Appunti di Analisi I

COSTRUZIONE Reali

NUMERI

dei

Insiemi {

IN }

numerici 2,3

0,1 NATURALI

NUMERI

=

: , . .

.

.

E }

{ 1,2

-2 -1,0 NUMERI INTERI

= ,

,

. .

, .

. . .

.

¥

{ }

④ .be/2,bt0 )

frazioni termini

: ( ridotte minimi

NUMERI RAZIONALI

a ai

= t

PR0blEMAdiPlTaG0Rag@gdd.If elevato

quel alla

la radice di che da

2 seconda

numero

'

e 2

Fa

Fa VZEQ Zeb

④ E

)

( supponiamo 0

bsenzafattoricomnn.AZ

assurdo

€ #

irrazionale che quindi aeb

e' a.

per e

teorema e

: = ,

2=52 al

elevo quadrato

zb! of d'

be qualcosa di quindi

pari pari

il di e'

pari

' doppio quindi è conseguenza a

e. ,

, .

-

pari ?

! ) '

(

Zb ' a- z a

pongo

2A -

l' !

b! ' b'

( zcayr

)

41A '

b pari

' anche pari

2 quindi

a pari

è b.

è

,

-

pari divisibili ) ipotesi

entrambi IMPOSSIBILE

fattore

hanno

aeb '

( perche che e'

pari quindi

2

per

dunque e

sono comune

un per

, ,

circonferenza Q

Anche Feto ¢

n = {

IR }

decimale

composti Reali

NUMERI

parte

parte intera

Numeri da

= -1

7 IR f.) (E)

moltiplicazione ordinamento

insieme di

di

dotato sommati )

un numerico

: e

e .

Tale numerico ' COMPLETO

insieme e campo NATO

un ORA ,

, . IR

b. U-a.be

D= PROPRIETÀ

a COMMUTATIVA

a.

CAMPO

assiomi di b b.

.

: a

a + +

=

- c) CEIR

Ù

(

)

( ab

( b.

) a.

c' b. PROPRIETÀ

b)

(

• ASSOCIATIVA

a.

c. btc -

@

+

at +

= PROPRIETÀ

c) DISTRIBUTIVA

( abtac

• b.

a- + = JIEIR ÙAEIR

aaah

OEIR

I ato

• A

a.

a ELEMENTI NEUTRI

a-

:

: -

_

IR EIR

fa I 0

atà

a- OPPOSTO

• e : -

EIR

EIRZ

fa è

a- RECIPROCO

=p

a. INVERSO

:

• beh

assiomldiORMN-AMENT.ua aeboseb

stabilire Ed

si ORDINAMENTO TOTALE

può se

sempre

. a)

beh

Presi be

Eb

:( '

PROPRIETA

b

• ANTI SIMMETRICA

a. a

a e >

fa )

:( bsc '

PROPRIETA

b. atto

• TRANSITIVA

EC

e a

e

,

⑦ CEIR

b. atto btc PRINCIPIO

• CE disuguaglianze

a delle

I

a. +

:

presi b.

Ota E allora OE

0

• b

e a.

R

assnomadicompuetezzai-sianoa.rs nonvuott

0aea.0bEBiaeb.allora7@EIRiaECEbUaEA.UbEB

sottoinsiemi di separati

supponiamo siano

che cioè

,

.

↳ SEPARATORE

ELEMENTO B

A

l' R

&

reali retta

insieme dei buchi

continua

deve essere una senza ,

A B

elemento

classi separate separatore

è

se prendo →← ④

due c' sempre un ↳ elemento rae'

esiste il

separatore vuoto

perche

Non ' in IR

④ completo modello

quindi

' di

'

non e non e

,

solo

7 0=040--0

' 0

elemento

' neutro rispetto

OPERAI d.

Oeo

AIM

tant neutri

delle

ERI E -1

ERI : a

un :

- .

