Appunti di analisi matematica: dalle proprietà algebriche all'algebra dei limiti

Numeri e insiemi numerici

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Introduzione

Nel nostro cervello abbiamo già i numeri. Ci sono fasce che rispondono a numeri diversi sia nell'uomo che negli animali (Vittoriato).

Ogni età e cultura conoscono i numeri fino al 4.

Numeri naturali N

In matematica sono: 1, 2, 3, 4, ... = interi positivi.

_{87; 51.000? Boh, in alcuni discorsi sì, in altri no.}

Numeri relativi interi Z

Sono nati grazie al commercio: segno + davanti = debito

sono -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...

Lettera "Z" = "numeri" in tedesco ("Zahle")

• -X
• x = -x
• -(-5) = +5

X = simbolo per un numero

Numeri razionali Q

Sono frazioni con numeratore e denominatore interi.

sono -3/2, 5/3, 7/1 ...

Lettera "Q" come iniziale di "Quoziente".

Tra 0 e 1 ci sono numeri razionali.

RAPPRESENTARE Nⁱ RAZIONALI

Immaginiamo di far “piovere i punti sull'”asse x.

C'era il gruppo di pitagorici che voleva basare tutto sui nⁱ razionali e la notizia musicale. C'è il punto dove non c'è nessun n^o raz.

NUMERI DECIMALI CON INFINITE CIFRE

1, nⁱ: 3 = 0,333Se ho n^o razionale e lo esprimo come decimale infinito, viene periodica.

pronte messa

anterperiodo (lungo, anche vuoto)

periodo che si ripete

0, 3, 3, 3

0,1010010001... questo numero non è periodico (è irrazionale)

DIMOSTRAZIONE

Questo numero non è periodico perfettoma si può scrivere in questo schema.Se qualcosa non si può fare, si fa ladimostrazione per assurdo.

Tutti gli algoritmi di lunghezza n vengono messi in ordine alfabetico / cifrato numerico crescente es. algoritmo con numero viene prima di 1 con lettera.

Ordine di lunghezza 2

Adozione di un ABC associato al processo algoritmico.

Diagramma di algoritmi: passo dietro l'ordine alle caselle partendo dalla cima

Raccolgo le cifre lungo la diagonale, e le metto in fila

0 0 3 0 5 7...

Scambio 2 ad 1 ad 1 senza usare il (portando a lettera periodica) = metto cifra diversa

a caso (1 1 0 1 0 0

O 1 1 0 1 0 0

... e "allineamento decimale infinito".

Questo allineamento non è generabile da 1 algoritmo! Perché?

Proprietà Algebriche

Somma e Prodotto

1. Proprietà commutativa della somma: x + y = y + x
2. Proprietà associativa della somma: (x + y) + z = x + (y + z)
3. Esistenza dello 0: x + 0 = x
4. Esistenza dell'opposto: x + (-x) = 0
5. Proprietà commutativa del prodotto: x · y = y · x
6. Proprietà associativa del prodotto: (x · y) · z = x · (y · z)
7. Esistenza dell'1: x · 1 = x
8. Esistenza del reciproco: x · (1/x) = 1, x ≠ 0
9. Proprietà distributiva: x · (y + z) = x · y + x · z

Proprietà dell'Ordine

1. Tricotomia: x < y, x = y, x > y
2. Transitività: se x ≤ y e y ≤ z, allora x ≤ z

Implicazione

p : x ∈ Aq : x ∈ B

1. Vero
2. Falso
3. Vero
4. Vero

A ⊆ B

Equivalenza

p : x ∈ Aq : x ∈ B

1. Vero
2. Falso
3. Vero
4. Falso

A = B

Predicati

x₁ > 0

x² + 1 < 0

Implicazioni sempre vere

• Invarianza per trasposizioni
• Invariato per omotetie
• Transitività: x < y e y < z
• Somma membro al membro di disequazione: x < y ➔ x + z < y + z
• Somma membro al membro di equazione: x = y ➔ x + z = y + z
• Elevamento al quadrato: x < y ➔ x² < y²

x = 9

Proprietà: Implicazione semplice

• p : Antecedenteq : Consequente
• verà p ➔ q
• da verità si sposta nella direzione della freccia, da falsità "in direzione opposta".

Insiemi di numeri

Quali numeri: (Naturali) (Interi) (Razionali) (Reali)

N Z Q R

{1, 2, 3, ..., 10 (appassiono - termini)}

{1, 2, 3, 4, ... (appassiono - ordini)}

Insiemi ordinati:

A

p(x)

Propr. predicato

Premese ambiente

(x∈A | p(x))

variabile tale che

All'inizio A, poi x∈A

test p(x)

• se vero, x viene messo nel sottoinsieme
• se è falso

Numeri pari: n∈N∧n è pari

Variabile:

f(x)

(x∈A sottoinsieme)

• se vero, f(x) viene messo nel sottoinsieme

All'inizio A, poi x∈A

test p(x)

• se vero, f(x) viene messo nel sottoinsieme
• se è falso

Numeri pari: n dispari non ∃n² ∈ N che n dispari!

Quantificatori:

Come si legge:

{x∈A | p(x) : "l'insieme degli x∈A tali che vale p(x)".

{n²∈N e n pari} : "insieme dei valori di n al quadrato degli n tali che n è pari".

GRAFICO

f(x) = |x|

x ≤ 0 (bisettrice 2^a quadrante)

x ≥ 0 (bisettrice 1^o quadrante)

g(x) = |x - 1|

a sx di 1 (1^o caso) x < 1

a dx di 1 (2^o caso) x ≥ 1

PROPRIETÀ ALGEBRICHE

• |x * y| = |x| * |y| → il valore assoluto del prodotto, è il prodotto dei valori assoluti.
  • es. |3x| = 3|x| = |3| * |x| = 3|x|
  • es. |-2x| = 2|x|
• |x²| = x → esempio: so il segno di x. Non serve se si sa che è positivo.
  • es. √((x + y²)²) = 1 + x + 2
• |x + y| ?= |x| + |y| → non sempre!
  • es. x = 4, y = -2 |4 + 2| = |4| + |2| 5 9
  • risolvi
  • ma
  • es. x = -1, y = -2 |4 + (-2)| = | |4| + |2|?
  • NO

|x + y| ≤ |x| + |y| ...disuguaglianza triangolare

(start da quello + interno)

2x

• - x - 2x < 0
• x + ( - 4 - 2x ) < 2x

x - ( 1 - 2x ) > 0

• 1 - 2x > 0

x - ( 1 - 2x ) > 2x

( x - ( 1 - 2x ) ) > 2x

x ≥ 4 / 5

φ

x < 1 / 5

Potenze

Regola

3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ numero di fattori= numero moltiplicato per se stesso

3 · 3 · 3 · 33 · 3 · 3 · 3

aⁿ = a · a · a · ... · an fattori

Proprietà

• aⁿ a^m = a^n+m stessa base
• aⁿ bⁿ = (ab)ⁿ stesso esponente
• (a²)^m = a^n·m
• (-1)ⁿ 1, se n è pari-1, se n è dispari
• a⁰ = 1
• aⁿ : a^j dividoa^n-j : a^k
• (^a/_b)ⁿ = ^hn/_aⁿ

Disequazioni con Radice Quadrata

Con valore assoluto o con radice

Disequazione con ¹/₂ → cambio in 1 combinazione di disequazione senza ¹/₂

Disequazione con ¹/₄ → cambio in 1 combinazione di disequazione senza ¹/₄

Casi tipici:

• ^√A > B
• ^√A ≥ B
• ^√A < B
• ^√A ≤ B