Richiami di Geometria e Algebra Lineare
n è lo spazio vettoriale di vettori x = (x1, x2, ..., xn) ∈ n
- È definita la somma tra vettori e il prodotto per uno scalare.
- n è dotato di prodotto scalare, norma e distanza.
Prodotto scalare:
Siano x, y ∈ n, il loro prodotto scalare è:
⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn ∈
Norma:
Sia x ∈ n, la sua norma è: ||x|| = √⟨x, x⟩ = √(x12 + x22 + ... + xn2)
Distanza:
Siano x, y ∈ n la loro distanza è d(x, y) = ||x - y||
Disuguaglianza triangolare:
Siano x, y, z ∈ n, allora:
- ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
- d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
Siano x, y ∈ n, allora:
|⟨x, y⟩| ≤ ||x|| · ||y||
Ortonormalità:
x, y ∈ n sono ortogonali se ⟨x, y⟩ = 0
Base canonica:
I vettori e1 = (1, 0, 0, ...) e2 = (0, 1, 0, ...) en = (0, 0, ..., 1)
in n costituiscono la base canonica di n.
Utilizzando la base canonica per costruire un sistema di riferimento cartesiano, 2 si rappresenta geometricamente come un piano, 3 come lo spazio.
Oltre a norma distanza, si può introdurre anche ... tra due vettori x, y: θ = (occhio ⟨x, y⟩ ) / (||x|| ||y||)
L'introduzione della norma, distanza e angolo in n sono puramente geometrici, ... uno spazio euclideo.
RICHIMI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE
1. ℝⁿ
ℝⁿ È LO SPAZIO VETTORIALE DI VETTORI X = (x₁, x₂, ..., xn) ∈ ℝⁿ
È DEFINITO LA SOMMA TRA VETTORI E IL PRODOTTO PER UNO SCALARE.
ℝⁿ È DOTATO DI PRODOTTO SCALARE, NORMA E DISTANZA.
PRODOTTO SCALARE
SIANO x, y ∈ ℝⁿ, IL LORO PRODOTTO SCALARE È:
<x, y> = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xnyn ∈ ℝNORMA
SIA x ∈ ℝⁿ, LA SUA NORMA È:
||x|| = √<x, x> = √x₁² + x₂² + ... + xn²DISTANZA
SIANO x, y ∈ ℝⁿ, LA LORO DISTANZA È:
d(x, y) = ||x - y||DISEGUAGUANZA TRIANGOLARE
SIANO x, y, z ∈ ℝⁿ, ALLORA:
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
DISEGUAGUANZA DI CAUCHY-SCHWARZ
SIANO x, y ∈ ℝⁿ, ALLORA:
|<x, y>| ≤ ||x||·||y||ORTOGONALITÀ
x, y ∈ ℝⁿ SONO ORTOGONALI SE <x, y> = 0
BASE CANONICA
I VETTORI e₁ = (1, 0, 0, ... 0), e₂ = (0, 1, 0, ... 0), en = (0, 0, ..., 1) IN ℝⁿ COSTITUISCONO LA BASE CANONICA DI ℝⁿ.
UTILIZZANDO LA BASE CANONICA PER COSTRUIRE UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO, ℝ² SI RAPPRESENTA GEOMETRICAMENTE COME UN PIANO, ℝ³ COME LO SPAZIO.
INTROD. OLTRE LA NORMA, DISTANZA, SI PUÒ INTRODURRE ANCORA L'ANGOLO TRA DUE VETTORI x, y: Θ = ARCCOS / (||x||·||y||)
L'INTRODUZIONE DELLA NORMA, DISTANZA E ANGOLO IN ℝⁿ CONCETTI PURAMENTE GEOMETRICI, RENDN ℝⁿ UNO SPAZIO EUCLIDEO.
Topologia in Rn
Un insieme chiuso e limitato in Rn, n≥1, si dice insieme compatto in Rn.
Intorno:
Sia X0 ∈ Rn, r>0, si dice intorno di X0 di raggio r l'insieme:
Br(X0) = {y ∈ Rn || X0−y||<r}
Br (X0) ∖ {X0} è detto intorno forato di X0 di raggio r.
Punto di Accumulazione:
Xe ∈ Rn è punto di accumulazione di A ⊂ Rn se ogni suo intorno forato contiene punti di A diversi da X0.
Teorema: Se X0 è punto di accumulazione di A, allora in ogni intorno I0 di X0 cadono infiniti punti di A.
Se X0 ∈ A non è di accumulazione per A, allora è un punto isolato.
Punto di Aderenza:
X∅ ∈ Rn è punto di aderenza di A ⊂ Rn se ogni intorno di X0 contiene punti di A.
Insiemi Aperti/Chiusi:
Sia A ⊂ Rn, X0 ∈ Rn si dice interno ad A se esiste un intorno di X0 contenuto in A. (L'insieme dei punti interni di A si indica con Aο)
A ⊂ Rn si dice aperto se ogni X∈ A è interno ad A.
A ⊂ Rn si dice chiuso se il suo complementare è aperto (si può dimostrare che un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione).
Punto di Frontiera:
X0 ∈ Rn è punto fron
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