Analisi II – Appunti

Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga

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Capitolo 1

Funzioni reali di più variabili

Ci proponiamo di studiare le funzioni reali di più variabili reali e cioè le funzioni f : ℝⁿ → ℝ con n > 1. Per motivi di semplicità ci riferiremo esclusivamente alle funzioni di due variabili estendendo poi i risultati ottenuti, quando è necessario, alle funzioni di tre o più variabili. A tale scopo è opportuno premettere le principali proprietà topologiche dell'insieme ℝ², visto come oggetto geometrico. È noto che ℝ² si rappresenta geometricamente sul piano mediante un sistema di assi cartesiani ortogonali.

Proprietà topologiche di ℝ²

Definizione 1: Distanza

Siano P₀ = (x₀, y₀) e P₁ = (x₁, y₁) due elementi di ℝ² o anche due punti di ℝ². Si chiama distanza di P₀ = (x₀, y₀) da P₁ = (x₁, y₁) il numero reale non negativo:

\[ \delta(P₀, P₁) = \sqrt{(x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²} \]

La distanza fra due punti è uguale alla lunghezza del segmento di estremi P₀ e P₁.

Definizione 2: Intorno

Sia P₀ = (x₀, y₀) un punto di ℝ² e δ un numero reale positivo. Si chiama intorno (circolare) di centro P₀ = (x₀, y₀) e raggio δ > 0 l'insieme:

\[ I_δ(P₀) = I_δ(x₀, y₀) = \{ (x, y) \in ℝ² : \sqrt{(x - x₀)² + (y - y₀)²} < δ \} \]

e cioè l'insieme dei punti P = (x, y) che appartengono al cerchio di centro P₀ = (x₀, y₀) e raggio δ, privato della circonferenza (cerchio aperto).

Definizione 3: Punto interno e interno di un insieme

Sia A ⊆ ℝ². Si dice che il punto P₀ = (x₀, y₀) è interno ad A se esiste un intorno I_δ(P₀) di centro P₀ e raggio δ tutto contenuto in A. Si chiama interno di A e si denota con il simbolo ◦A l'insieme dei punti interni ad A.

Definizione 4: Punto esterno

Sia A ⊆ ℝ². Si dice che il punto P₀ = (x₀, y₀) non appartenente ad A è esterno ad A se esiste un intorno I_δ(P₀) che non contiene punti di A e cioè tale che I_δ(P₀) ∩ A = ∅. Evidentemente P₀ è esterno ad A se è interno al complementare di A rispetto a ℝ² e cioè se è interno all'unione ℝ² – A.

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Definizione 5: Punto frontiera e di frontiera

Sia A ⊆ ℝ². Si dice che il punto P₀ = (x₀, y₀) ∈ ℝ² è un punto frontiera di A se non è né interno né esterno ad A. Conseguentemente in ogni intorno di P₀ cadono sia punti di A sia punti che non appartengono ad A. L'insieme dei punti frontiera si chiama frontiera di A e si denota con il simbolo ∂A.

Osservazione 1

Si noti che un punto frontiera non è tenuto ad appartenere all'insieme A. Ad esempio, il cerchio di centro il punto P₀ = (x₀, y₀) e raggio r e lo stesso cerchio privato della circonferenza (cerchio aperto) hanno entrambi per frontiera la circonferenza di centro P₀ e raggio r. Nel primo caso la frontiera appartiene al cerchio, nel secondo caso non appartiene.

Definizione 6: Punto di accumulazione e insieme derivato

Sia A ⊆ ℝ² e P₀ = (x₀, y₀) ∈ ℝ². Si dice che P₀ è un punto di accumulazione di A se in ogni intorno I(P₀) = I(x₀, y₀) di centro P₀ cadono infiniti punti di A diversi da P₀. L'insieme dei punti di accumulazione di A si chiama il derivato di A.

Definizione 7: Insieme limitato e non limitato

Un insieme A ⊆ ℝ² si dice limitato se è contenuto in un intorno I_δ(0) di centro l'origine O = (0,0). Si dice non limitato se ciò non accade.

