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Analisi II – Appunti Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi II. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: le funzioni reali di più variabili reali, Proprietà Topologiche di R², Punto interno e interno di un insieme, Punto esterno, Punto frontiera e di frontiera, Punto di accumulazione e insieme... Vedi di più

Esame di Analisi II docente Prof. S. Giuga

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Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga Pagina 2 di 9

( )

Ogni funzione y = y(x), reale o complessa, di classe Cⁿ in I che verifichi si dice

*

una soluzione o anche un integrale dell’equazione differenziale. Se il termine noto

f(x) è nullo in I, l’equazione differenziale si dice omogenea.

Osservazione 1

L’equazione differenziale si dice lineare se, considerata la legge di corrispondenza:

( )

∈ n 1 +......+ a (x) y

L: y Cⁿ (I) yⁿ + a (x) y n

1

la quale viene chiamata operatore differenziale, si verifica facilmente che L gode

:

della seguente proprietà di linearità

L (c1y1 +c2y2) = c1L (y1) + c2 L (y2)

per ogni coppia c1 c2 di costanti reali o complesse.

Si noti ancora che, utilizzando l’operatore differenziale

( )

n 1 +......+ a (x) y

L (y) = yⁿ + a (x) y n

1

l’equazione differenziale iniziale si può scrivere sinteticamente nella forma

L(y) = f.

Osservazione 2

Si noti che, per la linearità dell’operatore L, se y e y sono soluzioni dell’equazione

1 2

omogenea L(y) = 0 anche ogni loro combinazione lineare c y +c y con le costanti

1 1 2 2

c e c è soluzione dell’equazione differenziale cioè

1 2 →

(L(y ) = L(y ) = 0) (L(c y +c y ) = 0)

1 2 1 1 2 2

IL PROBLEMA DI CAUCHY

Consideriamo di nuovo l’equazione differenziale lineare del I° ordine

y’ = f(x)

Abbiamo visto che, se f è continua nell’intervallo I, tutte le soluzione reali di tale

equazione differenziale si possono esprimere nella forma

x

= + ∈ ∈

y ( x ) f (

t ) dt c con x , xo I c R

xo

∀ ∈ ∈

Evidentemente xo I e per ogni ho R esiste un’unica soluzione di tale

equazione differenziale che verifica la condizione y(xo) = ho e tale soluzione e la

funzione

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Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga Pagina 3 di 9

x

= +

y ( x ) f (

t ) dt h

0

xo

sostituendo c = ho.

Conseguentemente possiamo affermare che l’equazione differenziale y’ = f(x)

ammette infinite soluzioni mentre il problema

=

 y ' f ( x )

 =

 y ( x ) h

0 0

∀ ∈ ∀ ∈

Ammette un’unica soluzione x0 I e h0 R.

Il problema sopra riportato si chiama un problema di Cauchy relativo all’equazione

differenziale y’= f(x) di punto materiale x0 e condizione iniziale y(x0) = h0.

Tutto ciò si generalizza come segue. Sia L(y) = f un’equazione differenziale lineare

di ordine n a coefficienti e termine noto continui in un intervallo I.

∀ ∈ ∀

x0 I e (h0, h1, …., h(n-1)) € Rⁿ il problema di determinare le soluzioni di tali

ⁿ ־

equazioni definite in I e verificanti le n condizioni y(x0) = h0, y(x0) = h1,….., y ¹

(x0) = ho si denota con il simbolo

=

 L y f

( )

 −

= = =

n

( 1

)

 y x h y x h y x h

( ) ' ( ) ( )

, ,........, −

n

0 0 0 0 0 1

E si chiama il problema di Cauchy di punto iniziale x0 e condizioni iniziali y(xo) =

h0 ........ relativo all’equazione differenziale L(y) = f.

Nel caso particolare dell’equazione differenziale y’= f(x) abbiamo visto che ogni

problema di Cauchy ammette un’unica soluzione reale.

Teorema di esistenza e di unicità

Se i coefficienti e il termine noto dell’equazione differenziale L(y) = f sono funzioni

∀ ∈ ∀

continue nell’intervallo I, x0 I e (h0, h1, …., h(n-1)) € Rⁿ esiste un’unica

soluzione reale del problema di Cauchy, e cioè un’unica soluzione reale y = y(x)

definita in I e verificante le n condizioni iniziali −

= = =

( n 1

)

y ( x ) h , y ' ( x ) h ,........, y ( x ) h −

0 0 0 0 0 n 1

INTEGRALE GENERALE E INTEGRALI PARTICOLARI

Premettiamo che se L(y) = f è un’equazione differenziale lineare di ordine n,

l’equazione L(y) = 0 si chiama equazione omogenea associata di L(y) = f. Una volta

data questa definizione l’equazione L(y) = f si chiama equazione completa.

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Ciò posto, abbiamo visto che un’equazione differenziale lineare L(y) = f di ordine n,

per il teorema di esistenza e di unicità, ammette infiniti integrali reali ciascuno dei

quali è soluzione di un problema di Cauchy. Conseguentemente ha senso la seguente

definizione.

Definizione (di integrale generale)

Sia L(y) = f un’equazione differenziale lineare di ordine n. Si chiama integrale

Ogni soluzione

generale di tale equazione l’insieme di tutti gli integrali reali.

dell’equazione stessa si chiama un integrale particolare.

Vogliamo ora mettere in luce una proprietà molto importante degli integrali di

un’equazione lineare.

Teorema ( sull’integrale di un’equazione lineare completa) y un suo

Sia L(y) = f un’equazione differenziale lineare completa di ordine n e

integrale particolare (prefissato una volta per tutte)

⇔ (y = y + con y : L(y ) = 0)

(y: L(y) = f) y

0 0 0

In altri termini: ogni integrale di un’equazione completa si esprime come somma di

un integrale dell’omogenea associata e di un integrale della completa; viceversa la

somma di un integrale dell’omogenea associata e di un integrale dell’equazione

completa è un integrale dell’equazione completa.

Dim.→

Se y è integrale di L(y) = f, per la linearità dell’operatore L, y = y - è un integrale

y

0

dell’omogenea associata L(y) = 0 e dunque y = y + con y integrale

y

0 0

dell’omogenea L(y) = 0.

Dim.←

Se y = y + con y : L(y0) = 0, per la linearità dell’operatore L, risulta anche L(y)

y

0 0

= y L(y ) + L( ) = 0 + f = f e dunque y è integrale della completa.

y

0

Il teorema è dimostrato.

Osservazione notevole

Da questo teorema si deduce che si conoscono tutti gli integrali dell’omogenea L(y) =

0 e un solo integrale particolare della completa L(y) = f, allora si conoscono anche

tutti gli integrali della completa L(y) =f.

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Conseguentemente: l’integrale generale di un’equazione lineare si esprime come

somma dell’integrale generale dell’omogenea associata e di un integrale particolare

(reale) della completa.

L’EQUAZIONE LINEARE DEL I° ORDINE

Ci proponiamo di determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

y’ + a(x)y = f(x)

con coefficiente e termine noto continui in un intervallo I. A tale scopo è bene

osservare che, per il teorema di esistenza e di unicità dell’equazione differenziale

lineare, l’omogenea associata ( ) y’ + a(x)y = 0

*

ammette in I, oltre all’integrale nullo, integrali reali che sono o sempre positivi in I

oppure sempre negativi.

Teorema

Considerata l’equazione lineare omogenea del I° primo ordine y’ + a(x)y = 0 e

indicata con A(x) una primitiva della funzione a(x), l’espressione

− A ( x )

y = c e

al variare di c in R fornisce tutti gli intervalli reali dell’equazione e cioè fornisce

l’integrale generale.

Dim.

