Appunti di Analisi matematica I

SV.

Cosa vuol dire che è un reticolo?

Vuol dire che contiene l’estremo inferiore e superiore per ogni coppia di elementi.

Cosa vuol dire che è un’algebra?

Vuol dire che è un insieme con operazioni nullarie, unarie, binarie caratterizzate da 3 proprietà:

associatività, commutatività e distributività.

Cosa vuol dire che è uno spazio metrico completo?

Uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono

convergenti ad un elemento dello spazio

Funzioni continue

 Somma di funzioni continue

 Prodotto di funzioni continue

 D

 Quoziente di funzioni continue

 Combinazione lineare di funzioni continue

 Composizione di funzioni continue (con dimostrazione)

 Funzione nulla

 Funzioni costanti

 Funzioni lipschitziane

 Funzioni holderiane

 ()

Funzioni razionali ∀ ≠ ∶ = 0

 Funzioni massimo e minimo [poiché somma di funzioni continue]

 ( ))

La funzione max( ⋅



( ) max{ }

= , 1 + [poiché somma di funzioni continue e lipschitziane]

 Funzioni uniformemente continue

 Funzioni trigonometriche (sin e cos)

 Funzioni elementari

 Funzioni derivabili (con dimostrazione)

Funzioni non continue

• Funzione di Dirichlet

UNIFORME CONTINUITA’

Funzione uniformemente continua: sia : → ℝ, diremo che è uniformemente continua su

() (, )| |( ) ()|

|

se ∀ > 0 ∃ = > 0 ∶ ∀ − < ⟹ − <

Differenza tra la definizione di continuità e quella di uniforme continuità :

1. La definizione di uniforme continuità la si dà in un insieme, non in un punto di un insieme a

differenza della definizione di continuità

2. Nella continuità è fisso, nell’uniforme continuità invece possono variare entrambi i punti x e

0

y.

3. Delta

4. Se una funzione è uniformemente continua allora è continua ma non viceversa.

o Esempi 2

▪ ( )

= è continua ma non uniformemente continua

5. Una funzione può essere uniformemente continua in un insieme, e non esserlo in un altro,

ovvero la proprietà di uniforme continuità dipende dalle qualità dell’insieme.

Funzioni uniformemente continue

 Combinazione lineare di funzioni uniformemente continue

 Funzioni globalmente lipschitziane (con dimostrazione)

 Funzioni globalmente holderiane

 ( )

Funzione che ammette l’esistenza di lim = ∈ ℝ

→∞

 Funzioni limitate e derivabili due volte

Funzioni non uniformemente continue

• Prodotto di funzioni uniformemente continue

Teoremi sull’uniforme continuità

• Teorema di Heine-Cantor

• Teorema della farfalla

• Teorema

Teorema di Heine-Cantor (condizione sufficiente)

Sia : → ℝ con compatto e continua⟹ è uniformemente continua su

Teorema della farfalla (condizione necessaria)

Condizione necessaria per l’uniforme continuità è: |( )| ( )

: → è uniformemente continua ⟹ ∃ , > 0: ∀ ∈ si ha ≤ + o ≤ +

+ 1 2 + 1 2 1

( )

| |

ovvero è sottolineare.

2

Teorema ponte per l’uniforme continuità

Condizione necessaria e sufficiente affinché : → ℝ con A non supposto compatto, sia

∀( ), ( ): ( ) ( )

uniformemente continua su è che − → 0 si ha − → 0

NOTA BENE! − → 0 ⇏ ℎ

Teorema di Brower (con dimostrazione)

[0,1] [0,1]

Sia : → una funzione continua ⟹ interseca la diagonale in un punto fisso, ovvero

( )

=

{ =

Sia : ℝ → ℝ una funzione continua ( )

→

2

( ) ( ) ( ))

→ = (

() si dice iterata -esima di .

Osservazione (con dimostrazione)

( )

Se ∃ lim ⟹tale limite è un punto fisso di .

→+∞

Osservazione

Le funzioni e sono continue e linearmente indipendenti.

