esercizi e appunti di analisi 2

Altri esempi di spazi vettoriali

Esempio 1

V = C([a,b])
f, g ∈ V ⇒ Cf+g ∈ V ⇒ Cf(x)+g(x) = f(x)+g(x) ∀ x ∈ [a,b]
(λf)(x) = λf(x) ∀ x ∈ [a,b]

Esercizi con le proprietà

Esempio 2

R^2x3
M = [ m₁₁ m₁₂ m₁₃ ]
      [ m₂₁ m₂₂ m₂₃ ]
Le matrici si possono sommare
[ 0, 1, 2 ] + [ 1, -2, 1 ] = [ 1, -1, 3 ]
[ 3, -1, 4 ] + [ 2, -3, 1 ] = [ 5, -4, 5 ]

Dimostrazione

0 . V = 0
0 . V = (0 + 0) . V = 0V + 0V
0 = 0 . V

Esempio 3

Siamo date in R² i vettori (R,1)^T e (-1,3)^T
Dato mettere le 0 µ tali che (Δ₂):
[ 2 ]
[ 1 ] + µ[ -3 ] = [ 2λ - µ ]
    [ λ ]
    [ λ + 3µ ]
Impostare il problema
2λ - µ = 4 ⇒ 2λ - µ = 4
λ + 3µ = -3 ⇒ -2λ - 6µ = +67
7µ = 10 ⇒ µ = 10/7
2λ - ( 10/7 ) = 4 ⇒ 2λ = 10/7 + 4 = 18/7
9/7λ = 10/7 ⇒ λ = 10/7 * ( 1/9 ) = [ 10/63 ]
[ -1/30 ] = ( 28/21 ) = [ 4/3 ]
[ 9 ]
[ 10 ]

Altri esempi di spazi vettoriali

Esempio 1

V = C([a,b])
f, g ∈ V ⇒ C f, g ∈ V ⇒ C f, g ∈ V ⇒ Cf+g∈V⇒f(x)+g(x) ∀ x ∈ [a,b]
(λf)(x)=λf(x) ∀ x ∈ [a,b]

Prove gli esercizi con le proprietà

Esempio 2

R^2x3
M= [ m₁₁ m₁₂ m₁₃ ]
      [ m₂₁ m₂₂ m₂₃ ]
Le matrici si possono sommare
[ 0 , 1 , 2 ] + [ 1 , -2, 1 ] = [ 1 , -1, 3 ]
[ 3 , -1, 4 ] + [ 2 , -3, 1 ] = [ 5 , -4, 5 ]

Dimostrazione

0. V =  ⊙
0. V = (⊙ + ⊙). V = ⊙V+⊙V
0 = 0. V

Esempio 3

Siamo date in R² i vettori (R,1)^T e (-1,3)^T
Dato matrice il vettore (4,-3)^T trovare λ e μ tali che (λ,μ)
[2] + μ[−1] = [2λ−μ]
[1]   [−3]    [λ+3μ]
Impostare il problema
2λ−μ=4   ⇒   2λ−μ=4
λ+3μ=−3   ⇒   -2λ−6μ= +67
μ =10 = μ = 10/7
2λ−(10/7) = 4 ⇒ 2λ = 10/7 + 4 = 18/7
9/7,(-10/7)(-1/3)=1/9,(-10/30)=(-28/7)=(-4/3)

Esercizio 2

(²⁄₁) + μ (¹⁄₃) = (⁹⁄_b)
2λ - μ = 9 ⇒ μ = 2λ - 9
λ + 3μ = b ⇒ λ + 3(2λ - 9)

Esercizio 3

Siano dati in R² i vettori (2, λ)^T e (-4, 2)^T
λ (²⁄_-1) + μ (^-4⁄₂) = (¹⁄₁)
Dato inoltre i) trovare 2λ - 4μ = -1 λ + 2μ = 1⇒ 2λ - 4μ = 1 = 2λ + 4μ = 20 0 = 3

Combinazione lineare

Sia dato uno spazio vettoriale V sei un campo sono V₁, ..., V_h ∈ V

Definizione

Si dice combinazione lineare di V₁, ..., V_h ogni espressione del tipo λ₁V₁ + λ₂V₂ + ... + λ_hV_h o per brevità ∑_{i = 1}^h λ_iV_i
Nota Bene: se scelgo λ₁ = λ₂ = ... = λ_h = 0 allora 0V₁ + 0V₂ + ... + 0V_h = vettore nullo

Definizioni importanti

I vettori V₁, ..., V_h si dicono indipendenti se e solo se λ₁V₁ + ... + λ_hV_h = 0 se e solo se λ₁ = ... = λ_h = 0
I vettori V₁, ..., V_h si dicono dipendenti quando se e solo se non sono indipendenti cioè se e solo se ∃λ_i non tutti nulli tali che λ₁V₁ + ... + λ_nV_h = 0

Sistemi generatori

Parte libera, spazi, sistemi generatori minimali? Parte libera massimale? Sistema generatori minimale trovare una base sul sistema generatore tutte le basi hanno gli stessi elementi (dimensione)

Definizione

Si dice di dimensione finita se un sistema di generatori di definizione un sistema di generatori si dice minimale se un nuovo vettore con qualunque l’insieme non contiene almeno in senso proprio alcun altro sistema di generatori

Definizione

Una parte libera si dice massimale se aggiungendo un qualunque nuovo vettore di _^V l’insieme _{non è parte libera.}

Dimostrazione

Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
1) è una parte libera massimale
2) è un sistema di generatori minimale.
3) parte libera e sistema di generatori un vettore che ha queste proprietà si chiama base

Dimostrazione importante

1 ⇔ 3 ⇔ 2 (Che è equivalente a 3 ⇔ 3 equivale a 2)
1 ⇔ 3 implica 3) So che {v₁, ..., v_n} è parte libera massimale devo mostrare che {v₁, ..., v_n} è sistema di generatori.