Sia y(x) un’integrale reale dell’equazione y’ + a(x)y = 0 diverso dall’integrale nullo

y(x) = 0 per ogni x I. Essendo y(x) una relazione di y’ + a(x)y = 0 risulta:

y’(x) + a(x) y(x) = 0

da cui, ricordando che dy = y’(x)dx

1/y(x) dy = -a(x)dx

e integrando si ha successivamente

1

∫ ∫

= − = − + ∈

dy a ( x ) dx ; log y ( x ) A

( x ) K con K R

y ( x ) − + −

= = −

= ±

A ( x ) K k A ( x ) K A ( x )

y ( x ) e e e ; y ( x ) e e

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dove va scelto il segno + se y(x) > 0 in I, il segno – se y(x) < 0. Posto, infine, c =

± A ( x )

K

e si ha l’asserto quando avviene anche che per c = 0 l’espressione y = c e

fornisce l’integrale nullo. − A ( x ) ∀ ∈

c R è intergale

Viceversa, verifichiamo che l’espressione y = c e

dell’equazione y’ + a(x)y = 0. Si ha: −

− A ( x )

A ( x ) ⇒ y’ = – c e a(x)

y = c e

sostituendo nell’equazione y’ + a(x)y = 0 si ha l’asserto.

EQUAZIONE LINEARE OMOGENEA A COEFFICIENTI COSTANTI

Premettiamo che è noto dall’algebra che un’equazione di grado n

n n-1

a x + a x , …, a x + a = 0

0 1 n-1 n

se ammette una radice complessa ammette anche la radice

a coefficienti a , a , a reali

0 1 n

complessa coniugata e le due radici hanno lo stesso ordine di molteplicità.

Definizione

Consideriamo l’equazione lineare omogenea a coefficienti costanti a , a , …, a

1 2 n

(n) (n+1)

(*) L(y) = y + a y + …+a y = 0.

1 n

L’equazione algebrica di grado n n (n-1)

λ λ

p(λ) = + a + …+ a =0

1 n

(k) k

λ

che si ottiene dalla (*) sostituendo la derivata y con la potenza (k = 0, 1, …n) si

chiama equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea (*).

Teorema (Integrale particolare)

Considerata l’equazione algebrica caratteristica dell’equazione differenziale (*) ,

⇔ λx

(λ radice dell’eq. p(λ) = 0 reale o complessa) (y = e integrale dell’eq.diff.(*) )

λx

e cioè la funzione y = e è integrale particolare dell’equazione differenziale (*) se e

λ

solo se è radice della sua equazione algebrica caratteristica.

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Dim.

Risulta, in forza di quanto premesso sull’esponenziale complesso,

λx λx λx λx λx λx

n n-1

λ λ λ ∙

L(e ) = e + a e +…+ a e + a e = e p(λ)

1 n-1 n

e conseguentemente ⇔

λx ( p(λ) = 0).

( L(e ) = 0 )

Teorema Integrale generale

Considerata l’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n L(y) = 0 e detti

y (x), y (x),…, y (x) gli n integrali particolare reali e distinti determinanti col metodo

1 2 n

dell’equazione algebrica caratteristica l’espressione

y = c y (x) + c y (x)+…+c y (x)

1 1 2 2 n n

dove c , c , …, c sono n costanti reali arbitrarie, rappresentante l’integrale generale

1 2 n

dell’equazione differenziale L(y) = 0.

METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI

Consideriamo un’equazione differenziale lineare L(y) = f(x) a coefficienti costanti e

completa. Supponiamo che l’integrale generale è somma dell’integrale generale

dell’omogenea associata L(y) = 0 e di un integrale particolare dell’equazione stessa.

Ne segue che è molto importante determinare un suo integrale particolare (x).

y

Da ciò ne deriva il seguente teorema.

Teorema della variazione delle costanti (di Lagrange)

Siano y , y ,…, y gli n integrali particolari dell’omogenea L(y) = 0 che si ottengono

1 2 n γ γ γ

col metodo dell’equazione caratteristica e (x), (x), …, (x) n funzioni reali di

1 2 n

(1) γ γ γ

classe C . Se le derivate ’, ’, …, ’ di tali funzioni soddisfano il sistema:

1 2 n

γ γ γ

 ’y + ’y + … + ’y = 0

1 1 2 2 n n

 γ γ γ

’y’ + ’y’ + … + ’y’ = 0

1 1 2 2 n n

 ...............................................…;

 n(n-2)

1(n-2) 2(n-2) γ

γ γ

 + … + ’y = 0;

’y + ’y

1 2 n

 n(n-1)

1(n-1) 2(n-1) γ

γ γ + … + ’y = f.

’y + ’y

 1 2 n

γ γ γ

allora la funzione = (x)y (x) + (x)y (x) +..+ (x)y (x) è un integrale particolare

y 1 1 2 2 n n

dell’equazione completa L(y) = f.

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Dim.

Per semplicità dimostriamo il teorema supponendo l’equazione L(y) = f del secondo

γ γ

ordine. Dobbiamo provare che la funzione = (x)y (x) + (x)y (x) soddisfa tale

y 1 1 2 2

γ γ

equazione nell’ipotesi che ’ e ’ soddisfano il sistema

1 2

γ γ

 ’y + ’y = 0

1 1 2 2

 γ γ

’y’ + ’y’ = f.

 1 1 2 2 e tenuto conto della prima

Si tratta di una semplice verifica. Infatti, derivando y

equazione del sistema, si ha: γ γ

’ = y’ + y’

y 1 1 2 2

Derivando ancora e tenuto conto della seconda equazione del sistema si ha:

γ γ

’’ = f + y’’ + y’’

y 1 1 2 2

Sostituendo il tutto nell’equazione differenziale si ha:

γ γ γ

L( ) = ’’ + a (x) ’ + a (x) = f + y’’ + y’’ + a (x) (γ y’ + y’ ) + a (x)

y y y y

1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

γ γ γ

(γ y + y ) = f + L (y ) + L (y ) = f + 0 + 0 = f.

1 1 2 2 1 1 2 2

Il teorema è dimostrato.

EQUAZIONI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI CON TERMINE

NOTO DI TIPO PARTICOLARE

Il metodo di Lagrange per la determinazione di un integrale particolare

dell’equazione completa L(y) = f è molto laborioso perché richiede la risoluzione di

un sistema di equazioni lineari e il calcolo di integrali indefiniti.

Per tale motivo è molto utile nella pratica ogni procedimento che consente di evitare

l’uso del metodo di Lagrange.

Sussiste in proposito il seguente risultato che per brevità non dimostriamo.

Proposizione (integrale particolare)

Sia L(y) = f un’equazione lineare completa a coefficienti costanti c supponiamo che il

termine noto abbia l’espressione αx

(*) f(x) = e ( p(x)cosβx + q(x)senβx)

α β

con p(x) e q(x) polinomi a coefficienti e e costanti reali.

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α

In tali ipotesi se il numero complesso + iβ non è radice dell’equazione algebrica

caratteristica dell’omogenea associata L(y) = 0 allora l’equazione complessa ammette

l’integrale particolare (dello stesso tipo):

αx βx βx)

(x) = e (P (x) cos + q (x) sen

(**) y 1 1

essendo p e q due polinomi di grado uguale al maggior dei gradi dei polinomi p e q.

1 1

α

Se, invece, + iβ è radice dell’equazione caratteristica di molteplicità k (≥ 1)

l’equazione complessa ammette l’integrale particolare

αx

k βx βx).

(**) (x) = x e (p (x) cos + q (x) sen

y 1 1

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Capitolo 3

CURVE PIANE

Definizione 1(Parametrica / Curva piana) (0)

Sia P(t) = (x(t) , y(t)) una funzione vettoriale di classe C in un intervallo compatto

[a,b] e cioè a componenti x(t), y(t) continue in [a,b]. Si chiama curva parametrica

piana o brevemente curva piana, l’insieme

2 Є

Γ Є ∀ t [a,b]}

= { (x,y) R : x = x(t), y = y(t)

Π

o anche, punto P = (x,y) e indicato con in piano cartesiano (O, x, y):

Γ Є Π Є

= {P : P = P(t) per ogni t [a, b]}.

Le equazioni =

 x x t

( )

 t a b

€[ , ]

=

 y y t

( ) Γ

si chiamano equazioni parametriche della curva mentre t si chiama parametro e

[a,b] intervallo basi della rappresentazione parametrica.