_ solo

7 neutro

elemento rispetto aim

un

- a :

. 0

'

a

at =

EIR

solo

a '

fa

opposto àeà )

datata

atto

MM opposti " "

"

dia ' ahaha "

" Ota

(

At a

- o

un : a

a

- = -

-

- . -

-

TTAEIR

solo

a reciproco

un mm :

- * O

→ )

Atl b

SOTTRAZIONE -

a '

J

→ b- b 0

DIVISIONE #

- a- , D= -1C

a

@ +

tatto

a At a -1C

-

CEIR

V' = -

cancellazione b. b-

leggi a-

di a. beat amo

e

a t e

: :

: 0+6=0 e

+

_ b. C

=

CEIR EQUAZIONI

fa b. ab delle

MMO PRINCIPIO

0 b. II

2- #

a C

ac :

: =

=

, , ⑦

dlantnltamertodelpldotto siano beh

legge b

0 0 0

b dimostrare 0=0

am devo

a. a-

a. a.

: = :

o =

, (0-0)=0/-0+0.0 -0=0

at a

a-

-

-

⑦ sia b-

-0

a.

Sea -0 finito

ho b

1. =D

b

oilabt.at?O-a.bElR

b

dimostrare

Kato b- a.

-0

devo

a)

f- l' opposto

comporta

O

: a)

@ di

C- talea

si quindi

mm

- a a.

a come

+

- = =

: - -

) (

fa

- b)

D= a. 0

bta.be )

fata

MM 0.be

D=

a.

- : -

. ab

fa b)

) f-

- mm

=

- :

.be/R

fa PROPRIETÀ

IRLIPRIEIÀ at

dell' OIDNNIIMEITQ Riflessiva

a

-

: bea

oizb

-

- Qfb

acb Ed

@ e

bla

b

- a) b

acb LEGGE della TRICOTOMIA

b O

a- a)

o

- 20

Eb b-

Ata

AM

b- a

a

@ e

- : -

. 0 b-

E a

fatto

b-

0

0

Ota E

fb

1) b 0 IO Of

b

fa b

MM b

Of

E

a at

: @

e + +

2) b Ed btd

at a E

te

C

e

3) 0

20 E

@

a - b) ab 0

C- ab

0

0 20

O

4) E

20 b O

?

b

b ?

AM

E

a.

E

a a. -

e : →

-

0

0 b

b

5) ato a

? z

e - be

E

20

6) a

Eb C c

a e aczbc

7) 0

ce

Eb e

a fa so

8) 0

a) fa co

9) o

<

a la

¥ E

sb

101 Oca 170 O

assurdo

DIMOSTRAZIONE Supponiamo 1C

per

regola dicotomia

segni so 0

quindi

per dei

la 1)

1.1 per

,

IR

siano B

A.

COMPLETEZZA vuoti

E

assioma di : non ,

fa

separati risulta

a. fb EB b

siano ⇐

a

e

:

EIR

7C Ob

Oaea B

Risulta b

E

te

: a e

e

, )

IR

E Dinant ( ④

Q quindi

€

che

dire #

}

2)

{

considero a ④ 0 X E

? positivi al

2 quadrato

elevati dopo

dunque

e

E danno trovano

X che

= numeri si

:

× 2 .

}

} { 42

XEQ

{ 0

④ positivi

o dir

negativi trovano

X

c

B- )

U prima

che si

:X numeri

x

E e numeri e

:

×

-

# ④

-

- a

b. A)

A (

vuoti

B

| infatti 4

esempio E

sono

non

e per il )

( r

vuoto

'

aeb è

separazione perche

Tra c'

è

c'

non , completo

re separatore

ammettono ④

siccome

dunque non

non è

, ,

VZEIR dimostrato )

( abbiamo

lo

non }

d)

considero A- Ex EIR 70 2

x

: e }

} { EIR

{ eh

EIR ho

B- no 2

:

u x

x :

- fa

O IR

#

c - -

a

B

classi separate

vuoti

b.

A- sono

non

e

so EA B

be a

b E

devo provare :

a e ,

se b negativo

' be

e a

: ? ?

' ' ' a)

' b) b

0

0 b-

(

positivo co

b ( b- e a

è a b <

at

b <

e a

:b

se a

2 a

e e te

se b) anche

0 b)

al O

a +

,

c'

' unico ( dimostrato )

lo

e

c 2 abbiamo

e = non

della EMMA )

IR

Radice

TEOREMA N costruire

( possibile

quando radici

e' in

-

sia NEIN O

n #

,

NEIR

sia fa

1) Se tale

alla

fede da

reale elevato

il

ripari unico chiama

che

' numero

a . si

numero n

TÒ

070 0

solo

2) O

scenari quindi

a- =

-

[ .

