Appunti di Analisi matematica I

Appunti di

Analisi I

Glossario analisi

(,

Grafico: insieme delle coppie ) ∈ ℝ × ℝ ∶ = () ed è un sottoinsieme del piano cartesiano.

{0}, (,

Distanza: sia ≠ sia : × → ℝ la funzione che associa a ogni coppia )un numero reale

+

(, )

Distanza metrica: La distanza metrica su è la se soddisfa tre condizioni:

1) Non negatività della distanza: ≠ ⇔ (, ) > 0 e = ⇔ (, ) = 0

2) Simmetria della distanza: ∀, ∈ , (, ) = (, )

3) Disuguaglianza triangolare: (, ) ≤ (, ) + (, )

Spazio metrico(, ):è l'insieme assieme ad una applicazione e va da : × → ℝ

Spazio metrico completo (rispetto ad una distanza metrica fissata): se ogni successione di Cauchy in

è convergente ad un elemento di . [] []

Parte intera: è il più grande intero più piccolo di x ≤ ≤ + 1

Differenza tra disuguaglianza e disequazione:

Disuguaglianza: vera per qualsiasi valore.

Disequazione: vera per determinati valori delle incognite.

()

Interno di A ( )= = { ∈ ∶ ∃ > 0 ∶ ⊂ }

()+|()|

+ ( ) |( )|

Parte positiva di : = (è non negativa poiché ≥ −())

2

|()|−()

− ( )

Parte negativa di : = (è non negativa)

2

Osservazione + −

( ) ( )

= − ()

STRUMENTI DA LAVORO

Principio di induzione

Date infinite proposizioni indicizzate con , il principio di induzione dice che se:

• è vera

1

• Supponendo che sia vera allora è vera

+1

Rinominazione degli indici

Se non è vera chiamo la proposizione vera.

1 0

In quali casi applico il principio di induzione?

Per esempio nella disuguaglianza di Bernoulli.

Metodo di sommazione di Gauss (con dimostrazione) ( + 1)

1+ 2+ ⋯+ = 2

Somma di quadrati

3 3 2

∑( + 1) − =3∑ +3∑ +

=1 =1 =1

Somma di cubi 4 4

∑( + 1) − = ⋯

=1

Regolarizzazione di una funzione : moltiplicazione della funzione per x

Maggiorazione : disuguaglianza che permette di ricondursi ad un problema noto.

INSIEMISTICA

PUNTO DI ACCUMULAZIONE, PUNTO DI ADERENZA E PUNTO DI FRONTIERA

Punto di accumulazione: Sia ⊂ ℝ ∈ ℝ, si dice punto di accumulazione di E se

0 0

( )

∀ = − , + esiste almento un punto di diverso da .

0 0 0

0

Punto di aderenza: si dice punto di aderenza di se ∀ esiste almeno un punto di .

0

0

Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione)

{0}

Se ⊆ ℝ ≠ è limitato e infinito ⟹ ∃ almeno un punto di accumulazione di .

Nota bene! E

Se esiste un punto di accumulazione di ne esistono infiniti.

Nota bene!

In un insieme finito non esistono punti di accumulazione.

Derivato di : l’insieme , derivato di è l’insieme di tutti i punti di accumulazione di .

Punto interno: si dice punto interno se esiste un suo intorno in cui cadono solamente punti

0

di A

Punto esterno: si dice punto esterno se esiste un suo intorno in cui non cadono punti di A

0

Punto di frontiera: si dice punto di frontiera se nel suo intorno cadono punti sia

0

dell’insieme sia del suo complementare.

( )

Interno di ( )= = { ∈ ∶ ∃ > 0 ∶ ⊂ }, insieme costituito da tutti i punti

interni di .

Esterno di : insieme costituito da tutti i punti esterni di

Bordo o frontiera di : insieme costituito da tutti i punti di frontiera di .

ESTREMO SUPERIORE, ESTREMO INFERIORE

Maggiorante: sia ⊂ ℝ, diremo che ∈ ℝ è maggiorante di A se ∀ ∈ riesce ≤ .

Osservazione:

Se = ℝ non esiste il maggiorante (poiché sup ℝ = +∞).

