Analisi II – Appunti

COORDINATE POLARI E COORDINATE CARTESIANE

Premettiamo che, se P = (x,y) è un punto del piano cartesiano (O; x,y) diverso dall'origine O (0,0), il numero c = x²+y² distanza di P da O e il numero unico in radianti dall'angolo formato dal segmento OP col minore positivo della x si chiamano le coordinate polari del punto P. Il legame tra le coordinate cartesiane (x,y) di P e le coordinate polari (C, δ) è espresso dalle uguaglianze:

x = C cos δ

y = C sen δ

Le quali si chiamano le formule del passaggio dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane.

Le formule di passaggio delle coordinate polari alle coordinate cartesiane consentono di trasformare insiemi del piano cartesiano (O,C) (cioè di origine O e assi C) in insiemi del piano cartesiano (O,x,y). Per tale motivo si dice che le uguaglianze:

x = C cos δ

y = C sen δ

costituiscono una trasformazione di equazioni x = C cos δ; y = C sen δ.

Definizione σ ψ β α ≤Siano (δ) e (δ) funzioni reali di classe C¹ nell’intervallo [α,β] con – 2Π tali≤ σ ≤ ψ δche 0 (δ) (δ) per ogni € [α,β]. L’unione D dei punti (x,y) le cui coordinateδ)polari (C, verificano le limitazioniα ≤ δ ≤ β σ ≤ ≤ ψ; (δ) C (δ)si chiama il dominio polarmente normale definito(mediante le coordinate polari) dallelimitazioni sopra riportate. In particolare l’unione D dei punti (x,y) le cui coordinatepolari verificano le limitazioniα ≤ δ ≤ β ≤ ≤ ψ; 0 C (δ) ψ δsi chiama il rettore di equazione polare C = (δ) ; € [α,β]

Osservazione1Il motivo per cui il dominio D è detto polarmente normale è che ogni semirettaδuscente dall’origine la quale formi con l’asse x un angolo €

[α,β] intercetta su D un segmento. Ciò comporta che, indicate le formule { x = C cos ; { y = C sen D è ilδ) δ,trasformato di un dominio T del piano (O, C, normale rispetto all’asseα ≤ δ ≤ β σ ≤ ≤ ψverificante le limitazioni ; (δ) C (δ).

Teorema (che fornisce la formula di cambiamento delle variabili per gli integralidoppi)

Sia D il dominio polarmente normale definito dalle limitazioniα ≤ δ ≤ β σ ≤ ≤ ψ; (δ) C (δ)β α ≤ ≤ σ ≤ ψdove – 2Π e 0 (δ) (δ) sono funzioni classe C¹ in [α,β].

Se ƒ(x,y) è unaδ,C)funzione reale continua in D e se T è il dominio del piano (O, di cui D

è iltrasformato mediante la formulaδ δ{ x = C cos ; { y = C sen ; risulta∫∫ ∫∫ δ, δ) ∙ │∂ ∂ │ƒ(x,y) dxdy = ƒ(C cos C sen (x, y) / (C,δ) dC dδD T

Dove il determinante∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ δ δ δ(x, y) / (c,δ) = x / c x / cos - C sen= = C∂ ∂ ∂ ∂ δ δ δy/ c y/ sen C cos δ δ

Si chiama lo jacobino della trasformazione di equazioni { x = C cos ;{ y = C sen ;congruentemente la formula di cambiamento delle variabili ansidetta si riscrive∫∫ ∫∫ δ δ) ∙ƒ(x,y) dxdy = ƒ(C cos ; C sen C dC dδD T

Osservazione δ,Poiché T è un dominio normale rispetto all’asse applicando la formula di riduzionedegli integrali doppi, si ha: β ψ (δ)∫∫ ∫∫ δ δ) ∙ ∫d δ ∫ δ δ) ∙ƒ(x,y) dxdy = ƒ(C cos ;

C sen C dC dδ = ƒ(C cos ; C sen C dCα ψD T (δ)

Conseguentemente le formule del passaggio alle coordinate polari sono particolarmente utili quando D è un dominio polarmente normale.

σ δ

In particolare se D è il rettore di equazione polare C (δ) ; € [α,β], si ha

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Β σ β(δ)∫∫ ∫ ∫C ∫ σ² δm (D) = 1∙dxdy = dδ dC = ½ (δ) dα αD 0

E questa è la formula che fornisce l’area del rettore polarmente normale.

