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Al II 6-3-19
- Serie di potenze
∑ fₙ(x) rₙ∈ℝ, fₙ:ℝ→ℝ
∀x∈I consideriamo
∑ fₙ(x)
- DEF. Convergenza puntuale
∑ fₙ(x) ∀x∈I la serie numerica ∑ fₙ(x) CONVERGE allora diciamo che la serie ∑ fₙ converge puntualmente su I*
ES 1: Serie geometrica
fₙ(x) = xⁿ ∀n∈ℕ (fₙ definita su I:ℝ)
∑ xⁿ converge puntualmente per x∈(-1, 1) = I*
x∈(-1; 1): f(x) = 1 / 1-x
ES 2: Serie esponenziale
fₙ(x) = xⁿ / n! ∀n∈ℕ (fₙ definita su I:ℝ)
∑ xⁿ / n! converge puntualmente su I*=ℝ
f(x)=eˣ
ES 3: Serie armonica
fₙ(x) = xⁿ ∀n≥1 (fₙ definita su I:ℝ)
∑ xⁿ / n converge puntualmente su I*=[-1,1[
in x=1 non converge
in x=-1 converge per il Cr. di Leibniz
- DOMANDE:
f(x)=∑fₙ(x) per x∈I*
- Se fₙ è cont. ∀n, lo è anche f?
- Se fₙ è deriv. ∀n lo è anche f?
- In caso affermativo, vale f′(x)=∑ fₙ′(x)
- Se fₙ sono integrabili ∀n, lo è anche f?
- Se sì, vale ∫ f = ∑ ∫ fₙ?
P1= 2,3,4 e 3 in generale NO.
ES: risposa SI
- serie geometrica
∞Σk=0 xk = 1 ÷ (1-x), (x; 1)
∞Σk=0 kxk-1 = (n+1) xn+1 - 1 x - 1 xn
Derivando entrambi i termini
∞Σk=0 kxk-1 = (n+1) xn+1 - 1
∞Σk=0 KxK-1 = →
Limite per n → ∞
∞Σk=0 Kxk-1 = → (1, -1) x
- serie esponenziale
∞Σn=0 xn ex ÷ n!
Integrando la sinistra
∞Σn=0 xn+1 ÷ (n+1)(n!)/(n+1) ∞Σn=0 xn+1 ÷ (n+1)
∞Σn=0 xn+1 ÷ ex ÷ n ÷ ex ÷ (n+1)
ES: serie non derivabile termine a termine
Σ∞n=0 sen-1(3×) = ln(x)
∀n ln(x)K 2n
sistema Σ∞m=0 fn(x) converge assul. → converge semplicemente
Vn fn(x) = 3-n cos(13x) ÷ 2
non converge
ES: serie non integrabile termine a termine
Sia Σ∞n=0 una enumerazione di Q ∩ [0,1]
Sia fn: [0,1] → R è dato da
fn(x) = {1, se x = 1 ÷ n {0, altri
fn(x) Riemann integrabili ∀n∈N
Σ∞n=0 fn = 0 se x ∉ (0,1) ∩ Q
Le somme di Riemann inferiori valgono sempre 0 Le somme di Riemann superiori valgono sempre 1
f Riemann integrabili
Serie di Taylor
Sia f: R→R derivabile ∞ volte in 0
∃ ε > 0 t.c. f = 0≤k≤n (f(n)(0) / k!) xx + En(x)
Con En(x) = (f(n+1)(c) / (n+1)!) xn+1 con c ∈ (0, x) ∀ x ≠ 0
FATTO:
Se ∀ x∈ (-ε, ε) En(x)⟶0 allora f(x) =k=0∑∞ (f(k)(0) / k!) xk per x ∈ (-ε, ε)
Viceversa
Se f si scrive con R∪C-R allora in (-R, R) vale dn = f(n)
In generale:
Le funzioni f sviluppabili in serie di Taylor con En(X)→0 sono tutte e sole le serie che
esistono dnxn
- ES: (6/2/2018)
f(x) =n=1∑∞ (1 / 2n) (x+2)n calcolare R∪C e f208(-2)
1/2 |x+2| R = 2
f208(-2) = d208 2018!
DEF: funzione analitica
Una funzione f si dice analitica in (a, b) se ∀ X0 ∈ (a, b) f è sviluppabile
in serie di Taylor in X
Se f è analitica nell'intorno di 0 vale
f(x) =x=0∑∞ impossibile, quindi f non è analitica
-ES:
n=0∑∞ (-1)nx
A 2πn +
-n=0∑∞ (xM) lim arctg
A II 23-3-19
-Si dice che
\[\lim x\to x_0 f(x)=0 \,\, (risp \infty)\,\, se \,\, \forall x \to x_0, \, 3 > 0, \, se \,|x-x_0| R^k è continua.\]
-OSS:
Vale il d.s. unicità del limite
Valgono le su. limiti di somma/prodotto/quotiente.