L’equazione: P=P(t); t€ [a,b] dove P(t) = (x(t),y(t)), equazione parametrica della

Γ. Γ, Γ

curva I punti P’ = P(a) e P’’= P(b) si chiamano gli esterni di i punti di diversi

Γ.

dagli estremi punti interni a

È importante rilevare che con questa definizione esistono infinite rappresentazioni

Γ.

parametriche di una stessa curva Γ

Infatti se P = P(t), t € [a,b] è una rappresentazione parametrica di e t = t(a) è una

funzione continua definita nell’intervallo [c,d] e avente picco minimo nell’intervallo

[a,b], l’equazione P = P(t(a)), a € [c,d] è una nuova rappresentazione parametrica di

Γ. Essendo infinita la funzione continua in un intervallo compatto e avente per

condominio l’intervallo [a,b] è evidente che sono infinite le rappresentazioni

Γ.

parametriche di una curva piana

Da questo discorso si deduce, a rigore, sarebbe opportuno distinguere tra la nozione

di curva intesa come funzione vettoriale e quella di sostegno della curva e cioè come

luogo geometrico. Tuttavia non faremo questa distinzione, che riteniamo piuttosto

astratta, preferendo rimanere vicini all’idea intuitiva di una curva intesa come luogo

geometrico.

Definizione 2 (Curva semplice)

Γ

Una curva piana si dice semplice se esiste una sua rappresentazione parametrica

Є

P = P(t), t [a,b] tale che: ≠ ≠

t’ t’’ P(t’) P(t’’)

per ogni coppia t’, t’’ di valori del parametro t dei quali almeno uno è interno ad

[a,b]. Una tale rappresentazione parametrica si dice una rappresentazione semplice di

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Γ. Γ

In conclusione, una curva si dice semplice quando ammette rappresentazioni

parametriche semplici.

Osservazione 1 Γ

Si noti che dal punto di vista geometrico, una curva è semplice quando è possibile

descriverla, senza mai tornare indietro, passando una sola volta per ciascuno dei suoi

punti. Consideriamo, ad esempio le seguenti curve,

Mentre nelle prime due sono semplici la terza non lo è perché descrivendola è

necessario passare due volte per il punto P.

Definizione (Curva chiusa)

Γ

Una curva piana si dice chiusa se esiste una sua presentazione parametrica P = P(t),

Є

t [a,b] tale che P(a) = P(b). Ciò significa che, mediante una rappresentazione

Γ

parametrica gli estremi di e cioè P’ = P(a) e P’’= P(b) sono coincidenti.

Definizione (Curva regolare)

Γ

Una curva si dice una curva regolare se esiste una sua rappresentazione parametrica

(1)

Є

P = P(t), t [a,b] tale che la funzione vettoriale P(t) è di classe C in [a,b] e inoltre

Є

risulta P’(t) 0 per ogni t ]a,b[. Posto P(t) = (x(t), y(t)) ciò significa anche che le

(1) Є

+ > ∀

' 2 ' 2

funzioni scalari x(t), y(t) sono di classe C in [a, b] e tali che t

x (

t ) y ( t ) 0

Γ

]a,b[. Una rappresentazione parametrica di che verifichi le proprietà anzidette si

dice una rappresentazione parametrica regolare.

ORIENTAMENTO DI UNA CURVA SEMPLICE

Γ

Sia una curva semplice Є

P = P(t), t [a, b]

e una sua rappresentazione parametrica semplice. Tale rappresentazione parametrica

Γ

induce su un orientamento, che viene detto il verso delle t crescenti della

rappresentazione parametrica considerata, per il quale

(t’ < t’’) (il punto P’ = P(t’) precede il punto P’’ = P(t’’))

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Il verso opposto si chiama verso delle t decrescenti della rappresentazione

Γ

parametrica considerata. Si dice che è una curva orientata, quando si sceglie in

modo arbitrario uno dei versi anzidetti e il verso prescelto si chiama verso positivo.

Γ

Se scegliamo il verso delle t crescenti diremo che è orientata nel verso delle t

crescenti della rappresentazione parametrica.

Γ,

È possibile orientare prescindendo dalle rappresentazioni parametriche, nella

maniera seguente.

Γ Γ

1. Se non è una curva chiusa ( in tal caso si suole dire che è una curva aperta)

Γ

considerati su due punti distinti (che

≠ P’’

possono essere anche gli estremi) P’

Γ

restano individuati su due possibili versi di

percorrenza. Il verso che va da P’ a P’’ e il

Γ

verso opposto. Diremo che è una curva

orientata quando si sceglie , ad arbitrio, uno di questi due versi e tale verso

Γ.

prescelto si chiama verso positivo di

Γ

2. Se è una curva chiusa denotiamo con D il dominio

Γ.

limitato avente per frontiera la curva Restano allora

individuati due versi di percorrenza: il verso che

lascia alla sinistra i punti interni a D e il verso

Γ

opposto. Diciamo che è una curva orientata quando

scegliamo, ad arbitrio, una di queste due possibili

versi e il verso prescelto si chiamerà verso positivo di

Γ. Γ

Naturalmente quando la curva semplice è orientata intrinsecamente e si

Γ

considera una sua rappresentazione parametrica semplice il verso ridotto su da

tale rappresentazione parametrica cioè il verso delle t crescenti può essere

Γ.

concorde o discorde col verso positivo prefissato intrinsecamente su

RETTA TANGENTE

Γ Є

Sia una curva regolare, P = P(t), t [a,b] una

Γ.

rappresentazione parametrica regolare di Posto

P(t) = ( x(t) , y(t)) consideriamo la retta detta

secante, passante per i punti P = (x , y ) = (x(t ),

0 0 0 0

∆t) ∆t),

y(t ) ) = P (t ) e P = P (t + = ( x(t +

0 0 1 0 0

y(t +∆t)). Tale retta ha equazione

0 − −

x x y y

=

0 0

+ ∆ − + ∆ −

x ( t t ) x (

t ) y (

t t ) t (

t )

0 0 0 0

e cioè ∆t)

( y(t +∆t) – y(t ) ) ( x-x ) – ( x(t + – x(t )) (y – y ) = 0.

0 0 0 0 0 0

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∆t ∆t →

Dividendo questa espressione per e passando al limite per 0, in forza

Γ,

dell'ipotesi di regolarità di si ottiene la retta di equazione:

y’(t ) ( x –x ) – x’(t ) (y-y ) = 0,

0 0 0 0

Definizione 1 Γ

la quale prende il nome di retta tangente a nel punto P = (x , y ).

0 0 0

Osservazione 1 ≠ ∀

0 t € ]a,b[ garantisce l’esistenza

La condizione di regolarità P’(t ) = (x’(t ), y’(t ))

0 0 0

Γ

della tangente a in ogni punto interno. La curva è perciò una curva liscia e cioè

priva di punti angolari nei punti interni.

Definizione 2 (di vettore tangente e versore tangente)

Γ Γ

Nelle ipotesi poste su il vettore P’(t ) = (x’(t ), y’(t )) si chiama vettore tangente a

0 0 0

nel punto P = P(t ) = (x , y ).

0 0 0 0 Γ

Tale vettore è parallelo alla tangente a nel punto P = (x , y ) ed è orientato nel

0 0 0

Γ

verso indotto su dalla rappresentazione parametrica considerata.

Il vettore di modulo unitario  

 

' ( ) ' ( ) ' ( )

P t x t y t

= =

τ 0

0 0

( ) ,

t  

0 + +

' ( )

P t 2 ' 2

2 2

' ( ) ' ( ) ' ( ) ( )

x t y t x t y t

 

0 0 0

0 0

Γè

Si chiama versore tangente a una curva orientata nel punto P = (x , y ) = (x(t ),

0 0 0 0

Γ

y(t )). Se la curva è una curva orientata nel verso delle t crescenti della

0 τ(t

rappresentazione parametrica considerata, il versore ) si chiama versore tangente

0

Γ.

positivo relativo alla rappresentazione parametrica di

Osservazione 2 (1)

Γ

Se è il diagramma di equazione cartesiana y = ƒ(x) con ƒ di classe C

Γ

nell’intervallo [a,b], sappiamo che è una curva regolare e che una rappresentazione

Γ

parametrica regolare di è =

 x t ∈

 ; t [ a , b ]

=

 y f (

t )

Considerato il punto P = (x , y ) = (t , ƒ(t )) = (x , ƒ(x )), essendo x’= 1 e y’= ƒ’(t)=

0 0 0 0 0 0 0

Γ

∀ ∈

ƒ’(x) x [a,b], l’equazione della tangente a in P è

0

ƒ’(x ) (x - x ) - (y –ƒ(x )) = 0

0 0 0

e cioè y = ƒ(x ) + ƒ’(x ) (x - x )

0 0 0

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LUNGHEZZA DI UNA CURVA

Poligonale inscritta in una curva

Γ

Sia una curva semplice di estremi P’ e P’’ e consideriamo n+1 punti distinti P = P’,

0

Γ

P , P , …, P = P’’ di scelti in modo che P precede P , P precede P … ,P

1 2 n 0 1 1 2 n-1

precede P in uno dei due possibili

n Γ. π

orientamenti di La poligonale di vertici i

punti P , P , …P si chiama curva poligonale

0 1 n Γ.

inscritta sulla curva È evidente che di

Γ

poligonali inscritte in ne esistono infinite

per cui se denotiamo con l(π) la lunghezza

π,

della poligonale l’insieme {l(П)} delle

Γ

lunghezze delle poligonali inscritte in è un

insieme infinito.

