Appunti di Analisi Matematica

ℝ = insieme dei numeri reali a cui sono associate 2 leggi di composizione

⊆ Relazione d'ordine

Assioma fondamentale = Assioma di completezza

Somma, prodotto → proprietà associative

∀a, b, c ∈ ℝ: (a+b) + c = a + (b + c)

Somma → proprietà commutative

∀a, b ∈ ℝ: a + b = b + a

Somma → esistenza dell'elemento neutro "0"

∃0 ∈ ℝ t.c. a + 0 = a

Somma → esistenza dell'opposto

∀a ∈ ℝ ∃-a ∈ ℝ t.c. a + (-a) = 0

Prodotto → esistenza dell'elemento neutro "1"

∃1 ∈ ℝ t.c. a · 1 = a

Prodotto → ∀a ∈ ℝ^0: ∃a^-1 ∈ ℝ t.c. a · a^-1 = 1

a^-1 è unico e si denota con a^-1 oppure (reciproco di a)

Si postula l'esistenza di una infleazione d'ordine

Proprietà (Assiomi) della relazione d'ordine:

1. Riflessiva : ∀a ∈ ℝ: a ≤ a
2. Antisimmetrica : ∀a, b ∈ ℝ, a ≤ b, b ≤ a ⇒ a=b
3. Transitiva : ∀a, b, c ∈ ℝ, a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

Compatibilità della "minore o uguale" con la somma:

se prendendo a, b, c, tre reali se primo a ≤ b allora a+c ≤ b+c

Compatibilità della prodotto con la minore o uguale:

∀a, b, c ∈ ℝ a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c

Assioma di completezza (assioma fondamentale)

Assioma di Dedekind

Postulo sui sottoinsiemi non vuoti di numeri reali

∀n ogni A, B ⊆ ℝ, A ≤≤ B, ∅ ≤ ⊆ A, B ≤  ⊆ separante esiste

c ∈ ℝ t.c. ∀a ⊆ A, ∀b ⊆ B: a ≤ c ≤ b

* Relazione d'ordine = Opera su coppie di numeri reali in maniera ordinata.

ℝ = insieme dei numeri reali a cui sono associate 2 leggi di composizione

+

_{S Relazione d'ordine}

Assioma fondamentale = Assioma di completezza

- Somma ➔ proprietà associative ^∀a,_{b, c}∈ℝ : (a+b)+c = a+(b+c)

- Prodotto

- Somma ➔ proprietà commutative ^∀a,_b∈ℝ : a+b = b+a

- Prodotto

- Somma ➔ esistenza dell'elemento neutro "0" ➔ ^∃0∈ℝ t.c. a+0 = a

- Somma ➔ esistenza dell'opposto ➔ ^∀a∈ℝ ^∃a'∈ℝ t.c. a+a' = 0

- Prodotto ➔ esistenza elemento neutro "1" ➔ ^∃1∈ℝ t.c. a•1 = a

- Prodotto ➔ ^∀a∈ℝ ^∃a'∈ℝ t.c. a•a' = 1

a' è unico e si denota con ¹/_a oppure a ^-1 (reciproco di a)

➔ si postula l'esistenza di una relazione d'ordine

Proprietà (assiomi) della relazione d'ordine:

1) Riflessione: ^∀a∈ℝ a ≤ a

2) Antisimmetrica: ^∀a,_b∈ℝ, se a ≤ b e b ≤ a ➔ a=b

3) Transitiva: ^∀a,_{b, c}∈ℝ, se a ≤ b e b ≤ c ➔ a ≤ c

- Compatibilità della "minore o uguale" con la somma

se prendendo a, b, c reali se prendono e a ≤ b allora a+c ≤ b+c

- Compatibilità del prodotto con la minore o uguale

^∀a,_{b, c}∈ℝ e b≥0 e a ≤ b ➔ a•c ≤ b•c

b ^∊0, c^∊0

Assioma di completezza (assioma fondamentale)

Assioma di Dedekind

Postulo sul sottosistema non vuoti di numeri reali:

Presi ogni A, B ⊆ ℝ, A≠∅, B≠∅ e separati esiste c∈ℝ t.c. ^∀a∈A, ^∀b∈B: a≤c≤b

Separati = ^∀a∈A, ^∀b∈B: a≤b

Sottogruppi propri dei numeri:

• N: numeri naturali
• Z: numeri relativi
• Q: numeri razionali

Q = {p ∈ ℝ | ∃ m ∈ ℤ, ∃ n ∈ ℕ, n ≠ 0 t.c. p = m/n; m, n ^ʹ }

Perché usiamo ℝ e non ℚ:

• per risolvere alcune identità operazioni.
• non possiamo risolvere semplici equazioni. (x²=2)

Proposizione

(x²=2 non possibile in ℚ)

Non esiste x ∈ ℚ t.c. x² = 2

Dimostrazione

Supponiamo che esista q ∈ ℚ, q = m/n   (_{m ∈ ℤ n ∈ ℕ})

Scegliamo m e n primi tra loro, tale che   q² = 2 ossia m² = 2n²

Poiché m² è pari, risulta che m è pari m = 2p con p ∈ ℤ

pertanto si ha che 4p² = 2n² da cui segue n² = 2p²

quindi n è pari, cioè assurdo (contraddizione).

Teorema di incompletezza di ℚ

ℚ non è completo ossia ℚ non verifica l'assioma di completezza.

* no