Appunti di Analisi 2

Eq diff. 2^ordine

Molla: F = mo

Fe=-kx(t)

V = d x/dt

dV/dt = x''(t)

↔ m x''(t) = -k x(t) ↔ ≐ F = m

x = c₁sin(ωtc^>cos(ωt)

Eq diff a variable separabili

y' = g(x)h(y) ↔ dy/h(y) = g(x) dx ↓

⟩ dy/h(y) = ⟩ g(x) dx

Equazione da 1^ordine lineare

y' = a(t)y + b(t) ↔ a e b continue sol. generale: y(t)

y(t) e A(t) = ⟩ a(t) dt

Più nello specifico:

eq omogenea associata

(no termine noto)

Z' = a(t) z

Z' / z = a(t)

() ⟩ dz / z = ⟩ a(t) dt

→ |z| = A(t) + c

z = e^A(t)

Equazione annesse

y' dipende del rapporto y'

x → variab. indip. y, z = sono funzione

y''' + 4y = 0 y(x) = c₁ cos (5x) + c₂ sin(x)

Pasaggio y / x'

y = z rh' = z' x + z

↓ y = z' rh'

⟨ medidas separadas (z'²/(x)^z)

soluz. const < = 0 soluz. exp in x z^(')a(x)¹ dx

b(t) = e^t a)(x)=(1/ x)

F ⟩ dz = ⟩ z (1/x) dx

-> z = ln | x | + c e c = log |x| + c

y = <x | Ln x | + c

ln | x | = ln | x | + o

|x| != e

x' != e-c

Eq diff. del II ordine lineare e a coeff. cost.

a y'' + b y' + c y = f(t)

eq omogenea associata: a y'' + b y' + c y = 0

Tracciare il grado del polinomio caratteristico

P(λ) =: a λ² + b λ + c = 0

se Δ ≥ 0: λ₁ = λ₂

se Δ < 0: λ = α ± iβ

se: x^iλt

• y = C₁ e^λ₁x + C₂ e^λ₂x
• y = C₁ e^αx cos βx + C₂ e^αx sin βx

x^iθ = e^θ [ C₁ cos(βt) + C₂ sin(βt) ]

Particolare del risultato di A

Eq. (IN) omogenee

a y'' + b y' + c y = f(x) ≠ forza

in generale: y = y_o + ȳ → soluz. particolare

sol. eq. omogenea

Es. 1

Es. 2

Ae^-2x - 4 Bxe^-2x + 4y^x + A = 0

Sol y: = 4Ax = x^-2x y = A = C₁

y = y_o + ȳ = C₁ x^-2x y = B = x y = x e^-2x → ȳ = B / 3

Campo di direzioni

Punti a tangente orizzontale:

Derivata prima : 0 → (y¹ + 2xy = 2xy = 0)

Dove le soluzioni sono funzioni monotone crescenti

γ' > 0

Dove le sol. sono funzioni monotone decrescenti

γ' < 0

Convergenza serie di Fourier

Se la serie soddisfa la condizione D la serie converge puntualmente ossia converge ∀ x ∈ R.

Negli appunti di sala è usata invece una convergenza nella media (ossia nel punto medio dei salti).

Se oltre alla condizione D la serie è continua su tutto R essa converge uniformemente (suff. a f(x)).

Curva

Def: curva è definita da una funzione continua ossia la parametrizzazione I: [α, β] ⊆ Ω → R²/R³

• sosteglio
• γ = I([α, β]) ossia l’immagine di tutto l’intervallo [α, β]

Chiusa: quando I(α) = I(β), quando gli estremi coincidono

Semplice: se I è iniettiva su [α, β), tale detto se la curva non presenta autointeresezioni.

Parametrizzazioni (sono infinite)

f(x) = x i + f(x) j

FisicaV(t) = x’(t) i + y’(t) j + z’(t) kvel scalare: || r’(t) ||acc.: a(t) = r’’(t) = V’(t)

Curva regolare

(può essere regolare o no)

Se esiste una parametrizzazione I tale che:

• I è di classe C¹
• || I’(t) || ≠ 0 per ogni t

Retta Tangente

a una curva regolare γ in un punto I(t₀)

q(t) = I(t₀) + t τ(t₀) = (x(t₀) + x’(t₀) t) i + (y(t₀) + y’(t₀) t) j + (z(t₀) + z’(t₀) t) k t ∈ R

Lunghezza Curva Posizione

Se la parametrizzazione è di classe C¹[α, β] allora

L( γ ) = ∫_α^β || I'(t) || dt = ∫_α^β √( ( x'(t)² ) + ( y'(t)² ) + ( z'(t)² ) ) dt

Curvatura

κ(t) (scalare sempre ≥ 0)

κ(x) = || f'(x) || / [1 + (f'(x))²]^3/2

κ(t) = || I’(t)xI’’(t) || / || I’(t) ||³ | se la curva è grafico di funzione.

[ I(t)xI’’(t) = i j k ]

Derivate direzionali

Direzione è data dalla vettore _v=ai+bj

_Dv_f(_x0,_y0) = lim_h→0 (f(_x0+ha,_y0+hb) - f(_x0,_y0))/h

Le derivate parziali sono particolari derivate direzionali

∂f/∂x |_v=0=₁₀ , ∂f/∂y |_v=0=₀₁

Piano tangente

Direzione di massima pendenza in (_x0,_y0)

_v=∇f(_x0,_y0)/‖∇f(_x0,_y0)‖

z=f(_x,_y)<----> ^c=sup>F² se f differenziabile in r² ⟹ ammette piano tangente

z=f(_x,_y)≅f(_x0,_y0) + ∂f/∂x|_(x0,y0)(_x-_x0) + ∂f/∂y|_(x0,y0)(_y-_y0)

Formula del gradiente

Se f è differenziabile in (x₀, y₀):

D_vf(_x0,_y0)=_∇f(_x0,_y0) _v ⟹‖∇f‖_{|v|‖v‖‖cosθ}

D_vf può essere ₀ se ⟹ ∇f perpendicolare a _v

L_v = ∂f/∂x|_p ⋅ _a + ∂f/∂y|_p ⋅ _b

Derivate successive Matrice Hessiana

H_f(_x,y) =

• f_xx(_x,y) f_xy(_x,y)
• f_yx(_x,y) f_yy(_x,y)

Derivata funzionale composta

z=f(_x,y) δ:t(t)= x(t) + y(t)

d/dc f((t(t))) = _∇f((_x(_t),_y(_t))) t'(t₀)

Teorema di Schwartz

Se f ∈ C²(A) allora =⟹ f_xy(_x,y)=f_yx(_x,y)

Ciòè la matrice Hessiana è simmetrica

Pertanto: punti critici di una funzione calcolo il gradiente e lo pongo : 0

∇f(_x,_y) = (₀,₀)

Massimi e minimi

Sono i punti critici di una funzione (dorò trovantu)

Punto critico può essere un punto di massimo minimo o di sella

• H_f(_x,_y) = ^f_xx(_x,_y) f f_xy(_x,_y) - det H_f >0. Ho un punto di massimo
• H_f(_x,_y) = ^f_xx(_x,_y) f_xy(_x,_y)
• | {...} det Hf <0
• H_f(_x,_y) | {...} pto di sella

H_f(_x, y) ❮ det H_f >> ⪤ pto di minimo