LA FORMULA DI CAMBIAMENTO DELLE VARIABILI PER GLI INTEGRALI DOPPI

Il calcolo di un integrale , tale che doppio mediante il passaggio dalle coordinate polari e cioè mediante le trasformazioni di equazioni

δ{ x = C cos δ

{ y = C sen

È soltanto

Un caso particolare di una formula generale detta di cambiamento delle variabili per gli integrali doppi. Sia T un dominio regolare del piano cartesiano (O,u,v) e cambiamo la funzione vettoriale di classe C¹ in T: ф(u,v) = (x(u,v), y(u,v)) per ogni (u,v) € T. Osserviamo che questa funzione vettoriale ad ogni punto (u,v) € T fa corrispondere il punto (x,y) € D con D = (T) { x = x (u,v), y = y (u,v). Per tale motivo la funzione si chiama una trasformazione del dominio regolare T del piano (O, u, v) nell'insieme D del piano (O,x,y). Le equazioni { x = x (u,v), y = y (u,v) si chiamano le equazioni della trasformazione, l'insieme D = (T) si chiama il trasformato del dominio T mediante la trasformazione. Il determinante x_uv − x_yx_y∂(x,y)/∂(u,v) = y_yu_v − y_uv_v si chiama lo jacobiano della trasformazione di equazioni: { x = x (u,v), { y = y (u,v). Premesso tutto ciò si ha la seguente:

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Definizione фUna trasformazione del dominio regolare T nell'insieme D di equazioni { x = x(u,v) ; { y = y (u,v) ; si dice una trasformazione regolare quando accade che:ф → ф1. la funzione : T D è biunivoca e cioè è invertibile in T e inoltre ogniфelemento di D è immagine mediante di un unico elemento di T∂(x,y)/∂ ≠2. (u,v) O ; per ogni (u.v) € TфSi può dimostrare che se è una funzione regolare di T in D allora l'insiemeфtrasferito D = (T) è a sua volta un dominio regolare.фConseguentemente trasforma domini regolari del piano (O,u,v) in domini regolaridel piano (O,x,y)Una volta detta questa definizione si dimostra il seguenteTeorema di cambiamento della variabile per gli integrali doppiфSia la trasformazione regolare del dominio T nel dominio D, di equazioni{ x

= x (u,v){ y = y (u,v) (u,v) € TE ƒ(x,y)una funzione reale continua nel dominio D.In tali ipotesi risulta:

∫∫ ∫∫ ∙ │∂(x,y)/∂(u,v)│dudvƒ(x,y) dxdy = ƒ(x(u,v), y(u,v))

Osservazione

La formula sopra riportata si chiama formula di cambiamento delle variabili per gli integrali doppi e fornisce una regola di calcolo degli integrali doppi che è analoga alla regola di sostituzione per gli integrali semplici. Si dimostra che tale formula è applicabile anche quando la trasformazione non è biunivoca sulla frontiera dei domini T e D (non è biunivoca tra e ) e anche quando lo jacobino si annulla nei punti di Ciò può accadere, ad esempio, quando, si usano le formule di passaggio alle coordinate polari.

DOMINI NORMALI DI R³

Definizione

σ ψSiano (x,y), (x,y) due funzioni reali continue nel dominio D del piano (O,x,y)σ(x,y) ≤ ψnormale rispetto ad uno degli assi cartesiani x,y e

tali che (x,y) per ogni(x,y) € D

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Il sottoinsieme di R³ σ ≤ ≤ ψE = {(x,y,x) € D∙R : (x,y) z (x,y)}

Si chiama dominio normale rispetto al piano (O,x,y) definito dalle limitazioniσ ≤ ≤ ψ(x,y) € D; (x,y) z (x,y)

Analogamente e possibile definire i domini di R³ normali rispetto ai piani (O,y,z) e(O,x,z)

Osservazione

Dalla teoria delle funzioni di una variabile si deduce che un dominio E di R³ normalerispetto ad uno dei piani coordinati è un insieme dotato di volume (cioè misurabile).

σIn particolare se E è il dominio normale definito dalle limitazioni (x,y) € D; (x,y)≤ ≤ ψz (x,y) risulta: ∫∫ σvol. E = [ψ (x,y) - (x,y)] dxdy

DINTEGRALI TRIPLI ≤La definizione di integrale tripli di una funzione ƒ(x,y,x)

contiene in E R³ dominionormale rispetto ad uno dei piani coordinati (O,x,y), (O,y,z), (O,x,z) è del tuttoanaloga alla definizione di integrale doppio per cui non ce ne occupiamo.

L’integrale triplo di ƒ(x,y,z) esteso ad E si denota col simbolo∫∫∫ ƒ(x,y,z)dxdydzE

Contrariamente a quanto avviene per gli integrali doppi, l’integrale triplo non ha unsignificato interessante perché i sottoinsiemi di R(elevato alla 4) sono oggetti astratti.

L’unica eccezione è il caso ƒ(x,y,z) = 1 per ogni (x,y,z) € E, in quanto, comevedremo in seguito, risulta analogamente al caso delle funzioni di due variabili∫∫∫Vol E = 1dxdydzE

FORMULE DI RIDUZIONE

Anche per gli integrali tripli si dimostrano le formule di riduzione. Per esempio sia Eun dominio normale rispetto al piano (O,x,y) definito dalle limitazioni :σ ≤ ≤ ψ(x,y) € D; (x,y) z (x,y)

Considerata una funzione reale di tre variabili ƒ(x,y,z)n

continua nel dominio E si mostra che vale la seguente formula di riduzione:

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ψ(x,y)∫∫∫ ∫∫dxdy ∫ƒ(x,y,z) dxdydz = ƒ(x,y,z) dzσ(x,y)E De, in conclusione, il calcolo dell'integrale triplo si riduce al calcolo successico di tre integrali semplici.

Analogamente, se D è u