Ciò posto si ha la seguente definizione. Γ)

Definizione 1( Curva rettificabile e lunghezza della curva

Γ

Si dice che la curva semplice è rettificabile se l’insieme {l(П)} delle lunghezze

delle poligonali inscritte è limitato superiormente. In tale ipotesi l'estremo superiore

Γ

l( ) = sup { l(π)} delle lunghezze delle poligonali inscritte si chiama lunghezza della

Γ.

curva

Si denota il seguente

Teorema di rettificabilità

Γ Є

Sia una curva semplice e P = P(t), t [a,b] una sua rappresentazione parametrica

(1)

semplice. Se la funzione vettoriale P(t) = ( x(t), y(t) ) è di classe C in [a,b], la curva

Γ è rettificabile e risulta ∫ ∫

b b

∗ Γ = = +

2 2

( ) l ( ) P ' (

t ) dt x ' (

t ) y ' (

t ) dt

a a

Osservazione Γ Є

Evidentemente se è una curva semplice e regolare e se P = P(t), t [a,b] è una sua

Γ

rappresentazione parametrica semplice e regolare allora è rettificabile e la sua

(∗

)

lunghezza è data dall’integrale

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CURVE REGOLARI A TRATTI

Definizione 1

Γ Γ

Una curva si dice regolare a tratti se risulta essere l'unione di un numero finito ,

1

Γ , …Γ di curve semplici e regolari, ognuna delle quali si salda alla successiva in un

2 n Є

punto. Ciò significa che esistono una rappresentazione parametrica P = P (t), t [a,b]

e una partizione {t = a, t , …, t = b}

0 1 n

dell’intervallo [a,b] tali che in ciascuno

degli intervalli [t , t ], [t , t ], …, [t , t ] la

0 1 1 2 n-1 n

P = P(t) è una rappresentazione

parametrica semplice e regolare.

Una tale rappresentazione parametrica si

Γ

dice una rappresentazione parametrica di

regolare a tratti.

Osservazione 1 Γ

In base alla definizione una curva regolare a tratti può essere pensata come somma

Γ Γ

di un numero finito di curve , , …Γ semplici e regolari. Se nessuno tra gli archi

1 2 n

Γ Γ Γ

, , …Γ incontra i rimanenti, è anch’essa una curva semplice. Può benissimo

1 2 n Γ

però accadere che uno degli archi incontri uno o più altri archi perché la condizione

i Γ Γ Γ

di semplicità vale per i singoli archi , , …Γ . In tal caso la curva è intrecciata e

1 2 n

presenta i cosiddetti punti multipli. Si noti ancora che nei punti P = P(t ) (i =

i i

Γ

0,1,2…n) le tangenti agli archi (i = 0,1,2…n) hanno, in generale, direzioni diverse

i Γ.

e cioè, come si suol dire, i punti P sono in generale punti angolari della curva

i

Γ)

Definizione 2 ( Lunghezza di

Γ Γ Γ

Sia una curva regolare a tratti unione delle n curve , , …Γ semplici e regolari.

1 2 n

Si pone per definizione l (Γ) = l (Γ ) + l (Γ ) + …+ l (Γ )

1 2 n

Γ

e cioè si chiama lunghezza di la somma delle lunghezze degli archi semplici e

Γ Γ Γ.

regolari , , …Γ che costituiscono

1 2 n

Osservazione 2 (notevole)

Γ

Sia una curva regolare a tratti e Є

P = P (t), t [a,b] Γ

una rappresentazione parametrica regolare a tratti di allora esiste una partizione

{ }

= = < < < dell’intervallo base [a,b] tale che gli n archi

t a , t ,......., t b con t 1 ...... t

0 1 n 0 n

Γ

in cui risulta suddivisa

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{ }

{ }

{ } Γ = = ∈

Γ = = ∈

Γ = = ∈ P P ( t ); t [

t , t ] ;

P P (

t ); t [

t , t ] ;........;

P P (

t ); t [

t , t ] ; −

n n 1 n

1 0 1 2 1 2

risultano essere curve semplici e regolari.

Dalla definizione precedente e dal teorema di rettificabilità si deduce che

t

n i

∑ ∫

Γ =

l P t dt

( ) ' ( )

=

i 1 t −

i 1

INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FUNZIONE DI DUE VARIABILI

2 Γ

⊆ ⊆

Sia f(P) = f(x,y) una funzione di due variabili limitata in un insieme A R e A

una curva piana semplice e regolare di estremi P’

e P’’. In tali ipotesi effettuiamo le seguenti

Γ:

operazioni. Consideriamo n+1 punti distinti di

P =P’, P , …, P =P’’ scelti in modo che P

0 1 n 0

precede P , …, P precede P in uno dei due

1 n-1 n Γ

possibili versi in cui è possibile descrivere e

denotiamo con D = {P , P , …, P } la partizione

0 1 n

Γ Γ Γ Γ Γ

di mediante tali punti. Tale partizione suddivide la curva in n archi , , …, .

1 2 n

Poniamo = = =

m inf f ( P ); M sup f ( P ) con i 1,2,..., n

i i

Γ

P ∈

Γ

P

i i

e consideriamo le due somme:

n n

∑ ∑

= ⋅ Γ = ⋅ Γ

s ( D ) m l ( ) ; S ( D ) M l ( )

i i i i

= =

i 1 i 1

Γ Γ Γ

dove l ( ) denota la lunghezza dell'arco . Al variare della partizione D di le due

i i

somme considerate descrivono due insiemi numerici A = { s(D) }, B = { S(D) }. Se A

e B sono separati e contigui, l'unico elemento separatore di A e B si chiama integrale

Γ

curvilineo della funzione f(x,y) esteso alla curva e si denota con uno dei simboli

∫ ∫

f(x,y) dy; f(P)ds.

Γ Γ

Si dimostra il seguente risultato che fornisce anche una formula per il calcolo

dell’integrale curvilineo.

Teorema sull'integrale curvilineo di una funzione continua

Se la funzione f(x,y) è continua in A esistere il integrale curvilineo di f(x,y) esteso a

Γ. Є

Considerata, inoltre, una rappresentazione parametrica P = P(t) dove t [a,b]

Γ,

semplice e regolare della curva risulta:

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b

∫ ∫

= ⋅

f ( P ) ds f ( P ( t )) P ' (

t ) dt

Γ a

oppure anche, il che è lo stesso, se P(t) = (x(t), y(t))

b

∫ ∫

= ⋅ +

2 2

f ( x , y ) ds f ( x (

t ), y (

t )) x ' (

t ) y ' (

t ) dt

Γ a

Osservazione

L’integrale curvilineo di una funzione, essendo sostanzialmente un integrale di

Rieman, gode di tutte le proprietà dell’integrale.

In particolare:

1. Proprietà distributiva Γ

se esistono gli integrali curvilinei di ƒ e g estesi a una curva semplice e

regolare e c1, c2 sono due costanti reali, risulta:

∫ ∫ ∫

+ = +

[ c f ( P ) c g ( P )]

ds c f ( P ) ds c g ( P ) ds

1 2 1 2

Γ Γ Γ

2. Proprietà additiva Γ

Se esiste l’integrale curvilineo di ƒ esteso ad una curva semplice regolare e

Γ Γ1 Γ2

se si decompone la curva nelle due curve e risulta:

∫ ∫ ∫

= +

f ( P ) ds f ( P ) ds f ( P ) ds

Γ Γ Γ

1 2

La definizione di integrale curvilineo si estende alle curve regolari a tratti.

