esercizi e appunti di analisi 2

Altri esempi di spazi vettoriali

Esempio 1

V = C([a, b]) f + g (f, g ∈ V) => (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ [a, b] (λf)(x) = λf(x) ∀ x ∈ [a, b]

Sono gli esercizi 1 con le proprietà

Esempio 2

R^2x3 M = [   m₁₁   m₁₂   m₁₃   m₂₁   m₂₂   m₂₃ ]

Le matrici si possono sommare

[   0   1   2   3 -1   4 ] + [   1 -2   1   2 -3   1 ] = [   1 -1   3   5   4   5 ]

Dimostrazione 0 . V = Ø 0 . V = (0 + 0) . V = 0V + 0V     = 0 . 0 . V

Esempio 2

Siano date in R² i vettori (2, μ)^T e (1, 3)^T Dato inoltre e vettore (-4, -3)^T, trovare λ e μ tali che λ₂ =     [     x₁     x₂     ] + μ[     y₁     y₂     ] = [     x₁ - μ     λ + 3μ ]

Impostare il problema

{   2λ - μ = -4     =>   2λ - μ = 4   λ + 3μ = -3       -2λ   6μ = +6 7μ = 10      μ = 10/7

2λ - (10/7) = 4 => 2λ = 10/7 + 4 => 18/7     => 9/7 [ 2 ¹⁸     ⟩     ⟣,

9/7 [ 4 -3 4 -3 ]

Esercizio 2)

(1) (3) _{+ μ (9) (b)}

• 2λ - μ = a
• μ = 2λ - a
• λ + 3μ = b
• λ + 3 (2λ - a)

Esercizio 3)

Siano dati in ^{i vettori (2, -1) e (-4, 2)T}

• λ (2) + μ (-4) = (1)
• ²

Dato inoltre ^{( ) trovare}

• 2λ - 4μ = -1
• -λ + 2μ = 1

=> 2λ - 4μ = 1

=-2λ + 4μ = 2

=3

Definizione: Se _v1, _v2, ..., _vn soddisfa una delle affermazioni precedenti, _v1, _v2... si dice base di V.

Esempio

Rⁿ e₁ = (1 0 ... 0) e₂ = (0 1 ... 0) e_n = (0 0 ... 1)

Allora dico che {e₁, ..., e_n} è parte libera e sistema di generatori.

Sia x = (x₁ ) (x₂ ) (x_n)

= _λ1 e₁ + _λ2e₂ +...+_λn e_n

Dimostrazione sistema di generatori

Se _λe1 +...+_λne_n = ( 0 ) ( 0 ) (0 ) → 0 →_λl =_λ2=...=_λn=0

Dimostrazione parte libera

TEORIA

Sia V uno spazio vettoriale, siano {w₁, ..., w_h} e {v₁, ..., v_k} due basi di V. Allora h=k.

Dimostrazione Per simmetria basta mostrare che h non può essere maggiore di k. Supponiamo per assurdo h > k.

Una base non può contenere un'altra base perché è parte libera {m minimo}.

Corollario: Siamo B₂ = {v₁, ..., v_n} una base di V. Sia B’ un'altra base di V con B ⊂ B’, Allora B’=B

Poiché B’ è un sistema di generazione λ₁, ..., λ_k tali che w₁ = λ₁v₁ +...+λ_kv_k mon t+ vai etmimenti 0

Fanno eventualmente di aggiungere v₁, v_m possiamo supporre λ_m≠0

Dico che {w₁, w₂, ..., w_n} è una base di V. Per dimostrare questo devo dimostrare che è parte libera e sistema di generatori.

Dimostrazione sistema di generatori: v₁ = C₁w₁, C_u2w₂ ,..., λ _Bn w_n →

e Span {w₁, w₂ ,..., w_n} ⇒ {v₁, v_n }⊆ Span {w₁, w₂ , w_n} ⇒

{w₁, w₂, ..., w_n} è un sistema di generazioni.

Esercizio: Verificare che provare ad aggiungere un'altra vett.

(Tenere fuori, , e lasciare , )

, e sono indipendenti.

è indipendente

è combinazione lineare di e lo butto

è combinazione lineare di e lo scarto

Proprietà della norma indotta dal prodotto scalare

1. v=0 |v|=0 ⇔ v=0 (definizia positiva)
2. |λv|=|λ||v| ∀ v ∈ V ∀ λ ∈ R
3. |v+w| ≤ |v|+|w| ∀ v,w ∈ V (disequazione triangolare)
4. |v+w|²+|v-w|²=2(|v|²+|w|²) ∀ v,w ∈ V (disequazione del par...)

Dimostrazione

1. |v|²=<v,v>≥0 e |v|²=0 ⇔ v=0
2. |λv|²=<λv,λv>=< λ²>|v|² = |λ|²|v|² = |λ|²|v|²
3. |v+w|²=<v+w,v+w>=<v,v>+<w,w>+2<v,v>≤ |v|²+|w|²+2|v||w| = (|v|+|w|)²
4. |v+w|²+|v-w|² = |v|²+|w|²+2<v,w> |v-w|² = |v|²+|w|²-2<v,w> |v+w|²|v-w|²=2(|v|²+|w|²)

Dimostrazione

Per costruzione quindi V_j e i_j < k sono ≠ 0 Inoltre V_i sempre per costruzione è del tipo u_h - u_jh Σ_j=1^h-1 <u_j, u_i>

Per ipotesi se L < K avrei <w₁, w₂> = <w₁, w_f> = h = <u_h ∨ V_i w_j z_{wf> <- uj, wf> = < > se + - per ipotesi (Per l'indicazione) quindi le somme - <wi, wf> = <ui, wf> = 0}

<w_h w_f>

Infine, chiaramente per indicazione avrò Span{w₁, ..., w_l}* Span V_i (Perché w_h l'ho costruito partendo da w_f e quelli (seat

Tratterò (vale anche il contrario) (della * abbiamo che v_i = w_h - Σ_s=1^h-1 <V_i, w_j> w_j Questo ci dice che

v_j ∊ Span{w₁, ..., w_l}, w₁,... ≠ 0 = w_i ∧ V_i ∊ Span{w_i, w_h ≠ w_f ≠ 0

In ogni caso V_i ⊂ Span{w_i, w_h} ∀i a-tem e dunque la span{v_i

⊂ span{w_i ...w_h} □