥ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ sin

Dimostrazione della continuità:

|sin | | |

∀ > 0 ∃ = (, sin ) > 0 | − sin < − < = ()

in

0 0

− +

0 0

sin − sin = 2 sin ( ) cos ( )

Formula di prostaferesi: 0 2 2

− + − +

0 0 0 0

|sin |

− sin = sin ( ) cos ( )| = 2 ⋅ ( )| ⋅ ( )|

|2 |sin |cos

0 2 2 2 2

[−1, |cos [0, |cos

cos ∈ 1] ⇒ | ∈ 1] ⇔ | ≤ 1 ∀ ∈ ,

Dato che è possibile effettuare una

− + −

0 0 0

2 ⋅ ( )| ⋅ ( )| ≤ 2 ⋅ ( )| ⋅ 1

|sin |cos |sin

maggiorazione: 2 2 2

è possibile effettuare un’altra maggiorazione:

|sin ||,

| ≤

Dato che

− −

0 0 | | |sin | | | |sin |

2 ⋅ ( )| ≤ 2 ⋅ = − ⇔ − sin ≤ − < ⇒ − sin < =

|sin | | 0 0 0 0

2 2

cos :

Continuità |cos | | |

(,

∀ > 0 ∃ = cos ) > 0 | − cos < − <

in

0 0

− + − + −

0 0 0 0 0 | |

sin ( ) sin ( )| = 2 ⋅ ( )| ⋅ ( )| ≤ 2 ⋅ = −

|−2 |sin |sin | | 0

2 2 2 2 2

|cos | | |

− cos ≤ − < =

0 0

4.3. Limite di funzione })

((), (

() ∈ ℝ ∈ − , + )\{

Sia definita in un intorno di tranne eventualmente in

0 0 0 0 0

() ℓ ∈ ℝ ℓ) →

Si dice che ha un limite (oppure che tende a per se

0

|() }

) (

∀ > 0 ∃ = (, | − ℓ| < ∈ − , + )\{ ∧ ∈

è verificata almeno in

0 0 0 0

Comparazione tra continuità e limiti:

Continuità Limiti

∈ è un valore finito non necessariamente

0 0

appartenente al dominio

C’è Non c’è

) )

( (

nella definizione nella definizione

0 0

Essenziale sapere cosa accade in Non interessa sapere cosa accade in

0 0

)

ℓ = (

Se le definizioni di continuità e di limite coincidono.

0 }

() ( )\{

∀ > 0 ∃ > 0 | () ∈ ∈ ∩

Altra definizione di limite: quando

0 0

4.3.1. Limiti infiniti | |

lim () = +∞ ∀ > 0 ∃ = ( , ) > 0 | − < , ≠ ∧ ∈ ⇒ () >

0 0 0

→ 0 37

}

( )\{ (+∞)

∈ ∩ ⇒ () ∈

Definizione con gli intorni: 0 0

| |

lim () = −∞ ∀ > 0 ∃ = ( , ) > 0 | − < , ≠ ∧ ∈ ⇒ () < −

0 0 0

→ 0 }

( )\{ (−∞)

∈ ∩ ⇒ () ∈

Definizione con gli intorni: 0 0 −

1 (0,

lim = +∞ = ℝ\{0} = +∞)

Es. funzione pari

2

→0 1

|

∀ > 0 ∃ > 0 | − 0| < , ≠ 0 ⇒ >

2

1 >>0

2

1 1

> > 0 ⇒ <

Se una funzione è SMC allora

1 1 1 1

2 2

< ⇔ − < 0 ⇔ − << ∧ ≠0

√ √

1

≤ √

1

lim = ∄ −∞ +∞

perché a sinistra la funzione cade a mentre a destra sale a

→0 |()|

lim () = ∞ lim = +∞

Quando si scrive si intende

→ →

0 0

4.3.2. Limiti per che tende a infinito |()

lim () = ℓ ∈ ℝ ∀ > 0 ∃ = () > 0 | > ∧ ∈ ⇒ − ℓ| <

→+∞ (+∞) (ℓ)

∈ ∧ ∈