Minorante: sia ⊂ ℝ, diremo che ∈ è minorante se ∀ ∈ riesce ≤ .

Se = ℝ non esiste il minorante (poiché inf ℝ = −∞).

Insieme limitato: un insieme si dice limitato se possiede maggiorante e minorante.

Assioma di Dedekind (o di contiguità o di completezza)

Per ogni insieme limitato esiste il minimo dei maggioranti (estremo superiore) ed esiste il

massimo dei minoranti (estremo inferiore).

Proposizione (con dimostrazione)

Se A è limitato, allora sup e inf sono punti di accumulazione

Osservazione

• Se non esistono maggioranti allora sup = +∞

• Se non esistono minoranti allora inf = −∞

Caratterizzazione estremo superiore:

sup è l’estremo superiore di A, ovvero il minimo dei maggioranti, se e solo se:

1. ∀ ∈ ≤ sup [è un maggiorante]

2. ∀ > 0 ∃ ∈ ∶ sup − < ≤ sup [è il minimo dei maggioranti]

Caratterizzazione estremo inferiore:

inf è l’estremo inferiore di A, ovvero il massimo dei minoranti, se e solo se:

1. ∀ ∈ inf ≤ [è un minorante]

2. ∀ > 0 ∃ ∈ ∶ inf ≤ < inf + [è il massimo die minoranti]

Teorema di unicità dell’estremo superiore (con dimostrazione)

L’estremo superiore è unico.

Teorema di unicità dell’estremo inferiore (con dimostrazione)

L’estremo inferiore è unico.

MASSIMO E MINIMO LOCALE

Massimo globale: se l’estremo superiore di un insieme è raggiunto.

Minimo globale: se l’estremo inferiore di un insieme è raggiunto.

Massimo locale: se l’estremo superiore di un sottoinsieme è raggiunto

Minimo locale: se l’estremo inferiore di un sottoinsieme è raggiunto.

Punto di massimo globale: sia : ⊂ ℝ → ℝ, con aperto e sia ∈ , si dice punto di

0 0

( ) ( ),

massimo globale per se ≤ ∀ ∈

0

Punto di minimo globale: sia : ⊂ ℝ → ℝ, con aperto e sia ∈ , si dice punto di

0 0

( ) ( ),

minimo globale per se ≥ ∀ ∈

0

Punto di minimo locale: sia : ⊂ ℝ → ℝ, con aperto e sia ∈ , si dice punto di

0 0

( ) { } ( )

| |

minimo locale per se ∃ = ∈ ∶ − < ∶ ∀ ∈ ( ) si ha che ≤ ()

0 0 0 0

Punto di massimo locale: sia : ⊂ ℝ → ℝ, con aperto e sia ∈ , si dice punto di

0 0

( ) { } ( )

| |

massimo locale per se ∃ = ∈ ∶ − < ∶ ∀ ∈ ( ) si ha che ≥

0 0 0 0

()

Osservazione

Se è punto di minimo locale per ⟹ è punto di massimo locale per −.

0 0

Se è punto di massimo locale per ⟹ è punto di minimo locale per −.

0 0

INTORNO SFERICO

Intorno di centro ∈ ℝ e raggio è l’insieme dei punti che distano da meno di .

0 , 0

0

• { }

| |

intorno aperto: = ∈ ℝ: − <

, 0

0

• { }

| |

intorno chiuso: = ∈ ℝ: − ≤

, 0

0

• ̃ { }

| |

intorno spuntato o bucato: = ∈ ℝ: 0 < − <

, 0

0

INTERVALLO

Intervallo:

• [, ] {: }

intervallo chiuso: = ≤ ≤

• (, )

intervallo aperto: = {: < < }

• (, ]

intervallo semiaperto: = {: < ≤ }

• [, )

intervallo semiaperto: = {: ≤ < }

INSIEMI

Insieme aperto: | |

1. si dice insieme aperto se ∀ ∈ ∃ = {: − < } tale che ⊂ .

0 0

0 0

2. si dice insieme aperto se ogni suo punto è un punto interno.

3. si dice aperto se e solo se non contiene nessun punto di frontiera.

