Appunti di Analisi 2

ESERCIZI DINI (IR/82)

1. Verificare Teorema
   • f(x₀, y₀, z₀) = 0
   • ∂f/∂y = 0 ∧ ∂f/∂z = 0 ∇f(x₀, y₀, z₀) ≠ 0
   Quindi si definisce una curva ed una superficie

   Scrivere retta tg in P₀ alla curva/superficie:

   <∇f(P₀), (x - x₀)> = 0

   f(x, y) = 0 ⟹ fₙ(x₀) ≠ 0 ⇒ y = g(x) → f(x, g(x)) = h(x)

   g'(x) = -

   ^{∂f/∂x(x, y(x))} / _{∂f/∂y(x, y(x))}

   oppure h'(x) = 0 e ricavo g'(x)

   g'(x) =

   ^{-(∂x/∂x(P)z(P) + ∂y(P)x(P) + ∂y(P)z(P) + ∂z(P)y(P))}

   oppure -

   ^{((∂x(x, g(x))) + 2y(x)g(x)g'(x))/} / _{(f(x, g(x))}

   se chiedono studiare g(x)

   • g'(x) = 0 → p.to critico
   • g'(x) < 0 → max
   • g'(x) > 0 → min

   POLINOMIO DI HERMANN:

   g(x) = g₀(x) + g₁x²/2! + g²x₃/3! ...

   ESERCIZI ESTREMI VINCOLATI

   Studiamo punti critici su vincoli (bordi inclusi)

   E = Eⱼ + ∂E

   =

   <∂E + ∂E

   estremi bordi → estremi vincolati

   liberi

   Nel bordo E possiamo applicare teorema dei MULTIPLICATORI DI LAGRANGE

   L(x, y, λ) = ϕ - λg → ∇L = 0

   oppure esplicitammo le curve secondo le condizioni di ∂E

   esempio:

   Θ = {(x,y): |x|≤1, |y|≤1} ∂Ω: (x,y): x=±1, y±1 t1 => 4 curve

   y=-1, x∈[-1, 1] ⇒ h(x) = f(x, ±1)

   RICORDA:

   Calcolare valori di f per i punti di estremo per capire se sono max o min!

   ANCHE negli estremi delle curve !

   INTEGRALI DOPPI

   rettangolo

   Data φ ∈ ℝ (R), R = [a,b] x [c,d] allora,

   ∫∫_R f(x,y) dxdy .

   ∫_a^b ∫_c^d f(x,y) dy dx

   ∫_c^d ∫_a^b f(x,y) dx dy

   corollario

   ∫∫ f(x,y) dxdy = ( ∫_a^b g(x) dx ) ( ∫_c^d h(y) dy )

   1) Per calcolare integrali => FORMULE di RIDUZIONE valide su domini semplici e regolari

   • dominio y-semplice g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)
   • dominio x-semplice h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)

   2) METODO cambio di variabile

   f(x,y) → φ(u,v) = {x = g₁(u,v)

   y = h(u,v)}

   ∫∫ f(x,y) dxdy = ∫∫ f φ(x,y) |det Jφ(u,v)| du dv

   3) Metodo coordinate polari

   φ(u,v) = { x = ρ cosθ

   y = ρ sinθ}

   ρ ∈ (0,+∞)

   θ ∈ [0,2π]

   ∫∫* f (ρ cosθ, ρ sinθ) ρ dρ dθ

   coordinate polari centro (x₀,y₀)

   φ: { x = x₀ + ρ cosθ

   y = y₀ + ρ sinθ}

   |Jφ| = ρ

   coordinate ellittico polari

   x²/a² + y²/b² = 1

   φ: { x = aρ cosθ

   y = bρ sinθ}

   |Jφ| = abρ

   Superfici

   • Superfici di rotazione -> una curva parametrizzabile in R² viene fatta ruotare di un angolo α attorno ad uno dei due assi parametrici

   (1) γ(t) =

   • x = δ(t)
   • y = g₂
   (2) una possibile parametrizzazione

   es. se parametrizzo γ(t) =

   • x = δ₁ cos φ
   • y = δ₁ sen φ
   • z = δ₂
   -> curva γ(t) ⊂ R² ->
   • rotazione φ
   • intorno z
   -> ruota attorno asse z

   CurvE PianE

   X: I → ℝ²

   X(t) = (x(t), y(t))

   |X'(t)| ≠ 0

   versore tg. T(t) = X'(t₀) / |X'(t₀)|

   T(t₀) = (x'(t₀), y'(t₀)) / |(x'(t₀)|, |X'(t₀)|

   RETTA:

   jX(t₀) = (x(t₀), y(t₀)) − (x₀, y₀)

   x(t) = x₀ + x'(t₀)t

   y(t) = y₀ + y'(t₀)t

   y'(t₀)(x−x₀) ≠ x'(t₀)(y−y₀) = 0

   versore normale:

   (y'(t₀) − x(t₀)) / ||.

   Rappresentazione polare, coordinate polari (p, θ)

   p² = x² + y²

   y = p(θ)senθ

   |r'(s)| = √((p(θ)²) + p'(θ)²)

   LUNGHEZZA

   L(T) = ∫_a^b |γ'(t)| dt

   CAMBIAMENTI DI PARAMETRO E CURVE EQ.

   S(t) = ∫_t0 ||γ · t|| dt

   INT. CURVILINEI

   ∫ f ds = ∫_a^b φ(r(t)) |γ'(t)| dt

   CENTRO DI MASSA E MASSA

   M = ∫_g μ(x,y,z) |r'(t)| dt

   X_G = 1 / Lunghezza x ∫_g x · μ(x,y,z) dt

   Corollario

   Hf(x) > 0     ∀ x ∈ I     ⇒   x_o è di minimo

   Hf(x) < 0     ∀ x ∈ I     ⇒   x_o è di max