Appunti di Analisi II

Equazioni differenziali ordinarie

y' = xt

y' + 5t y = t² e^t (y² + 5)

Definizione di equazione differenziale ordinaria

Se la funzione incognita è ad una sola variabile, si dice ordinaria.

Esempio di equazione ordinaria

Su(t) >= (tasso d'interesse)

u'(t) = ru(t) → u(t) = ce^rt

u(t₀) = u₀ condizione iniziale

Il problema differenziale con la condizione iniziale si chiama problema di Cauchy.

u(0) = u₀ = c → la soluzione diventa unica.

Ordine di un'equazione

L'ordine è dato dalla derivata più alta

y''' + 4y⁵ = 14 ordine

Equazione in forma normale

Se posso scrivere la derivata di ordine massimo come un'equazione in cui non compare y^.

Non tutte possono essere scritte in forma normale.

Principio di Peano

Quando non c'è unicità nella soluzione, ne ho infinite.

• y' = 3y^2/3
• y(0) = 0
• y(t) = t³

Se un'equazione dimostra: ∃ c > 0 : { f(x), x ∈ (a, b) } ≤ c |a - b| } allora la soluzione è unica → equazione di unicità

Esempi di equazioni differenziali ordinarie

• y' = x
• y' = 5y + e^tφ (y² + t)

Problema di Cauchy

Es: μ(t) PC\Tasso di interesse

μ'(t)= rμ(t) → μ(t) = ce^rt

μ(t₀)= μ₀ Condizione iniziale

Il problema differenziale con la condizione iniziale si chiama Problema di Cauchy

μ(0) = μ₀; c → la soluzione diventa unica

Ordine di un'equazione

Ordine della derivata più alta

y(4) + y" − y = 0 di 4 ordine

Principio di Peano

Quando non c'è unicità nella soluzione ne ho infinite

• y = 3x^2/3
• y' = 0
• u(0)=0
• u(t)=t³

Se un'equazione dimostra: [f(x,a); f(x,b)] ⊆ c [a-b] allora la soluzione è unica

Equazione di unicità

y¹=x

y(1)=1

y¹=xy= x²/2 + Cy= x²/2 + COX + C

Ho due costanti arbitrarie, c e C

y(1)= C=1

y(x)= x²/2 + COX + 1/6

Sono tutte soluzioni; per trovare una unica, devo imporre una nuova condizione

Esempi di equazioni differenziali a variabili separabili

y¹=y²

y^-2=1

y(0)=1

y^-2 dy= dt, ∫y^-2 dt= ∫dt

∫y^-4 dy= ∫1 dt, ∫y^-2 dy= ∫dt

z= 4(t)dz= 4(t) dt

y^-2 = x^-1

y^-1 x - 1y^-1 = x - 1 = xy= 1/(1-x)

Verifica

y^-2 y¹:(1-x)^-1 - 1/(1-2x)²

Non è definita per x=1

Posso trovare una soluzione per x=1? NO

Equazione differenziale a variabile separabile

y¹=g(y) h(x)

y(x₀)=y₀

caso particolare: h(u)=1

y¹=g(x)

y(x₀)=y₀

Esempio

y¹= 2x+5/(2x+5)

y(0)=1

y(x)= 2-deg(1/2x+5)+C

y(x)= x-deg(1/2x+5)+C1

y(x)= x-deg(1/2x+5)+c1, +1

Soluzione

Il problema ammette UNA SOLUZIONE cioè y(x)= x-deg(1/2x+5)+1+i deg(i)

Logaritmi

log_a b^c → a^c = ba > 0 → b > 0

Proprietà:

• log_a b + log_a d = log_a b dx
• log_a b = log_a b^x
• log_a b = log_c b / log_c a
• log_a b + log_a d + log_a d → log_c b + log_c a

Equazioni differenziali a variabili separabili

y¹ = xe^x

y₁ = xe^x → y⁴ x

∫y⁴ e^x dx = ∫e^x dx = x² / 2 + cy(0) = 1

y = ∫e dx = 1 / 2 ∫dg / e^x-e^{-x x2} / 2 = C - e^xC = -e^x

∫e^{-t g} → log ₀(e^x2 / 2)

se e^{-x g} / 2 >0

∫y⁴ = 1

∫y⁴ dx = ∫dx - x <</p>

∫(0,1) = 2y₂ dx / dx y = ∫2 ^x₂y² 2x + c = y² 2x + 2c → y₂ = 12x + 2c C = 2y(0) = 22 x2 + 4 perché y = (0,1) deve valere 2

∫y⁴ = 0

∫x dx = b = dx⁴ <</p>

∫2dx = x² / n < 2c > qq(1.) = 3y = 3

In generale

{"y'(x) = g(x) h(1)"} y(x) = 0

"la funzione costante è soluzione solo se c'è un valore r cui y(1) si annulla"

{"y'(x) = g(x) h^(,1)"} y(x) = 0

"la funzione costante non è soluzione se