Definizione 8: Insieme aperto e chiuso

Un insieme A ⊆ ℝ² si dice aperto se A = ◦A e cioè se ogni punto di A è un punto interno ad A; si dice chiuso se il suo complementare rispetto a ℝ² e cioè l'unione ℝ² – A è aperto.

Osservazione 2

Si noti che un insieme aperto non contiene punti frontiera, mentre un insieme chiuso contiene tutti i punti frontiera. Si noti ancora che un insieme A ⊆ ℝ² che non sia aperto non è tenuto ad essere chiuso. Ad esempio l'insieme:

A = {(x,y) : x ∈ [1,2[ e y ∈ [2,3[}

Non è né aperto né chiuso.

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Definizione 9: Chiusura di un insieme

Sia A ⊆ ℝ². Si chiama chiusura di A e si denota con il simbolo Ā, l'insieme unione di A e della frontiera di A. In simboli: Ā = A ∪ ∂A. La chiusura di A è un insieme chiuso perché contiene tutti i punti frontiera.

Definizione 10: Dominio

Si chiama dominio ogni sottoinsieme di ℝ² che risulti essere la chiusura di un insieme aperto, e cioè anche l'unione di un insieme aperto e della sua frontiera. Ad esempio un cerchio chiuso o un angolo chiuso sono domini. L'insieme ottenuto come unione di un cerchio chiuso e di un segmento non è un dominio.

La definizione di limite

La definizione di limite, già nota per le funzioni di una variabile, si estende facilmente alla funzione di due variabili. Sia f(x,y) una funzione reale definita nell'insieme A ⊆ ℝ² e P₀ = (x₀, y₀) un punto di accumulazione per A. Si dice che f ha limite l ∈ ℝ in P₀ e si scrive:

\[ \lim_{(x,y) \to (x₀,y₀)} f(x,y) = l \]

oppure anche:

\[ \lim_{P \to P₀} f(P) = l \]

quando vale la seguente proprietà detta definizione di limite. Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni P ∈ A:

\[ \sqrt{(x-x₀)² + (y-y₀)²} < δ \Rightarrow |f(P) - l| < ε \]

I due casi l = +∞ e l = -∞ si trattano in maniera analoga. Ad esempio:

\[ \lim_{P \to P₀} f(P) = +∞ \]

Significa dire che:

Per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che:

\[ P ∈ A, 0 < \sqrt{(x-x₀)² + (y-y₀)²} < δ \Rightarrow f(P) > M \]

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Definizione di funzione continua

Sia f : A ⊆ ℝ² → ℝ e P₀ = (x₀, y₀) ∈ A. Si dice che f è continua in P₀ = (x₀, y₀) quando risulta:

\[ \lim_{(x,y) \to (x₀,y₀)} f(x,y) = f(x₀, y₀) \]

oppure anche:

\[ \lim_{P \to P₀} f(P) = f(P₀) \]

Si dice che f è continua nell'insieme A quando è continua in ogni punto di A.

Teorema di Weierstrass

Se f(x,y) è una funzione continua in un insieme A chiuso e limitato (cioè compatto), allora f assume in A il minimo e il massimo, e cioè esistono in A due punti (x, y) tali che:

\[ \forall (x, y) ∈ A \quad f(x, y) ≤ f(x̅, y̅) ≤ f(x, y̅) \]

Derivate parziali

Sia f(x,y) una funzione reale definita in un insieme A e P₀ = (x₀, y₀) un punto interno ad A. In tali ipotesi esiste un intorno I_r(P₀) di centro P₀ e raggio r tutto contenuto in A ed ha senso considerare la funzione della sola variabile x:

\[ \lim_{x \to x₀} \frac{f(x, y₀) - f(x₀, y₀)}{x - x₀} \]

Si chiama derivata parziale di f rispetto a x nel punto P₀ e si denota con uno dei simboli ∂f/∂x(P₀), il limite in x della funzione (1) solo se tale limite esiste ed è finito. Riassumendo:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(P₀) = \lim_{x \to x₀} \frac{f(x, y₀) - f(x₀, y₀)}{x - x₀} \]