Proprietà insiemi aperti:

• L’unione di insiemi aperti è un insieme aperto.

• L’intersezione di due insiemi aperti è un insieme aperto.

Insieme chiuso:

1. ⊆ è chiuso ⟺ contiene tutti i suoi punti di accumulazione

∀( )

2. C è chiuso ⟺ ∈ ∶ → * ⟹ *∈

3. ⊂ si dice chiuso se è complementare di un insieme aperto

4. C è chiuso se e solo se è uguale alla sua chiusura.

5. è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di frontiera.

Teorema (con dimostrazione) o prima definizione di insieme chiuso

⊆ è chiuso ⟺ contiene tutti i suoi punti di accumulazione .

Proprietà

• L’intersezione di insiemi chiusi è un insieme chiuso

• L’unione di un numero finito di insiemi chiusi è chiuso.

1

Osservazione: Q non è chiuso, ad esempio: lim (1 + ) =

→∞

Nota bene!

Un insieme non aperto non è necessariamente chiuso

̅

Chiusura dell’insieme A: = ∪ dove è il derivato di A (ovvero l’insieme di tutti i punti

di accumulazione dell’insieme).

Osservazione

La chiusura dell’insieme A è il più piccolo insieme chiuso contenente A, ovvero l’intersezione

di tutti gli insiemi chiusi contenenti A

̅ =∩ con ⊂ , ℎ

Insieme compatto: diciamo che l’insieme è compatto o sequenzialmente compatto se ogni

successione in ammette una sottosuccessione convergente a qualche punto di .

Osservazione { }

Un insieme è chiuso se e solo se per ogni successione ⊂ che converga in , il suo

limite appartiene ad .

Osservazione (con dimostrazione)

Se è un insieme compatto e ⊂ è un insieme chiuso, allora anche è compatto.

Teorema (con dimostrazione)

Se è compatto, allora è chiuso e limitato.

Teorema

Per un insieme , le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1) è compatto

2) “ogni copertura aperta di ammette una sottocopertura finita”, cioè per ogni famiglia

{ : ∈ Γ} di insiemi aperti tale che ⊂ esiste un sottoinsieme finito Γ ⊂ Γ

⋃

0

∈Γ

tale che ⊂

⋃

∈Γ

0

3) Ogni sottoinsieme infinito di ha almeno un punto di accumulazione in .

Insieme sequenzialmente compatto (ovvero compatto per successioni): ⊂ si dice

( )

sequenzialmente compatto se da ogni successione ∈ si può estrarre almeno una

sottosuccessione ( ) convergente ad un elemento ̅ ∈ .

Teorema di Heine-Borel (con dimostrazione)

Condizione necessaria e sufficiente affinché ⊂ ℝ sia compatto è che sia chiuso e limitato.

Nota bene!

In uno spazio vettoriale di dimensione infinita, se è chiuso e limitato non è vero che K è

compatto. Questo vale solo per spazi a dimensione finita.

Osservazione

è aperto ⟺ =

Insieme convesso: quando presi due punti appartenenti all’insieme, il segmento che

congiunge questi due punti è tutto contenuto nell’insieme.

Proposizione

Un sottoinsieme di ℝ è convesso ⟺ è un intervallo.

Insieme induttivo: ⊆ si dice induttivo se: 1. 0 ∈

2. se ∈ ⟹ + 1 ∈

MASSIMO E MINIMO: ++|−|

max(, )

Massimo: siano , ∈ ℝ, = 2

+−|−|

min(, )

Minimo: siano , ∈ ℝ, = 2

I NUMERI REALI

Numero: elemento di un insieme per cui valgono:

• Proprietà algebriche

o Somma

o Prodotto

• Proprietà di ordinamento

• Assioma di contiguità (di Dedekind)

PROPRIETÀ ALGEBRICHE (⟹ ℝ è un campo)

Nell’insieme ℝ sono definite due operazioni:

• Addizione

• Moltiplicazione

Con le seguenti proprietà:

Associatività

▪ Commutatività

▪ Distributività

▪ Esistenza dell’elemento neutro

▪ Esistenza dell’opposto

▪ Esistenza del reciproco

Dalle proprietà precedenti seguono tutte le regole usuali dell’algebra elementare:

