Appunti di Analisi 2

Esercizi Dini e teoremi fondamentali

Verifica teorema

Considere la funzione f(x₀, y₀, z₀) = 0. Se f_y ≠ 0 e f_z ≠ 0, allora ∇F(x₀, y₀, z₀) ≠ 0. Quindi si definisce una curva o una superficie.

Calcolo della retta tangente

Scrivere la retta tangente in P₀ alla curva/superficie: h(x) = f(x, ±1). Aggiungere add_h, calcolare h'(x) e verificare dove si annulla.

RICORDA: Calcolare valori di f per i punti di estremo per capire se sono massimo o minimo, anche negli estremi della curva!

Integrali doppi

Data f ∈ ℝ(R), con R = [a,b] x [c,d], allora:

∬_R f(x,y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_c^d f(x,y) dy ) dx = ∫_c^d ( ∫_a^b f(x,y) dx ) dy

Corollario

Se f(x,y) = g(x)h(y), allora:

∬ f(x,y) dx dy = ( ∫_a^b g(x) dx )( ∫_c^d h(y) dy )

Calcolo degli integrali

Per calcolo integrali ⇒ Formule di riduzione valide su domini semplici e regolari.

Domini semplici

• Dominio y-semplice: g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)

∫_a^b (∫_g1(x)^g₂(x) f(x,y) dy) dx

• Dominio x-semplice: h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)

∫_c^d (∫_h1(y)^h₂(y) f(x,y) dx) dy

Metodo del cambio di variabile

La funzione f(x,y) ⇔ φ(u,v) è definita come:

{ x = g(u,v)
y = h(u,v) }

∬_Ω f(x,y) dx dy = ∬_Ω' f( φ₁(u,v), φ₂(u,v) ) | det Jφ(u,v) | du dv

Metodo delle coordinate polari

La funzione φ(u,v) è definita come:

{ x = ρ cosθ
y = ρ senθ }

Con ρ ∈ (0, +∞) e θ ∈ [0, 2π],

∬_Ω' • f( ρ cosθ, ρ senθ ) ρ dρ dθ

Dove |Jφ| = ρ. Utile quando il dominio presenta simmetrie di tipo radiale.

Coordinate polari centro (x₀, y₀)

La funzione φ è definita come:

{ x = x₀ + ρ cosθ
y = y₀ + ρ senθ }

Dove |Jφ| = ρ.

Coordinate elittico polari

&frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1

La funzione φ è definita come:

{ x = aρ cosθ
y = bρ senθ }

Dove |Jφ| = abρ.

Integrali tripli

Come per gli integrali doppi, l'approccio è simile ma applicato a volumi tridimensionali.