Appunti di analisi matematica: dalle proprietà algebriche all'algebra dei limiti

Lezione 1

Numeri e insiemi numerici

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INTRODUZIONE

Nel nostro cervello abbiamo già "numeri". Ci sono fasce che rispondono a numeri diversi, sia nell'uomo che negli animali (Vittigliano). Ogni tribù e culture conoscono i numeri fino al 4.

NUMERI NATURALI IN

In matematica sono 1, 2, 3, 4... = interi positivi. - 57 000? Beh, in alcuni discorsi sì, in altri no.

NUMERI RELATIVI INTERI Z

Sono nati grazie al commercio: segno - davanti è debito. Sono: ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3,... Lettera "z" "zutmeni" in tedesco ("zahle")

-_x                                 x = -5                     -(-5) = +5             x simbolo per un numero

NUMERI RAZIONALI Q

Sono frazioni con numeratori e denominatori interi. Sono: 3/5, 2/5 ... 5/3, 7/2 ...

Lettera "q" come iniziale di "quoziente". Tra 0 e 1 ci sono infiniti numeri razionali.

Lezione 1

INTRODUZIONE

Nel nostro cervello abbiamo già i numeri. Ci sono fasce che rispondono a numeri diversi, sia nell’uomo che negli animali (Villottogara). Quasi tutte le culture conoscono i numeri fino al 4.

NUMERI NATURALI N

In matematica sono: 1, 2, 3, 4, ... = interi, positivi.

NUMERI RELATIVI INTERI Z

Sono nati grazie al commercio: segno - davanti = debito.

Sono: ..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...

Lettera in “Z” “zahlen” in tedesco (“zahl”)

-X ———> X=5 ———> -(5) : +5 X simbolo per un numero

NUMERI RAZIONALI Q

Sono frazioni con numeratori a e denominatori interi.

Sono: ... 2, 3, 5 ..._{, 5}, ₇ ...

Lettera “q” come iniziale di “quotiente”.

Tra 0 e 1 ci sono ∞ numeri razionali.

RAPPRESENTARE Nⁱ RAZIONALI

immaginiamo di far "piovere i punti sull’" asse x.

C’era un gruppo di pitagorici che voleva basare tutto sui nⁱ razionali x 1 motivo musicale.

C’è il punto dove non c’è nessun n^o raz.

NUMERI DECIMALI CON INFINITE CIFRE

1 : 3 ≠ 0,333, Se ho un n^o razionale e lo esprimo come decimale infinito, viene periodico.

• parte intera
• antiperiodo (lungo o anche vuoto)
• periodo che si ripete

3 0

3 3 3 3

0,10100100010000100000 1... → questo numero non è periodico (è "irrazionale")

Dimostrazione

questo numero non è periodico perché non si può scrivere in questo schema.

Se qualcosa non si può fare, si fa la dimostrazione per Assurdo.

Dimostrazione per assurdo

0,1₀1₀2₀3₀4₀...₀d

Se quella m si allineasse col periodo

vorrebbe dire che il periodo avrebbe solo zeri

ma la cifra seguente non può essere

1 e 0 insieme

n cifre

m cifre

interno

anteperiodo

periodo

2n

...

000...1000...000...

m

e se fosse nell'anteperiodo?

2m + n

poco...000...01

identifichiamo che il blocco entra nello schema

0000

però poi ci dovrebbero

essere 0 e 1 insieme

00

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14...

Nemmeno questo è periodico

ci sono comunque zeri, blocchi di zeri

che si allungano (10,100,1000...)

Fra i numeri 1,5⁴ e 1,6⁴ inserisco un n° irrazionale: p,5⁶7⁸9⁰1⁰1⁰1,00¹...

Fra 2 numeri dati, ci sono infiniti numeri razionali e irrazionali

NUMERI REALI R

Sono tutti numeri decimali con infinite cifre, sia periodici che non.

Si chiamano "reali" x l'antico storico.

0,999999... 2 rappresentazioni diverse,

1,0000... dello stesso numero

COME SI RAPRESENTANO I NUMERI REALI GEOMETRICAMENTE

e' il retto, pero' di da quella dei numeri razionali, perche' qua mancano i buchi. Se tolgo i n° irrazionali rimangono fessure.

RAPPRESENTAZIONI

• N
• • 0 1 2
• Z
• • -2 -1 0 1
• Q
• I

Razionali: n° con virgola trasformabile. Irrazionale Ώ irrazionale

ALGORITMI

LEZIONE 2

CHE GENERANO N° REALI:

intero

0,09, 0,23, 2,10, 2,3

→ cifra di 0,3 di posizione n

• se n=1
• se n=0

festirisce

Algoritmo: x non vedere 1/3 come numero con le cifre ...

1,000...

Algoritmo INTEGRO

FATTO SORPRENDENTE

Non tutti