Γ Γ

Sia una curva regolare a tratti decomponibile nelle n curve semplici e regolari ,

1

Γ , …Γ si pone per definizione:

2 n ∫ ∫ ∫ ∫

= + + +

f ( P ) ds f ( P ) ds f ( P ) ds ...... f ( P ) ds

Γ Γ Γ Γ

1 2 n

CURVE DELLO SPAZIO

Ci proponiamo di espandere a R³ i risultati relativi alle curve piane. In effetti tutte le

definizioni e i teoremi di cui ci siamo occupati si estendono allo spazio quando con il

simbolo (P) si estende una funzione vettoriale a tre componenti (x(t),y(t),z(t)) definita

in un intervallo compatto.

Definizione (0)

Sia P(t) = (x(t), y(t), z(t)) e una funzione vettoriale di classe C in un intervallo

compatto [a, b].

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Si chiama curva dello spazio, l’insieme:

3 Є

Γ Є ∀ t [a, b]}

= { (x, y, z) R : x = x(t), y = y(t), z = z(t)

o anche punto P = (x, y, z) l’insieme

Γ Є

= { P = P(t) per ogni t [a, b] }.

Le equazioni =

 x x (

t )

 = ∈

 y y (

t ) t [ a , b ]

 =

 z z (

t ) Γ.

si chiamano equazioni parametriche e scalari della curva

L’equazione Є

P = P(t) con t [a, b]

Γ.

si chiama equazione parametrica vettoriale di Γ, Γ

I punti P’ = P(a), P’’ = P(b) si chiamano gli estremi di i punti di diversi dagli

Γ.

estremi punti interni a

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Capitolo 4

INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FORMA DIFFERENZIALE

Premettiamo che se X (x,y), Y (x,y) sono due funzioni reali definite in un insieme A

2

⊆ R e dx, dy denotiamo due variabili reali, l'espressione

∗ X(x,y) dx + Y(x,y) dy

si chiama una forma differenziale lineare di coefficienti X e Y.

Tale espressione è funzione delle 4 variabili reali x, y, dx, dy, e per ogni punto (x,y)

fissato in A si identifica con un polinomio di 1° grado nelle due variabili dx e dy.

Poiché un tale polinomio si suole chiamare in algebra una forma lineare e poiché le

variabili dx e dy si possono interpretare come differenziali è valso l’uso di chiamare

l’espressione in oggetto forma differenziale lineare. (0)

∗ è di classe C in un insieme

Nel seguito diremo che la forma differenziale lineare (1)

A se tali sono i coefficienti X e Y; diciamo che è di classe C in un insieme A se tali

sono i coefficienti X e Y.

Ciò posto è molto importante la seguente definizione

Definizione 1(di integrale curvilineo)

Siano X(x,y) dx + Y(x,y) dy

(0) 2 Γ

una forma diff. lin. di classe C in un insieme A R e una curva semplice e

Γ

regolare contenuta in A. Fissato su uno dei due possibili orientamenti, denotiamo

Γ

col simbolo +Γ la curva orientata sul verso positivo che abbiamo scelto.

Γ

Considerata una qualsiasi rappresentazione parametrica semplice e regolare di

=

 x x (

t ) ∈

 t [ a , b ]

=

 y y (

t ) ∗

si chiama integrale curvilineo della forma differenziale lineare esteso alla curva

orientata +Γ e si denota con il simbolo

∗ ∗ +

X ( x , y ) dx Y ( x , y ) dy

+ Γ

l'integrale definito b [ ]

( ( ) ( )

) ( ) ( ( ) ( )

) ( )

± ⋅ +

X x t , y t x ' t Y x t , y t y ' t dt

a Γ

dove va scelto il segno + se il verso indotto su della rappresentazione parametrica

considerata (verso delle t crescenti) è concorde con il verso della curva orientata +Γ

altrimenti va scelto il segno - .

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Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga Pagina 2 di 12

Osservazione 1

Si noti implicitamente che l’integrale curvilineo di una forma differenziale lineare

Γ Γ

dipende dall’orientamento della curva nel senso che, se denotiamo con – la curva

Γ orientata nel verso opposto della curva orientata +Γ, risulta

∫ ∫

+ = − +

Xdx Ydy Xdx Ydy

− Γ + Γ

Osservazione 2

Γ

Se la curva è chiusa il simbolo +Γ denota la curva

orientata nella maniera seguente. Indicato con D il

Γ,

dominio limitato avente per frontiera la curva il

Γ

simbolo +Γ denota la curva orientata nel verso che

lascia alla sinistra i punti interni a D.

Dalla definizione stessa segue che l’integrale curvilineo di una forma differenziale

lineare gode di tutte le proprietà dell’integrale definito.

In particolare vale la seguente proprietà

Proprietà additiva

Se la curva orientata +Γ si scompone, mediante un suo punto, in due curve orientate

Γ,

+Γ e +Γ che hanno lo stesso orientamento di risulta:

1 2 ∫ ∫ ∫

+ = + + +

Xdx Ydy Xdx Ydy Xdx Ydy

+ Γ + Γ + Γ

1 2

La proprietà additiva consente di estendere la definizione di integrale di una forma

differenziale lineare alle curve semplici e regolari a tratti.

Definizione 2 (Conseguenza proprietà additiva)

Γ

Sia una curva semplice, regolare a tratti la quale sia unione delle n curve regolari

Γ Γ

, …, . Si pone per definizione

1 n ∫ ∫ ∫ ∫

+ = + + + + +

Xdx Ydy Xdx Ydy Xdx Ydy

..... Xdx Ydy

+ Γ + Γ + Γ + Γ

1 2 n

dove le curve +Γ , … +Γ hanno lo stesso orientamento della curva orientata +Γ.

1 n

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Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga Pagina 3 di 12

Osservazione 3

Dalla proprietà additiva dell’integrale definito, tenuto conto della definizione

precedente si deduce che se =

 x x ( t ) ∈

 t [ a , b ]

=

 y y (

t ) Γ

è una rappresentazione parametrica semplice regolare a tratti di

risulta ancora: b [ ]

( ( ) ( )

) ( ) ( ( ) ( )

) ( )

∫ ± ⋅ +

+ = X x t y t x t Y x t y t y t dt

, ' , '

Xdx Ydy

+ Γ a

con lo stesso significato del + e del – dinanzi all’integrale.

CAMPI VETTORIALI. LAVORO E CIRCUITAZIONE DI UN CAMPO DI

VETTORI LUNGO UN CAMMINO

2

Definizione 1 Vettore di R

2

Sia A R e per ogni punto P = (x,y) € A indichiamo con

V(x,y) = (X(x,y), Y(x,y))

oppure anche con V(P) = (X(P), Y(P))

2

il vettore di R ammette per componenti i coefficienti della forma differenziale lineare

Xdx + Ydy. Al variare del punto P (x,y) in A V(x,y) descrive un insieme di vettori

che in Fisica viene chiamato un campo vettoriale o anche campo di forze.

Osservazione 2

Se indichiamo con dP = (dx,dy) il vettore di R avente per componenti i numeri reali

dx e dy, per la definizione stessa di prodotto scalare i due vettori risulta

∙dP

Xdx + Ydy = V

e cioè la forma differenziale lineare Xdx + Ydy si esprime come prodotto scalare del

vettore V(P) per il vettore dP in ogni punto P = (x,y) di A.

Definizione 2 Lavoro del campo V lungo +Γ (0) 2

Sia V(x,y) un campo vettoriale a componenti di classe C in un insieme A R e +Γ

una curva semplice, regolare a tratti, orientata contenuta in A.

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Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga Pagina 4 di 12

L'integrale curvilineo ∫ ⋅

V dP

+ Γ Γ

si chiama il lavoro del campo di vettori V lungo il cammino +Γ, oppure, se è

chiusa, la circuitazione del campo di vettori V lungo il cammino +Γ.