Valgono i di continuità di somme/prodotto/quotienti di funz. continue
Idem per composizione
-ES:
\[f(x,y)=\frac{(x,y)}{x^2,y^2} = \sin^2(x|x|+|y|)\] se (x^2+y^2)\neq0
Se (x,y)\neq(0,0)=>f.corr.
Se (x,y)=(0,0)
\[\to x=0 \,\, lungo \,\, y=mx\]
\[f(x,y)-f(x,mx)=\frac{mx}{x} = costante\]
siccome il limite si dipende da m, non esiste=>f non è corr. per z=0
\[\to x=0 \,\, lungo \,\,y=x\]
\[(x,y)=\quad \to sin(\frac{x}{1})^n\]
f non è corr. in x=> 0 per z>0
\[\>\lim_{x\to0} \sin^2(x|x|+|y|)\rightarrow0\]
x=1=> \[1^2+y^2=\left(\frac{x}{p}\right)^n\]>0
[...]
Calcolo differenziale in più variabili
DEF: Derivate parziali
f: ℝn→ℝ per i=1,...,n
X0∈ℝn
∂f/∂xi(X0)=limt→0 (f(X0+tei)−f(X0))/t
∂f/∂xi(x) :i−esima derivata parziale
OSS:
- Per calcolare le derivate parziali in X0, la funzione deve essere definita (almeno) in un intorno sferico aperto centrato in X0.
- Consideriamo f: A⊆ℝn→ℝ con A aperto.
DEF: ∇f(X)
f: A⊆ℝn→ℝ A proposito, si dice che f è derivabile in un intero X0 ed, der. parziali (fì(X0)), se esistono linearizzabili
Direc. diffinito di f in X situazione vettore m(∇f (X))=(∂f/∂x1(X01), ..., ∂f/∂xn (X0 n))∈ℝm⊕
ES: calcolare ∇f
- ∇f(M,2) per f(X,Y)=x3+3XY2
- ∇f(x,2)=(4/3,12)
- ∇f(1,0,0) per f(x,y)=y√x f:ℝ2→ℝ
per x=⊗
- ∇f(x,y)=(³/3, ³/2) per X≠⊗
∂f/∂(0,0)=limh→0 (f(0,0)+hf(0,0)−f(0,0))/h=limh→0(f(0,0))/h−limh→00/h=0
∴ ∇f(0,0; (0,0))
- ∇f(x): per f(X)=e−(x0+...+xn3) f:ℝn→ℝ
- ∂f/∂X:0 e−(x0...+x34)*(−2xi)
- ∇f(X)=−eu||i2(x)
Teorema: Formula per il calcolo del gradiente
f, g: Rn → R; λ∈R allora:
- ∇(f + g) = ∇f + ∇g
- ∇(λf) = λ∇f
- ∇(fg) = g∇f + f∇g
Teorema: Derivata di funzioni composte, caso scalare
f: A⊆Rm → R, A aperto; g: V⊆Rn → R, x0∈A
Se h=g∘f: A→R con U=Uf(x0) per f(x0),
Se f è differenziabile in x0 e g è derivabile in f(x0)⟹h è differenz. in x0.
Vale: ∇h(x0) = g'(f(x0)) ∇f(x0)
DEF: Derivata di ordine superiore
riduzione: f: Rn → R
fx = ∂f/∂x fy = ∂f/∂y
con fxy = ∂2f/∂y∂x (anche gxx)
in generale se f: Rn → R
∂(/∂xk ∂f/∂xj) (anche fxjxk)
Teorema di Schwartz
f: A⊆Rm → R A aperta
Supponiamo che ∀ x∈{1,…,n}3 ∃fxi & fxixk & sono continue
in un intorno di x0∈A, allora ∀ i,k∈{1,…,n}2 fxi (x0) = fxkxi(x0)
In particolare se fxixk sono continue su A, allora fxixk(x) = fxkxi(x) ∀x∈k.
- Es:
- f(x,y) = x sen y
- fx = x cos y = fyx = xx cos y
- fy = y x cos y = fy = x cos y
- Es:
- f(x,y) = xy(x2+3)/x2+3 se x y≠0
- =0 se (x,y)=0
fx(0,y) = −y⟹fx(0,y)=4
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