Analogamente si chiama derivata parziale di f rispetto a y nel punto P₀ e si denota con uno dei simboli ∂f/∂y(P₀), il limite in y della funzione:

\[ \lim_{y \to y₀} \frac{f(x₀, y) - f(x₀, y₀)}{y - y₀} \]

quando tale limite esiste ed è finito. In simboli:

\[ \frac{\partial f}{\partial y}(P₀) = \lim_{y \to y₀} \frac{f(x₀, y) - f(x₀, y₀)}{y - y₀} \]

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Si dice che f(x,y) è derivabile nel punto P₀ = (x₀, y₀) quando esistono finite in P₀ entrambe le derivate parziali. Se A è un aperto e se f(x,y) è derivabile in ogni punto di A, si dice che f è derivabile nell'insieme A.

Osservazione notevole sulla continuità

Ricordando che per le funzioni di una variabile la derivabilità implica la continuità, risulta che:

\[ \lim_{x \to x₀} [f(x, y₀) - f(x₀, y₀)] = 0 \Rightarrow f \text{ è continua rispetto a } x \text{ nel punto } P₀ \]

Analogamente:

\[ \lim_{y \to y₀} [f(x₀, y) - f(x₀, y₀)] = 0 \Rightarrow f \text{ è continua rispetto a } y \text{ nel punto } P₀ \]

Tuttavia la continuità della funzione f rispetto a x e rispetto a y nel punto P₀ non implica la continuità di f in P₀, e cioè:

\[ \lim_{x \to x₀} f(x, y₀) = \lim_{y \to y₀} f(x₀, y) ≠ \lim_{(x, y) \to (x₀, y₀)} f(x, y) \]

Si prenda ad esempio la funzione:

\[ f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy²}{x² + y²} & \text{se } (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & \text{se } (x, y) = (0, 0) \end{cases} \]

Tale funzione non risulta essere continua in (0,0) perché lungo la retta y = x si ha:

\[ \lim_{x \to 0} f(x, x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{2x²} = \frac{1}{2} ≠ 0 \]

Tuttavia è continua in (0,0) sia rispetto a x sia rispetto a y.

Infatti essendo f(x,0) = 0 \, \forall x ∈ ℝ \setminus \{0\} e f(0,y) = 0 \, \forall y ∈ ℝ \setminus \{0\} risulta:

\[ \lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0 = f(0,0) \, \text{ e } \, \lim_{y \to 0} f(0, y) = 0 = f(0,0) \]

In conclusione: f derivabile in P₀ non implica che f è continua in P₀.

Derivate parziali di ordine superiore

Sia f(P) = f(x,y) una funzione di due variabili definita in un aperto A. Supponiamo che f sia derivabile in A e cioè che f sia derivabile parzialmente rispetto a x e y in ogni punto P = (x,y) ∈ A. Ha senso allora considerare le seguenti due funzioni:

\[ (x,y) \mapsto f_x(x,y); \, (x,y) \mapsto f_y(x,y) \]

Tali funzioni si chiamano rispettivamente la (funzione) derivata parziale prima di f rispetto a x in A e la (funzione) derivata parziale prima di f rispetto a y in A e si denotano con uno dei seguenti simboli:

\[ f_x(x,y); \, f_y(x,y) \]

oppure anche:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y); \, \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \]

Definizione

Se le funzioni derivate prime f_x e f_y sono a loro volta derivabili in ogni punto dell'aperto A, le quattro funzioni:

\[ f_{xx}, \, f_{xy}, \, f_{yx}, \, f_{yy} \]

Si chiamano le derivate (parziali) seconde di f in A e si denotano con i simboli:

\[ f_{xx}(P); \, f_{xy}(P); \, f_{yx}(P); \, f_{yy}(P) \]

oppure anche con i simboli:

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(P); \, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(P); \, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(P); \, \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(P) \]

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Teorema di Schwarz (di inversione dell'ordine di derivazione)

Sia f(x,y) una funzione reale due volte derivabile in un aperto A. Vale la seguente implicazione:

\[ (f_{xy}, f_{yx} \text{ continue in } (x₀, y₀) \in A) \Rightarrow f_{xy}(x₀, y₀) = f_{yx}(x₀, y₀) \]

e cioè le derivate seconde miste di una funzione di due variabili sono uguali nei punti in cui risultano continue.

