Appunti di Analisi Matematica

ℝ = Insieme dei numeri reali a cui sono associate 2 leggi di composizione

_S = Relazione d'ordine

Assioma fondamentale = Assioma di completezza

Somma associativa ^{∀a, b, c ∈ ℝ} (a + b) + c = a + (b + c)

Somma commutativa ^{∀a, b ∈ ℝ} a + b = b + a

Sussistenza dell'elemento neutro "0" ^{∃0 ∈ ℝ ∀a ∈ ℝ} a + 0 = a

Somma opposto ^{∀a ∈ ℝ ∃a' t.c.} a + a' = 0

Esistenza dell'opposto

Prodotto associativo ^{∀a, b, c ∈ ℝ} (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

Prodotto commutativo ^{∀a, b ∈ ℝ} a ⋅ b = b ⋅ a

Esistenza dell'elemento neutro "1" ^{∃1 ∈ ℝ t.c. ∀a ∈ ℝ} a ⋅ 1 = a

Esistenza del reciproco di ^{a ∀a ∈ ℝ, a ≠ 0 ∃a-1 t.c.} a ⋅ a^-1 = 1

S. postula l'esistenza di una relazione d'ordine

Proprietà (Assiomi)

1. Riflessiva: ^{∀a ∈ ℝ} a _≤ a
2. Antisimettrica: ^{∀a, b ∈ ℝ} a ≤ b, b ≤ a _⇒ b = a
3. Transitiva: ^{∀a, b, c ∈ ℝ} a ≤ b, b ≤ c _⇒ a ≤ c

Compatibilità dell'ordine con la somma se prendendo ^{a, b, c} reali se prendendo ^{a ≤ b} allora ^{a + c ≤ b + c}

Compatibilità del prodotto con l'ordine compatibile: ^{∀a, b, c ∈ ℝ c > 0} a ≤ b _⇒ a ⋅ c ≤ b ⋅ c

^{c ∈ ℝ c < 0}

Assioma di completezza (assioma fondamentale)

Assioma di Dedekind: Insiemi non vuoti di numeri reali _{Postulo sugli insiemi non vuoti di numeri reali}

Per ogni A, B ⊂ ℝ, A ≠ ∅, B ≠ ∅ e separati esiste ^{c ∈ ℝ t.c. ∀a ∈ A ∀b ∈ B}: a ≤ c _≤ b

Sottosistemi propri dei numeri:

N: numeri naturali

Z: numeri relativi

Q: numeri razionali

Q = { ¯ p ∈ R | ∃m ∈ Z, ∃n ∈ N, n ≠ 0 t.c. q = m/n, m ∤ n² }

Perché usiamo R e non Q:

• per risolvere alcune identità geometriche
• non possiamo risolvere semplici equazioni (x² = 2)

Proposizione 2.1.002:

Non esiste x ∈ Q t.c. x² = 2

Dimostrazione:

Supponiamo che esista q ∈ Q, q = m/n

Scegliamo m e n primi tra loro, tale che q² = 2 ossia m² = 2n²

Poiché m² è pari, risulta che m è pari, m = 2p con p ∈ Z

Pertanto si ha che 4p² = 2n² de cui segue n² = 2p²

Quindi n è pari, cioè assurdo (contraddizione)

Teorema: incompletezza di Q

Q non è completo, ossia Q non verifica l'assioma di completezza.

*non esiste elemento di separazione (c) razionale

A ⊆ Q non vuoti e separati

B ⊆ Q

∄q ∈ Q, q di separazione tra A e B.

A = { ¯ p ∈ Q | ¯ p < q₁, 2 ≤ (q₁)² }

B = { ¯ p^e ∈ Q | p² ≤ 0, } ∪ {} ¯ p^e ∈ Q | 0 ≤ p^e, (p^e)² ≤ 2 }

∀q₁ ∈ A, ∀p^p ∈ B : p^p ≥ p^p2

∃ c ∈ Q, p^p ≤ c ≤ q₀, quindi questo implicherebbe che c² = 2, in ambi.t

razionale non esista

OH non è commensurabile e non è espresso da un razionale.

Teorema di densità di Q in R

Se a, b ∈ R, a < b, allora ∃ c ∈ Q ∩ R tale che a < c < b

∀ a, b ∈ R con a < b, ∃ q ∈ Q tale che:

a − √2 < b − √2 | per il teorema di densità di Q in R

∃ q ∈ Q: a − √2 < q < b − √2

c = q + √2

c irrazionale.

Principio di induzione completa

Se S ⊆ ℕ. Supponiamo che:

1. 0 ∈ S
2. (n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S) proprietà induttiva.

Allora risulta che S = ℕ.

Dimostrazione: Supponiamo S ≠ ℕ

∃ m = min (ℕ\S) ∈ ℕ

Per 1 si ha che M ≠ 0

Per 2 si ha che M - 1 + 1 = M ⇒ M ∈ S

Esercizio 1:

Siano x,y ∈ ℝ, 0 < x < y.