COERCIVITA’

Coercività: : ℝ → ℝ si dice coerciva se lim () = +∞

||→+∞

Proposizione (con dimostrazione)

• (̅ ) ( )

Sia : ℝ → ℝ una funzione continua e coerciva ⟹ ∃̅ ∈ ℝ ∶ = inf con ∈ ℝ (ovvero

esiste il minimo globale di su )

• (̅ ) ( )

Sia : ℝ → ℝ una funzione continua e coerciva⟹ ∃̅ ∈ ℝ ∶ = sup con ∈ ℝ (ovvero

esiste il massimo globale)

Osservazione ( )

Ogni funzione coerciva ha la proprietà di avere tutte le successioni limitate.

Osservazione

L’ipotesi di coercività sostituisce la compattezza del dominio.

TEORIA DELLE DERIVATE

Introduzione al calcolo differenziale

(, ) (, )

Concetto di derivata in un punto: sia : → ℝ, sia ∈ se esiste finito

0

()−( ) ′

0 ( )

il lim = 0

−

→ 0

0 ( +ℎ)−( )

0 0

Funzione derivabile in un punto: sia = + ℎ se esiste finito lim = ′( )

0 0

ℎ

ℎ→0

Osservazione

()−( )

0

Il rapporto si chiama rapporto incrementale.

−

0

Quindi la derivata si definisce come il limite del rapporto incrementale.

ATTENZIONE FALSE FRIEND!

In inglese derivabilità si dice “differentiability”, ma in italiano i concetti di derivabilità e

differenziabilità sono diversi.

Definizione a confronto:

Derivabilità (, )

Differenzialità Una funzione a due variabili , definita in un insieme aperto non

2 ( )

vuoto ∈ ℝ è differenziabile in un punto , ∈ se e solo se esiste

0 0

una forma lineare (ℎ, ) tale che: (√ℎ 2 2

( ) ( ) (ℎ )

+ ℎ, + = , + + + + )

0 0 0 0

NOTA BENE!

Il concetto di derivabilità e differenzialità coincidono solo per funzioni ad una variabile.

Osservazione

Il calcolo differenziale serve per studiare la variazione di una funzione.

Significato geometrico

Se la funzione è derivabile in , la retta tangente al grafico della in ( , ( )) è definita

0 0 0

dall’equazione: ′ ( )( )

= − + ( )

0 0 0

Osservazione

L’esistenza della derivata significa l’esistenza della retta tangente al grafico della funzione.

Osservazione

Se non è derivabile il grafico non ha rette tangenti.

Osservazione

()−() ℎ( ) ( )

Se lim = 0 ⟹ ha un contatto con del primo ordine, ovvero è tangente

0

−

→ 0

0

( )

ad in .

0

Teorema ponte per le derivate ( )

+ ℎ − ( )

0 0 ′ ( )

lim = 0

ℎ

(ℎ )→0

Classi di derivabilità

• 1 ′

(, ) (, )) ( )

(

: → ℝ si dice di classe ∈ se esiste ed è continua

• ′ 1

(, ) ( )

: → ℝ si dice di classe se è

• ′ −1

(, ) ( )

: → ℝ si dice di classe se è

• ∞

(, )

: → ℝ si dice di classe se ammette derivate infinite e sempre continue.

FUNZIONI NON DERIVABILI IN NESSUN PUNTO

• la funzione di Weierstrass (definita come

convergenza di una serie di funzioni, il cui

grafico è frattario) • la funzione di Bolzano (continua ma non

derivabile in nessun punto)

Regole di derivazione:

• =0

• =1

• −1

= ⋅

• sin = cos

• cos = − sin

• 2 2

tan = 1 + tan = 1/ cos

1 1

• log = ⋅

ln

1

• ln =

•

= ⋅ ln

•

=

1

• arcsin = 2

√1−

1

• arccos = − 2

√1−

• cosh = sinh

1

• arctan = 2

+1

• −1

( ) ( ) ( )

= ⋅ ⋅

• ′

( ) ( ) ( )

sin = ⋅ cos

• ′

( ) ( ) ( )

cos = − ⋅ sin

′ ( )

• ( )

tan = 2 ()

cos

′ ( )

1

• ( )

log = ⋅

() ln

• ′

( ) ( )/ ( )

ln =

• () ()

′ ( )

= ⋅ ⋅ ln

• ( ) ( )

′

( )

= ⋅

′ ( )

• ( )

arcsin = 2

√1−()

′ ()

• ( )

arccos = − 2

√1−()

′ ( )

• arctan () = 2

1+()

Teorema di derivazione

′

[ ( ) ( )] ( )

Somma: + = + ′()

′

[