A II 6-3-2019 serie di potenze
Serie di potenze ∑n ≥ 0 fn, fn: I, ℝ → ℝ.
∀ x ∈ I consideriamo ∑n = 0+∞ fn(x).
Def: convergenza puntuale
Se I* ⊆ I [i.e., ∀ x ∈ I* la serie numerica ∑n = 0+∞ fn(x) converge allora diciamo che la serie ∑n = 0+∞ fn converge puntualmente su I*.
Es: serie geometrica
fn(x) = xn ∀ n ∈ ℕ (fn definita su I, ℝ).
∑n = 0+∞ xn converge puntualmente per x ∈ (-1, 1) = I*.
x ∈ (-1; 1): f(x) = ∑n = 0+∞ xn = 1/(1 - x).
Es 2: serie esponenziale
fn(x) = xn/n! ∀ n ∈ ℕ (fn definita su I, ℝ).
∑n = 0+∞ xn/n! converge puntualmente su I* = ℝ.
f(x) = ex.
Es 3: serie armonica
fn(x) = xn/n ∀ n ≥ 1 (fn definita su I, ℝ).
∑n = 1+∞ xn/n converge puntualmente su I* = ]-1, 1[.
In x = 1 non converge.
In x = -1 converge per il Cr. di Leibniz.
Domande
f(x) = ∑n = 0+∞ fn(x) per x ∈ I*.
- Se fn è cont. ∀ n, lo è anche f?
- Se fn è der. ∀ n, lo è anche f?
- In caso affermativo, vale f'(x) = ∑n = 0+∞ fn'(x)
- Se fn sono integrabili ∀ n, lo è anche f?
- Se sì, vale ∫ f(x) = ∑n = 0+∞ ∫ fn(x)?
P0: 1, 2, Θ = 3 in generale no.
A II 6-3-19 serie di potenze
Serie di potenze ∑n=0∞ fn n∈ℕ, fn: I ℝ → ℝ.
∀ x∈I consideriamo ∑n=0∞ fn(x).
Def: convergenza puntuale
Se I* ⊆ I [i.e. ∀ x∈I* la serie numerica ∑n=0∞ fn(x) converge allora diciamo che la serie ∑n=0∞ fn converge puntualmente su I*.
Es: serie geometrica
fn(x)=xn ∀ n∈ℕ (fn definita su I:ℝ).
∑n=0∞ xn converge puntualmente per x∈(-1, 1) = I*.
x∈(-1; 1): f(x)= 1/(1-x).
Es 2: serie esponenziale
fn(x)=xn/n! ∀ n∈ℕ (fn definita su I:ℝ).
∑n=0∞ xn/n! converge puntualmente su I* = ℝ.
f(x)=ex.
Es 3: serie armonica
fn(x)=xn/n2 ∀ n∈ℕ (fn definita su I:ℝ).
∑n=2∞ xn/n2 converge puntualmente su I*=[-1,1[.
In x=1 non converge.
In x=-1 converge per il Cr. di Leibniz.
Domande
f(x)=∑n=0∞ fn(x) per x∈I*.
- Se fn è cont. ∀ n, lo è anche f?
- Se fn è deriv. ∀ n, lo è anche f?
- In caso affermativo, vale f'(x)= ∑n=0∞ fn´(x)
- Se fn sono integrabili ∀ n, lo è anche f?
- Se sì, vale ∫ab f = ∑n=0∞ ∫ab fn?
Ps: 1, 3, ⊕ 3 in generale no.
Es: risposta sì
Serie geometrica ∑k=0∞ xk = 1/1−x x∈(−1;1).
Derivando entrambi i termini ∑k=0∞ K xk = ∑n=1∞ xn(n+1)xn (xn+1−1) (xn+1−1)/(x-1).
Limite per n→∞ ∑K=0∞ K xk = 1/-x = 1/[1-x].
Serie esponenziale ∑n=0∞ xn ex/n!.
Integrando la sinistra ∫0x xn+1/(n+1) = ∑n=0∞ xn+1/(n+1) = ∑n=1∞
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