Osservazione

Il teorema di Schwarz consente di calcolare le derivate seconde miste senza preoccuparsi dell'ordine delle derivazioni successive nei punti in cui le derivate seconde sono continue.

La nozione di differenziabilità

Abbiamo visto che contrariamente a quanto accade per le funzioni di una variabile, le funzioni di due variabili che sono derivabili non sono necessariamente continue. Vedremo subito che la nozione equivalente alla derivabilità delle funzioni di una variabile è per le funzioni di più variabili la differenziabilità.

Definizione

Sia f(x,y) una funzione definita in un aperto A e P = (x,y) ∈ A. Indicati con Δx e Δy due numeri reali qualsiasi, poniamo ΔP = (Δx, Δy) e P + ΔP = (x+Δx, y+Δy). Se il punto P + ΔP ∈ A, è lecito considerare la differenza (detta incremento di f relativo ai punti P e P + ΔP) tra i valori di f nei punti P e P + ΔP:

\[ Δf = f(P + ΔP) - f(P) = f(x+Δx, y+Δy) - f(x,y) \]

e l'espressione:

\[ df = f_x(P)Δx + f_y(P)Δy = f_x(x,y)Δx + f_y(x,y)Δy \]

che si suole chiamare (in analogia al caso della funzione di una variabile) differenziale della funzione f.

Si dice che la funzione f è differenziabile nel punto P = (x,y) quando risulta:

\[ \lim_{(Δx, Δy) \to (0, 0)} \frac{Δf - df}{\sqrt{Δx² + Δy²}} = 0 \]

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ho anche, in maniera equivalente:

\[ \lim_{|ΔP| \to 0} \frac{Δf - df}{|ΔP|} = 0 \]

Osservazione notevole

Si noti che:

\[ Δf - df \to 0 \Rightarrow \lim_{|ΔP| \to 0} \frac{Δf}{|ΔP|} = 0 \]

Infatti, affinché il rapporto sia infinitesimo per |ΔP| \to 0, è necessario che Δf - df \to 0 sia infinitesimo per |ΔP| \to 0:

\[ \lim_{|ΔP| \to 0} \frac{Δf - df}{|ΔP|} = 0 \]

Da \[ \lim_{|ΔP| \to 0} \frac{Δf}{|ΔP|} = 0 \]

e \[ \lim_{|ΔP| \to 0} \frac{df}{|ΔP|} = 0 \]

Si deduce allora l'implicazione:

\[ f \text{ differenziabile in } P \Rightarrow f \text{ continua in } P \]

Teorema del valore medio

Sia f(x,y) una funzione derivabile in un aperto A. Per ogni coppia P = (x,y), P + ΔP = (x+Δx, y+Δy) di punti di A esiste un punto P̅ = (x̅, y̅) tale che:

\[ Δf = f_x(x̅, y+Δy)Δx + f_y(x, y̅)Δy \]

dove x < x̅ < x+Δx e y < y̅ < y+Δy, il che significa che P̅ è "intorno" al segmento di estremi P e P + ΔP.

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Teorema condizione sufficiente di differenziabilità

Sia f(x,y) una funzione derivabile in un aperto A e P = (x,y) ∈ A. Allora:

\[ f \text{ differenziabile in } P \Rightarrow f_x, f_y \text{ continue in } P \]

e cioè f è differenziabile in ogni punto di A nel quale le derivate sono continue.

Dimostrazione:

In base alla definizione dobbiamo dimostrare che:

\[ \lim_{(Δx, Δy) \to (0, 0)} \frac{Δf - df}{\sqrt{Δx² + Δy²}} = 0 \]

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