Appunti di "Analisi Matematica 1"

Insiemi, Numeri, Successioni

Insiemi

x) Un insieme è un aggregato o una collezione di oggetti; tali oggetti si dicono elementi appartenenti all'insieme.

-) Un insieme può essere definito per estensione, dicendo esplicitamente di quali elementi è composto oppure per comprensione, enunciando un criterio che permette di decidere se un ente appartiene o meno all'insieme.

Operazioni tra insiemi

-) L'inclusione A ⊂ B ⇔ A: ∀a ∈ A, a ∈ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) Gode delle proprietà riflessive (ACA), transitive (ACB ∧ BCC ⇒ ACC) e antisimmetriche (ACB ∧ BCA ⇒ A=B).

-) A è sottoinsieme proprio di B se A ⊆ B ⇏ ∃b ∈ B: b ø A

x) L'insieme delle parti (P(A)) è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A cioè P(A) = {B : B ⊂ A} Esso ha 2ⁿ elementi, dove n è il numero di elementi di A.

-) L'unione: x ∈ (A ∪ B) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B.

-) L'intersezione: x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B.

-) Il complementare di A rispetto a B (oppure in B) è l = {a ∈ A: ̅ ̅ ̅} = B∖A.

p) B ⊂ A ⇒ B ∖ A = ∅

Dim. ∀b ∈ B, b ∈ A (xHp.) ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ A)) ⇒ B ∖ A = ∅ Sia x ∈ B ∖ A ⇒ x ∈ B ∧ x ø A

p) B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B

Dim. (-) Sia x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ B     A ∩ B ⊂ B (2.) Sia x ∈ B, (xHp.) (x ∈ B ⇒ x ∈ A) ⇔ (x ∈ B) ∧ (x ∈ A) ⇒ x ∈ (A ∩ B)     A ∩ B ⊃ B     Per le prop. antisimettriche: A ∩ B = B

) c.v.d.

-) La differenza: x ∈ (A ∖ B) ⇔ x ∈ A ∧ x ø B.

p) A ∖ B = A ∖ (A ∩ B)

Leggi di De Morgan

1. A ∪ B = Ā ∩ B̅

Dim.

Sia x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∉ A ∧ x ∉ B ⇔ x ∈ Ā ∧ x ∈ B̅ ⇔ x ∈ (Ā ∩ B̅)

A ∪ B = Ā ∩ B̅ (pr. bontà esterna)

(c.v.d.)

2. A ∩ B = Ā ∪ B̅

Dim.

Sia x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∉ Ā ∨ x ∉ B̅ ⇔ x ∈ Ā ∪ B̅

(A ∩ B) ⊂ (Ā ∪ B̅) ⇒ A ∩ B = Ā ∪ B̅ (pr. bontà interna)

(c.v.d.)

Ex.

(A ∩ B) ∪ (A > B) = A

Dim.

Sia x ∈ (A ∩ B) ∪ (A > B) ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A > B) ⇔ x ∈ A ∩ x ∉ B ∨ x (x ∈ A ∧ x ∉ B) ⇔ x ∈ A

(A ∩ B) ∪ (A > B) ⊂ A

Ampliamento (A ∩ B) ∪ (A > B) ⊃ A

(c.v.d.)

Applicazioni tra insiemi

Sono corrispondenze di insiemi; A' l'insieme di definizione (o di partenza) e B l'insieme di arrivo della relazione φ nelle scritture:

φ: A → B

Im φ = φ(A) = {b ∈ B / ∃a ∈ A, φ(a) = b} ⇔ φ(A) = {φ(a): a ∈ A}

φ(A) ⊂ B

1. Un'applicazione φ: A → B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A:

φ(A) = B ⇔ suriettiva ⇔ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A: φ(a) = b

2. Un'applicazione φ: A → B si dice iniettiva se ogni coppie di elementi distinti di A ha due immagini distinte:

φ iniettiva ⇔ ∀a, a* ∈ A, a ≠ a* si ha che φ(a) ≠ φ(a*)

3. Un'applicazione φ: A → B si dice biiettiva (o Bigettiva o Biunivoca) se essa è sia suriettiva che iniettiva:

φ biiettiva ⇔ ∀b ∈ B, ∃!a ∈ A : φ(a) = b

p) L'inverso rispetto al prodotto è unico.

Dim.

P.A. Sia p ∈ ℤ², ∃ q₁, q₂ ∈ ℚ t.c. (pq₁ = 1) ∧ (pq₂ = 1).

Allora p(q₁ − q₂) = q₁ − q₂ ≠ 0 ⇒ q₁ = q₂ ⇒ ∀ p ∈ ℤ − {0} ∃! q. pq = 1 (c.v.d.).

∃ q ∈ ℚ che può essere scritto come prodotto di ^a/_b, a ∈ ℤ, b ∈ ℕ

(a₁, a₂, ..., a_k) (b₁, b₂, ..., b_k)⁻¹ := ^{a₁ a₂ ... a_k}/_{b1 b2 ... bk}, z^/m

Indotti: (a₁b₁, a₂b₂, ..., a_kb_k) ∈ ℤ (b₁ b₂ ... b_k) ∈ ℕ

Ogni q ∈ ℚ può essere scritto come somma di ^z/_m, z ∈ ℤ, m ∈ ℕ

[^z/_m = ^z₁/_m1 + ^z₂/_m2 = ^{z₁m₂ + z₂m₁}/_m1m2 = ^z/_m ∀ z ∈ ℤ , ∃ m ∈ ℕ]

4) Il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B è l'insieme di tutte le possibili coppie formate da un elemento dell'insieme A e un elemento di B.