arco alla

reale elevato

atalcnn che nota

numero a

72 reali risultato positivo

0 l'

l' altro

altro opposto

l'

alla

Numeri elevati dell'

negativo

che danno ' e'

uno uno

e sono

a) per

n a : e ,

Fa

positivo la

Quello ' regina A

Rana

= di

e

Ve

la 2

=

. Ìtb

Offa

N.b.int beh

0

netti OEAEB

sia # a.

n e

, IR

INTERVALLI di )

semiretta

ILLIMITATI (

• }

{ EIR )

( {

Mia

a

(

:X aperto "

=

+ - MMX inferiormente

)

}

XEIR troia

{ Ed chiuso .my#R

:X = a

}

{ EIR }

¥

) "

( aperto

) a

× :X ai

= superior mente

} )

XEIR Cairo

{ # R

xza chiuso

: = )

segmenti

(

LIMITATI

• } b)

{ XEIR (

acxcb ai

: = #

a b

} )

{ (

XEIR acxeb aib

=

: #

b

a

} (

XEIR )

aexcb

{ aib

: = ÷

b

a

)

} [

{ XEIR AEXEB aib

: . #

a b

VALORE ASSOLUTO Ì

III.

{

XEIR XZO

sia -11=1

txt i

+ se e

=

. Alert

It t

101=0

XCO

X se

- -

-

MEIR

pilota IXI 70 1×1=0 HO

•

x.

: e

: txt txt

• -

XIO 1414

• X Xcycx

-

;

IXIEXEIXI

• - IXI

1×1 EXE

-

IX IEIX -1414Mt

-141

• # MI

-14 1×+4141

MM :

. ( )

IXHMI EXTYEIXI -1141

- uguale

valore e'

il di numero

ass un

. opposto

quello del

a suo

?

11×1 1411 IX 41

E 141 ti

IXI

1×1=1×-4+4 I X -41

• MM

- :

- -

il -4+4141×-41+141 IXI 41

IX

-1417 disegno

cambio

-

-

I EIXI

IX

IX -41

Xl 41 IX -41

MI

MI E

E - - -

- -41

la

-1411

" E

ti

Inoltre 141=14 +1+1×1

x-ix.ly -

- 14 il

IXI E

141 -

-

41=1×1 141

IX. '

• III. È o

#

• con

¥

III. uno

• con t' ti

XEIR

shunt sia IXI 2

e

= =

,

SUPERIORE INFERIORE

ESTREMO E MEA

AEIR M a Mzaiuaea

A. gli

sia a

esiste '

Massimo elementi

il

chiama grande di

tra

di

si piu Max

se -

-

,

, III.

piccolo mina

qst A

a. OAEA

elementi

MINIMO gli di

chiama di il tra

si piu '

se me

,

maxa esiste

se unico

è

te esso

: , .

similmente il minimo

per

'

Men

siano A

di

massimi M'

'

MEM '

M

Per definizione Man

massimo E

di e

È }

f- } b)

{ ④

IN

fa

A- tira c-

a.

e .

§ 7

maxb.tt 7

mail =3 IN

A- Max

Max

Max =

= )

- ( N

mine

§ 0

a mira

minar a

Min

mina - =

-

-

. pertiche qualsiasi

prendo numeroso

? se grande

'

piu

trovare uno

posso sempre

ne

xecperdefaexc.to

se ma

,

mail

b C

be

'

perche

# maxdic

Nessun il

xec può essere

KITTY # esiste

mai b.

arriva

si

siccome non mai

a non

AEIR XEIR [

ÙAEA

A 3)

sia dice MAGGIOR ANTE

che

si di minorarle

0

?

è maggiorente

4

:X '

la

se A 1. è e minorarle

maggiorente 1 '

e

'

2. non e

ÒAEA

MEIR NORANTE

MI 44

che minorarle

a A

di

dice

si se

' maggiorana '

2 non

e e

sé

: piccolo

AEIR

sia A

esiste maggioranti

) il '

A

(

A

chiama ESTREMO di

dei

SUPERIORE

si piu

di sup se

, ,

. esiste dia

il minor arti

f.

( )

A dei

grande

A '

piu

chiama INFERIORE

ESTREMO di

si in se ,

,

a)

Isis )

A- A

la magg +

=

- . =L

a

min mi

-

AEIR limitato a

A superiormente a

che

diremo maggiorana di

è se

•

: limitato ti

inferiormente minorarle a

di

se

• maggiorana

limitato set A

arte

minor di

e

in in

•

AEIR

Sia MEIR Ea

7 IEM

limitato 0

ma

A Ea la

è : :

,

.