Osservazione

Si noti esplicitamente che risulta

∫ ∫

⋅ = +

V dP Xdx Ydy

+ Γ + Γ

STUDIO DELLE FORME DIFFERENZIALI LINEARI NEGLI APERTI

CONNESSI MEDIANTE GLI INTEGRALI CURVILINEI

È importante per il seguito la seguente

Definizione 1 di Forma differenziale lineare esatta 2

Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare definita in un aperto A R . Si dice

che Xdx+Ydy è una forma differenziale lineare esatta in A se esiste una funzione di

due variabili U(x,y) differenziabile in A per la quale risulta Є

U (x,y) = X(x,y); U (x,y) = Y(x,y) (x,y) A.

x y

Una tale funzione U(x,y) si dice una primitiva della forma differenziale lineare

considerata sull'aperto A.

Osservazione

Ricordando che il differenziale dU della funzione U è l’espressione U dx + U dy,

x y

della definizione precedente si deduce che ⇔

( U primitiva di Xdx+ Ydy) (dU = Xdx + Ydy)

e quindi la forma differenziale lineare Xdx + Ydy è esatta se e solo se è uguale al

differenziale di una funzione U.

Chiaramente non sempre ciò accade

Ci proponiamo ora di stabilire dei risultati nelle forme differenziali esatte sfruttando

la nozione di integrale curvilineo.

A tale scopo dimostriamo il seguente teorema

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Teorema 1 forma differenziale lineare 2

⊆ R .

Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare definita in un aperto connesso A

Vale la seguente implicazione: ⇒

( U e V primitive di Xdx+Ydy in A) (U – V = c con c costante reale).

Dim.

Essendo per ipotesi U e V entrambe primitive di Xdx+Ydy, risulta

∂ − ∂ −

(

U V ) (

U V )

= − = = − = ∀ ∈

X X 0 ; Y Y 0 ( x , y ) A

∂ ∂

x y

Ne segue, essendo A un aperto connesso (in forza del teorema sulle funzioni con

gradiente nullo in un connesso) che la funzione U - V è costante in A e cioè la tesi.

Osservazione 1

Da questo teorema si deduce immediatamente che se U è una primitiva di Xdx + Ydy

di un aperto connesso tutte le primitive di Xdx + Ydy in A sono espresse dalla

formula V = U + c

Al variare della costante reale c in R. conseguentemente le primitive sono infinite.

Teorema 2 (condizione necessaria) 2

Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare continua in un aperto connesso A R .

Essendo A connesso per ogni coppia P’ e P’’ di punti di A esistono curve semplici

regolari a tratti di estremi P’ e P’’ tutte contenute in A.

Denotiamo allora con +Γ una tale curva orientata sul verso che va da P’ a P’’. Vale la

seguente implicazione: ∫ + = −

( Xdx Ydy U ( P ' ' ) U ( P ' ))

( Xdx+Ydy esatta in A) + Γ

dove U(P) denota una qualsiasi primitiva di Xdx + Ydy.

Dim.

Sia =

 x x ( t ) ∈

 t [ a , b ]

=

 y y ( t )

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Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga Pagina 6 di 12

Γ Γ

una rappresentazione parametrica di semplice e regolare a tratti la quale induce su

il verso che va da P’ in P’’ sicché risulterà P’= (x(a), y(a)) e P’’ = (x(b), y(b)). Dalla

definizione stessa, detta U una primitiva di Xdx+Ydy, si ha:

b [ ]

( ( ) ( )

) ( ) ( ( ) ( )

) ( )

∫ ∫

+ = ⋅ + =

Xdx Ydy X x t , y t x ' t Y x t , y t y ' t dt

+ Γ a

[ ] b

b ( ( ) ( )

) ( ) ( ( ) ( )

) ( ) d

∫ ∫

= ⋅ + = = =

( ( ), ( ))

U x t , y t x ' t U x t , y t y ' t dt U x t y t dt

x y dt

a

a

= = − = −

b

[

U ( x (

t ), y (

t )] U ( x (

b ), y (

b )) U ( x ( a ), y ( a )) U ( P ' ' ) U ( P ' )

a

Il teorema è dimostrato.

Osservazione 2 (notevole)

Da questo teorema si deduce che l’integrale curvilineo di una forma differenziale

lineare esatta un aperto connesso non dipende dalla curva semplice regolare a tratti

che congiunge due punti P’ e P’’ ma dipende solo dai punti P’ e P’’ e naturalmente

Γ2

dall’orientamento della curva stessa. Infatti se indichiamo con +Γ1, e + due tali

curve orientate entrambe nel verso che va da P’ e P’’ risulta

∫ ∫

+ = − = +

Xdx Ydy U ( P ' ' ) U ( P ' ) Xdx Ydy

+ Γ + Γ

1 2

Γ Γ

Ne segue che se è una curva chiusa, essendo gli estremi P’ e P’’ di coincidenti

risulta: ∫ + =

Xdx Ydy 0

+ Γ

1

∫ + Γ

Supponiamo che non dipende dalla curva ma soltanto degli estremi di

Xdx Ydy

+ Γ

1

Γ. ∈ ∈

Fissato allora un punto P = (x ,y ) A per ogni punto P = (x,y) A l’integrale

0 0 0

curvilineo in questione dipende soltanto dal punto P e cioè è una funzione dalle

coordinate x y di P. Ha senso allora porre ∫

∗ = +

( ) W ( x , y ) Xdx Ydy

0 + Γ

1

Dove naturalmente con +Γ si intende una curva semplice regolare a tratti che

congiunge P con P orientata nel verso che va da P con P.

0 0

Ciò posto è importante rilevare che l’implicazione contenuta nel teorema 2 si può

invertire. Si dimostra infatti il seguente risultato.

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Teorema 3 condizione sufficiente 2

⊆ R .

Sia Xdx+Ydy una forma differenziale lineare continua in un aperto connesso A

+

+  

  W (x, y) primitiva di Xdx Ydy

l' integrale curvilineo di Xdx Ydx  

  ⇒ 0

   

Γ +

   

non dipende dalla curva e quindi Xdx Ydy è esatta

= +

W ( x , y ) Xdx Ydy .

dove con U (x,y) si intende la funzione 0

0 + Γ

1

Dai teoremi 2 e 3 e dalla osservazione 2 si deduce immediatamente il seguente

risultato.

Caratterizzazione delle forme differenziali lineari continue in un aperto connesso

Sia Xdx+Ydy una forma differenziale lineare continua in un aperto connesso A.

 

( ) ∫ ∫

 

+ ⇔ + =

Xdx Ydy esatta in A Xdx Ydy Xdxdy

 

 

+ Γ + Γ

1 2

dove +Γ e +Γ denotano due qualsiasi curve semplici regolari a tratti contenute in A

1 2

aventi gli stessi estremi e lo stesso orientamento.

 

( ) ∫

 

+ ⇔ + =

Xdx Ydy esatta in A Xdx Ydy 0

 

 

+ Γ

dove +Γ denota una qualunque curva orientata semplice chiusa regolare a tratti

contenuta in A.

Terminiamo con una definizione, equivalente alla definizione di forma differenziale

esatta, che è molto utilizzata nelle scienze applicate.

Definizione (Campo vettoriale conservativo/potenziale)

Sia V(x,y) = ( X(x,y), Y(x,y) ) un campo vettoriale definito in un aperto A. Si dice

che V(x,y) è conservativo quando esiste una funzione scalare U(x,y) differenziabile

Є

in A e tale che DU(x,y) = ( U (x,y), U (x,y) ) = V(x,y) (x,y) A.

x y

Ogni funzione scalare U che gode della proprietà anzidetta si chiama un potenziale

del campo V.

Conseguentemente un campo vettoriale V(x,y) è conservativo quando ammette

potenziali U(x,y).

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STUDIO DELLE FORME DIFFERENZIALI A COEFFICIENTI DERIVABILI

Supponiamo ora che i coefficienti delle forme differenziali lineari siano regolari e di

(0)

classe C (quindi derivabili) in un aperto A.

Premettiamo una definizione

Definizione (Forma differenziale lineare chiusa) (1)

Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare in due variabili di classe C in un

2

⊆ R . Si dice che tale forma differenziale lineare è chiusa in A se risulta:

aperto A Є

X (x,y) = Y (x,y) (x,y) A.

y x

Vale in proposito il seguente risultato

Teorema 1 (condizione necessaria) (1)

Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare di classe C in un aperto A.

(Xdx + Ydy esatta in A) (Xdx + Ydy chiusa in A).

Dim.