A × B = { (a,b) : a ∈ A, b ∈ B }

- Periodicità dei periodici

- Tutti i numeri periodici sono razionali.

- Eso.: 3̅14̅, 3̅

10x = 3̅14̅, 3̅̅ → 10x - x = (3143 - 314) ⇒ x = ²⁸²⁹/₉ = ⁹⁴³/₃ = ^z/_m

Oss.) 0, 9̅ = 1 xs spiezo considerando che qualsiasi cosa sommate a 0, 3̅ è > 1.

- Irrazionalità di √2

p) √2 non è razionale.

Dim.

P.A. ∃ z ∈ ℤ, n ∈ ℕ *; ^z/_n = √2 ⇔ z² = 2n² (* z e n li sceglio primi tra loro *)

⇒ z = pari ⇒ ∃j ∈ ℤ ; z = 2j

z² = 2n² = (2j)² = 2m² = 4j² − 2m² => m² = 2j² ⇒ m = pari; poichè z₁

m sono primi tra loro ⇒ √2 non è razionale ⇔ √2 ∉ ℚ. (c.v.d.)

- Successioni

1) Una successione reale è un'applicazione ∀: ℕ → ℝ che n rappresenta definendo f(₁(n), f(₂(n), ..., f(_n); x_n, m∈ ℕ, cioè m = x_n.

) Una successione è crescente (in senso largo) [risp. decrescente] se ∀ M∈ ℕ, x_n+1 ≥ x_n [risp. x_n+1 ≤ x_n].

) Una successione è crescente in senso stretto [risp. decrescente] se ∀ M∈ ℕ, x_n+1 > x_n [risp. x_n+1 < x_n].

- Costruzione di ℝ

III) _m→∞ |x_m - ℓ| = |y₁|

sim.

∀ ε > 0, ∃ εR, ∃ m₀ ∈ N: ∀ m ≥ m₀. ε > |x_m - ℓ| ≥ ||x_m| - |ℓ|| (corollario di str. tr. deg.)

(c.v.d.)

IV) _{Xm → ∞ Ym → ∞} |x_m/y_m - λ| → 0 ⇒ λ ≠ 0

Basta dim. che 1/y_m → 0

|1/λ| = 1/|λ| |y_m - λ|/y_m = |x_m/y_m| → 1/λ|x_m/y_m|

Gra, chieso z_m = 1/y_m : lim z_m = |x_m/y_m| = |x_m|/|λ| ≥ |z/2| > 0 ⇐ y numeramo ngco

∀ m ∈ N: y_m ≥ m z_m > 0 ⇐ y_m| ≥ λ|y₁|/|2/2|

Allore ∀ y_m ≥ m _m ≥ m, m _λ = 1/λ² ∈ E ∀ m ≥ m. z_m ≤ 1/x_m/x. 0 = ∃ A∈ N: z_m ∈ M:

Quindi |x_m/y_m - λ| ≤ 2^2E1/2 < ε ∀ m = max (m, m₀) tol che |1/y_m - 1/λ| < ε

∋2/y_λ/m ≤ ε ∀ m = max (m, m₀) = m₁

(c.v.d.)

- Unicità del limite -

P) Se, x_n ammette limite, allore questo; è unico.

Thm Unicità del limite.

Hp: ∃ x_n : lim x_n = l, l ∈ R ∪ {−∞; +∞} ⇒ th: ∃! l

DIM.

I) l, l' ∈ lR ; P.A.: x_nm→∞ = l ∧ x_nm→∞ = l', l' ≠ l

Assumo per comodità l < l'

Scie Z_m: x_m - λ^−2/2 < ε ⇒ lim Z_m = (1/l' + l^1/2)/2 > 0 ⇒ ∃ m ∈ N: ∀ m ≥ m. z ι^x

Allore ∀ Xm ≥ max (m, m') ∅ Z_m |< e⁻, x␣ → l ≠ m₁ = (imp ) ∃ l = l'

II) l ∈ lR e l' ± = l ∈ ∞ P.A. |x_mm→∞ = x | x_ml→∞ l ∩

Ho der ∀ ε > 0 ∃ m ∈ E: ∀ x_m|λ - 1/2| < ε ∧ m Σ d`e: ∃! ℰ j_m ∈ |NxM

∀ m ≥ m' x_m x ^{ε1 =. punudo ε' ∀ x_j 1/2 ε ⇐ x에}

Allore ∀ Xm ≥ max (m, m') à x ^m.

D'ε ∀ ε Eligibleo ma l-x x-x^−(1/x) ε < ε

ma ℰ < X_m − l < ε IMPOSSIBLE ∃= > ∃! l ≡ l' ⇒ l ≡ l'

(c.v.d.)

- Teorema del confronto -

Thm) Il confronto. ℭℰ : {x_n} una serieus real ℜ diverges ∈ +∞ [resp. - ∞ ] ^Σt

e ssi {y_n} una conferly, mal magiont Ήn regimex a Li a x_n ma infusion domain

allore anche {y_n} diverge + ∈ ℕ ∈ ∞ [resp. -∞]

^[§T] Hp: {x_n} : x_m→∞ = 0 [resp. ±∞] ; ∃ αγ ⟦ℜ _m e: ∀ m ≥ m: ⇐ th: y ∈y _n →±∞ [−∞]