Appunti di analisi 2

Rⁿ è lo spazio vettoriale di vettori

x = (x₁, x₂, ... , x_n) ∈ Rⁿ

• è definito la somma tra vettori e il prodotto per uno scalare
• Rⁿ è dotato di prodotto scalare, norma e distanza

Prodotto scalare:

Siano x, y ∈ Rⁿ, il loro prodotto scalare è:

<x, y> = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n ∈ R

Norma:

Sia x ∈ Rⁿ, la sua norma è: ||x|| = √<x, x> = √x₁² + x₂² + ... + x_n²

Distanza:

Siano x, y ∈ Rⁿ, la loro distanza è d(x,y) = ||x-y||

Disuguaglianza triangolare:

Siano x, y, z ∈ Rⁿ, allora:

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

Siano x, y ∈ Rⁿ, allora:

|<x, y>| ≤ ||x|| . ||y||

Ortogonalità:

x, y ∈ Rⁿ sono ortogonali se <x, y> = 0

Base canonica:

I vettori e₁ = (1, 0, 0, ... 0), e₂ = (0, 1, 0, ... 0), e_n = (0, 0, ... 0, 1)

in Rⁿ costituiscono la base canonica di Rⁿ.

Topologia in Rⁿ

* Un insieme chiuso e limitato in Rⁿ, n≥1, si dice insieme compatto in Rⁿ.

Intorni:

Sia x₀ ∈ Rⁿ, r>0, si dice intorno di x₀ di raggio r l'insieme:

B_r(x₀) = {x ∈ Rⁿ | ||x - y|| < r}

B_r(x₀) - {x₀} è detto intorno forato di x₀ di raggio r.

Punto di accumulazione:

x₀ ∈ Rⁿ è punto di accumulazione di A ⊂ Rⁿ se ha ogni suo intorno contiene punti di A diversi da x₀.

Teorema: se x₀ è punto di accumulazione di A, allora in ogni intorno di x₀ cadono infiniti punti di A.

Se x₀ ∈ A e non è di accumulazione per A, allora è un punto isolato.

Punto di aderenza:

x₀ ∈ Rⁿ è punto di aderenza di A ⊂ Rⁿ se ogni intorno di x₀ contiene punti di A.

Insiemi aperti/chiusi:

Sia A ⊂ Rⁿ, x₀ ∈ Rⁿ si dice interno ad A se esiste un intorno di x₀ contenuto in A. L'insieme dei punti interni di A si indica con A^o. A ⊂ Rⁿ si dice aperto se ogni x ∈ A è interno ad A.

A ⊂ Rⁿ si dice chiuso se il suo complementare è aperto (si può dimostrare che un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione).

Punto di frontiera:

x₀ ∈ Rⁿ è punto di frontiera per A ⊂ Rⁿ se ogni intorno contiene punti di A e del suo complementare — A^c (l'insieme dei punti di frontiera si indica con ∂A e si chiama frontiera di A).

Chiusura di un insieme:

Dato A ⊂ Rⁿ, A̅ si dice chiusura di A, ed è l'insieme dei punti di aderenza di A (oppure A̅ = A ∪ ∂A). A è chiuso se e solo se A̅ = A.

Insieme limitato:

A ⊂ Rⁿ è limitato se esiste r > 0 tale che A ⊂ B_r(0).

Anche in Rⁿ vale il teorema di Bolzano-Weierstrass.

TEOREMI SUI LIMITI

Valgono molti teoremi sui limiti enunciati per le funzioni di variabile reale:

• Teorema delle operazioni sui limiti
• Teorema di unicità del limite
• Teorema di permanenza del segno
• Teorema dei confronti e dei cofinanziari.

Funzione limitata

Si dice che \( f: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è limitata se solo è una immagine.

Teorema di limitatezza

Siano \( f \) e \( g \) definite in \( A \subseteq \mathbb{R} \) e valori in \( \mathbb{R} \), su \( x_0 \) di accumulazione per A, sia \( f \) limitato in A e \( g \) infinitesimo per \( x \to x_0 \), ne deriva \( fg \) è infinitesimo.

Continuità

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ed \( x_0 \in A \). Si dice che f è continua in x se x è in un punto isolato da A oppure se, nel caso fosse di accumulazione, risulti:

f(x) \(\to\) f(x_0), per x \(\to\) x_0, in termini più generali è condizione \(\Theta\):

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: x_0 \in A, |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\)

Una funzione continua in ogni punto del suo dominio è continua nel suo dominio.