Se U(x,y) è una primitiva, allora nelle ipotesi poste risulta:

∂ ∂

= = = =

U U X ; U U Y

∂ ∂

xy x y yx y x

y x

D’altra parte, per il teorema di Schewarz, risulta U = U e quindi anche X = Y .

xy yx y x

Dalla definizione precedente segue l’asserto.

Definizione 2 (Aperto semplicemente connesso)

Un aperto connesso A si dice semplicemente connesso se comunque si consideri una

Γ Γ

curva A chiusa semplice regolare a tratti, il dominio limitato D di frontiera è

interamente contenuto in A.

Esempi si aperti semplicemente connessi sono:

{ } ] [

( ) ( ) ( ) {

( ) }

= − + − < = ∈ ∈

2 2 2

A x

, y : x x y y r ; A x

, y : x a , b e y R

0 0

i quali sono rispettivamente un cerchio di centro (x ,y ) e raggio r e una striscia di

0 0

piano delimitato dalle rette x = a e x = b

esempi di aperti connessi ma non semplicemente connessi sono:

{ }

( ) ( ) ( ) {

( )

}

= < − + − < = −

2 2 2

A x , y : r x x y y r ; A R x , y

1 0 0 2 0 0

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i quali sono rispettivamente una corona circolare di centro (x ,y ) e raggio r < r e il

0 0 1 2

2

piano R privato del punto (x ,y ).

0 0

Ciò posto nel seguito dimostreremo il seguente risultato.

Teorema 2 forma differenziale lineare esatta (condizione sufficiente)

(1)

Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare di classe C in un aperto A

2

del piano R .

semplicemente connesso ⇒

(Xdx + Ydy chiusa in A) (Xdx + Ydy esatta in A).

CALCOLO DI UNA PRIMITIVA DI UNA FORMA DIFFERENZIALE

CHIUSA IN UN RETTANGOLO (1)

Abbiamo visto che se Xdx + Ydy è una forma differenziale lineare di classe C e

allora Xdx + Ydy è esatta in A e

chiusa in un aperto A semplicemente connesso

quindi ammette primitive. ⊇ ∈

Supponiamo ora, in particolare, che A ]a,b[x]c,d[ con a,b,c,d e cioè che A

R

contenga un rettangolo aperto avente contestualmente dimensioni infinite. In tal caso

per determinare una primitiva si possono seguire due metodi diversi.

1° metodo

Osserviamo innanzitutto che, essendo la forma differenziale lineare esatta in un

2

aperto connesso, fissato in R un Punto P = (x ,y ) e indicato con P = (x,y) un punto

0 0 0

2

di R , la funzione ∫ +

Xdx Ydy

U(x,y) = + Γ

dove +Γ denota una curva semplice regolare a tratti congiungente P con P orientata

0

2

Γ. un rettangolo possiamo allora

da P a P, non dipende dalla curva Essendo R

0 Γ

scegliere una curva che sia unione di due segmenti paralleli agli assi cartesiani.

Fissato P = 0 = (0,0) cerchiamo la primitiva.

0 ∫ + + +

3 2

(2x 5y )dx (

15 xy 2 y ) dy

U(x,y) = + Γ Γ Γ

dove +Γ è unione di due segmenti e paralleli agli assi cartesiani.

1 2

Si ha: ∫ ∫

+ + +

Xdx Ydy Xdx Ydy

U(x,y) = + Γ + Γ

1 2

Calcoliamo ora i due integrali curvilinei a secondo membro.

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Γ

Una rappresentazione parametrica del segmento è

1

=

 x 0 ∈

 ; t [ 0 , y ]

=

 y t

Conseguentemente []

y

∫ ∫ y

+ = = =

2 2

Xdx Ydy 2

tdt t y

0

+ Γ

1 0 Γ

Analogamente, una rappresentazione parametrica del segmento è

2

=

 x t ∈

 ; t [ 0

, x ]

=

 y y

E quindi [ ]

( )

x

∫ ∫ x

+ = + = + = +

3 2 3 2 3

Xdx Ydy 2

t 5 y dt t 5 y t x 5 xy

0

+ Γ 2 0

Ci conclude che 2 2 3

U(x,y) = y +x +5xy

2° metodo

Con questo metodo invece applichiamo innanzitutto un integrazione della primitiva

3

U(x,y) =2x +5y

rispetto a x. Poi bisogna trovare l’incognita c. Quindi deriviamo rispetto a y. Facendo

poi una comparazione troviamo c’ e integrando troveremo la soluzione parziale.

Aggiungendo a quella iniziale rispetto a x avremo la soluzione.

3

FORME DIFFERENZIALI NELLO SPAZIO R

Vogliamo ora accennare brevemente all’estensione della teoria delle forme

3

differenziali lineari dello spazio R .

In maniera del tutto analoga, considerate 3 funzioni X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z)

3 3

definite in un insieme A R e denotato con (dx, dy, dz) un punto qualsiasi di R

Є

(sicchè dx, dy, dz R )

l’espressione (*) X(x, y, z) dx + Y(x, y, z) dy + Z(x, y, z)dz

si chiama una forma differenziale lineare di coefficienti le funzioni X, Y, Z.

3

Integrale curvilineo in R

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2

La definizione di integrale curvilineo è anch’essa del tutto analoga. (ad R ).

(0)

Precisamente, supposto che i coefficienti X, Y, Z siano di classe C in un aperto A

3 3

Γ

⊆ R , consideriamo una curva (dello spazio R ) contenuta in A semplice e regolare

ammette per estremi i punti P’ e P’’ orientata nel verso che va da P’ a P’’.

Supposto che =

 x x (

t )

 [ ]

∗∗ = ∈

( ) y y (

t ) ; t a , b

 =

 z z (

t ) Γ,

sia una rappresentazione parametrica semplice e regolare di si pone:

b

def

∫ ∫

+ + = + … + …

Xdx Ydy Zdz [X ( x(t), y(t), z(t) ) x' (t) Y ( ) y (t) Z ( ) z(t)] dt

+ Γ a

dove va scelto il segno + se il verso indotto dalla rappresentazione paramatrica (**)

Γ

su coincide col verso che va da P’ a P’’, altrimenti va scelto il segno -.

3

Forma differenziale lineare esatta in R

la forma differenziale lineare si dice esatta in A = Å se ammette una primitiva e cioè

una funzione differenziabile U(x,y,z) per la quale risulti U = X, U = Y, U = Z

x y z

Є

∀ (x,y) A.

I teoremi relativi alle forme differenziali lineari continue in un connesso senza alcuna

difficoltà: basta sostituire negli enunciati l’espressione Xdx +Ydy con Xdx +Ydy +

Zdz e intendere le curve come curve nello spazio.

3

Forma differenziale lineare chiusa in R (1)

Una forma differenziale Xdx + Ydy + Zdz a coefficienti di classe C in un aperto

3

A R si dice chiusa quando risulta Є

X = Y ; X = Z ; Y = Z (x, y) A

y x z x z y

e cioè quando risultano uguali le derivate incrociate dei coefficienti.

Il teorema della condizione necessaria per una forma differenziale a coefficienti

derivabili continua a persistere invece il teorema relativo alla condizione sufficiente

3

si estende allo spazio R ma non è utile per le applicazioni.

Per tale motivo si preferisce a questo risultato un altro risultato che suppone l’aperto

stellato. 3

Aperto stellato in R

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3 Є Є

⊆ ∀

Un aperto A R si dice stellato se esiste un punto P A tale che P A il

0

segmento P P è contenuto in A.

0 3

Ad esempio è un aperto stellato un rettangolo aperto di R e cioè un aperto A = ]a,b[

3

x ]c,d[x]p,q[ con a,b,c,d,p,q . Invece l’insieme A = R – {0, 0, 0} non è un aperto

R

Є

stellato perché P A e i segmenti P P passanti per O = (0, 0, 0) non sono

0 0

contenuti in A.

Ciò posto si dimostra la seguente implicazione. ⇒ (Xdx + Ydy + Zdz esatta in A).

(Xdx + Ydy + Zdz chiusa in A e A aperto stellato)

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Capitolo 5

Integrali doppi

Ci proponiamo di estendere alle funzioni reali di due variabili la nozione di integrale

di Rieman nel caso dei domini normali. Vedremo che, in opportune ipotesi, il calcolo

di tali integrali si riconduce al calcolo successivo di due integrali di funzioni di una

variabile. Per tale motivo gli integrali di due variabili si chiamano integrali doppi.