Allora ∀ h ∈ ℕ, n ≥ 1: xⁿ < c^yn

1. a ∈ S
2. Fisso n ∈ S, n ≥ 1, verifico che n + 1 ∈ S

Fisso h ∈ S, n ≥ 1, ossia xⁿ < c^yn

Voglio xⁿ⁺¹ = x · xⁿ < xⁿ · y < c^h · y = yⁿ⁺¹

Esercizio 2:

Sia a ∈ ℝ, a ≥ -1

Veniamo che ∀ n ∈ ℕ, h ≥ 2

(1 + a)ⁿ ≥ 1 + na

Entra in moto il principio di induzione perchè abbiamo infinita intorni,

S = {n ∈ ℕ | n ≥ 1, P(n) è vero}

1. 1 ∈ S è vero 1 + a ≥ 1 + a
2. Fisso n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S, ossia (1 + a)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1)a

Sia n

Esercizio:

Determinare z ∈ ℂ, se esiste, t.c. z² + 4 = |z + 4|²

• Svolgimento
• Troviamo x, y ∈ ℝ t.c. (x + y)² + 1 = [x + i(y - 1)]²
• x² + y² + 2ixy + 1 = x² + (y - 1)²
• y² + 2ixy + 1 = y² + 1 - 2y = 2ixy

Esercizio:

Determinare le soluzioni del sistema

• ℜ(z²) = Im(z)² = 0
• |z| = 1

RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI

z = (ρ, Θ), z ≠ 0

• ρ = |z|, Θ argomento di z
• Θ = Θ + 2kπ argomento di z
• ℜz = ρ cosΘ, Im z = ρ senΘ
• z = |z| (cosΘ + i senΘ)

z ∈ ℂ, z = |z| (cos Θ + i sen Θ), Θ argomento di z

w ∈ ℂ , w = |w| (cos α + i sen α), α argomento di w

zw = |z| |w| [cos Θ + i sen α] [cos α + i sen α] =

|z| |w| [cos α cos α - i cos α senα + i senα cos α - sen Θ sen α] =

|z| |w| {|cosα cos α - sen α sen α| + (i cos α sen α + cosα i senα) } =

|z||w| = {½ [cos (Θ + α) + sen (Θ + α)]}

Il nuovo argomento è la somma degli argomenti.

Surgettività:

Sia f: A → B una funzione. Si dice che f è surgettiva se f(A) = B.

• Se m ₀(ℝ) = ∅
• Se m ≠ 0 f(ℝ) = ℝ

Gf = {(x,x²) | x ∈ ℝ}

f(x²):_R→∞)

1. Definizione ristretta: Sia f: A → B una funzione. Sia C ⊆ A. Si chiama restrizione di f in C la funzione f|_C: C → B definita ponendo ∀x ∈ C f|_C(x) = f(x).
2. Definizione ridotta: Si chiama ridotta di f la funzione f|_A: A → f(A) definita ponendo ∀x ∈ A : (f|_A(x) = f(x).

Osservazione: Una funzione che sia iniettiva sia surgettiva si chiama biiettiva o invertibile.

Data bianca surgettività:

(f è invertibile) ⇔ (∀y ∈ B ∃! x ∈ A t.c. f(x) = y)

Definizione inversa:

Si chiama inversa di f,scrive f⁻¹, la f⁻¹: B → A definito ponendo ∀y ∈ B, f⁻¹(y) = x, x ∈ A t.c. f(x) = y.

Esempio:

Dimostro che la retta è invertibile. f: ℝ → ℝ f = mx + p, m ≠ 0 , p ∈ ℝ è invertibile.

Quindi, f⁻¹: ℝ → ℝ ∀ y ∈ ℝ, f⁻¹(y) = x, x ∈ R t.c. f(x) = y

y = mx + p

x = ^y−p/_m

f⁻¹(y) = ^y−p/_m = −^Ф/_m

LIMITI

L'insieme di ℝ si può ampliare, si può indicare ℝ̅, ed è dato da ℝ̅ = { +∞; -∞ }.

ℝ̅ si chiama Riempiuto, infinità estesa.

∀x ∈ ℝ: -∞ < x < +∞

-∞ < +∞

∞ non sta tra essi

Su ℝ̅ si può apporre una semilioribrattazione estendendo il tipo di complusione.

1. ∀x ∈ ℝ: x + (+∞) = +∞

   x + (-∞) = -∞

1. • +∞ + (+∞) = +∞ + ∞ = +∞
2. • -∞ + (-∞) = -∞ + ∞ = -∞

1 + (-∞) = FORMA INDETERMINATA (Non ha senso in ℝ̅)

1. ∀x ∈ ℝ, x > 0 :

• x . (+∞) = +∞
• x . (-∞) = -∞
• (+∞) . (+∞) = +∞
• (-∞) . (-∞) = +∞
• (-∞) . (+∞) = -∞
• 0 . (+∞) = FORMA INDETERMINATA

⁰/₀ = FORMA INDETERMINATA

^∞/_∞ = FORMA INDETERMINATA

Definizione Intorno:

Supponiamo di fissare x₀ ∈ ℝ̅.

1) Se x₀ ∈ ℝ, si chiama intorno di x₀ di zero ℝ l'insieme I (x₀, ε) = ]x₀-ε, x₀+ε[

→ I(x₀, z) if { x ∈ ℝ | |x-x₀| < z }

2) Se x₀ ∈ ℝ, x₀ ⇒ +∞, si chiama intorno di x₀ ∞ con seminette del tipo ]-ε, +∞[ ∪ ] 0, 0 ]

può indicarsi come ]-ε, b[ ]

Definizione Punto di Accumulazione:

Sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, Sia x₀ ∈ ℝ

Si dice che x₀ è punto di accumulazione di A, o punto A, in ℝ se risulta: ∀ε > 0, In A | { x } ≡ ∅

Δ(A) → derivato di A, insieme di accumulazione in ℝ̅.