Teorema di collegamento

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} \) e \( x_0 \in A \) di accumulazione per A, si dice che f è continua in \( x_0 \), se per ogni successione \(\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq A\)

Tale che \( x_n \to x_0 \), risulta \( f(x_n) \to f(x_0) \)

Teorema di funzioni combinate

Se una funzione reale in una o più variabile è ottenuta mediante somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue e altra è continua.

Teorema di Weierstrass

Se \( f: A \subseteq \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} \) continua in A chiuso e limitato, allora f ammette minimo e massimo assoluto in A.

Massimi e Minimi Liberi

Punti Estremanti: Su f: A ⊆ ⁿ → un campo scalare e su x_o ∈ A, se x_o è un punto di minimo o massimo relativo di f in A, allora x_o è detto estremante di f in A.

Teorema di Fermat:

Su f: A ⊆ ⁿ → un campo scalare definito in A aperto e su x_o ∈ A un estremante di f in A e su f differenziabile in x_o, allora ∇f(x_o) = 0.

Nota: In verità nel teorema di Fermat non è necessaria la condizione che f sia differenziabile, ma solo che essa sia derivabile in x_o.

Punto Critico e di Sella:

Su f: A ⊆ ⁿ → un campo scalare, su x_o ∈ A, se ∇f(x_o) = 0, allora x_o è detto punto critico di f oppure punto stazionario di f. Un punto critico che non è un estremante è detto punto di sella.

Ricerca di Estremanti di un Campo Scalare:

In base a ciò che è stato detto precedentemente, quindi, gli estremanti di un campo scalare vanno ricercati nei seguenti insiemi:

• (i) Insieme dei punti di frontiera del dominio di f.
• (ii) Eventuale insieme dei punti in cui f non è derivabile.
• (iii) Insieme dei punti in cui il gradiente di f è nullo.

Riguardo al punto (i), si può dimostrare che se x_o appartiene alla frontiera del dominio di f e f è un estremante per la restrizione di f sulla frontiera, allora x_o è un estremante di f. La ricerca di estremanti di f nella frontiera del suo dominio costituisce una ricerca di estremi vincolati.

Moltiplicatori di Lagrange

Sia x_o ∈ Ω un punto regolare di Ω e di estremo vincolato per f, allora esistono λ₁, λ₂, …, λ_m ∈ ℝ tali che:

∇f(c, x_o) = ∑_i=1^m λ_i ∇g_i(x_o)

con λ₁, λ₂, ... λ_m detti moltiplicatori di Lagrange.

• In parole povere, dato che il vettore ∇f(x_o) in base a teorema precedente era ortogonale ad ogni v tangente alla curva Ω : g(x) = b, allora ∇f(x_o) è un combinazione lineare dei gradienti di ∇g in x_o, ossia ∇f(x_o) appartiene allo spazio vettoriale generato dagli m gradienti di g in x_o.

Lagrangiana

• In base alle considerazioni precedenti, si introduce la funzione L : A x ℝ^m → ℝ definita come:

L(x, λ) := f(x) - λ · (g(x) - b)

detto Lagrangiana, essendo λ = (λ₁, λ₂, ..., λ_m).

Quindi se x_o ∈ Ω e x_o è un punto stazionario vincolato di f in Ω allora esiste un λ¹ = (λ₁¹, λ₂¹, …, λ_m¹) tale che (x_o, λ¹) è un punto stazionario libero di L.

Interpretazione Fisica

• L'interpretazione fisica del metodo dei moltiplicatori di Lagrange è molto semplice. Infatti, supponiamo che f sia il potenziale agente in un corpo, allora la forza agente sul corpo è - ∇f. Inoltre il corpo è vincolato a muoversi sulla curva g(x) = b. Cercare gli estremi vincolati di f significa trovare la posizione di equilibrio del sistema vincolato, ossia quando il corpo è in equilibrio sul vincolo, ossia quando la forza che agisce sul corpo è ortogonale al vincolo. Dato che quando la forza è ortogonale al vincolo non c'è alcun componente della forza che possa far muovere il corpo lungo il vincolo, ossia quindi quando il gradiente di f come potenziale f è ortogonale al vincolo.