• ∙0= 0

• Semplificazione per l’addizione: se + = + ⟹ =

• Semplificazione per la moltiplicazione: se ∙ = ∙ ⟹ =

• Definizione di sottrazione: ∃! ∶ + = ⟹ = −

• Definizione di divisione: ∃! ∶ ∙ = ⟹ = ÷

• Legge di annullamento del prodotto: se = 0 ⟹ = 0 ∨ = 0 ∨ entrambi = 0

PROPRIETÀ DI ORDINAMENTO TOTALE (⟹ ℝ è un campo ordinato)

La proprietà che permette di confrontare due numeri reali attraverso la relazione ≤.

Proprietà:

• Proprietà di dicotomia: ≤ ∨ ≤

• Proprietà di transitività: se ≤ ∧ ≤ ⟹ ≤

• Proprietà di antisimmetria: se ≤ ∧ ≤ ⟹ =

• Proprietà riflessiva: ≤

➢ se ≤ ⟹ ∀ ∈ ℎ + ≤ +

➢ se 0 ≤ ∧ 0 ≤ ⟹ 0 ≤

➢ ( )

+ = +

Assioma di Dedekind (o di contiguità o di completezza)

Per ogni insieme limitato esiste il minimo dei maggioranti (estremo superiore) ed esiste il

massimo dei minoranti (estremo inferiore).

Osservazione

• ℚ non è completo

• ℝ è completo

TEOREMI SUI NUMERI NATURALI:

Principio di Archimede (con dimostrazione)

Se , ∈ ℝ sono positivi allora ∃ ∈ ℕ : ⋅ >

+

TEOREMI SUI NUMERI RAZIONALI:

Proprietà di densità di (con dimostrazione)

∀, ∈ ℝ e < , ∃ ∈ ℚ ∶ < <

⟹ ci sono infiniti numeri razionali compresi tra due numeri reali e .

TEOREMI SUI NUMERI IRRAZIONALI:

TEOREMI SUI NUMERI REALI:

Osservazione

ℝ non è compatto perché non è limitato.

SUCCESSIONI

Successione: una successione è una funzione che ha come dominio l’insieme dei numeri

naturali.

Definizione alternativa: {0} () ( ) { }

Successione: sia : ℕ − → ℝ con ∈ ℕ, → = e = , , , …

1 2 3

MODALITA’ DI SUDDIVISIONE DELLE SUCCESSIONI

• In base al segno

• In base alla convergenza

• In base alla crescenza

SEGNO DI UNA SUCCESSIONE

• Positiva se > 0 ∀

• Negativa se < 0 ∀

• Non positiva se ≤ 0 ∀

• Non negativa se ≥ 0 ∀

• Nulla se = 0 ∀

• A segno variabile, se ⋅ < 0

+1

o Definitivamente positiva se ∃̅: ∀ > ̅ > 0

o Definitivamente negativa se ∃̅: ∀ > ̅ < 0

o Definitivamente non positiva se ∃̅: ∀ > ̅ ≤ 0

o Definitivamente non negativa se ∃̅: ∀ > ̅ ≥ 0

o Definitivamente nulla se ∃̅: ∀ > ̅ = 0

o Definitivamente a segni alterni se ∃̅: ∀ > ̅ ⋅ < 0

+1

COME CAPIRE IL SEGNO DI UNA SUCCESSIONE

1) Tramite disequazioni. ( ):

Associo alla successione una funzione ℝ → ℝ, e dopodichè individuo degli

intervalli compatibili con l’insieme dei numeri reali.

2) Tramite principio di induzione.

Osservazione

Esistono due tipi di successione:

• Successione convergente

• Successione divergente

Definizione

Successione convergente:

( ) ( )

sia una successione, diremo che ∈ ℝ è il limite finito di per → +∞ se ∀ > 0

| |

∃̅ ∈ ∶ ∀ ≥ ̅ si ha − < .

Osservazione

Il limite è un punto di accumulazione della successione, poiché in ogni intorno centrato in

cadono infiniti punti della successione.

Osservazione

Una successione è convergente se e solo se ammette punto di accumulazione.

Teorem