Appunti di "Analisi Matematica 1"

Insiemi, numeri, successioni

Un insieme è un aggregato o una collezione di oggetti; tali oggetti si dicono elementi appartenenti all'insieme. Un insieme può essere definito per estensione, dicendo esplicitamente di quali elementi è composto, oppure per comprensione, enunciando un criterio che permetta di decidere se un ente appartiene o meno all'insieme.

Operazioni tra insiemi

L'inclusione: A ⊆ B ⇔ ∀a ∈ A, a ∈ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). Gode delle proprietà: riflessiva (A ⊆ A), transitiva (A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C) e antisimmetrica (A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B). A è sottoinsieme proprio di B se A ⊆ B ⇔ ∃b ∈ B : b ∉ A.

L'insieme delle parti ((A)) è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A, cioè (A) = {B : B ⊆ A}. Esso ha 2ⁿ elementi, dove n è il numero di elementi di A.

L'unione: x ∈ (A ∪ B) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B.

L'intersezione: x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B.

Il complementare di A rispetto a B (oppure in B) è ᗮ = {x ∈ A ᐟ x ∈ B}: A ᗮ B = B\A.

B ⊆ A ⇒ B ᗮ A = ∅. Dim.: ∀b ∈ B, b ∈ A (xHp.) ⇒ (x ∈ B ⇒ x ∈ A) ⇒ B ᗮ A = ∅. Sia x ∈ B ᗮ A ⇒ x ∈ B ∧ x ∉ A (c.v.d.).

B ⊆ A ⇒ A ∩ B = B. Dim.: (⊆) Sia x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ B. A ∩ B ⊆ B. (⊇) Sia x ∈ B , (xHp.) {(x ∈ B ⇒ x ∈ A)} ⇔ (x ∈ B) ∧ (x ∉ A) ⇒ x ∈ (A ∩ B). A ∩ B ⊇ B. Per le prop. antisimmetrica: A ∩ B = B (c.v.d.).

Le differenze: x ∈ (A ᗮ B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B. A ᗮ B = A ∩ (A ᗮ B).

INSIEMI, NUMERI, SUCCESSIONI

Un insieme è un aggregato o una collezione di oggetti; tali soggetti si dicono elementi appartenenti all'insieme. Un insieme può essere definito per estensione, dicendo esplicitamente di quali elementi è composto, oppure per comprensione, enunciando un criterio che permette di decidere se un ente appartiene o meno all'insieme.

Operazioni tra insiemi

L'inclusione: A ⊂ B ⟺ ∀x ∈ A, a ∈ B ⟺ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). Gode delle proprietà: riflessiva (A ⊂ A), transitiva (A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⟹ A ⊂ C) e antisimmetrica (A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⟹ A = B). A è sottoinsieme proprio di B se A ⊆ B ⟺ ∃b ∈ B : b ∉ A.

L'insieme delle parti ((A)) è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A cioè ((A) = {B : B ⊆ A}). Esso ha 2ⁿ elementi, dove n è il numero di elementi di A.

L'unione: x ∈ (A ∪ B) ⟺ x ∈ A ∨ x ∈ B.

L'intersezione: x ∈ (A ∩ B) ⟺ x ∈ A ∧ x ∈ B.

Il complementare di A rispetto a B (oppure in B) è = {a ∈ B : a ∉ A} = B \ A.

B ⊂ A ⟹ B \ A = ∅. DIM. ∀ b ∈ B, b ∉ A (x Hp.) ⟹ (x ∈ B ⟹ x ∉ x ∈ A) ⟹ B \ A = ∅. Sia x ∈ B \ A ⟹ x ∈ B ∧ x ∉ A.

B ⊂ A ⟹ A ∩ B = B. DIM. (⊆) Sia x ∈ (A ∩ B) ⟺ x ∈ A ∧ x ∈ B ⟹ x ∈ B. A ∩ B ⊂ B. (⊇) Sia x ∈ B, (x Hp.) {x ∈ B ⟹ x ∈ A} ⟺ {x ∈ B} ∧ {x ∈ A} ⟹ x ∈ (A ∩ B). A ∩ B ⊃ B. Per la prop. antisimmetrica: A ∩ B = B.

Le differenze: x ∈ (A \ B) ⟺ x ∈ A ∧ x ∉ B. A * B = A \ (A ∩ B).

Leggi di De Morgan

1. A ∪ B = A̅ ∩ B̅. Dim. Sia x ∈ A ∪ B ⇔ x ∉ (A ∪ B) ⇔ (x ∉ A) ∧ (x ∉ B) ⇔ x ∈ A̅ ∧ x ∈ B̅ ⇔ x ∈ (A̅ ∩ B̅). {(A ∪ B) ⊂ (A̅ ∩ B̅)}. Per il procedim. inverso: (A̅ ∩ B̅) ⊂ A ∪ B} ⇒ A ∪ B = A̅ ∩ B̅ (per entramium) (c.v.d.).
2. A ∩ B = A̅ ∪ B̅. Dim. Sia x ∈ A ∩ B ⇔ x ∉ (A ∩ B) ⇔ x ∉ A ∨ x ∉ B ⇔ x ∈ A̅ ∨ x ∈ B̅ ⇔ x ∈ (A̅ ∪ B̅). (A ∩ B) ⊂ (A̅ ∪ B̅) ⇒ A ∩ B = A̅ ∪ B̅ (per entramium indius.) (c.v.d.).

Esempio

Ex.: (A ∩ B) ∪ (A > B) = A. Dim. Sia x ∈ (A ∩ B) ∪ (A > B) ⇔ (x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A > B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ⇔ x ∈ A. (A ∩ B) ∪ (A > B) ⊂ A. Analogam. (A ∩ B) ∪ (A > B) ⊃ A ⇒ (per entr