DOMINI NORMALI

Definizione 1

α β

Siano (x) e (x) due funzioni reali continue nell’intervallo compatto [a,b] e tali che

α ≤ β

(x) (x) per ogni x appartenente [a,b].

Il sottoinsieme di R² α ≤ ≤ β

D = { (x,y) appartenente a [a,b] x R : (x) y (x) }

Si chiama dominio normale (rispetto) all’asse x definito dalle limitazioni:

≤ ≤

1) a y b

α ≤ ≤ β

2) (x) y (x)

Osservazione 1

Si noti dalla teoria dell’integrale di Rieman che un dominio D normale all’asse x è un

insieme dotato di area e la sua area, che denoteremo col simbolo (D), è espressa

dall’intergale definito

∫ β ∫[da α ∫[da α

(D) = [da a - b] (x) dx - a - b] (x) dx = a - b] (β (x) - (x)) dx

Osservazione 2

Si noti che un dominio D normale all’asse x è effettivamente un dominio e cioè la

α ≤ β

chiusura di un aperto solo quando risulta (x) (x) per ogni x appartenente [a,b].

α β

Se (x) = (x) in un sottoinsieme di [a,b], D non è un dominio. Tuttavia si conviene

di utilizzare il termine dominio normale sull’asse x per l’insieme D anche quando D

non è un dominio perché non ha una differenza nella teoria dell’integrale doppio.

Osservazione 3

Si noti che il dominio D normale rispetto all’asse x definito dalle limitazioni [(1 e 2)

vedi sopra] gode delle seguenti proprietà. Ogni retta perpendicolare all’asse x e

passante per un punto dell’intervallo [a,b] intercetta su D un segmento che può anche

ridursi ad un punto.

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In maniera del tutto analoga si definiscono i domini normali dell’asse y:

Definizione 2

γ δ

Siano (y) e (y) due funzioni reali continue nell’intervallo compatto [c,d] e tali che

γ ≤ δ

(y) (y) per ogni y appartenente [c,d].

Il sottoinsieme di R² γ ≤ ≤ δ

D = { (x,y) appartenente a [c,d] x R : (y) x (y) }

Si chiama dominio normale (rispetto) all’asse y definito dalle limitazioni:

≤ ≤

1) c y d

γ ≤ ≤ δ

2) (y) x (y)

Osservazione 4

Per i domini normali sull’asse y valgono, con le ovvie modifiche le considerazioni

fatte nelle osservazioni 1, 2 e 3.

Osservazione 5

Un dominio normale all’asse x (all’asse y) si dice un dominio regolare normale

all’asse x (all’asse y) quando la sua frontiera è una curva semplice regolare a tratti.

Osservazione 6 ≤ ≤ α

Si noti che D dominio normale definito dalle limitazioni per l’asse x [ a y b ; (x)

≤ ≤ β ≤ ≤ γ ≤ ≤ δ

y (x)] e per l’asse y [c y d ; (y) x (y)] è un dominio regolare

α β γ ≤ ≤ δ

normale all’asse x (y) se e solo se le funzioni (x) e (x) per l’asse x, e (y) x

(y) per l’asse y sono di classe C¹ in [a,b].

INTEGRALI DOPPI SU DOMINI NORMALI

Definizione 1

Sia D © R² un dominio limitato (non necessariamente dominio normale) e D con1, D

con2,…..D con n, con n ›1, i domini contenuti in D. Si dice che i domini D con1, D

con2,…..D con n costituiscono una partizione o anche una decomposizione di D

quando risulta:

1) D1, D2,…..Dn sono due a due domini privi di punti interni comuni.

2) D1 U D2 U…..UDn = D.

Una partizione del dominio D negli n domini D1, D2,…..Dn si denota col simbolo

{D1, D2,…..Dn}e i domini D1, D2,…..Dn, si chiamano gli elementi della partizione.

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Osservazione 1

Si noti che in se D è un dominio decomponibile in un numero finito di domini

numerabili ( cioè dotati di pedice) i quali costituiscono una partizione di D, per la

proprietà additiva della misura, risulta che D è a sua volta misurabile e

m (D) = m (D1) + m (D2) +…..m (Dn)

Definizione 2 (di integrale doppio)

Sia f (P) = f (x,y) una funzione reale limitata in D © in R² dominio normale ( all’asse

x, all’asse y, oppure anche normale ad entrambi gli assi x ed y), per ogni partizione P

= {D1, D2,…..Dn} di D in domini normali porremo:

mi = inf f (P); Mi = sup f (P) per ogni i appartenente a {1,2, ..n}

Di Di

E considereremo le due somme integrali

n n

Σ Σ

s(P) = mi, m(Di) ; S (P) = Mi m(Di)

i = 1 i = 1

dove m(Di) denota la misura p anche l’aria del dominio normale Di per ogni i =

1,2,…n, al variare della partizione P di D in domini normali , tali somme integrali

derivano dagli insiemi numerici

A = {s(P)}; B = {S(P)}.

Si dimostra che analogamente al caso delle funzioni di una variabile, tali insiemi

numerici sono separati. Congruentemente A e B ammettono elementi separatori. Se A

e B sono anche contigui l’unico elemento separatore si chiama l’integrale doppio di

f(P) = f(x,y) esteso al dominio D e si denota con il simbolo:

∫∫ ∫∫

f (P) dxdy ; f(x,y) dxdy

D D

Osservazione 2

Analogamente al caso delle funzioni di una variabile si dimostra che se f (P) = f (x,y)

è continua in D, f (P) = f (x,y) è integrabile in D.

L’integrale doppio gode di tutte le proprietà dell’integrale. In particolare valgono le

seguenti proprietà:

1) Proprietà distributiva

Se ƒ, g sono funzioni integrabili nel dominio normale D e C1 e C2 sono costanti

reali, risulta:

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∫∫ ∫∫ ∫∫

[C1 ƒ(x,y) + C2 g(x,y)] dxdy = C1 ƒ(x,y) dxdy + C2 g(x,y) dxdy

D D D

2) Proprietà additiva

Se {D1, D2,…..Dn} è una partizione del dominio normale D in domini normali e

f(x,y) è una funzione integrabile in D, risulta:

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

ƒ(x,y) dxdy = ƒ(x,y) dxdy + ƒ(x,y) dxdy +….. + ƒ(x,y) dxdy

D D1 D2 Dn

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL’INTEGRALE DOPPIO

Premettiamo che se ƒ(x,y) è una funzione continua in un dominio connesso e limitato

D (non necessariamente normale) il sottoinsieme di R³:

S = {(x,y,z) € R³: (x,y) € D e z = ƒ(x,y)}

È, come vedremo, una superficie che si chiama il diagramma della funzione ƒ(x,y).

L’equazione z = ƒ(x,y) si chiama l’equazione cartesiana del diagramma di ƒ(x,y).

Definizione

Sia ƒ(x,y) una funzione reale di due variabili continua e non negativa in un dominio

normale D. L’insieme: ≤ ≤

C = {(x,y,z) € R³: (x,y) € D e 0 z ƒ(x,y)}

si chiama cilindroide di base D relativo alla funzione ƒ(x,y)

Osservazione

Il cilindroide C è un insieme compatto di R³ che ha per frontiera la superficie

diagramma z = ƒ(x,y), il dominio normale D e i segmenti paralleli all’asse z passanti

∂D

per i punti della frontiera del dominio D. se ƒ(x,y) = h>0 ( cioè se ƒ è costante) il

cilindroide si riduce al cilindro di base D e altezza h.

Premesso tutto ciò, si dimostra che il cilindroide C di base D relativo alla funzione ƒ

è un solido miserabile ( cioè dotato di volume e risulta)

∫∫

Vol.C = ƒ(x,y) dxdy

D

Congruentemente: se ƒ è continua e non negativa nel dominio normale D l’integrale

dopiio di ƒ esteso a D rappresenta il volume del cilindroide C di base D relativo alla

funzione ƒ.

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Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Analisi II. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: le funzioni reali di più variabili reali, Proprietà Topologiche di R², Punto interno e interno di un insieme, Punto esterno, Punto frontiera e di frontiera, Punto di accumulazione e insieme derivato, ecc.


DETTAGLI
Esame: Analisi II
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Giuga Salvatore.

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