! intervallo 0

a ' limitato

inclusa centrato

in

la essere

mo un in

. ⑦ M

fa a M

se E

E

DI a

e

: : -

Norante

né mi

- limitato

a '

e

maggiorana

M '

e

⑦ Mr

ipotesi

Per Ma A

norante arte

maggior

mi di

e

Ma Mz

fa a

Quindi fa e

e : }

{ mal

M il

Mal

I

Chiamo Max M

M

ME Ma Ma

E E al

a E c

1

-

TEOREMA SUPERIORE

dell' ESTREMO

ESISTENZA

di

- IR

EIR limitato

a

sia superiormente A

allora a

NON vuoto sua

e e

, .

Olmi A

maggioranti

considero B. l' di

insieme

insieme di

come

A 0 ipotesi

# per

0

B limitato

A a

et ' ar te

perche quindi maggior

' p

su

e .

.

aea

siano b

qualsiasi

B E

be a.

e :

7 IR

completezza

Per elemento separatore a b

fa 0

assioma b.

di ce

e

ce a be

e e

:

infatti piccolo

arte

A

dico il maggioranti

di maggior dei perché

perché b

che ce

te

cè piu

'

p

c è

a ed

su

= : ,

.

TEOREmadieslstenzadll iestREMOINFERIOREG.ca

IR

A 7 f.

inferiormente

limitato A

allora

E VUOTO di

NON in

e .

DI : B.

considero l' arti A

di

insieme dei minor

insieme

come

A 70 ipotesi

per

BF 0 arte

inferiormente

limitato

perche ' 7

quindi minor

a è ,

EA b

be

siano qualsiasi

B

a z

a

e : IR elemento

per completezza 7 separatore azczb

di

assioma ce :

f. infatti czb

arte arti

dico A il '

'

fa grande dei perche

è perche

'

di minor

c

e- in C ed piu minor

'

e

: , A

CARATTERIZZAZIONE SNP

TEOREMA di A)

proprietà

di ( unica di sua

. .

A IR

AEIR

Sia M

70 E

, , ① M

A

M ante a

Allora è di

maggior

su p ⇐

= . ② A M ti A M

0 arte cioè

è te

E) E maggior

non a

ae E <

- -

, , . solo

In

Essendo matematica

M lo

piccolo

A definisce

il

maggioranti diminuisco proprietà

piccolo le

anche ha

dei '

il di piu

più si come

'

su poco

p è non

se

piu sue

= : ,

,

. .

.

DI : ⑤ ①

M A M

si A

definizione

che arte di

maggior

sa

su è per

p sua

= .

② Cioe

M-EFMM.EC

'

M

) M

sia dimostrare maggioranti

Voglio diminuendo

piccolo di

che

0 molto

reale

(

E) #

E

numero

un

numero , .

. fa

piccolo

M M

a te

del

ho arte

piu

' dunque

maggior e a

numero E

e

un -

, , .

①

⑦ ②

IR

sia M M A

verifica

che voglio dimostrare

E sua

e =

, .

①

so arte

M la

che maggior

è per

②

Per M

fa

la A

teoria te

in E ca

e -

. . impossibile

Suppongo a

la M l'

sostituendo t.su

dunque

l ll

assurdo ha

(

A M

# M aria perche

'

a

e

sua p

e

per -

: -

.

, , .

A

dunque M

li sua

= .

TEOREMA CARATTERIZZAZIONE a

f.

di IN

di MEIR

a EIR

fa A

l' 0

analoga caratterizzazione anche

della vale *

per in : . ,

①

f- arte a

a

in

m minor di

m

= =

② V' norante

'

0 piu mi

è

E) E non

ma

,

AEIR

sia

- , A

ammette a

a A

allora )

nell'

ha anche sta

massimo

un il che

un

se ( è

svp insieme

Max un suo

Max

=

, .

QI M

a

M definizione

sia A

arte

di maggior di

Max Max

per =

= :

i M Me a M A

il

sia è sup

E) O E a

- .

superiormente A A

M

dotato Me

limitato

sia Me a

a M

a

di Essendo che